Пифагор Самосский (еж.-грек. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570—490 жж. б.з.д) — ежелгі
грек философы және математигі. «Философия» (пәлсапа) сөзін алғаш рет қолданған
Антика дәуірінің атақты философы және математигі Пифагор болған.
Пифагор
теогремасы — тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы байланысты
тұжырымдайтын геометрия теоремасы. Пифагор теогремасы Пифагорға дейін де
белгілі болған, бірақ оны жалпы түрде дәлелдеген Пифагор. Алғашында теорема тік
бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттеріне салынған квадраттар
аудандарының қатынасын тұжырымдаған: гипотенузаға тұрғызылған квадрат ауданы
катеттерге тұрғызылған квадраттар аудандарының қосындысына тең. Пифагор
теогремасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының
квадраты катеттері квадраттарының қосындысына тең. Пифагор теогремасына
төмендегідей кері теорема да дұрыс: егер үшбұрыштың бір қабырғасы ұзындығының
квадраты қалған екі қабырғасы ұзындықтарының квадратына тең болса, онда ол
үшбұрыш тік бұрышты болады
Теореманың тарихы
Теоременың
тарихы ежелгі Қытайдан бастау
алады. Ондағы негізгі назар аудартатын математикалық кітап Чу – пей.
Бұл шығармада қабырғалары 3,4,5 – ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады.
|
|
Егер
тік бұрышты құрайтын 3 – ке тең қабырға мен 4 – ке тең биіктіктің ұштарын
қоссақ пайда болған түзу 5 – ке тең болады..
|
|
Кантор
(ұлы неміс математика тарихын зерттеуші) бұл кітапта үнді Бхаскар
геометриясындағы сызбанұсқаға ұқсас сурет бар, деп есептеген.
Бұл
теңдік египтіктерге б .з.д. 2300 жылы Аменемхета I патшаның
кезінде белгілі болған (Берлин музейіндегі 6619 - жазбалар бойынша).
Кантордың
ойынша гарпедонаптар немесе «арқан тартушылар» тік бұрышты қабырғалары 3,4,5 –
ке тең тікбұрышты үшбұрыштар арқылы тұрғызған. Олардың құрылу әдісін оңай
көрсетуге болады. Ұзындығы 12 метрге тең арқанды алып,бір ұшынан 3 метр,екінші
ұшынан 4 метр арақашықтықты өлшеп белгілейміз. Тік бұрыш 3 – ке және 4 – ке тең
қабырғалар арасында болады. Қабырғалардың ұштарының арақашықтығы 5 – ке тең
болады.
Бұл
Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық теорема. Гректің
ұлы математигі , әрі философы Пифагор Самосский осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір
сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне, Египетке және Вавилонға көп саяхат
жасаған.Оңтүстік Италияның грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми
және саяси өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін
салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор практикада
қолдана білген.
Бірақ,
бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі египеттіктер қабырғалары
3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті
жер учаскелерін, құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар
бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін де қолданған.
Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-астрономиялық «Чжоу-би»
шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор
теоремасы да бар. Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған.
Теореманың
қарапайым дәлелденуі
Тік
бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған
квадраттардың қосындысымен тең шамалы. Теореманың қарапайым
дәлелдеуі тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында қарастырылады. Теореманың өзі де
осыдан басталған.
Теореманың
дұрыстығына көз жеткізу үшін тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар мозаикасына
қарау жеткілікті. Мысалы, ΔABC үшін : АС гипотенузасына салынған квадрат 4
үшбұрыштан құралған, ал катеттерге салынған квадраттардың әрқайсысы екі
үшбұрыштан тұрады. Теорема дәлелденді.
ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫ
Ертеден келе жатқан өте ыңғайлы және дәл тәсіл, жер өлшеушілермен
перпендикуяр сызықтарды жүргізу үшін қолданылған тәсіл.
3:4:5 қатынасы бәріне белгілі Пифагор теоремасы.
Теорема бойынша :
3²+4²=5²
3,4,5 сандарынан басқа шексіз бүтін а, b,с
а²+ b²=с²
бар екені айқын.
Олар Пифагор сандары деп аталады
. Пифагор теоремасы бойынша бұл сандар тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының
ұзындықтары болып табылады. а және в қабырғалары катет ,с гипотенуза деп
аталады.
Егер а,b,с пифагор санының үштігі екені
белгілі болса, онда ра,рb,рс болса,
Мұңдағы р – бүтін санды көбейткіш Пифагор
сандары болып табылады Керісінше , егер Пифагор сандарның ортақ көбейткіштері
бар болса , онда осы ортақ көбейткіштерді қысқартуға болады және тағы пифагор
санының үштігін аламыз .
Сондықтан ең бірінші қарапайым пифагор саны үштігінің өзара
байланыстылығын зерттеу керек , қалғаны оларды р бүтін санды
көбейткіштерге көбейту деп шығады .
а,b,с үштігінде оның бір катеті жұп сан , ал 2–ші катеті
тақ сан болатынын көрсетейік . Кері дәлелдеуді қолдансақ : егер 2 катеті де а
және в жұп сан болса онда а²+b² саны да жұп болады , ал ол
гипотенуза. Бұлай болуы мүмкін емес , себебі а, b,с сандарының ортақ
көбейткіштері болады деген ұғымға қайшы келеді , үш сан жұп болса оның ортақ
көбейткіштері 2-еу болады .
Олай болса , а,в катеттің бірі тақ сан болады
деген қорытындыға келуге болады .
Егер 2 катет тақ сан , ал
гипотенузасы жұп болады деп қарастырсақ .Бұлай болуы мүмкін емес . Шындығында
егер катеттер 2х+1 және 2у+1 болса онда олардың квадратарының
қосындысы мынаған тең :
4х²+4х+1+4у²+4у+1=4(х²+х+у²+у)+2
Яғни 4-ке тең бөлгенде 2 қалдық
қалады . Кез келген жұп санның квадраты 4 санына қалдықсыз бөлінуі керек
.Ендеше екі тақ санның квадратарының қосындысы жұп санының квадраты болуы
мүмкін емес , басқаша бұл үш сан пифагор саны болмайды .
Сонымен а,в
катеттерінің біреуі жұп , екіншісі тақ сан болады .с гипотенузасы тақ
сан болады . Егер а катеті тақ , в катеті жұп болса деп алсақ.
а²+b²=с² теңдігінен
а²=с²-b² формуласы бойынша
а²=(с-b)(с+b)
(с+в) және (с–в)
көбейткіштері өзара жай сан . Шындығында , осы сандар ортақ көбейткіштері бар
болса , бірден өзгеше , онда осы көбейткіштер және қосындысы да ортақ
көбейткішке бөлінер еді .
(с+b)+(с– b)=2с және
айырмасы
(с+b) – (с– b)=2b ал көбейттіндісі
(с+b)(с– b)=2а
тең болады .
2с,2в және а ортақ
көбейткіштері бар болған болар еді .
Егер а жұп болса онда бұл көбейткіш 2-ден өзгеше , сондықтан осы ортақ
көбейткіш а,в,с сандары үшін мүмкін емес . (с+в)
және (с– в) сандары өзара жай сан деген ұғымға
қарама-қайшы келеді .
Егер өзара жай санның көбейттіндісі дәл сан квадраты болса , онда
олардың әрқайсысы санның квадратына тең .
. Пифагор сандары үшін дәлелдеусіз мына
қорытындыға келуге болады:
1)катеттің біреуі 3-ке еселі.
2)катеттің біреуі 4-ке еселі.
3)Пифагор сандарының біреуі 5-ке еселі.
“Занимательная
алгебра” Я.И.Перельман
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.