Главная / Математика / Статья "Урок одной задачи"

Статья "Урок одной задачи"

Урок одной задачи

Шпилёва Людмила Александровна

МАОУ «Лицей «Технический» г. Владивостока»

Решение задач по геометрии, в том числе задач С2, вызывает затруднения у большинства учащихся 11 классов. Это вызвано не только недостаточными знаниями по геометрии, но и психологическими причинами. Учащиеся считают, что задачи по геометрии, тем более в части С, очень сложные, не решаемые, поэтому за их решение не всем стоит браться.

Устранить эту проблему можно, например, рассматривая различные подходы к решению одной и той же задачи. Проведение «уроков одной задачи» позволит убедить учащихся, что задачи по геометрии вполне им по силам. Кроме этого, такие уроки позволят повторить большой объём теоретического материала, разные подходы при решении задач по геометрии.

Рассмотрим задачу С2 КИМ 2012 года. Сложность этой задачи состоит в том, на первоначальном чертеже к задаче плоскости, между которыми требуется найти угол, пересекаются в одной точке. Поэтому в ходе решения задачи необходимо построить прямую пересечения рассматриваемых плоскостей или найти способы решения, в которых нет необходимости находить на чертеже угол между плоскостями, обосновывать справедливость этого выбора.


Задача С2: В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D - середина ребра СС1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1 .hello_html_32e1fe24.png

Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.hello_html_m43d1ae97.gif

1 способ решения задачи:

Достроим треугольную призму ABCA1B1C1 (рис. 1) до четырёхугольной ACBFA1C1B1F1, в основании которой лежит ромб A C B F (рис 2).

рис 1.

рис 2.

Построим сечение призмы ACBFA1C1B1F1 плоскостью ADB1. Параллельные плоскости ВВ1С1С и FF1A1A, СС1А1А и FF1В1В пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым DB1 и AT, AD и B1T соответственно (Т – середина ребра FF1). Искомое сечение - ромб DATB1 (рис 3). hello_html_m1438c77a.pnghello_html_61c04e0d.png

Для построения угла между плоскостями ВСА и DAB1 построим их прямую пересечения. Для этого продлим до пересечения прямые В1T и ВF , В1D и ВС. В1T ∩ ВF = N , В1D ∩ ВС = M. Прямая MN - прямая пересечения рассматриваемых плоскостей (рис 4).

рис 3

рис 4.

рис 4

MDC = ∆ В1DC1, ∆ NFT = ∆ B1F1T по катету и прилежащему острому углу. Поэтому M C = B1C1 = 1, NF = B1 F1 = 1. Т. к. B1C1 = ВС = 1 и B1 F1 = BF = 1, то MB = BN = 2. Поэтому треугольник MBN – равнобедренный с основанием MN. hello_html_6a38737d.pnghello_html_5dea6a64.png

Т.к. A C B F - ромб, то его диагональ АВ является биссектрисой угла CBF. Следовательно, АВ является биссектрисой, проведённой к основанию равнобедренного MB1N, т.е. высотой. Поэтому А В MN.

АВ является проекцией наклонной АВ1 на плоскость АВС, поэтому AB1 MN по теореме о трёх перпендикулярах. Угол В1АB = α – угол между плоскостями ABC и ADB1(рис. 5).

рис 5.

рис 6.

Если вернуться к начальной правильной треугольной призме, то линейный угол между рассматриваемыми плоскостями образован стороной основания АВ и диагональю АВ1 грани ВВ1А1А (рис. 6).

рис 5

В прямоугольном треугольнике В1АB (B = 90°) BB1 = 3, АВ = 1. hello_html_m56b6069.gif; hello_html_m3de9eb82.gif; hello_html_m28b117ad.gif. Ответ: hello_html_6f3d2bee.gif

2 способ решения задачи:hello_html_6f343a6d.png

Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1, продлив до пересечения прямые B1D и BС. B1DBС= Е. Прямая AЕ – искомая прямая (рис 7).

ЕС = СВ. Данное равенство следует из равенства прямоугольных треугольников B1DC1 и EDC по катету и прилежащему острому углу. ЕС = С1B1 = СB.

рис 7

Равенство отрезков ЕС и СВ также вытекает из подобия треугольников DEC и B1ЕB с коэффициентом подобия hello_html_5af57bd9.gif hello_html_m22f7927e.gif.

рис 7.

рис 8.

Рассмотрим ∆ AВЕ (рис 8). Докажем, что он прямоугольный несколькими способами. hello_html_22a9282.png

1 способ: ЕС = СB = AС = ВА = 1, ЕB = 2. Т.к. углы ∆ AВС равны 60°, то AСЕ = 120°.

Найдём из AEC сторону AЕ по теореме косинусов.

рис 8.

hello_html_68f44c0a.gif

Т.к. hello_html_m727d976.gif hello_html_2eb515fc.gif, то по теореме, обратной теореме Пифагора, ∆ AВЕ – прямоугольный, BAЕ = 90°.

2 способ: Углы ∆ AВС равны 60°, AСЕ = 120°. Т. к. ЕС = AС, то ∆ AEC – равнобедренный с основанием АЕ и углы при его основании равны hello_html_m483f70b0.gif.

Поэтому hello_html_m7bd26a15.gif, т. е. ∆ AВЕ – прямоугольный.

3 способ: Воспользуемся признаком прямоугольного треугольника. Если медиана, проведённая к стороне

треугольника, равна половине этой стороны, то этот треугольник – прямоугольный. Причём, медиана проведена к гипотенузе треугольника.

В ∆ АВЕ медиана hello_html_59240344.gif. Поэтому ∆ AВЕ – прямоугольный, BЕ - гипотенуза.

Вернёмся к нахождению угла между плоскостями. Т.к. BAЕ = 90°, то АВ ^ AЕ. АВ – проекция наклонной B1A на плоскость АВС, поэтому B1A ^ AЕ по теореме о трёх перпендикулярах. Угол ВАB1 – угол между плоскостями ABC и ADB1.

В прямоугольном треугольнике ВАB1 B = 90°) BB1 = 3, АВ = 1, hello_html_36cb73b1.gif. hello_html_m3de9eb82.gif; hello_html_m445f0aa2.gif. Ответ: hello_html_5e0f2018.gif

3 способ решения задачи:

Аналогично предыдущему случаю, построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1, продлив до пересечения прямые В1D и ВС. В1D ∩ ВС = Е. Прямая АЕ – искомая прямая (рис 9). hello_html_108d33f1.png

В плоскости AВЕ (ABС) проведём к прямой AЕ перпендикуляр СK. KC – проекция наклонной DK на плоскость АВС, то KD ^ АЕ по теореме о трёх перпендикулярах. Угол DKC = α - угол между плоскостями ABC и ADB1.

Найдём длину отрезка КС несколькими способами.

1 способ: ЕС = AС = 1 (доказано во 2 способе решения задачи), ÐAСЕ = 120°.

Найдём из ∆ AEC сторону AЕ по теореме косинусов. hello_html_m6df3899.gif

рис 9

AEC - равнобедренный с основанием АЕ. СК в нём высота, проведённая к основанию, значит, и медиана.

Тогда hello_html_m10830283.gif, СЕ = 1. Из прямоугольного ∆ КEC hello_html_m31350a0e.gif.

2 способ: ∆ AEC - равнобедренный с основанием АЕ. В нём ЕС =1, ÐAСЕ = 120°. СК является высотой, проведённой к основанию, а, значит, медианой и биссектрисой ÐAСЕ. Тогда ÐКСЕ = 60°, ÐКЕС = 30°. В прямоугольном треугольнике КСЕ катет КС, лежит против угла в 30°, поэтому равен половине гипотенузы ЕС, т. е. hello_html_3f2782df.gif. hello_html_63fd843b.gif

3 способ: Для нахождения отрезка КС применим метод площадей, т.е. найдём площадь треугольника АСЕ различными способами.

hello_html_m582106f7.gif, hello_html_2359dc53.gif,

hello_html_m4ce52b68.gif, hello_html_m287b86b6.gif, hello_html_3f2782df.gif.

Вернёмся к нахождению угла между плоскостями ABC и ADB1. В прямоугольном треугольнике DKC C = 90°) . hello_html_40283a35.gif, hello_html_63c6d271.gif, hello_html_52a70e07.gif; hello_html_77c4cc12.gif; hello_html_213213be.gif

рис 6

рис 6

Ответ: hello_html_1be8b252.gif

рис 6

рис 6

4 способ решения задачи:


Рассмотрим следующий способ решения задачи. Для этого через точку D проведём плоскость А2DB2 ACB (рис. 10). Т. к. D - середина ребра СС1, то точки А2 и B2 – середины рёбер АА1 и ВВ1 соответственно. Угол между плоскостями ABC и ADB1 равен углу между плоскостями А2DB2 и ADB1. hello_html_m74911a7e.png

рис 11

В плоскости ВВ1А1А плоскости А2DB2 и ADB1 пересекаются в точке К. (АВ1 ∩ А2В2 = К). hello_html_m51b3807d.png

В параллелограмме ВВ1А1А (рис 11.) А2К = КВ2 и АК = КВ1, т.к. АА2К = В1В2К по стороне и двум прилежащим к ней углам: АА2 = В1В2,  А2АК =  В2В1К

рис. 11

рис. 10

как накрест лежащие углы при параллельных прямых АА1 и ВВ1 и секущей АВ1,  АКА2 =  В2КВ1 как вертикальные. Следовательно, точка К – середина отрезков АВ1 и А2В2.

Точки D и К принадлежат каждой из плоскостей А2DB2 и ADB1, поэтому прямая DK является прямой их пересечения.

ADC = ∆ В1DC1 по двум катетам, поэтому AD = DB1. АDB1 – равнобедренный с основанием АВ1, DK в нём является медианой, проведённой к основанию, значит, и высотой, т.е. АВ1 DK.

Аналогично, в равнобедренном А2DB2 А2В2 DK. Т.к АВ1 DK и А2В2 DK, то угол В1KВ2 = α – угол между плоскостями А2DB2 и ADB1.

рис. 12

рис 12

В прямоугольном треугольнике В1KВ2 (ÐВ2 = 90°) hello_html_m396db7b3.gif, hello_html_m524c3ada.gif; hello_html_m5ef6e2e5.gif.hello_html_22ca655c.gif, hello_html_7cfd2a72.gif. Ответ: hello_html_m2bb32fc6.gif

5 способ решения задачи:

Воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции многоугольника равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.hello_html_a145472.png

Применение этой теоремы удобно тем, что нет необходимости находить на чертеже угол между плоскостями, обосновывать справедливость этого выбора.

рис. 12

Так как призма прямая, то ВВ1  АВС, DC^ АВС, АА1 ^ АВС. Поэтому треугольник АВС является ортогональной проекцией треугольника АDB1 на плоскость АВС (рис. 12).

Следовательно, hello_html_m4518bf60.gif, где α – угол между плоскостями ABC и ADB1.

Поэтому hello_html_784ea994.gif. Вычислим площади треугольников АВС и АDB1.

hello_html_2931b702.gif, т. к. АВ = 1 и АВС – равносторонний.

ADC = ∆ В1DC1 по двум катетам, поэтому AD = DB1. ∆ АDB1 – равнобедренный с основанием АВ1.

рис 12

Из прямоугольного треугольника АСD hello_html_m56df3553.gif.

Проведём DKAB1, DK – высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, поэтому – медиана. К – середина AB1 (рис. 13).

Из прямоугольного треугольника АBB1 hello_html_b83bcf4.gif, hello_html_537b391c.gif.

Из прямоугольного треугольника АDK hello_html_m42b4f59a.gif,hello_html_6fe2821f.png

Поэтому hello_html_219c3278.gif.

Тогда hello_html_md255c2f.gif.

рис 13

hello_html_6e031ca7.gif. Ответ: hello_html_6e031ca7.gif.

(Если hello_html_7e31d588.gif, то hello_html_36eb0a07.gif и hello_html_m2138ea88.gif)

6 способ решения задачи:


Рассмотрим векторно-координатный метод вычисления угла между данными плоскостями. Он тоже хорош тем, что нет необходимости находить на чертеже угол между плоскостями, обосновывать справедливость этого выбора.hello_html_m752c9c9a.pnghello_html_ac34e43.png

рис. 15

Т. к. рассматриваемая призма прямая и в её основании лежит равносторонний треугольник, то ввести систему координат можно несколькими способами.

рис. 14

рис. 14

Можно ввести систему координат с началом координат в точке О – середине стороны АВ (или в середине любой другой стороны треугольника) (рис. 14).

рис. 14

рис 16

рис 17

Пусть а – сторона равностороннего треугольника.

Из прямоугольного треугольника АОС (рис. 15) найдём длину отрезка АО:hello_html_m2879bd38.gif.hello_html_5d1b7a96.pnghello_html_67e9a294.png

рис. 14

Тогда hello_html_21039fbf.gif; hello_html_m11d7082f.gif; hello_html_25b0b5c7.gif,

рис. 17

рис. 16

Можно ввести систему координат с началом координат в одной из вершин треугольника АВС, например, в точке А (рис. 16). hello_html_30df90a2.gif (рис. 17).

рис. 16

Тогда hello_html_m5b62fadd.gif;hello_html_45bb0958.gif;hello_html_601e50d4.gif.

Остановимся на втором способе введения системы координат (рис. 16).

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными к этим плоскости.

Поэтому угол между плоскостями равен углу между ненулевыми векторами, перпендикулярными этим плоскостям, т. е. между векторами нормалей.

Найдём координаты точек А, В1, А1, D: hello_html_m5b62fadd.gif;hello_html_m67fe766c.gif;hello_html_556d4dcb.gif; hello_html_6def027b.gif.

В качестве вектора, перпендикулярного плоскости АВС, можно взять, например, вектор hello_html_m7109a41d.gif

Найдём координаты вектора нормали к плоскости АDB1.

Найдём координаты этого вектора несколькими способами.

1способ нахождения координат вектора нормали.

Если уравнение плоскости имеет вид hello_html_353480ff.gif (1), то вектор нормали к этой плоскости имеет координаты hello_html_m270b4534.gif.

Плоскость АDB1 проходит через точки hello_html_m5b62fadd.gif;hello_html_556d4dcb.gif; hello_html_6def027b.gif. Поэтому подставив координаты этих точек в уравнение плоскости, получим систему уравнений:

hello_html_3bf1f815.gifhello_html_m47d3ba9d.gif

Для нахождения значений коэффициентов А, В и С, выразим две из этих переменных через одну и ту же переменную. Например, А и В выразим через С.


hello_html_7da46f5.gifhello_html_5731c095.gifhello_html_7dcaaaa0.gif

Подставим полученную информацию в уравнение (1).

hello_html_m77a022d3.gif, hello_html_m5c40f017.gif.

Разделив обе части уравнения на С, получим уравнение плоскости АDB1: hello_html_m6564574b.gif.

Т.е. вектор нормали имеет координаты hello_html_3fcaf8b8.gif.

2 способ нахождения координат вектора нормали.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Поэтому ненулевой вектор перпендикулярен плоскости, если он перпендикулярен двум векторам этой плоскости, проходящим через одну точку. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

hello_html_a4c2712.gifADB1, если, например, hello_html_43b16783.gif и hello_html_11129bc3.gif, т.е. hello_html_m696ec649.gif и hello_html_4cea1bc2.gif.

Т.к.hello_html_6e3a6099.gif;hello_html_556d4dcb.gif; hello_html_6def027b.gif, то hello_html_66723d81.gif, hello_html_16c469f4.gif.

Пусть вектор нормали имеет координаты hello_html_m4ff2a5d8.gif. Найдём скалярные произведения векторов.

hello_html_m563472d8.gif, hello_html_2867018d.gif.


Рассмотрим систему уравнений:

hello_html_m3715cdd8.gifhello_html_m2c626d1d.gif

Аналогично предыдущему случаю, выразим две переменные через одну и ту же переменную. Например, х и у выразим через z.

hello_html_m5609c8c9.gifhello_html_c59edd0.gif

При различных значениях z вектор hello_html_m527b648f.gifостанется перпендикулярным плоскости ADB1, будет меняться только его длина. Поэтому возьмём удобное для дальнейших вычислений значение z.

Пусть z = 1, тогда hello_html_667491ed.gif и вектор нормали тогда будет иметь координаты: hello_html_6e2ead37.gif.

Вернёмся к нахождению угла между векторами. Косинус угла α между плоскостями ABC и ADB1 равен косинусу угла между векторами hello_html_m7109a41d.gif и hello_html_6e2ead37.gif

hello_html_m5ac4f417.gif, hello_html_m287d833c.gif, hello_html_m666edb46.gif.

Ответ: hello_html_7e83404f.gif.


3 способ нахождения координат вектора нормали.

Если hello_html_m5fb5b977.gif, hello_html_m28236b32.gif, hello_html_m6d071a52.gif, то уравнение плоскости hello_html_m80c050d.gif имеет вид:

hello_html_m3f6c82a0.gif. Уравнение приводится к видуhello_html_5eb885da.gif, где вектор hello_html_2c3678eb.gif называется вектором нормали (он перпендикулярен плоскости).

Определитель третьего порядка считается по формуле

hello_html_2ba338a2.gif

Каждый из полученных определителей второго порядка вычисляется по формуле hello_html_m35d94400.gif.

По выше приведённым формулам найдём уравнение плоскости.

hello_html_m76b1be3b.gif;hello_html_47948181.gif; hello_html_4e80848b.gif.

hello_html_7195644c.gif=hello_html_4035a7f2.gif=hello_html_771027ff.gif

Уравнение плоскости АDB1 имеет вид: hello_html_771027ff.gif (2). Поэтому вектор нормали имеет координаты hello_html_1e9a0be1.gif.

Косинус угла α между плоскостями ABC и ADB1 равен косинусу между векторами hello_html_m7109a41d.gif и hello_html_m125074eb.gifhello_html_m5ac4f417.gif,hello_html_m37fe4ef9.gif,.

Для более удобных вычислений можно обе части полученного уравнения плоскостиhello_html_771027ff.gif умножить на hello_html_79d336df.gif, тогда уравнение примет вид hello_html_15d79e57.gif, т. е вектор нормали будет иметь координаты hello_html_6e2ead37.gif, такие же, как в первом и втором рассмотренных случаях.

Поэтому hello_html_m7a6e0b7a.gif, тогда hello_html_m6e9b75fb.gif

Ответ: hello_html_7e83404f.gif.

8


Статья "Урок одной задачи"
  • Математика
Описание:

Статья  "Урок одной задачи" содержит материал о приемах решения задачи С2   КИМ  2012 года. Статья была напечатана в методическом журнале "Математика" издательского дома "Первое сентября", №10 2012 года.

Сложность  этой задачи состоит в том, на первоначальном чертеже к задаче плоскости, между которыми требуется найти угол, пересекаются    в  одной точке.  Поэтому в ходе  решения задачи   необходимо построить  прямую  пересечения рассматриваемых  плоскостей или найти способы решения,  в которых нет необходимости находить на чертеже угол между плоскостями, обосновывать справедливость этого выбора.

К статье добавлена соответствующая презентация.

 

 

Автор Шпилева Людмила Александровна
Дата добавления 07.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 968
Номер материала 40561
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓