Главная / Математика / Тема: «Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

Тема: «Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА-ДЕТСКИЙ САД № 36»

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ СИФЕРОПОЛЬ РЕСПУБЛИКА КРЫМ












«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»











РАБОТА

Галан Татьяны Николаевны,

учителя математики















г. Симферополь 2015г







Вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.



Функция hello_html_m424bb8aa.gif определена и монотонно возрастает на отрезке [- 1; 1];

hello_html_m3a6dccdb.gif

hello_html_m6935edd.gif.

Функция hello_html_m3fe7688e.gif определена и монотонно убывает на отрезке [- 1; 1];

hello_html_m7027c738.gif

hello_html_5b0ef7b9.gif


Функция hello_html_a225231.gif определена и монотонно возрастает на R;

hello_html_m70628536.gif

hello_html_m63fded3.gif.


Функция hello_html_c6ebee6.gif определена и монотонно убывает на R;

hello_html_3af6514.gif


hello_html_m1055e1b7.gif

hello_html_614c3d44.gifhello_html_m537591d1.gif




Решение уравнений, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, основывается на свойстве монотонности этих функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

1). hello_html_m6c70b2e2.gif

2). hello_html_m439a10cf.gif

3). hello_html_6dbaefe.gif

4). hello_html_m754d28ff.gif


При решении уравнений , левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, пользуются известными тригонометрическими тождествами.

Переходы

Использована формула

1. hello_html_54986fee.gif

hello_html_m972a4d3.gif

2. hello_html_m2ea8bd95.gif

hello_html_6584341d.gif

hello_html_m17aeb671.gif

hello_html_48bdc7.gif

hello_html_m1241c982.gif

hello_html_4eea7c22.gif

hello_html_59f48e51.gif

hello_html_md91106.gif

hello_html_m25ce82bc.gif

hello_html_m336c8d41.gif

Корнем каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое число х, для которого hello_html_5f3f1e9d.gif В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.


Пример 1. Решите уравнение hello_html_6f59461e.gif.

Решение

hello_html_6f59461e.gif; ОДЗ:hello_html_70d5d4d9.gif

hello_html_42b18ad1.gifarccos x= hello_html_4a7c6de3.gif+ 2hello_html_4bbc8ba.gifn, nhello_html_559182c5.gifZ ; arccos x= hello_html_62db9585.gif + 14hello_html_1b83c432.gif, nhello_html_559182c5.gifZ. Поскольку

0hello_html_7c00753d.gif arccos xhello_html_26c2cb38.gif, то последнее уравнение не выполняется ни при каких значения nhello_html_559182c5.gifZ. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример 2. Решите уравнение 2arcsin x=9.

Решение

2arcsin x=9; arcsin x= hello_html_78170999.gif = 4,5hello_html_7e6c0142.gif.

Следовательно, уравнение решений не имеет, так как hello_html_m760659e3.gif

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решите уравнение arcsin x + arctghello_html_m7af69b9e.gif.

Решение

arcsin x + arctghello_html_m7af69b9e.gif; ОДЗ: |x|hello_html_m264f3159.gif

arcsin x= hello_html_m31efd0a6.gif - arctghello_html_42b18ad1.gif . Найдем синусы обоих частей уравнения:

sinhello_html_18ab54e4.gif = sinhello_html_m6c9cee13.gif. Следует обратить внимание, что полученное уравнение может быть не равносильным исходному, поэтому его решение обязательно нужно подставить в исходное уравнение. Из последнего уравнения имеем:

x = sinhello_html_m6c9cee13.gif= sin hello_html_m31efd0a6.gif hello_html_7e6cc508.gifcoshello_html_m8036f20.gif- cos hello_html_m5db18b86.gif sinhello_html_m8036f20.gif= hello_html_5bd2399a.gif.

Рассчитаем coshello_html_m8036f20.gif. Пусть hello_html_335d3fb2.gif = hello_html_m29228db2.gif, hello_html_2f0fef98.gif hello_html_3f0314ad.gif, тогда tghello_html_m29228db2.gif=hello_html_42b18ad1.gif. Но поскольку tghello_html_m7113d817.gif то hello_html_2f0fef98.gif hello_html_m50fc022b.gif, то есть угол находиться в певой четверти единичного круга.

Найдем теперь coshello_html_m29228db2.gif.

1+hello_html_1a10fb2a.gif= hello_html_m16b6fe4f.gif; hello_html_m16b6fe4f.gif = 1+ hello_html_78bcd210.gif hello_html_m16b6fe4f.gif = hello_html_71294b76.gif; hello_html_m56540675.gif = hello_html_m44fcb64b.gif;

coshello_html_m29228db2.gif = hello_html_e9ba03c.gif (coshello_html_39a1817.gif).

Найдем sinhello_html_m30e9708a.gif= 1 – hello_html_m56540675.gif = 1 – hello_html_m44fcb64b.gif = hello_html_d538969.gif;

sinhello_html_m56dec6b8.gif hello_html_m46907a52.gif (sinhello_html_39a1817.gif).

X= hello_html_1fd05dd1.gif = hello_html_73ca8c00.gif hello_html_m74b6f179.gif = hello_html_3b88a430.gif.

Ответ: hello_html_3b88a430.gif.

Примечание. Если sinhello_html_m3b151d01.gif = sinhello_html_mc131d5d.gif, причем hello_html_m4041ee27.gif, то hello_html_m25ae9e83.gif.

Сделаем проверку arcsinhello_html_25d0c153.gif; hello_html_1f99a438.gifarctghello_html_42b18ad1.gif=hello_html_mc131d5d.gif.

Поскольку 0hello_html_m7c48e444.gif arcsinhello_html_2cbd03a2.gifи 0hello_html_30d17cec.gifarctghello_html_181bcae3.gif, то hello_html_18d53dbd.gif hello_html_m50fc022b.gif и hello_html_m196dc92a.gif hello_html_m50fc022b.gif,

причем X=hello_html_3b88a430.gif найдено при условии, что sin hello_html_453010f0.gif, значит hello_html_m25ae9e83.gif.

Пример 4.

Решить уравнение 2hello_html_m5fd409bb.gif.

Решение

2hello_html_m5fd409bb.gif. Если известно, hello_html_mc14ce13.gifhello_html_m5d49a672.gif тогда

2(hello_html_4a7c6de3.gif -hello_html_m164a49d0.gif)+hello_html_37a69251.gif=hello_html_4a7c6de3.gif

hello_html_m6088904.gif

Ответ:-1

Пример 5.

Решить уравнение hello_html_f5e1119.gif

hello_html_m2e1cabe0.gif

ОДЗ:hello_html_m6b47b3f1.gif

hello_html_74958f48.gif

hello_html_238a258a.gif=hello_html_217d5247.gif

hello_html_m541b24af.gif- 10)=0; x=0 или 13hello_html_27b97074.gif-5=0;

hello_html_27b97074.gif=hello_html_m4748943f.gif; 1-hello_html_7a2a5240.gif=hello_html_71399c9e.gif; hello_html_7a2a5240.gif=hello_html_46d1aca1.gif; hello_html_m1709b029.gif

Проверка

  1. X=0; 2arcsin0=0; arcsinhello_html_5a6f6953.gif0=0; 0=0-правильно.

  2. X=hello_html_2da69282.gif; 2arcsinhello_html_m7f310b92.gifarcsinhello_html_2e0616e4.gif (так как arcsinhello_html_6265a321.gif

2arcsinhello_html_746511d4.gif (так как hello_html_37d6337e.gif, поэтому, arcsinhello_html_mff6ac93.gif ,

то есть 2arcsinhello_html_746511d4.gif). Тогда x=hello_html_2da69282.gif –не является корнем.

3)x=-hello_html_674a58b.gif2arcsin(- hello_html_m36722bf3.gifarcsin(hello_html_4e0359de.gif). Значит x=- hello_html_2da69282.gif -не является корнем.

Ответ:0.

Пример 6.

Решить уравнение hello_html_m6cd49380.gif

Решение

hello_html_m6cd49380.gif

ОДЗ:|sinx|hello_html_7b7eab8.gif.

Имеемhello_html_m26eb7161.gif

Так как hello_html_m6c9dc550.gif hello_html_m2724ab69.gif. Значит, x=0.

Ответ:0

Пример 7.

Решить уравнение hello_html_6c6fdf8e.gif

Решение

hello_html_6c6fdf8e.gifПусть arcsinx=t,

ОДЗ:|x|hello_html_m264f3159.gif.

|t|hello_html_m2bb256a0.gif

hello_html_m79f0ebe7.gif

Ответ:-sin1,5.

Пример 8.

Решить уравнение hello_html_m66b5d888.gif=-hello_html_4a7c6de3.gif.

Решение

hello_html_m66b5d888.gif=- hello_html_4a7c6de3.gif;

ОДЗ:hello_html_6b32cbaa.gif

hello_html_3cc556ab.gifhello_html_279b621a.gif

6x=hello_html_1daf5b47.gif; 36hello_html_7a2a5240.gif=1-108hello_html_7a2a5240.gif; 144hello_html_7a2a5240.gif=1; hello_html_7a2a5240.gif= hello_html_b2de874.gif; x=hello_html_5c5ccb26.gif

Проверка:

hello_html_22df5f8a.gif

Значит, x=- hello_html_m1bcf515d.gif -корень уравнения; x=hello_html_m1bcf515d.gif – не является корнем.

Ответ:-hello_html_m1bcf515d.gif.






Пример 9. Решите уравнение hello_html_m33ee3724.gif

Решение.hello_html_m5d000ec4.gif


hello_html_4584f61c.gif

Корень hello_html_m60f6cfa1.gif является посторонним.

Ответ:1


Пример 10. Решите уравнение hello_html_m217d0054.gif

Решение. Пусть hello_html_1444745c.gif Тогда hello_html_m11a1b23b.gif

hello_html_m5ebcdd6c.gif

Пусть hello_html_m3073d211.gifТогда hello_html_m3764ced5.gif

hello_html_m234db7f7.gif

Тогда исходное уравнение примет вид hello_html_m6c56a971.gif

Тогда hello_html_m11beb148.gif

Поэтому

hello_html_m6b51c4ba.gif


Ответ:0,1.







Тема: «Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»
  • Математика
Описание:

Тема:                 

«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

                                                                                                                            Цель: практическая работа по решению уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Автор Галан Татьяна Николаевна
Дата добавления 03.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 511
Номер материала 21461
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓