Статья на тему : "Алгоритм решения задач методом эквивалентных преобразований"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2 г.Ершова»

Статья

«Алгоритм решения задач на расчет линейных электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований».

                                                                                                          Подготовил

                                                                                                          Учитель физики и информатики

                                                                                                          Хусаинов Иосиф Хосьянович

Алгоритм решения задач методом эквивалентных преобразований

Задачи как средство обучения и воспитания учащихся на уроках физики.

 Организация деятельности учащихся по решению задач - одно из важнейших условий повышения качества знаний по физике. Физической задачей в учебной практике обычно называют небольшую проблему, которая в общем случае решается с помощью логических умозаключений, математических действий и эксперимента на основе законов и методов физики. В методической же и учебной литературе под задачами обычно понимают целесообразно подобранные упражнения, главное назначение которых заключается в изучение физических явлений, формирование понятий, развитие физического мышления учащихся и развитием умений применять свои знания на практике.

 Физическая задача - это ситуация, требующая от учащихся мыслительных и практических действий на основе законов и методов физики, направленных на овладение знаниями по физике и на развитие мышления. Решение задач по физике помогает учащимся ознакомиться с основами современного производства и с сущностью многих профессий, приобрести политехнические знания и умения, способствует глубокому и прочному усвоению физических понятий и законов, показывает применимость законов физики на практике, а также с помощью задач можно воспитать трудолюбие, настойчивость, волю, характер, целеустремленность. Важное значение имеют задачи как средство диагностики общего умственного развития и специальных способностей учащихся. Процесс решения задач также является средством контроля за знаниями, и умениями, и навыками учащихся.

Классификация    задач.

Задачи по физике классифицируются по многим признакам: по содержанию, назначению, способам решения, способам задания условия, степени трудности и т.д. По содержанию задачи следует классифицировать, прежде всего, в зависимости от их физического материала. Различают задачи по механике, молекулярной физике, электродинамике и т.д. Различают задачи с абстрактным и конкретным содержанием. Достоинство абстрактных задач состоит в том , что в них выделяется и подчеркивается физическая сущность, выяснению которой не мешают несущественные детали. Достоинство конкретных задач-большая наглядность и связь с жизнью. Задачи, содержащие материал о технике, промышленном и сельскохозяйственном производствах, транспорте и связи, называют задачами с политехническим содержанием. Ряд задач содержит сведения исторического характера: данные о классических опытах, открытиях, изобретениях или даже исторических легендах. Такие задачи называют задачами с историческим содержанием. Широкое распространение получили занимательные задачи. Отличительная их черта-использование необычных, парадоксальных или занимательных фактов или явлений. Их решение оживляет урок, повышает интерес к физике. В зависимости от характера и методов исследований вопросов различают качественные и вычислительные задачи. Качественными называют задачи, при решении которых устанавливают только качественную зависимость между физическими величинами. Как правило, вычисления при решении таких задач не производят. Количественными называют задачи, при решении которых устанавливают количественную зависимость между искомыми величинами, а ответ получают в виде формулы или  число. 

Метод эквивалентных преобразований

Наша цель рассмотреть линейные электрические цепи постоянного тока. Решать будем методом эквивалентных преобразований. Причем рассмотрим задачи, в которых можно использовать алгоритм расчета электрический цепей, содержащих точки (узлы) равных потенциалов. И попробуем сформулировать алгоритм для решения задач такого типа.

Задачи эти хорошо известны и есть во многих сборниках задач по физике. Мы попробуем собрать их в одном месте и проанализировать способы решения, найти общие закономерности и сформулировать алгоритм их решения.

Вначале рассмотрим некоторые общие моменты, касающиеся всех электрических цепей.

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об ЭДС, токе и напряжения.

Электрические цепи имеют элементы, которые могут быть отображены графически, что называется схемой. Участок цепи с одним и тем же током называется - ветвь. Место соединения ветвей называется узел.

Любой замкнутый путь электрического тока, проходящий по нескольким ветвям, называется контур. Независимый контур отличается от другого контура хотя бы одной ветвью.

Будем рассматривать электрическую цепь с одним источником питания. Но цепь может быть разветвленная и неразветвленная, при этом может иметь последовательное соединение проводников, параллельное соединение и смешанное соединение проводников.

1.     

	I				Rэкв

                             U=U1+U2+U3

Напряжение равно сумме напряжений на отдельных элементах

Rэкв=R1+R2+R3

Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных пассивных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов.

2.      При параллельном соединении неизменным остается напряжение на всех элементах и общность их значения.

Эквивалентная проводимость параллельно соединенных пассивных элементов равна сумме проводимостей этих элементов

Gэкв=G1+G2+G3  или  1/Rэкв=1/R1+1/R2+1/R3

             Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме токов в отдельных ветвях электрической цепи

		A
					A
	B

Uab

Rэкв

R2

R2

R1

3.      Смешанное соединение пассивных элементов представляет собой совокупность последовательно и параллельно соединенных элементов

Каков же алгоритм метода эквивалентных преобразований.

1.Находим в сложной цепи те элементы, которые соединены друг с другом либо параллельно, либо последовательно.

2. Заменяем их эквивалентным элементом. Получаем более простую схему.

3.В полученной схеме снова находим такие элементы, которые можно объединить, заменив эквивалентным. Еще раз упрощаем схему.

4. Этот процесс продолжаем до тех пор пока в схеме останется лишь один элемент.

5. Находим значение каждого из эквивалентных элементов, включая общее сопротивление всей цепи (Rэкв).

Расчет и анализ электрических цепей может быть произведен с помощью закона Ома.

Закон Ома для участка не содержащего источник тока I=U/R

При наличии источника постоянного тока формула выглядит так

                                      I=

Рассмотрим пример решения задачи.

Электрическая цепь задана следующими параметрами элементов:

E=312B, r=1 Ом, R1=3 Ом. , R2=, R3=20 Ом, R4=8Ом, R5=16 Ом, R6=7 Ом. Рассчитать токи во всех ветвях, падение напряжения на отдельных участках.

Рис.1

			E
	E
		E

Рис.2

					R45263

Рис.3

                                                                                                                                                                             Рис.4

			Rэкв

Рис.5

I.1.Элементы (резисторы) R4 R5 соединены параллельно их общее сопротивление

R45= =5.33(Ом)

2. Резисторы R2   R45   R6 соединены последовательно. Найдем их эквивалентное сопротивление

R4526=R45+R2+R6    R4526=5.33+6+7=18.33

3. Резистор R3 подключен параллельно к R4526

R45263==9.56(Ом)

4.Эквивалентное соединение внешней цепи состоит из соединенных последовательно R1 и R45263

Rэкв=R1+R45263   Rэкв=12.56 (Ом)

II.1.ток потребляемый схемой согласно закона Ома для полной цепи

I=         I=23 (A) ; I₁=I;

2.остальные токи и напряжения на отдельных участках цепи находятся путем развертывания эквивалентной схемы (рис5) до исходной (рис.1)

Рис.4; Напряжение на участке «ас» Uac=I*R45263. Uac=23*9.56=220 (B)

Рис3.  I₃=  I₃=220/20=11 (А)   I₂ =   I₂ =220/18.33=12 (А)

Рис.2  Напряжение на участке «bd»  Ubd=I₂*R₄₅    Ubd=12*5.33=64 (B)

Рис. 1 I₄=  I₅=  I₄  =8(A) I₅ =4(A)

Как быть, если не удается построить эквивалентную схему, выделив в ней участки, с последовательным или параллельным соединением. Можно попытаться построить эквивалентную схему, если в цепи есть точки с равными потенциалами, так как эти точки можно как разъединять, так и соединять. Чтобы найти точки равного потенциала надо посмотреть на электрическую схему с точки зрения ее симметричности. Если схема обладает симметричностью, причем вход и выход электрической цепи лежат на оси симметрии, то точки будут распределяться симметрично относительно оси, проходящей через вход-выход, будут иметь равные потенциалы. В роли симметрии может выступать и линия, и плоскость. Равным потенциалом обладают также заземленные точки электрической схемы. Рассмотрим такие задачи.

1.Определить электрическое сопротивление каркаса в виде квадрата, середина противоположных сторон которого соединены между собой и в середине спаяны. Каркас включен в цепь диагональными вершинами. Сопротивление звена r.

r

B

B

r

r

A

	B

2. Определить сопротивление цепи изображенной на рис.7. Сопротивление каждого элемента  равно r

D

E

F

C

A

B

B

A

E

F

В схеме электрической цепи, изображенной на рис.6 ось симметрии проходит вдоль диагонали ACB. Следовательно, можно разъединить цепь в точке С. Получим эквивалентную схему, изображенную на рисунке Рис.7, к которой теперь можно применить алгоритм эквивалентных преобразований. Для участка ACDB имеем  2 участка (D1-D-D2 и D1-C-D2), внутри соединенных последовательно друг с другом. R₁₂ =R₃₄=r+r=2r, которые соединены между собой параллельно. R₁₂₃₄=r. Последовательно с этим участком соединены 2 резистора (2элемента A-D1 иD2-B) сопротивление r, каждый. Rэкв1=r+r+r=3r.

Участок ACEB симметричен участку ACDB. Его сопротивление тоже равно 3 r. В итоге имеем  два участка сопротивлением 3r каждый, которые соединены друг с другом параллельно. Получаем эквивалентное сопротивление Rэкв=3r/2/

Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке Рис.8. Хорошо видно, что есть точки равного потенциала. Это точки B, D, а также точки C, E. Исходя из этого, перерисуем нашу электрическую схему. Получилась схема, изображенная на рисунке Рис.9. Теперь наша схема не вызывает трудности для применения алгоритма построения эквивалентных преобразований.

Три сопротивления(резистора) между точками B, E соединены параллельно их эквивалентное сопротивление Rэкв1=r/3. Далее имеем три последовательно, соединенных резистора. R=r+r/3+r.  R=r;

Рассмотрим еще одну задачу.

Сопротивление одного ребра проволочного куба r=1 Ом. Каково будет сопротивление R между вершинами, лежащими на пространственной диагонали куба?

B

C

C

A

Рис.11

Рис.10

Точки С, относительно точки А имеют одинаковый потенциал и их можно соединить. Точки D относительно точки B имеют одинаковый потенциал. Эти точки тоже можно соединить. Остальные точки (Вершины куба) находятся между ними. В Результате получается электрическая цепь, изображенная на рисунке Рис.11, которая эквивалентна электрической цепи, изображенной на рисунке Рис12. К последней схеме легко применяется алгоритм  эквивалентных преобразований. Участок AC. Три параллельно, соединенных проводника. Общее сопротивление Rэкв1=r/3. Участок CD. Шесть параллельно, соединенных проводников. Эквивалентное соединение учаска Rэкв2=r/6. Наконец, участок DB. Три параллельно, соединенных проводника. Эквивалентное соединение Rэкв3=r/3. Теперь у нас три последовательно соединенных проводника. Эквивалентное сопротивление

R=Rэкв1+ Rэкв2+ Rэкв3 

R=r/3+r/6+r/3=r

1.     

   От точки А до точки В имеем две параллельно соединенные цепи: каждая состоит из последовательно включенных половины стороны шестиугольника, ромба и снова половины стороны шестиугольника. Сопротивление ромба равно R, а потому сопротивление одной из цепей равно 2R. Следовательно сопротивление всего каркаса равно R.

                        2.

Провода соединены по схеме рис. 13. Сопротивление     каждого из проводников равно 1 Ом. Чему равно сопротивление R между точками  основания треугольника ( А и В)

Указание к решению.

Рис 13.

R_AOB=R_ACB.  Следовательно  U_C=U_O, и ток в ветви OC равен нулю. Эта ветвь не изменяет сопротивления между точками A и B , его величина равна сопротивлению трех ветвей ACB, AOB, AB, которые включены параллельно между точками A  и B. Поэтому  1/R_AB=1/2+1/2+1=2;

R_AB=1/2.

Литература.

1.Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике.-М.: «Высшая школа», 1976

2.Громов С.В. Физика 10. Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений.- М.: «Просвещение», 2002

3. Кабардин О.Ф. Физика. Справочные материалы.- М.: «Просвещение», 1991

4. Павленко Ю.Г. Начала физики.-М.: Издательство  Московского университета, 1988

5. Шаскольская М.П., Эльцин И.А. Сборник избранных задач по физике.-М.: Издательство «Наука», 1969.