Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Экстремумы функции.
если
если
Достаточный признак возрастания, убывания функции.
Если , то
Если , то
Достаточное и необходимое условие постоянства функции.
Если , то
Критические точки функции.
y=f(x) — непрерывная функция; х0 — внутренняя точка её области определения. Тогда
если или , то
Точки экстремума.
, если
, если
Экстремумы функции.
Необходимый признак экстремума.
Если , то
Только критические точки являются точками экстремума, но не всякая точка экстремума является критической.
Достаточный признак экстремума функции.
1 признак
Пусть х0 — критическая точка функции y=f(x).
, то
f / (x) + -
х0 x
, то
f / (x) - +
х0 x
2 признак
Если , то . Если , то .
Схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума.
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную функции f(x).
3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).
4) Отметить эти точки на координатной прямой. Они разбили её на промежутки.
5) Определить знак производной в каждом промежутке. Показать стрелками, где функция возрастает, а где убывает, используя признак.
6) Выписать в ответ промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.
Пример №1.
f(x) = 3х2 - 9х + 5
1) D(y) = R
2) f / (x) = 3*2x - 9*1 + 0 = 6x - 9
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - нет таких точек
6x - 9 = 0
6х = 9
х = 9 : 6
х = 1, 5
4) и 5) - +
1,5 х
Ответ: функция убывает при х є (- ∞; 1,5], функция возрастает при х є [1,5; ∞); х=1,5-точка минимума.
Пример №2.
f(x) = 2x + 1/x2
1) D(y) = (- ∞; 0) U (0; ∞)
2) f / (x) = 2*1 + (x-2) / = 2 - 2x-3 = 2 - 2/x3
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует при х=0
2 - 2/x3 = 0
2х3 - 2 = 0
2х3 = 2
х3 = 1
х = 1
4) и 5)
+ - +
0 1 х
Ответ: функция возрастает при х є (- ∞; 0) U [1; ∞), функция убывает при х є (0; 1]; x = 0 - точка максимума, х = 1 - точка минимума.
Схема исследования функции на максимум и минимум на отрезке.
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную функции f(x).
3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).
4) Определить, какие из полученных точек принадлежат отрезку.
5) Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.
6) Из полученных чисел выбрать наибольшее-это максимум функции и наименьшее-это минимум функции.
Пример №1.
f(x) = 2x2 + 8x + 13 [-3; 0]
1) D(y) = R
2) f / (x) = 2*2x + 8*1 + 0 = 4x + 8
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет
4x + 8 = 0
4х = -8
х = -8 : 4
х = -2
4) -2 є [-3; 0]
5) f(-3) = 2*(-3)2 + 8*(-3) + 13 = 18 - 24 + 13 = 7
f(-2) = 2*(-2)2 + 8*(-2) + 13 = 8 - 16 + 13 = 5
f(0) = 2*02 + 8*0 + 13 = 13
6) Ответ: min f(x) = f(-2) = 5, max f(x) = f(0) = 13.
[-3;0] [-3;0]
Пример №2.
f(x) = x3 - 1,5x2 - 6x + 1 [-2; 0]
1) D(y) = R
2) f / (x) = 3x2 - 1,5*2x - 6*1 + 1 = 3x2 - 3x - 6
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет
3x2 - 3x - 6 = 0 : 3
x2 - x - 2 = 0
По теореме Виета х1 = -1, х2 = 2
4) х1 = -1 є [-2; 0]
х2 = 2 є [-2; 0]
5) f(-2) = (-2)3 - 1,5*(-2)2 - 6*(-2) + 1 = -8 - 6 + 12 + 1 = -1
f(-1) = (-1)3 - 1,5*(-1)2 - 6*(-1) + 1 = -1 - 1,5 + 6 + 1 = 4,5
f(0) = 03 - 1,5*02 - 6*0 + 1 = 1
6) Ответ: min f(x) = f(-2) = -1, max f(x) = f(-1) = 4,5.
[-2;0] [-2;0]
Схема исследования функции с помощью производной и построение графика функции.
Пример №1.
f(x) = 2x2 - x4
2) Чётность, нечётность функции. f(x) = f(-x) - чётная
f(-x) = -f(x) - нечётная
f(-x) = 2*(-x)2 - (-x)4 = 2x2 - x4 = f(x) - чётная
3) Точки пересечения с осями координат.
С осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0
0 = 2x2 — x4 у = 2*02 - 04 = 0
х2 (2 - х2) = 0 (0;0)
х2 = 0 или 2 - х2 = 0
х = 0 х2 = 2
х = + √2
(0;0), (√2;0), (-√2;0)
4) Производная, критические точки.
f / (x) = 2*2x - 4x3 = 4x - 4x3
4x - 4x3 = 0
4x(1 - x2) = 0
4x = 0 или 1 - х2 = 0
х = 0 х2 = 1
х = + 1
критические точки: 0; 1; -1
5) Промежутки возрастания, убывания, точки
экстремума.
+ - + -
-1 0 1 х
т. max т. min т. max
6) Найти значения функции в точках максимума и
минимума (в дополнительных точках, если надо)
f(-1) = 2*(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1
f(0) = 2*02 - 04 = 0
f(1) = 2*12 - 14 = 2 - 1 = 1
7) Построить график функции.
у
1
-1 0 1 х
Пример №2.
x
f(x) = x2 - 1
(- ∞; -1) U (-1;1) U (1; ∞) 2) Чётность, нечётность функции.
f(x) = f(-x) - чётная
f(-x) = -f(x) - нечётная
f(-x) = -x = _ x = - f(x) - нечётная
(-x)2 - 1 x2 - 1
3) Точки пересечения с осями координат.
С осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0
0 = x у= 0 =0
x2 -1 02 -1
x=0 (0;0) (0;0)
4) Производная, критические точки.
f / (x) = (-x2 -1)/(x2 -1)2
-x2 -1 =0
(x2 -1)2
хє Ǿ критических точек нет
5) Промежутки возрастания, убывания, точки
экстремума.
f / (x) < 0 для любого х ═> функция убывает на всей области определения, точек экстремума нет
6) Найти значения функции в точках максимума и
минимума (в дополнительных точках, если надо)
f(-2) = -2 = -2/3 f(-0,9) = -4,7
(-2)2 -1 f(0,9) = 4,7
f(2) = 2 = 2/3 f(1,1) = 5,2
(2)2 -1
f(-1,1) = -5,2
7) Построить график функции.
у
1
-1 0 1 х
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.