Главная / Математика / Технология применения равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений. Методическое пособие для школьников старших классов.

Технология применения равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений. Методическое пособие для школьников старших классов.



ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ЮГО-ВОСТОЧНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Государственное образовательное учреждение

Лицей № 1547













Технология применения
равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений

Методическое пособие для школьников старших классов



















МОСКВА, 2014

Технология применения равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений. Методическое пособие для школьников старших классов/ Составитель В.Н. Кривобоков. – МОСКВА, 2014. – 61С.









В методическом пособии изложена технология применения равносильных преобразований в решении алгебраических задач различных классов. Приведена их классификация.

Пособие применяется при изучении алгебры в 8-9 классах и алгебры и начал анализа в 10-11 классах основной школы. Рекомендуется при повторении и обобщении материалов при подготовке к конкурсным экзаменам и ЕГЭ.

ВВЕДЕНИЕ

Начиная изучение какого-либо объекта, всякий человек прежде всего задается вопросами о том, насколько данный объект велик по размерам и сложен по структуре. Говоря научным языком, перед ним встают трудные задачи анализа изучаемого объекта, классификации имеющихся фактов о нём и приведения этих фактов в систему (первый шаг на пути синтеза нового знания об объекте). Не ответив на поставленные вопросы, исследователь обречён на изучение лишь отдельных сторон интересующего его объекта или явления. В этом смысле алгебра как школьный предмет не составляет исключения, а успешность ее освоения позволяет решать насущные проблемы абитуриентов и школьников (прежде всего – поступление в ВУЗ).

Опыт общения с абитуриентами и школьниками старших классов показывает, на первый взгляд, парадоксальную ситуацию. Проведём следующий. Предложим старшеклассникам или абитуриентам решить набор “предельно простых” алгебраических уравнений и неравенств:

  1. hello_html_mfff13b7.gif

при условии отсутствия предварительной подготовки. Результат эксперимента оказывается удивительно удручающим и единообразным. Уровень первичной решаемости хотя бы одного из указанных соотношений составляет не более 30-50%. Говорить же не только об эффективном, но и о просто осознанном решении всех предлагаемых соотношений не приходится вообще. Если при этом ещё “заставить” школьника решать квадратное неравенство с отрицательным дискриминантом, то создавшееся впечатление усугубиться. Парадокс же заключается в том, что результат здесь довольно мало коррелирует с системой подготовки школьника: результаты в обычной школе, гимназии с усиленной подготовкой по математике, по обычной или углубленной программе в этом случае отличаются лишь количественно. По глобальным, структурным ошибкам отличий практически нет. Первое и второе неравенства учащиеся в большинстве своем склонны решать неравносильно и теряют либо приобретают корни. Четвертое соотношений решается неэффективным, очень затратными методами, а третье, как правило, просто ставит в тупик! Возникает впечатление, что школьники и абитуриенты брошены в “алгебраический океан” и не вооружены никакими средствами навигации в нем! Из существенных недостатков математической подготовки абитуриентов и старших школьников можно отметить следующие:

  • Незнание основных классов и взаимосвязей изучаемых в школе элементарных функций;

  • Широкое и необоснованное применение неравносильных преобразований алгебраических уравнений и неравенств;

  • Несистематизированность методических приемов решения алгебраических задач (попытки решить “хоть как-то”)

  • Незнание связей между различными разделами школьной математики (алгебры, элементов теории множеств и математической логики).

Следует отметить, что обозначенные проблемы, на мой взгляд, имеют в своей основе существенные для традиционной школьной программы по алгебре недостатки, например:

  • Допущение неравносильных преобразований соотношений:

  • Узкое использование или неиспользование вообще полной теоретико-множественной и логической символики (например, знака квадратной скобки как знака объединения числовых множеств и логической независимости высказываний),

  • Наличие непропорциональностей в объемах изучения некоторых разделов курса алгебры (многочлены высоких степеней и их преобразования, тригонометрия, основы анализа, логарифмирование и другие).

Немаловажной особенностью является и тот факт, что значительная часть учителей математики недостаточно творчески подходят к освещению многих вопросов школьной программы, следуя в фарватере традиционных школьных учебников и подходов, а также написанных на их основе многочисленных пособий, которые в гигантских масштабах дублируют и размножают указанные выше недостатки.

Отмеченные факты наводят на мысль о глубинных, объективных причинах “провалов” школьной подготовки для решения конкурсных задач по математике. Данное учебное пособие направлено на устранение некоторых из указанных выше недостатков. Здесь основное внимание уделено вопросам классификации алгебраических соотношений и систематизации методов их решения на основе принципа равносильности и системы приемов его реализации, которые позволяют:

  1. Классифицировать алгебраические уравнения и неравенства с целью их стандартизованного решения на основе выделения в каждом классе соотношений некоторых канонических подклассов, допускающих их непосредственное решение с помощью известных, равносильных преобразований, схем, алгоритмов или методов;

  2. Использовать единую систему обозначений, позволяющую:

  • Максимально упростить логику решения алгебраических соотношений каждого класса, а также соотношений, имеющих смешанный тип;

  • Сделать компактным, наглядным и единообразным оформление процесса решения с целью максимального упрощения получения и анализа ответа в логически разветвленных задачах.













































ГЛАВА I

КЛАССИФИКАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИХ КЛАССОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

СООТНОШЕНИЙ


Рассмотрим следующую систему базовых положений и ключевых понятий, используемую в данном пособии.


  1. Решению всякого алгебраического соотношения становится в соответствии множество значений переменной x (множество корней), при подстановке которых в исходное соотношение возникает верное числовое тождество; причем решением верного числового соотношения, является вся числовая ось К (все действительные числа), а неверного – пустое множество чисел hello_html_m9bf3a1c.gif.

  2. Алгебраические соотношения разбиваются на 6 основных классов в соответствии с входящими в них функциями (многочлены, рациональные, иррациональные, с модулем, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом классе соотношений можно выделить соотношения канонического (элементарного) вида, к которым напрямую (непосредственно), можно применить известную формулу, тождество, схему или алгоритм решения и, тем самым, свести его решение к анализу более простых или ранее изученных классов соотношений.

  3. Решение (получение множества корней) неканонического или смешанного алгебраического соотношения осуществляется путем перехода от одного их вида или класса к другому (более простому или ранее изученному) преимущественно с помощью равносильных преобразований. Преобразование алгебраического выражения называется равносильным, если в результате его применения множество корней исходного соотношения не меняется.

  4. Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (соответственно логическими) операциями: пересечения (соответственно логического умножения, логической зависимости) и объединения (соответственно логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений).

  5. Для любого множества X справедливы следующие правила: hello_html_me0fe76.gif

hello_html_2a2bf86b.gif

Включая в данную концепцию теоретико-множественную и логическую основу, с помощью простой системы обозначений:

hello_html_m3013c33b.gif

Система соотношений

Пересечение множеств hello_html_m89ee4e2.gif

Логическая зависимость (умножение))

“и”, “одновременно”


Сhello_html_5e038a01.gifовокупность соотношений

Объединение множеств hello_html_400729f4.gif

Логическая независимость (сложение))

“или”, “либо”


Достаточно легко удается применить математическую логику для решения задач различного уровня сложности, в том числе текстовых задач, задач параметрического анализа hello_html_m7bcf9b8d.gif и других классов задач. Изложенная выше система понятий прошла проверку при подготовке абитуриентов на подготовительных курсах, при чтении спецкурсов в школах и гимназиях, при проведении индивидуальных занятий в рамках подготовки как к письменным экзаменам, так и к экзаменам государственного тестирования по математике.

Таким образом, принцип равносильных преобразований, дополненный теоретико-множественными и логическими операциями, а так же краткими схемами и алгоритмами равносильных преобразований, рассматривается здесь как главный инструмент алгоритмизации мышления и систематизации решения алгебраических задач. Использование описанного подхода позволяет вооружить учащихся строго логичным, непротиворечивым, полным и одновременно не перенасыщенным набором математических методов, приемов и алгоритмов решения алгебраических задач.

Решение алгебраических уравнений и неравенств составляет значительную долю

математических задач конкурсного типа. Приведем классификацию алгебраических соотношений и основных методов их решения в виде следующих таблиц (аргументы функций опускаются):




Таблица 1

КЛАССИФИКАЦИЯ


Класс алгебраических соотношений

Канонические

Неканонические

  1. Многочлены

Степени не выше второй

Третьей и более высокой степени

  1. Рациональные

вида hello_html_450a4bed.gif

hello_html_m45a22951.gif

  1. Иррациональные

hello_html_m4aa9d5e5.gif

hello_html_41a7a8f9.gif

  1. Модули

hello_html_m6107b7d0.gif

hello_html_m1cb427da.gif

  1. Тригонометрические

hello_html_4eb8d507.gif

hello_html_m4040cf8b.gif

hello_html_m72fabc51.gif

T-имя тригонометрической функции


Остальные

  1. Показательно-логарифмические

hello_html_18133b72.gif

hello_html_m7e3babba.gif

Остальные


В таблице 1 кроме классификации соотношений приведены канонические (элементарные) подклассы, допускающие непосредственное использование равносильных алгоритмов, схем или методов решения.



















Таблица 2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ


Класс соотношения

Канонические

Неканонические

  1. Многочлены

Степень 0: решение – либо hello_html_m9bf3a1c.gif, либо R.

Степень 1: формулы корней

Степень 2: формулы корней, т.Виета.

Частные случаи:

  1. Биквадратный;

  2. Симметричный;

  3. Корни - среди делителей свободного коэффициента.

  1. Рациональные

Уравнения –схема 2.1

Неравенства – метод интервалов.

Сведение к каноническим путем переноса слагаемых и нахождения общего знаменателя

  1. Иррациональные

Схемы 3.1-3.5

Сведение к каноническим с помощью. Равносильных преобразований. Вычисление ОДХ обязательно.

  1. Модули

Схемы 4.1-4.5

Метод интервального анализа

  1. Тригонометрические

Формулы корней,

Схемы 5.1-5.4

Сведение к каноническим с использованием тригонометрических тождеств и свойств тригонометрических функций

  1. Показательно-логарифмические

Схемы 6.1-6.6

Сведение к каноническим с использованием свойств логарифмической и показательной функции. Обязательно вычисление ОДЗ.


Указанные в таблице 2 схемы приведены в приложении 1. Они указывают для каждого класса соотношений равносильные методы освобождения от этого класса и, в конечном счете, сведения всех соотношений к системам и совокупностям многочленов. Рассмотрим ниже более подробно основные алгоритмы и схемы равносильных преобразований указанных классов соотношений.



















1.Многочлены


Многочленом называется выражение вида

hello_html_7bd82f7a.gif , (1.1)

где hello_html_m217f08c8.gif , hello_html_m276be834.gif – коэффициенты многочлена, x – переменная, n – степень многочлена, hello_html_m6e5b35e3.gif – свободный коэффициент. Решить многочлен – значит найти корни уравнения hello_html_558b71b3.gif (точки пересечения с осью абсцисс). При решении неравенства hello_html_51b98c86.gif ищутся x – координаты точек пересечения кривой hello_html_m7fddc626.gif с полуплоскостью hello_html_m436d42f5.gif.

Рассмотрим случаи канонических многочленов степени n=0,1,2.

  1. Многочлен степени n=0 (числовое уравнение или неравенство):

hello_html_53edacd7.gif (1.2)


  1. Многочлен степени n=1 (линейное уравнение или неравенство):

hello_html_54b73933.gif, (1.3)


hello_html_3de149a2.gif


Решения линейных неравенств для знаков <, , записываются аналогично.

  1. Многочлен степени n=2 (квадратное уравнение или неравенство):


hello_html_3279b616.gif (1.4)


Основное внимание следует уделить квадратному соотношению, так как случай n=2 является самым сложным в классе элементарных многочленов. Кроме аналитической записи решения уравнения (1.4) крайне важно хорошо представлять его графическую интерпретацию. Графическим образом квадратного трехчлена является парабола. Рассмотрим все случаи расположения параболы hello_html_m5adba2b0.gif и неравенств hello_html_m2050a254.gif где заменяет один из знаков >, <, , .



hello_html_76e665af.png


hello_html_1da653a1.gif


При отрицательном a имеем:


hello_html_m2e356c4e.png

hello_html_m14df4142.gif

Здесь hello_html_450c6e83.gif




При анализе квадратного трехчлена hello_html_med10b4c.gif с коэффициентами, зависящими от параметра p, часто требуется определять положение корней hello_html_m1a2bd592.gif относительно заданных чисел M, N (без непосредственного вычисления этих корней). Ниже приводится соответствующие алгоритмы.

  1. hello_html_m11c044eb.gif

  2. hello_html_6a2477f0.gif

  3. hello_html_m4e7981ee.gif

  4. hello_html_m78e0a5a5.gif

  5. hello_html_m3ca00d2b.gif

  6. hello_html_20ee631f.gif

  7. hello_html_25e6db4b.gif































Относительно многочленов степени выше второй заметим, что в школьной программе не изучаются формулы их корней, то есть отсутствуют непосредственные алгоритмы их решения, что позволяет, по определению, называть их неэлементарными (неканоническими). Решение таких многочленов возможно только в отдельных частных случаях, следующими из приведённых ниже теоретических сведений общей теории многочленов, которые могут быть полезны при овладении методами решения многочленов выше второй степени.

Теорема 1. Многочлен степени n имеет не более n действительных корней. Из теоремы 1 следует два важных утверждения: 1) многочлен нечетной степени имеет нечетное число (причем всегда хотя бы один) действительных корней; 2) многочлен четной степени имеет четное число действительных корней либо не имеет их вообще.

Теорема 2. Всякий многочлен может быть расписан на произведение сомножителей вида x-d (тогда d – действительный корень этого многочлена) и вида hello_html_m50295447.gif.

Теорема 3. Если x=p/q – корень многочлена, т.е hello_html_558b71b3.gif, то p – делитель hello_html_m6e5b35e3.gif, а q – делитель hello_html_7d15414a.gif.

Следствие теоремы 3. Если hello_html_392fb3f5.gif, то всякий целочисленный корень многочлена является делителем свободного коэффициента hello_html_m6e5b35e3.gif.

Теорема Безу. Остаток от деления hello_html_1fedba66.gif на двучлен x-c равен значения многочлена x=c, то есть hello_html_66260510.gif.

Следствие из теоремы Безу. hello_html_1fedba66.gif делится на x-c без остатка, если и только если с – корень hello_html_1fedba66.gif, то есть hello_html_mda6c470.gif.

Основным практическим выводом из приведенного теоретического материала является следующий алгоритм поиска целых корней приведённого (an=1) многочлена Pn(x):

  1. Найти все делители свободного коэффициента hello_html_m6e5b35e3.gif;

  2. Среди делителей hello_html_m6e5b35e3.gif, путем подбора, найти какой-либо корень hello_html_1fedba66.gif

  3. Если такой корень с найден, то понизить степень hello_html_1fedba66.gif на единицу путем деления его на двучлен x-c, получить новый многочлен hello_html_740d6ee5.gif и повторить пункты 1) – 3);

  4. Если корень не найден, то сделать вывод об отсутствии целочисленных корней многочлена hello_html_1fedba66.gif; в этом случае у данного многочлена могут быть только иррациональные корни, универсальные методы нахождения которых отсутствует.

Иррациональные корни многочленов, кроме того, можно найти, если удастся подыскать замены переменных, с помощью которой исходный многочлен сводится к каноническому (например, случай биквадратного трехчлена), или к многочлену, корни которого находятся из вышеприведенной теоремы 3. Одним из нестандартных (частных) методов получения иррациональных корней является метод неопределенных коэффициентов, который не является предметом изучения в общеобразовательной школе и, следовательно, не может использоваться в конкурсных задачах вступительных экзаменов в ВУЗы.



















2. Дроби

В простейшем случае рациональное выражение имеет вид hello_html_m4e976ef9.gif, где hello_html_m140f55e1.gif, hello_html_2c90949f.gif – произвольные функции. Ниже излагаются основные равносильные схемы решения для канонических дробных уравнений и неравенств.

C.2.1. hello_html_746711c5.gif

то есть дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю одновременно.

С.2.2. hello_html_10d980fb.gif C.2.3. hello_html_126b757b.gif ,

или иначе: дробь больше нуля, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак; дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют разный (противоположный друг другу) знак. Подчеркнём, что, например, соотношение hello_html_4a76c5d9.gif=C или hello_html_31788c74.gif, где hello_html_m5842f096.gif не являются элементарными, и вышеуказанные схемы непосредственно к ним неприменимы. Чтобы их решить, необходимо перенести все слагаемые в одну часть соотношения и привести общий знаменатель (табл.2.).

Следует отметить, что значительно более эффективным методом решения дробных неравенств является метод интервалов, который основывается на следующей теореме.

Теорема 2.1. Если hello_html_m140f55e1.gif – непрерывная функция и x1, x2, … , xn – её корни: x1<x2<…<xn , то на любом из интервалов hello_html_2efa2a49.gif функция hello_html_m140f55e1.gif сохраняет знак. Причём, если xi – корень нечетной кратности, то при переходе с интервала (xi-1, xi) на интервал (xi, xi+1) функция меняет знак на противоположный, а в случае четной кратности корня xi знак функции не меняется. Сформулированная теорема применяется для решения дробных неравенств вида hello_html_me36198b.gif(здесь знак hello_html_375bd356.gif заменяет один из знаков неравенств).











Изложим далее метод интервалов в виде следующего алгоритма:

  1. Найти все корни функции f и g (решить уравнения f=0, g=0) и расположить их по возрастанию на числовой оси.

  2. Все полученные корни отметить полыми точками в случае строгого неравенства, а в случае нестрогого – корни числителя, не совпадающие с корнями знаменателя, обозначить сплошными точками.

  3. Определить знак дроби на одном из интервалов, выбирая его, исходя из наличия на нём удобной для проверки знака дроби f/g точки числовой оси (По-возможности, наименьшее натуральное число, не совпадающее с корнями числителя и знаменателя).

  4. Расставить знаки дроби f/g на остальных интервалах в соответствии с теоремой 2.1.

  5. Записать решение, объединив интервалы, помеченные знаком, совпадающим со знаком исходного неравенства. Причём все корни, обозначенные сплошными точками, включить в ответ, а корни, обозначенные полыми – исключить.

Пример 2.1. Решить неравенство hello_html_3570f935.gif

Решение. Пусть hello_html_5bda76ed.gif. Тогда корни числителя: x=0 (кратности 2) и x=1; корень знаменателя x=-1 (см.рисунок).

hello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_m59d575eb.gifhello_html_4c81cb5e.gif - + + -

-1 0 1 x

Так знак f(2)<2, то, по теореме 2.1, f(x)<0 на всём интервале hello_html_m5c2b8f9e.gif Расставляя знаки на остальных интервалах в соответствии с алгоритмом метода интервалов, получим

Ответ: hello_html_m6b57536a.gif

Пример 2.2. Решить неравенство hello_html_m3104f75c.gif

Решение. Корни числителя и знаменателя найдены в примере 2.1. Расставляя знаки на интервалах в соответствии с алгоритмом метода интервалов и учитывая изменения знака неравенства, получим

Ответ: hello_html_61236dc2.gif

Пример 2.3.Решить неравенство hello_html_6ba48e0a.gif

Ответ: hello_html_mf3a9cea.gif

Очень часто решающие теряют решения в точках! Пример 2.3 демонстрирует досканальность учета решений в точках.

Заметим, что для решения целых неравенств вида hello_html_m20b83f23.gif также можно применять изложенный алгоритм, заменив пункт 2 в нём следующим образом: корни функции hello_html_m140f55e1.gif, hello_html_2c90949f.gif обозначить сплошными точками в случае нестрогого неравенства и полыми – в случае строгого.

Особое значение метода интервалов определяется тем фактом, что он является практически единственным алгебраическим методом школьной программы, который может применяться при решении соотношений любого из указных в таблице 1 классов соотношений. Причём это касается как канонических и неканонических соотношений, содержащих “чистые” классы функций, так и смешанных соотношений. Наиболее эффективно применение метода интервалов при решении смешанных соотношений с дробями.

























3. Иррациональные соотношения

Под иррациональными соотношениями в школьной математике, понимают соотношения, содержащие несокращаемые дробные показатели степени неизвестной или её комплексов. Каноническими иррациональными соотношениями назовём соотношения вида hello_html_7b4bfb5e.gif , где hello_html_5f077d73.gif - один из знаков сравнения. Эти соотношения (которые в подавляющем большинстве случаев используются при k=1) допускают применения эквивалентных схем, излагаемых ниже. Заметим, что при решении иррациональных соотношений, как правило, применяют операцию их возведения в целую степень, которая в общем случае не является равносильной! В этой связи необходимо хорошо усвоить условие равносильности этой операции (неотрицальность левой и правой частей соотношения), а также необходимость обязательного вычисления ОДЗ в случае неканонических и смешанных иррациональных соотношений. Ниже предлагаются эквивалентные схемы преобразований иррациональных соотношений (обозначение аргумента опускается):

C.3.1. hello_html_m1f7b5110.gifC.3.2. hello_html_7d4a9c2d.gif

Следует заметить, что в схемах C.3.1, C.3.2 JLP соотношений учитывается автоматически.

C.3.3. hello_html_m4822a308.gifC.3.4. hello_html_m753bbd88.gif

C.3.5. hello_html_m4fdd2860.gif

Иррациональные соотношения вида hello_html_m5c798c96.gif могут быть решены равносильно, если в них выделить неотрицательные левые и правые части путём перенесения слагаемых или других равносильных преобразований, а также вычислить их ОДЗ.

Пример 3.1. Решить уравнение hello_html_m433f80fa.gif.

Решение. ОДЗ hello_html_5a973837.gif Перенося второе слагаемое левой части в правую и учитывая неотрицательность обеих частей полученного соотношения, имеем

hello_html_c0ee187.gif

hello_html_m4a0f8902.gif

Ответ: hello_html_m6b3f16e3.gif



Следует отметить, что приведённый ход решения (основанный на принципе равносильных преобразований) является для данного класса задача в общем случае наиболее оптимальным, так как позволяет избежать не только утомительного слежения за потерей или приобретением посторонних корней, но и не менее утомительной проверки решения путём подстановки корней в исходной соотношение.

Пример 3.2. Решить уравнение hello_html_339f0039.gif

Решение. Учитывая нелинейность подкоренных выражений, перенос второго слагаемого левой части в правую – самый короткий путь к решению:

hello_html_m26eae33e.gif

hello_html_19f99517.gif

hello_html_m689ba77f.gif

Ответ: {2}.

Комментарий. Часто множество корней уравнений – конечное множество, и допускает несложный отсев корней. Поэтому иногда этап предварительного вычисления ОДЗ может быть опущен, либо, при необходимости, сделан в ходе последующего решения. Неучёт условия: hello_html_3e585794.gif привел бы к необходимости проверки того, что hello_html_m2354e118.gif – посторонний корень, что достаточно затратно и ненадёжно.

Пример 3.3. решить неравенство hello_html_m4e5eaef1.gif

Решение. Учитывая неканонический вид неравенства, вычислим его ОДЗ: hello_html_19e2fad0.gif Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём его в квадрат:

hello_html_m17e3069b.gif (изменение ОДЗ!)

hello_html_784dba8f.gif



hello_html_m65caaff3.gif

Ответ: hello_html_22b7ec45.gif

Комментарий. С одной стороны, предварительное вычисление области определения здесь помогает отсеять посторонние корни интервала hello_html_204b3911.gif, а с другой – не гарантирует от появления посторонних корней hello_html_7a599a97.gif в случае неиспользования равносильной схемы 3.3.

Для рассматриваемых неканонических иррациональных соотношений часто удаётся подобрать замену переменных, позволяющую упростить их решение. Рассмотрим решение примера 3.3 методом, использующим замену переменных:

hello_html_m72b546b9.gif

C учётом введенной замены получим

hello_html_m2a8f485f.gif

hello_html_a22f58a.gif

Возвращаясь к переменной x, получим:

hello_html_468f3870.gif

Пример 3.4. При каких hello_html_m734afb91.gif уравнение hello_html_m346a56f7.gif имеет решение?

Решение: hello_html_m8400eca.gif

т.е. уравнение имеет решение при hello_html_m247e797d.gif

Ответ: hello_html_ea35621.gif







Пример 3.5. Решить уравнение hello_html_m28a5672d.gif

Решение: 1)При hello_html_516b0bce.gif уравнение принимает вид hello_html_m5f50b8ff.gif решениями которого являются все hello_html_m304b59ea.gif

2)При hello_html_27ca5b09.gif исходное уравнение путем равносильных преобразований переходит в систему hello_html_m5efea34d.gif

Из неравенства hello_html_m1d0cad54.gif следует, что hello_html_m5904b298.gif является решением исходного уравнения только при hello_html_5c27df6e.gif

Уравнение hello_html_3dd8aa64.gif путем равносильных преобразований переходит в систему hello_html_1c8e5c57.gif

hello_html_3e6b2bcc.gif удовлетворяет неравенствам hello_html_m1d0cad54.gif и hello_html_m50d48e08.gif при hello_html_5c27df6e.gif

Ответ: при hello_html_7c434d09.gifhello_html_e241457.gifØ;

при hello_html_516b0bce.gifhello_html_28cd3394.gif

при hello_html_63b4b224.gifhello_html_69a729db.gif

Пример 3.6. При каких hello_html_m734afb91.gif уравнение hello_html_m6bebd7d3.gif имеет два корня?

Решение: hello_html_m7e5a83c9.gif

Корни уравнения hello_html_m71d298a0.gifhello_html_m1e15fa12.gif существуют и различны при hello_html_m208774db.gif. Для существования двух решений исходного уравнения достаточно выполнения условия hello_html_127809aa.gif

Ответ: hello_html_59c844bf.gif







Пример 3.7. При каких значениях параметра hello_html_m734afb91.gif уравнение hello_html_m71231433.gif имеет два различных решения?

Решение: hello_html_3b16b5f4.gif

Пусть hello_html_m233fe9a7.gif Значения hello_html_m734afb91.gif, при которых уравнение hello_html_mbc071d9.gif имеет два решения, удовлетворяющих условию hello_html_m24d5ec2c.gif находим из системы hello_html_m514923c7.gif

Ответ: hello_html_m714af449.gif

Пример 3.8. При каких hello_html_m734afb91.gif уравнение hello_html_5217d67b.gif имеет единственное решение?

Решение: Выполним равносильные преобразования исходного уравнения hello_html_m3a77c241.gif

Пусть hello_html_m1d4cfb13.gif Уравнение вида hello_html_mbc071d9.gif имеет единственное решение, если hello_html_mf1fc98d.gif Т.к. при hello_html_m324204af.gifhello_html_8340ef1.gif то и исходное уравнение имеет единственное решение hello_html_m148012cc.gif при hello_html_245547dc.gif

Исходное уравнение будет иметь единственное решение еще и тогда, когда один корень уравнения hello_html_mbc071d9.gif удовлетворяет неравенству hello_html_4a750bb2.gif Значения hello_html_m734afb91.gif найдем из условия hello_html_609e3820.gif

Т.о., исходное уравнение будет иметь единственное решение при hello_html_72184e0e.gif

Ответ: hello_html_55998b7b.gif

Пример 3.9. Решить неравенство hello_html_588f6a05.gif

Решение: 1)Если hello_html_m42c1f20a.gif то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х, т.е. при hello_html_m34a7818e.gif

Т.о., при hello_html_138d31ab.gifhello_html_3b0d010f.gif

2)Если hello_html_m772e5e61.gif то исходное неравенство путем равносильных преобразований переходит в двойное неравенство

hello_html_1e639a52.gif

Ответ: при hello_html_m2c80d876.gifhello_html_m47600617.gif

при hello_html_m5b81dbfc.gifhello_html_m9bf12be.gif

Пример 3.10. Решить неравенство hello_html_243ff598.gif

Решение:1) Очевидно, при hello_html_19789f1e.gif неравенство не имеет смысла.

2)Проведем равносильные преобразования исходного неравенства:

hello_html_55277ae7.gif

Если hello_html_m3e25804b.gif то, учитывая что при этом hello_html_m517ecad3.gif и hello_html_m7e2a456e.gif из первой системы совокупности hello_html_m15cdd2f1.gif а из второй - hello_html_m1a0a4b3e.gif объединив которые, получим решение исходного неравенства hello_html_m1966cbcc.gif

Если hello_html_m49ed27a8.gif то, учитывая что при этом hello_html_m3bc1a8d.gif из первой системы совокупности hello_html_m40b5b17d.gif а из второй - hello_html_63605106.gif объединив которые, получим решение исходного неравенства hello_html_mfee71ea.gif

Ответ: при hello_html_m7435cea7.gif решений нет;

при hello_html_m16265e87.gifhello_html_m6f2f41af.gif

при hello_html_aaddaef.gifhello_html_mfee71ea.gif

































4. Модули

Для решения элементарных соотношений с модулем вида hello_html_2086f621.gif, а также соотношений вида hello_html_53540098.gif используются следующие равносильные схемы и алгоритмы.

Определение модуля:

hello_html_m742f6b9.gif

C.4.1. hello_html_43a58f27.gif

C.4.2. hello_html_m652f04bb.gifC.4.2.1. hello_html_2882beac.gif

C.4.2.2. hello_html_2eb9be0d.gif

C.4.3. hello_html_m792ce84d.gif

В случае соответствующего уравнения используется следующая модификация схемы C.4.3:

C.4.3.1. hello_html_m47e9fa70.gif

C.4.4. hello_html_m73ea01bf.gif

C.4.5. hello_html_m1327eac8.gif

Для решения соотношений вида hello_html_53540098.gif большую эффективность при практической реализации показывает следующий алгоритм.

Алгоритм интервального анализа

  1. Найти корни hello_html_58b969cf.gif всех подмодульных выражений hello_html_334d95b7.gif, решив уравнение

hello_html_m3b7246a.gifрасположить их по возрастанию на числовой оси hello_html_a6e48f.gif .

  1. Раскрыть модули в исходном соотношении по определению, предварительно выполнив возможные hello_html_39fde886.gif графические построения с целью определения знаков подмодульных выражений.

  2. В соответствии с логической схемой:



hello_html_m6ba87ed1.gif

решить исходное соотношение. (Здесь знак “hello_html_6dfab55e.gif” означает две логические независимые возможности появления

одного из арифметических знаков в зависимости от знака конкретного подмодульного выражения на текущем

интервале.) Основное назначение приведённых схем и алгоритма заключается в освобождении соотношения от функции модуль путём перехода в равносильному множеству соотношений. Если функция hello_html_6160b95d.gif и hello_html_m33e42144.gif являются многочленами (а это наблюдается чаще всего), дальнейшее решение определяется возникающими системами и совокупностями многочленов.



Пример 4.1. Решить уравнение hello_html_2a9c7783.gif

Решение. Реализуем изложенный выше алгоритм интервального анализа.

  1. hello_html_74212ec3.gif – корни подмодульных выражений.

  2. Сделаем вспомогательное построение (рис. 4.1), изобразив графики подмодульных функций.





hello_html_m170f53df.gif

hello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_m6d05886d.gif

hello_html_m141f5903.gif -1 0 1 x

Рис. 4.1

Заметим, что здесь рисунок несёт существенную смысловую нагрузку, так как позволяет определять знаки подмодульных выражений, не подставляя конкретные числовые значения в них.















3.

hello_html_28597ca.gif

Ответ: hello_html_m24881965.gif.

Пример 4.2. Решить уравнение hello_html_m52e091ba.gif

Решение: Учитывая определение модуля, проведем равносильные преобразования hello_html_m2ffac661.gif

Ответ: при hello_html_m774a856a.gif решений нет;

при hello_html_516b0bce.gifhello_html_396a7cec.gif

при hello_html_m5503454.gifhello_html_m2b362fe3.gif

Пример 4.3. Решить неравенство hello_html_4f3cd384.gif

Решение: hello_html_m45079376.gif

Ответ: hello_html_m37408d5e.gif

Пример 4.4. Решить неравенство hello_html_1570607b.gif

Решение: hello_html_426ffd9.gifОтвет: hello_html_5358ffe6.gif

Пример 4.5. Решить неравенство hello_html_16ca8d01.gif

Решение: hello_html_m1e232ec5.gif

Ответ: hello_html_m36ebfdcd.gif

Пример 4.6. Решить неравенство hello_html_m3d170ed1.gif

Решение: hello_html_m93148cc.gifhello_html_51bce2c.gif

Ответ: hello_html_10726d10.gif

Пример 4.7. Решить неравенство hello_html_58cc6a45.gif

Решение: hello_html_1e2cb841.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: hello_html_m7c598919.gif

Пример 4.8. Решить уравнение hello_html_m1792c1dd.gif

Решение: hello_html_m36e66ebb.gif





Ответ: при hello_html_m74a50f6e.gifhello_html_7043f081.gifhello_html_41ebcff5.gif

при hello_html_1d5c738f.gifhello_html_63e6f3a1.gif

Пример 4.9. Решить уравнение hello_html_60b2e257.gif

Решение: Точки hello_html_m6d656e30.gif и hello_html_1650089b.gif разбивают числовую ось на три промежутка.

1)При hello_html_m105e4fb4.gif Тогда hello_html_mda167cb.gif и уравнение принимает вид hello_html_m57083d67.gif Т.к. hello_html_m31d26efc.gif то hello_html_m398fb704.gif

Значит, при hello_html_m219b6cad.gif уравнение имеет одно решение hello_html_2f14e1a8.gif

2)При hello_html_4c46c320.gif. Тогда hello_html_m2278b6a0.gif и уравнение принимает вид hello_html_m3b3b408b.gif Уравнение решений не имеет.

3)При hello_html_17da7c45.gif Тогда hello_html_mefa4ee2.gif и уравнение принимает вид hello_html_m3f690562.gif Т.к. hello_html_5db43c37.gif то hello_html_m61176d8f.gif Значит, при hello_html_m219b6cad.gif уравнение имеет одно решение hello_html_m44a499f4.gif

Ответ: при hello_html_m219b6cad.gif уравнение имеет одно решение hello_html_m690df652.gif или hello_html_m2dd9418d.gif;

при hello_html_58bc12da.gif уравнение решений не имеет.

Пример 5.0. Найти все значения параметра hello_html_6cdccad.gif при которых при любых значениях параметра hello_html_559071c1.gif уравнение hello_html_1b7f343b.gif имеет хотя бы одно решение.

Решение: Воспользуемся известным свойством модуля:

hello_html_m1f8d6a5e.gif и hello_html_m6d792caf.gif

При hello_html_38ec1c6.gif левая часть уравнения не зависит от hello_html_559071c1.gif и равна hello_html_m3e60f0af.gif поэтому hello_html_7033e88.gif удовлетворяет условию задачи. hello_html_2310ecd3.gif единственно возможное значение параметра hello_html_50edaa4f.gif Т.к. если hello_html_m31fc4ef9.gif, то при hello_html_m24a72e12.gif имеем hello_html_m3647bf93.gif а при hello_html_m60a17774.gif и hello_html_mc3cb252.gif имеем hello_html_m1b0df9d2.gif Значит, что при hello_html_393c9827.gif существуют значения hello_html_416112a7.gif при которых уравнение не имеет решений.

Ответ: hello_html_m705525df.gif



При решении соотношений с модулем полезно помнить и уметь использовать следующие свойства модуля:

hello_html_76257622.gif

hello_html_m2f674914.gif

hello_html_62dca103.gifhello_html_m26dcda9c.gif.

Следует обратить внимание на следующий факт:

пусть hello_html_6ee975e.gif

Тогда hello_html_6b347b5d.gif

Т.е., если hello_html_18cf0010.gif то на множестве hello_html_465b1232.gif неравенства hello_html_maf0b8af.gif и hello_html_m42ee36f2.gif равносильны. Это можно обобщить на произведение и частное функций.

























5. Тригонометрические соотношения

Тригонометрия является одним из разделов математики, насыщенным формулами и преобразованиями, тождественными на области их определения. В этой связи при решении тригонометрических соотношений необходимо: 1) с помощью тождественных преобразований привести их к каноническому виду (см. таблицу 1); 2) осуществлять контроль возможного изменения ОДЗ соотношения. Ниже предлагаются методические модификации записи решений канонических тригонометрических соотношений в стиле рекомендуемой системы приёмов.

hello_html_1869e83b.gif

hello_html_18bd633a.gif

hello_html_6f712c46.gif

hello_html_m10f9c0de.gif

Приведённые записи решений тригонометрических уравнений не исключают обязательного знания решения частных случаев тригонометрических уравнений типа hello_html_m3e183496.gif

Полезно, кроме того, знать схемы решения элементарных тригонометрических неравенств:

hello_html_m2c724f55.gif

hello_html_5f77c7f2.gif

hello_html_m5a2d64d0.gif

hello_html_m2808a5cf.gif

hello_html_531d501d.gif

hello_html_225cbfc1.gif

hello_html_m2341ad07.gif

hello_html_m3060c44e.gif

При решении элементарных тригонометрических уравнений вида hello_html_423b99ca.gif

hello_html_69a6af50.gif используются формулы тождественных преобразований сумм и разностей одноимённых тригонометрических функций различных аргументов. Существуют, однако, более эффективные равносильные алгоритмы решения таких задач, излагаемых ниже в виде следующих равносильных схем.

C.5.1. hello_html_m10bc15e.gif

C.5.2. hello_html_m3544f4d4.gif

C.5.3. hello_html_5db8ec6d.gif

C.5.4. hello_html_28d2d6ec.gifhello_html_2fb08819.gif

Уравнение вида hello_html_63547075.gifсводятся к предыдущему с использованием формул приведения.

При решении тригонометрических соотношений кроме тригонометрических формул тождественных преобразований важно знать немногочисленные стандартные алгоритмы решения, некоторые из которых приводятся ниже:

hello_html_m31108766.gif

hello_html_m3cac0ee.gif

hello_html_m2212f589.gif

Где hello_html_15381555.gif

Приведённый выше алгоритм прост в реализации, однако, при проверке полученных по нему решений, приводит к значительным осложнениям. Нижеследующий алгоритм не обладает указанным недостатком.

hello_html_67ddd116.gif

hello_html_m78d42145.gif

hello_html_m401b7b04.gif



В общем случае, с помощью универсальной тригонометрической подстановки hello_html_3fa2a2e0.gif, тригонометрическое соотношение вида hello_html_m5d4a70a.gif –рациональная функция, сводятся к рациональной функции переменной hello_html_14394688.gif по формулам:

hello_html_m1da23c5a.gif

hello_html_72849ad7.gif

Последнее ограничение говорит о возможном сужении ОДЗ исходного соотношения, что требует аккуратного применения универсальной тригонометрической подстановки. Кроме того, её применение приводит к уравнениям высокой степени относительно переменной t.

Пример 5.1. Решить уравнение hello_html_m3a24b5ab.gif

Решение.

hello_html_m41c97c9.gif

hello_html_6e940083.gif

hello_html_450705c8.gif

Отмечая полученные серии решений на тригонометрическом круге, можно заметить, что серия hello_html_m444c2817.gif включается в серию hello_html_38acfaf5.gif,а серия hello_html_5afad6c6.gif – в серию hello_html_m4512bc98.gif. Поэтому получаем

Ответ:hello_html_73f8eac.gif

Заметим, что решение большинства тригонометрических соотношений допускает несколько вариантов решения благодаря многочисленности формул тождественных преобразований. Вместе с тем, приведённый

Пример показывает, что если известно, куда “плыть” (см. рекомендации в табл.1,2), то выбор метода решения значительно облегчается.



Пример 5.2. Решить уравнение hello_html_m4307ec07.gif

Решение: Данное уравнение относится к однородному уравнению второй степени относительно синуса и косинуса.

hello_html_m6e8c43b8.gif

Ответ: hello_html_24f6c971.gif



Пример 5.3. Решить уравнение hello_html_m6c319dd0.gif

Решение: Данное уравнение относится к симметрическим тригонометрическим уравнениям относительно синуса и косинуса ( при взаимообмене функций уравнение не меняет прежнего вида). В этом случае удобно применить замену hello_html_m26424a43.gif тогда hello_html_m6897e8e1.gif В этом случае получим алгебраическое уравнение относительно hello_html_m1fbd1905.gif

hello_html_4a847c23.gif

Выполнив обратную замену, получим hello_html_m255d53ef.gif

Ответ: hello_html_m140b204e.gif





Пример 5.4. Найти все значения параметра hello_html_6cdccad.gif при которых уравнение hello_html_63a55bff.gif не имеет решений.

Решение: hello_html_36e82b53.gif

Очевидно, что уравнение не имеет решений, если hello_html_m6b2aaf23.gif

Ответ: при hello_html_5dc717ab.gif

Пример 5.5. Решить уравнение hello_html_da3522b.gif

Решение: hello_html_3518287b.gif

Ответ: hello_html_m1c339373.gif

Пример 5.6. Решить уравнение hello_html_m7e49a1e.gif

Решение: hello_html_m71ff35c1.gif

Первое уравнение сводится к следующему hello_html_m2433b4.gif

Для решения второго уравнения совокупности введем новую переменную:

Пусть hello_html_6618ee9d.gif тогда hello_html_m5fca6782.gif

Второе уравнение совокупности примет вид hello_html_68dedc67.gif

Выполняя обратную замену, получим hello_html_610e39df.gif



Ответ: hello_html_766c60b4.gif

Необходимо учесть, что встречаются тригонометрические уравнения или неравенства, которые удобнее решать с помощью использования свойств функций. Эта палочка-выручалочка помогает решать зачастую в крайних случаях.

Пример 5.7. Решить уравнение hello_html_72686fec.gif

Решение: Учитывая ограниченность синуса, можно сделать следующий вывод: левая часть уравнения принимает значение 2, если оба слагаемых одновременно равны единице. Отсюда hello_html_m3720a483.gif

Ответ: hello_html_m1ebaddaa.gif

Пример 5.8. Решить уравнение hello_html_mf4216cd.gif

Решение:

hello_html_m73e6ff99.gif

Ответ: hello_html_m6fc64ef0.gif







Пример 5.9. Решить уравнение hello_html_2adf7965.gif

Решение:

hello_html_26a6f610.gif

Ответ: hello_html_m24b78bb1.gif

Пример 5.10. Решить уравнение hello_html_4d68f907.gif

Решение: Учитывая свойства ограниченности синуса и косинуса, получаем, что левая часть уравнения не превышает 16, а правая – не превосходит 16. Значит, в этом случае уравнение путем равносильных преобразований перейдет в систему уравнений.

hello_html_5bd40ed7.gif

Ответ: hello_html_44deb592.gif



  1. Логарифмические и показательные соотношения

Логарифмические соотношения начинают изучаться в школе достаточно поздно и вызывают определённые трудности у абитуриентов при сдаче вступительных экзаменов. Зачастую школьники просто не успевают обобщить в принципе несложный материал. Ниже известные из школьной программы свойства логарифмов обобщаются на случай произвольных функций hello_html_122a90b3.gif аргументы которых опускаются.

1. При hello_html_m5789ee14.gif

hello_html_m6183743b.gif– основное логарифмическое тождество.

2. При hello_html_26932ab7.gif

hello_html_63fb86a5.gif – логарифм произведения.

3. При hello_html_m7fc2cd25.gif

hello_html_1b81c8cf.gif – логарифм частного.

4. При hello_html_me5cc9a6.gif

hello_html_m2f0303c8.gif -правило освобождения от степеней аргумента и основания.

4.1 При hello_html_4c52b868.gif

5. При hello_html_m254af88.gif

hello_html_6aea3099.gif – правило перехода в новому основанию.

5.1. При hello_html_5176cf48.gif

Ниже приводятся равносильные схемы решения канонических логарифмических соотношений:

C.6.1. hello_html_m5714021.gif

C.6.2. hello_html_19333e13.gif

C.6.3. hello_html_51121f34.gif

А также канонических показательных соотношений:

C.6.4. hello_html_738fdfe5.gif

(здесь символ “D” означает область определения)

C.6.5. hello_html_m191a24b.gif

C.6.6. hello_html_m29bcf52c.gif

Замечание. Схемы C.6.1-6.6 значительно упрощаются, если функция hello_html_m79053516.gif являются константами. Равносильные схемы для знаков нестрогих неравенств легко получить самостоятельно.

Пример 6.1. Решить неравенство hello_html_maa70f09.gif

Решение.

hello_html_m2a591e8d.gif

hello_html_159b883c.gifhello_html_57b0b79.gifhello_html_m144ee50.gif

hello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_m47aae18c.gifhello_html_m316bdc45.gifhello_html_m2f8e0b97.gifhello_html_m316bdc45.gifhello_html_7d0c714c.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m7fea033a.gifhello_html_m59b415ee.gif

hello_html_108734f4.gifX1 X2 1 x



-1 X1 0 X4 X2 1 x

Объединяя изображенные на рис. 6.1 множества, получаем

Ответ: hello_html_2e5b3cca.gif



Пример 6.2. Решить уравнение hello_html_m98195bd.gif

Решение: hello_html_m7cfb5f6f.gif

Ответ: hello_html_m27c2d30d.gif

Пример 6.3. Решить уравнение hello_html_3b1eef5c.gif

Решение:

hello_html_m373cb4f6.gif

Ответ : hello_html_1f0f7845.gif

Пример 6.4. Решить уравнение hello_html_m274029c8.gif

Решение: Левая часть уравнения представляет собой убывающую функцию, значит, исходное уравнение если имеет, то это решение единственное.

Проверка показывает, что решением исходного уравнения является число - 1.

Ответ: - 1.



Пример 6.5. Решить неравенство hello_html_35a664cc.gif

Решение: Учитывая следующее правило: знак разности hello_html_7e7563cf.gif совпадает со знаком произведения hello_html_m3c4750f9.gifисходное неравенство при равносильных преобразованиях принимает вид hello_html_m17b4a13b.gif

Ответ: hello_html_64045442.gif

Пример 6.6.











Глава II. Применение технологии равносильных преобразований для анализа и решения смешанных классов алгебраических соотношений


Приведенные в главе I классификация алгебраических соотношений и методы их решения позволяют систематизировать их и разделить на несколько классов по уровню сложности и конкурсности.

I. Стандартные конкурсные - это соотношения, в которых:

1) помимо многочленов присутствуют несколько (как правило, от одного до трех) классов функций, перечисленных в таблице 1 главы I;

2) методы их решения изучаются в рамках общеобразовательной школьной программы и не выходят за пределы перечисленных в таблице 2 главы I.

II. Нестандартные конкурсные - это соотношения, методы решения которых не выходят за рамки школьной программы, но требуют применения неформальных процедур предварительного или контекстного анализа (поиск удачной замены переменных или использование свойств функций для получения решения, разделение области определения на подобласти, в которых соотношения допускают существенные упрощения и тому подобное).

III. Олимпиадные (исследовательские) - это задачи или соотношения, для решения которых, как правило, используются неформальные процедуры постановки задачи, построения ее математической модели, использование общенаучных или частных методов решения, не изучаемых систематически в общеобразовательной школе.

Заметим, что данное пособие ориентировано на подготовку к решению соотношений преимущественно первого и второго класса, хотя предлагаемые методы могут быть полезны и для анализа более сложных нестандартных и олимпиадных задач. Ниже предлагается следующий типовой алгоритм анализа и решения алгебраических соотношений I и II классов.

  1. Выявить классы функций, входящих в соотношения, их системы и совокупности. Определить каноничность (неканоничность соотношения в соответствии с таблицей 1 главы I.

  2. Если соотношение имеет канонический вид, то применить для освобождения от соответствующего класса функций методы изложенные в таблице 2 главы I.

  3. Если соотношение имеет неканонический вид, то оценить возможность свести его к каноническому с помощью равносильных действий (перенос слагаемых, приведение общего знаменателя, равносильные замены переменных, выделение знакоопределенных выражений и т. п.), изложенные в таблице 2 главы I.

  4. Если указанные в п. 3 равносильные действия найти не удается, то использовать неравносильные действия с обязательным контролем ОДЗ или другие неформальные действия (подходящие замены переменных, использование свойств функций, анализ области определения и другие).

Заметим, что в последнем случае алгебраическая задача должна считаться «трудной», нестандартной, исследовательской, творческой, и отнесение ее к конкурсному типу вступительных экзаменов сомнительно.

Ниже рассматриваются примеры решения алгебраических соотношений, большинство из которых использовались в билетах вступительных экзаменов в ВУЗы. Все анализируемые задачи можно отнести к типу (I) стандартных конкурсных заданий. В скобках приведены номера классов функций в соответствии с классификацией таблицы I.

Иррациональная дробь (2-3)

hello_html_m2a884173.gif

Решение. Дробно-иррациональное неравенство можно свести к канонической дроби путём переноса слагаемого и приведения общего знаменателя, то есть равносильно.

hello_html_51c21cb.gif

1) корни знаменателя: hello_html_m39efa868.gif

2) корни числителя:

hello_html_m49dd8816.gif

hello_html_17080fce.gif

Отметим корни на оси абсцисс и реализуем метод интервалов. Кроме того, учитывая, что исходное неравенство имеет смешанный, дробно-иррациональный вид, вычислим его ОДЗ (см. рекомендацию в табл. 2):

hello_html_m295748e5.gifhello_html_m295748e5.gifhello_html_m11e9d9c4.gif

_ + _

X3 -5 1 X4 x

Ответ: hello_html_37cfbfde.gif.





















Модульная дробь (2-4)

hello_html_m6d6a1e74.gif

Решение. Данное неравенство можно привести в канонической дроби и применить метод интервалов:

hello_html_53e0836d.gif

1) корни знаменателя:

hello_html_m77a10af5.gif

hello_html_m798ae183.gif Применим метод интервального анализа (см. раздел 4 гл.I):

hello_html_m280f20fa.gif

hello_html_1b5f491c.gif

Изображая корни числителя и знаменателя на оси абсцисс, получим





hello_html_me5152a6.gif _ + _ _ + _

X8 hello_html_14919cf1.gif 0 hello_html_m60473be8.gifx9

Ответ: hello_html_m2754a5a6.gif













Тригонометрическая дробь (2-5)

hello_html_62c3f63b.gif

Решение. Сведём уравнение к канонической дроби (табл. 1):

hello_html_m3f65c44d.gif

Решим 1-е уравнение системы сведением к квадратному относительно выражения hello_html_75980659.gif

hello_html_18014581.gif

hello_html_5feee614.gif

hello_html_ma465b67.gif – посторонняя серия, так как hello_html_26761305.gif

Ответ: hello_html_m51ae4d88.gif































Логарифмическая дробь (2-6)

hello_html_33355cc1.gif

Решение. Данное неравенство является неканоническим логарифмом. В соответствии с рекомендациями табл. 2, с целью сведения неравенства к каноническому логарифму, используем свойство 5.1 логарифмом (гл. I):

hello_html_m7d2eb884.gif

Заметим, что, пытаясь получить канонический логарифм, мы получили каноническое дробное неравенство (табл. 1). Эта особенность неканонических логарифмических соотношений связана с частным использованием важного свойства 5 логарифмов. Решим последнее неравенство методом интервалов (табл. 2):

1) корни знаменателя:

hello_html_6d786fe2.gif

2) корни числителя:

hello_html_m64999cb4.gif

hello_html_m29011c74.gif

что даёт решение (по методу интервалов): hello_html_77b411d8.gif. Так как исходное неравенство было неканоническим логарифмом, то в соответствии с рекомендацией табл. 2 необходимо ещё вычислить его ОДЗ:

-1<x<5. С учётом ОДЗ получаем окончательный

Ответ: hello_html_7d721de5.gif

















Дробная иррациональность (3-2)

hello_html_1878bc15.gif

Решение. Иррационально-дробное неравенство имеет вид канонической иррациональности: hello_html_31338662.gif

hello_html_me41f61e.gif

hello_html_m5f2f217e.gif

  1. hello_html_576cf212.gifhello_html_51d97476.gifhello_html_m5bd45f3b.gif (II)



X3 0 X4 2/3 x 0 X5 2/3 x

Объединяя решения систем (I) и (II), получим

Ответ: hello_html_m289e825a.gif

























Модульная иррациональность (3-4)

hello_html_580f9ab2.gif

Решение. Каноническая иррациональность решается по C.3.1:

hello_html_3940decc.gif

Ответ: hello_html_5bf81666.gif



Тригонометрическая иррациональность (3-5)

hello_html_m31298351.gif

Решение. Уединяя радикал, получим следующее каноническое иррациональное уравнение:

hello_html_m25009ef8.gif

hello_html_m454a83cf.gif

hello_html_m5cf5b89b.gif

hello_html_m240e6115.gif

Произведём отбор корней с учётом ограничения hello_html_56298929.gif

hello_html_m15b69470.gif

hello_html_3d039851.gif

hello_html_23115d06.gif

hello_html_m36054c86.gif

hello_html_67693852.gif

hello_html_459f6093.gif

hello_html_m461b266f.gif не удовлетворяет ограничению при всех m;

hello_html_m328869ba.gif

hello_html_m581e6035.gif

hello_html_20bd201b.gif

hello_html_15233399.gif

Ответ:hello_html_583228ad.gif



Логарифмическая иррациональность (3-6)

hello_html_m456126ab.gif

Решение. Решим каноническое иррациональное неравенство, использовав С.3.5:

hello_html_413f33c.gif

hello_html_5d91bc6d.gif

Решим неравенство по hello_html_212ce6b3.gif Тогда

hello_html_43f697e7.gif

hello_html_m6bcfc636.gif

Ответ: hello_html_3a4dc946.gif



Дробный модуль (4-2)

hello_html_674fcedf.gif

Решение: Данное неравенство можно рассматривать как канонический модуль вида hello_html_e0daed6.gif

hello_html_13b91c59.gif.

Решим каждое из неравенств системы отдельно.

hello_html_m2a975bd.gif

1) корни знаменателя: hello_html_9eb5f21.gif

2) корни числителя:

hello_html_35d807f2.gif

Решение (I) методом интервалов даёт hello_html_m775eac37.gif

(II). hello_html_6a74016e.gif

1) корни знаменателя: hello_html_74ddbd1a.gif

2) корни числителя:

hello_html_6bcea469.gif

Решение (II) методом интервалов даёт hello_html_6d7f8eca.gif

Тогда hello_html_m5b297b92.gif

Ответ: hello_html_72798954.gif







Иррациональный модуль (4-3)

hello_html_m7252cb7.gif

Решение. Имеем канонический модуль вида hello_html_7e7db7b4.gif который решается в соответствии с рекомендациями таблицы 2:

hello_html_77211455.gif

hello_html_3466a4c4.gif

Ответ: hello_html_m1d3ea431.gif



Тригонометрический модуль (4-5)

hello_html_m7932e63e.gif

Решение. Имеем канонический модуль. По C.4.1 (определение модуля) получим

hello_html_m627be502.gif

hello_html_m2008b6d0.gif

hello_html_m1191ed4f.gif

C учётом ограничений hello_html_3babbee5.gif и hello_html_5765eb46.gifобе серии hello_html_m31a18b52.gif и hello_html_m31dc2c63.gif – посторонние корни.

(2) hello_html_2d7af2db.gif Аналогично (1) получаем hello_html_14403958.gif

hello_html_747df6e5.gif

C учётом ограничений hello_html_6a0506d2.gif обе серии hello_html_me2afce.gif и hello_html_m6e3a77c9.gif – посторонние корни.

Ответ:hello_html_31ccd464.gif



Логарифмический модуль (4-6)

hello_html_5a62357d.gif

Решение. Исходное неравенство – канонический модуль. По C.4.5 получаем

hello_html_mf8fef9c.gif

Решим каждое неравенство совокупности отдельно:

hello_html_m47968706.gif

По аналогии с примером п. 2-6 (логарифмическая дробь), применяя свойство 5.1 логарифмов, получим:

hello_html_30875de6.gif

Последнее неравенство – каноническая дробь. Решение – методом интервалов:

1) знаменатель:

hello_html_m269d9017.gif

hello_html_m7fa30339.gif

2) числитель:

hello_html_3ac46456.gif

Решение методом интервалов, с учётом ОДЗ неравенства, даёт hello_html_74b67e26.gif Заметим, что прямое вычисление ОДЗ необходимо, так как исходное неравенство (I) имеет смешанный вид и включает логарифм (табл. 2).

hello_html_m76e90d97.gif

hello_html_m2d0a5928.gif

Метод интервалов:

1) знаменатель: hello_html_m3a6be872.gif

2) числитель: hello_html_2fe63d93.gif

Корень последнего кубического уравнения hello_html_m7ae17269.gifможно найти подбором среди делителей свободного коэффициента (табл. 2). По теореме Безу получаем остальные корни числителя hello_html_m775dff7f.gif. C учетом ОДЗ решение (II) методом интервалов даёт hello_html_m6fab520.gif

Решение совокупности (I), (II) тогда имеет вид hello_html_74b67e26.gif

Ответ: hello_html_m1c58dfbc.gif



О конкурсных тригонометрических соотношениях

Отметим, что смешанные тригонометрические соотношения , то есть соотношения, в которых аргументами тригонометрических функций являются отличные от линейных многочленов функции, в конкурсных задачах практически не встречаются. Значительно чаще встречаются тригонометрические соотношения с линейными аргументами, в которых необходимо произвести отбор корней в соответствии с заданным условием. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 5.1. Решить уравнение sin23x=cos24xпри условии cos3x<0

Решение. sin23x=cos24x (sin3x-cos4x)(sin3x+cos4x)=0

hello_html_m7c7f9e92.gif

hello_html_6f712e6e.gif

Для отбора корней в соответствии с условием cos3x<0 используем тригонометрический круг с осью абсцисс 3x. Для этого пересчитаем полученные серии корней, умножив их на 3:

  1. hello_html_340cece1.gif не удовлетворяет ограничению при всех hello_html_672d9a34.gif

  2. hello_html_62a8d709.gif

hello_html_m6343172c.gif

hello_html_m4f595d17.gif

hello_html_1144e957.gif

hello_html_14d3ac31.gif

hello_html_m24720f83.gif

hello_html_3b07ee65.gif

hello_html_79f8d6cc.gif

  1. hello_html_5fee7658.gif не удовлетворяет ограничению при всех hello_html_m7239871a.gif

hello_html_m681fcf73.gif

hello_html_74c783fd.gif

hello_html_7b4f8abc.gif

hello_html_73cac798.gif

hello_html_4ad8832d.gif

hello_html_68f11de5.gif

hello_html_3b121b34.gif



Ответ:

hello_html_m65803d82.gif

hello_html_m29daa76e.gif















Дробный логарифм (6-2)

hello_html_m5b97de06.gif

Решение. Данное неравенство легко превращается в канонический логарифм с использованием свойства 4.1 логарифмов:

hello_html_61f1db18.gif

hello_html_2acb2a03.gif

Ответ: hello_html_2094ca2c.gif









































Иррациональный логарифм (6-3)

hello_html_m4adf2f92.gif



Решение. Приводя к каноническому логарифму, получим

hello_html_44ef0a86.gif

hello_html_45d90ed2.gif

hello_html_52541338.gif

hello_html_1d27e4d4.gif hello_html_m1f3cc245.gif hello_html_614a4d95.gif



Ответ: hello_html_md2317d7.gif





























Модульный логарифм (6-4)

hello_html_5cc01b39.gif



Решение. Исходное неравенство является каноническим логарифмом. По С.6.2 при φ=1/3 получим

hello_html_m76254a92.gif

hello_html_m7332c68c.gif

hello_html_59e07058.gif

Ответ: hello_html_m13cba8a4.gif





































Тригонометрический логарифм (6-5)

hello_html_997ff1.gif

Решение. Исходное уравнение приводится к каноническому логарифму по свойству

логарифмов 4.1:

hello_html_m5796216d.gif



Ответ: hello_html_m3a93277c.gif, hello_html_m59fa3e50.gif







































ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из основных математических навыков, которые требуются от школьников на практике, является умение решать алгебраические соотношения (уравнения и неравенства). Простой подсчёт тематики конкурсных задач, использующихся на вступительных экзаменах в ВУЗы, показывает, что от 50 до 80% из них – это решение соотношений. К таким задачам относятся не только собственно алгебраические соотношения с многочленами, дробными, иррациональными, модулем, тригонометрическими, логарифмическими функциями, но и задачи параметрического анализа с использованием соответствующих функций, многие текстовые задачи, задачи аналитической геометрии, которые сводятся к решению систем уравнений и неравенств. Следует отметить, что в настоящее время в школьных учебниках алгебры отсутствует единый, аксиоматизированный подход, позволяющий классифицировать и систематизировать знания в этой области. В частности, бросается в глаза некоторый двойной стандарт при изучении алгебраических соотношений. Например, с одной стороны, утверждается, что их решение должно соответствовать принципу равносильности, а с другой – при решении некоторых классов уравнений, допускаются их неравносильные преобразования. При этом предлагается страховать изменения множества корней вычислением области определения, отсевом корней путем подстановки, анализом свойств функции и другими трудно формализуемыми процедурами.

В данной работе изложен подход, который, на взгляд автора, способен эффективно устранить указанные недостатки алгебраической подготовки школьников. В основе указанного подхода лежит системное применение принципа преобразований алгебраических соотношений. Основные элементы данного подхода излагаются в виде следующих положений.

Классификация соотношений. Алгебраические соотношения разбиваются на 6 классов соответствий с входящими в них функциями (многочлены, с модулем, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом из перечисленных классов выделяются соотношения канонического вида, которые могут быть решены с помощью непосредственного применения равносильных методов. Не являющиеся каноническими соотношения в подавляющем большинстве случаев можно привести к каноническим с помощью равносильных преобразований. Исключения могут составить соотношения иррационального и логарифмического класса. Однако в этом случае для большинства конкурсных задач достаточным для неизменности множества корней является вычисление области определения соотношения. К положительной стороне предлагаемой классификации можно отнести малочисленность используемых равносильных методов решения канонических классов: формулы корней, равносильные схемы, метод интервалов. Метод интервалов и является здесь единственным универсальным (применимым для всех классов функций) методом. Список равносильных схем (см. Приложение 1) в каждом из классов не превышает пяти и в принципе может быть ограничен тремя – для уравнения и двух видов неравенств.



Правила вывода (Modus ponens). Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (логическими) операциями – пересечения (логического умножения, логической зависимости) и объединения (логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений). Результатом всякого преобразования является освобождение от одного из присутствующих в исходном соотношении классов функций и, в конечном счете, получение за конечное число равносильных преобразований систем и совокупностей многочленов, как правило, не выше второй степени.

Описанный подход обладает достоинствами быстроты и надежности решения всех классов алгебраических соотношений за счет относительно небольшого набора необходимых теоретических сведений и логической ясности метода, что проявилось на подготовительных курсах, при чтении специальных курсов в гимназиях и школах как обычных, так и с повышенной математической подготовкой. На основе данного подхода теоретически и методически разработан курс обучения школьников решению такого сложного класса алгебраических задач, как задачи параметрического анализа, также апробированный в учебных заведениях и реализованный в виде графоаналитического обучающего комплекса.

Следует отметить, что применение указанного подхода в школе существенно сдерживается отсутствием использования в программе общеобразовательной школы знака совокупности соотношений, что, по сути, означает попытку излагать предмет “Алгебра” без союза «или» и, очевидно, бесперспективно. Автор убежден, что строгое, системное и вместе с тем компактное изложение принципа равносильности без использования символа совокупности, и обратно – эффективное использование равносильных алгоритмов без примата принципа равносильности невозможны.

В настоящее время появилось значительное количество учебных пособий, широко использующих равносильные преобразования соотношений. Вместе с тем понятно, что при отсутствии символа совокупности в программе школы, а также при неявном присутствии упомянутого выше двойного стандарта они не могут радикально повлиять на принятый в школе подход, допускающий использование неравносильных переходов при решении любых соотношений (с комментариями об отборе корней путем подстановки, контроле области допустимых значений соотношения, анализе свойств функций при применении метода замены переменных и т.п). Ниже приводится небольшой список очевидных и вопиющих диспропорций школьной программы по алгебре, которые, на взгляд автора, обусловлены, в частности, непоследовательным использованием принципа равносильности и отсутствием в программе знака совокупности.



  1. Показательные и логарифмические соотношения изучаются лишь во втором полугодии 11-го класса, что неявно обосновывается неоднозначностью логарифмической функции и «сложностью» решения соотношений с ними. Это приводит к тому, что один из наиболее часто встречающихся в конкурсных задачах классов соотношений начинает изучаться только тогда, когда уже требуется завершать процесс систематизации знаний в алгебре. Вместе с тем, указанные соотношения в рамках метода равносильных преобразований ни сложнее, ни проще остальных, если для их решения использовать знак совокупности, что может позволить изучать эту важную тему гораздо раньше, например, в конце 9-го класса школы.

  2. Соотношения с модулем рекомендуется раскрывать без исключения по определению модуля. Тогда как само определение модуля (его раскрытие) приводится через знак системы, что логически запутывает смысл производимых действий, так как этот знак означает логическую зависимость, “одновременность” реализации действий, тогда как подмодульное выражение не может быть одновременно и отрицательным и неотрицательным. С другой стороны, использование знака совокупности, позволяя “выправить” определение модуля, дает возможность использования идеально эффективных, равносильных схем решения как канонических неравенств с модулем, так и неканонических соотношений вида hello_html_m2e90384e.gif.

  3. Заслуживает серьёзной критики, на взгляд автора, раздельное изучение в общеобразовательной школе тем «Уравнения» и «Неравенства» для всех классов соотношений. Дело в том, что при изучении уравнений, как более простого типа соотношений, допускается использование частных, в том числе и неравносильных методов их решения. При этом допустимо использовать такие громоздкие или неформализованные процедуры, как отбор корней, анализ области определения и свойств функции и соотношений, замена переменных и другие, безусловно полезные с точки зрения общематематического образования. Однако заученные формально методы решения уравнений часто некорректно обобщаются учащимися на решение, например, соответствующих неравенств. Использование же схем равносильных преобразований позволяет изучать указанные темы комплексно и непротиворечиво, не разделяя их, и, как показывает практика преподавания, с минимальными временными затратами.

Отметим ещё раз, что приведенный, далеко не полный, список диспропорции обусловлен прежде всего двумя вышеуказанными факторами – несистемным использованием принципа равносильности и знака совокупности при решении алгебраических соотношений.

Таким образом, рассматривая принцип равносильных преобразований как методологическую основу устранения сложившихся диспропорций в программе алгебры общеобразовательной школы, а знак совокупности соотношений – как знак, замыкающий в единое целое алгебраический, теоретико-множественный и логический аспекты школьной математики, сформулируем ряд рекомендаций, которые могут позволить скорректировать изучение курса алгебры в направлении ее классификации, систематизации и даже унификации с точки зрения подготовки основной массы старших школьников к конкурсным испытаниям:

  • Наряду с обозначениями системы соотношений целесообразно ввести в программу обозначение совокупности как знака, имеющего теоретико-множественное значение объединения множеств (для соотношений это множества их корней) и логическое значение независимости событий (под событием, например, понимать тот факт, что соотношение обладает некоторым множеством корней – уже найденных или подлежащих определению). Данная модификация вполне могла бы уместиться в программу при изучении темы «Элементы теории множеств».

  • При изучении понятий и методов решения алгебраических соотношений в качестве базового принципа имеет смысл использовать принцип равносильных преобразований, а неравносильные действия (в том числе некоторые замены переменных) рассматривать как вспомогательные, использующиеся лишь в исключительных случаях.

  • Изучение как уравнений, так и неравенств производить одновременно, по ходу прохождения конкретного класса соотношений с использованием равносильных алгоритмов решения.

Указанные модификации, как показывает опыт использования описанного подхода на спецкурсах в 8-11-х классах гимназий и общеобразовательных школ, позволяют абитуриентам и школьникам относительно быстро классифицировать и систематизировать свои знания в области алгебры соотношений и успешно применять их при изучении решений конкурсных задач.







ЛИТЕРАТУРА

  1. Брабандер С.П. Применение метода эквивалентных преобразований для решения уравнений и неравенств / С.П. Брабандер, А.В. Медведев. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2000. -27 с.

  2. Кривобоков В.Н. О многочленах степени не выше второй / В.Н. Кривобоков, А.В. Медведев // Изд. Дом «Первое сентября», газета «Математика», - 2004, №2, 3, 6, 11.













































ПРИЛОЖЕНИЕ 1

СХЕМЫ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ


2.РАЦИОНАЛЬНЫЕ


С.2.1. hello_html_m22e0cc41.gif

3.ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

С.3.1. hello_html_m16a23dda.gif

C.3.2. hello_html_m3d79cfcc.gif

C.3.3. hello_html_573e96dc.gif

C.3.4. hello_html_m32bcb895.gif

C.3.5. hello_html_6f4ce4a1.gif

4.МОДУЛИ

С.4.1. hello_html_m5098e3c.gif

С.4.2. hello_html_411443ef.gif

С.4.3. hello_html_7edbdaad.gifC.4.3.1. hello_html_18334547.gif

C.4.4. hello_html_5c53322f.gif

C.4.5. hello_html_3a82f702.gif







5.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

С.5.1. hello_html_6b2bb29d.gif

С.5.2. hello_html_6cb21400.gif

С.5.3. hello_html_m354730b8.gif

С.5.4. hello_html_m7e13a70b.gif





6.ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

С.6.1. hello_html_2be3c6c0.gif

С.6.2. hello_html_m166e3e0.gifhello_html_m5452c8d1.gif

С.6.3. hello_html_m5defd791.gifhello_html_m4ca2b0a2.gif

С.6.4. hello_html_m7f840767.gif

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………… ...... 4

ГЛАВА I. КЛАССИФИКАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ КЛАССЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ …………………7



КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА 1 ………………………………………………………….10

КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА 2 ………………………………………………………….11

МНОГОЧЛЕНЫ……………………………………………………………………………………….12

ДРОБИ…………………………………………………………………………………………………17

ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ……………………………………………………………………………. 20

МОДУЛИ………………………………………………………………………………………………24

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ……………………………………………………………………………………..28

ПОКАЗАТЕЛЬНО-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ …………………………………..32



ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИИ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ

КЛАССОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ CООТНОШЕНИЙ……………………………………………………………………………………35



ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………… 54

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………………………60

ПРИЛОЖЕНИЕ (схемы равносильных преобразований) ………………………………61














Технология применения равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений. Методическое пособие для школьников старших классов.
  • Математика
Описание:

В данной работе изложен подход, который, на взгляд автора, способен эффективно устранить указанные недостатки алгебраической подготовки школьников. В основе указанного подхода лежит системное применение принципа преобразований алгебраических соотношений. Основные элементы данного подхода излагаются в виде следующих положений.

Классификация соотношений. Алгебраические соотношения разбиваются на 6 классов соответствий с входящими в них функциями (многочлены, с модулем, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом из перечисленных классов выделяются соотношения канонического вида, которые могут быть решены с помощью непосредственного применения равносильных методов. Не являющиеся каноническими соотношения в подавляющем большинстве случаев можно привести к каноническим с помощью равносильных преобразований. Исключения могут составить соотношения иррационального и логарифмического класса. Однако в этом случае для большинства конкурсных задач достаточным для неизменности множества корней является вычисление области определения соотношения. К положительной стороне предлагаемой классификации можно отнести малочисленность используемых равносильных методов решения канонических классов: формулы корней, равносильные схемы, метод интервалов. Метод интервалов и является здесь единственным универсальным (применимым для всех классов функций) методом. Список равносильных схем (см. Приложение 1) в каждом из классов не превышает пяти и в принципе может быть ограничен тремя – для уравнения и двух видов неравенств.

Правила вывода (Modusponens). Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (логическими) операциями – пересечения (логического умножения, логической зависимости) и объединения (логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений). Результатом всякого преобразования является освобождение от одного из присутствующих в исходном соотношении классов функций и, в конечном счете, получение за конечное число равносильных преобразований систем и совокупностей многочленов, как правило, не выше второй степени.

Описанный подход обладает достоинствами быстроты и надежности решения всех классов алгебраических соотношений за счет относительно небольшого набора необходимых теоретических сведений и логической ясности метода, что проявилось на подготовительных курсах, при чтении специальных курсов в гимназиях и школах как обычных, так и с повышенной математической подготовкой. На основе данного подхода теоретически и методически разработан курс обучения школьников решению такого сложного класса алгебраических задач, как задачи параметрического анализа, также апробированный в учебных заведениях и реализованный в виде графоаналитического обучающего комплекса.

 

 

 

Автор Кривобоков Владимир Николаевич
Дата добавления 07.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 701
Номер материала 41323
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓