Инфоурок Математика Другие методич. материалыСправочный материал по теме

справочный материал по теме

Скачать материал

Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Экстремумы функции.



hello_html_m2b5f8316.gifhello_html_m42a6e23a.gif

hello_html_m1bfc8470.gifесли




hello_html_m45cb9861.gifhello_html_m339b1779.gif

если

hello_html_7536d96c.gif



Достаточный признак возрастания, убывания функции.

hello_html_m12fee241.gifhello_html_4f27a9a3.gif

Если , то



hello_html_38417cbc.gifhello_html_m3b6eb7cb.gif

Если , то



Достаточное и необходимое условие постоянства функции.

hello_html_m46014af4.gif

hello_html_m7b331363.gif

Если , то




Критические точки функции.

y=f(x) — непрерывная функция; х0 — внутренняя точка её области определения. Тогда

hello_html_m49fca3dc.gifhello_html_1b2fa730.gif

еhello_html_742cf6a4.gifсли или , то




Точки экстремума.


hello_html_53503046.gifhello_html_1d880e2.gif

hello_html_356afa6d.gif, если



hello_html_m561d71a7.gif

hello_html_m5730b0dd.gif

hello_html_4ea5da9b.gif, если


Эhello_html_mee9ca3d.gifhello_html_m8307c48.gifкстремумы функции.

hello_html_16380688.gifhello_html_m1513eba.gif

hello_html_m4da59054.gifhello_html_6915808f.gifhello_html_m42ade057.gifhello_html_m484374e8.gif






Необходимый признак экстремума.

hello_html_3969559e.gifhello_html_5d9749dd.gif

Если , то


Только критические точки являются точками экстремума, но не всякая точка экстремума является критической.



Достаточный признак экстремума функции.

1 признак

Пусть х0 — критическая точка функции y=f(x).

hello_html_1a43487d.gif

hello_html_138be7e3.gif

hello_html_61e7e184.gifhello_html_61e7e184.gif, то


hello_html_49a1278d.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_m5f3d5b71.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_m4c17937c.gifhello_html_56318234.gifhello_html_m50c3ec08.gifhello_html_27adac18.giff / (x) + -

hello_html_m3ce4112a.gifhello_html_m4ef17a7b.gifх0 x

hello_html_61e7e184.gif

hello_html_m3f172ad.gif

hello_html_ccedec6.gif

, то

hello_html_m635e3d40.gifhello_html_m75d2d41.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_32e8022c.gif

hello_html_49a1278d.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m61f3fafd.giff / (x) - +

hello_html_m3ce4112a.gifhello_html_m4ef17a7b.gifх0 x


2 признак

hello_html_m7c71475f.gifhello_html_20115f2b.gifhello_html_3cfb124.gifhello_html_2ee3243.gif

Если , то . Если , то .






























Схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума.

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции f(x).

3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).

4) Отметить эти точки на координатной прямой. Они разбили её на промежутки.

5) Определить знак производной в каждом промежутке. Показать стрелками, где функция возрастает, а где убывает, используя признак.

6) Выписать в ответ промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.


Пример №1.

f(x) = 3х2 - 9х + 5

1) D(y) = R

2) f / (x) = 3*2x - 9*1 + 0 = 6x - 9

3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - нет таких точек

6x - 9 = 0

6х = 9

х = 9 : 6

х = 1, 5

4hello_html_m3f0ff265.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_1a8254ba.gifhello_html_52718b70.gifhello_html_1d430eb2.gif) и 5) - +

hello_html_m6c686f2b.gifhello_html_m23bb8eba.gifhello_html_52718b70.gifhello_html_18070dc5.gifhello_html_1d430eb2.gif

1,5 х

Ответ: функция убывает при х є (- ∞; 1,5], функция возрастает при х є [1,5; ∞); х=1,5-точка минимума.


Пример №2.

f(x) = 2x + 1/x2

1) D(y) = (- ∞; 0) U (0; ∞)

2) f / (x) = 2*1 + (x-2) / = 2 - 2x-3 = 2 - 2/x3

3) f / (x) = 0 f / (x) не существует при х=0

2 - 2/x3 = 0

3 - 2 = 0

3 = 2

х3 = 1

х = 1

4hello_html_272b8e57.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_maf82489.gifhello_html_m4571b53e.gifhello_html_2b28ca7a.gifhello_html_11f40ee1.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m42ade057.gif) и 5)

hello_html_m58f0a592.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_m23bb8eba.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m23bb8eba.gif+ - +

hello_html_75c5120c.gifhello_html_m7276d186.gifhello_html_27adac18.gif

0 1 х

Ответ: функция возрастает при х є (- ∞; 0) U [1; ∞), функция убывает при х є (0; 1]; x = 0 - точка максимума, х = 1 - точка минимума.

















Схема исследования функции на максимум и минимум на отрезке.

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции f(x).

3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).

4) Определить, какие из полученных точек принадлежат отрезку.

5) Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.

6) Из полученных чисел выбрать наибольшее-это максимум функции и наименьшее-это минимум функции.


Пример №1.

f(x) = 2x2 + 8x + 13 [-3; 0]

1) D(y) = R

2) f / (x) = 2*2x + 8*1 + 0 = 4x + 8

3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет

4x + 8 = 0

4х = -8

х = -8 : 4

х = -2

4) -2 є [-3; 0]

5) f(-3) = 2*(-3)2 + 8*(-3) + 13 = 18 - 24 + 13 = 7

f(-2) = 2*(-2)2 + 8*(-2) + 13 = 8 - 16 + 13 = 5

f(0) = 2*02 + 8*0 + 13 = 13

6) Ответ: min f(x) = f(-2) = 5, max f(x) = f(0) = 13.

[-3;0] [-3;0]


Пример №2.

f(x) = x3 - 1,5x2 - 6x + 1 [-2; 0]

1) D(y) = R

2) f / (x) = 3x2 - 1,5*2x - 6*1 + 1 = 3x2 - 3x - 6

3hello_html_m51e9bfde.gif) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет

3x2 - 3x - 6 = 0 : 3

x2 - x - 2 = 0

По теореме Виета х1 = -1, х2 = 2

4) х1 = -1 є [-2; 0]

hello_html_944f826.gifх2 = 2 є [-2; 0]

5) f(-2) = (-2)3 - 1,5*(-2)2 - 6*(-2) + 1 = -8 - 6 + 12 + 1 = -1

f(-1) = (-1)3 - 1,5*(-1)2 - 6*(-1) + 1 = -1 - 1,5 + 6 + 1 = 4,5

f(0) = 03 - 1,5*02 - 6*0 + 1 = 1

6) Ответ: min f(x) = f(-2) = -1, max f(x) = f(-1) = 4,5.

[-2;0] [-2;0]

















Схема исследования функции с помощью производной и построение графика функции.

Пример №1.


f(x) = 2x2 - x4


2) Чётность, нечётность функции.

f(x) = f(-x) - чётная

f(-x) = -f(x) - нечётная

f(-x) = 2*(-x)2 - (-x)4 = 2x2 - x4 = f(x) - чётная

3) Точки пересечения с осями координат.

Сhello_html_3e914d27.gifhello_html_3a6521b0.gif осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0

0 = 2x2 — x4 у = 2*02 - 04 = 0

х2 (2 - х2) = 0 (0;0)

х2 = 0 или 2 - х2 = 0

х = 0 х2 = 2

х = + √2

(0;0), (√2;0), (-2;0)

4) Производная, критические точки.

f / (x) = 2*2x - 4x3 = 4x - 4x3

4x - 4x3 = 0

4x(1 - x2) = 0

4x = 0 или 1 - х2 = 0

х = 0 х2 = 1

х = + 1

критические точки: 0; 1; -1

5) Промежутки возрастания, убывания, точки

экстремума.

hello_html_7d1e2596.gifhello_html_m68e4c5a3.gif

hello_html_3334358b.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_29cfc873.gifhello_html_m70563363.gifhello_html_m752d2d26.gifhello_html_d3ddde2.gifhello_html_m70563363.gif

hello_html_m77f7baaf.gif+ - + -


-1 0 1 х

т. max т. min т. max

6) Найти значения функции в точках максимума и

минимума (в дополнительных точках, если надо)

f(-1) = 2*(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1

f(0) = 2*02 - 04 = 0

f(1) = 2*12 - 14 = 2 - 1 = 1

7) Построить график функции.

hello_html_1cd3157f.gifhello_html_944f826.gifhello_html_18938e07.gifу





hello_html_f3d5dd8.gif1



hello_html_m2d7684af.gifhello_html_1d430eb2.gifhello_html_3c80bc03.gif

hello_html_7cc667e1.gifhello_html_maf82489.gif-1 0 1 х














Пример №2.

x

f(x) = x2 - 1


(- ∞; -1) U (-1;1) U (1; ∞)

2) Чётность, нечётность функции.

f(x) = f(-x) - чётная

f(-x) = -f(x) - нечётная

f(-x) = -x = _ x = - f(x) - нечётная

(-x)2 - 1 x2 - 1

3) Точки пересечения с осями координат.

Сhello_html_3e914d27.gifhello_html_3a6521b0.gif осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0

0 = x у= 0 =0

x2 -1 02 -1

xhello_html_3e914d27.gif=0 (0;0) (0;0)

4) Производная, критические точки.

f / (x) = (-x2 -1)/(x2 -1)2

-x2 -1 =0

(x2 -1)2

хhello_html_3e914d27.gifє Ǿ критических точек нет

5) Промежутки возрастания, убывания, точки

экстремума.

f / (x) < 0 для любого х ═> функция убывает на всей области определения, точек экстремума нет

6) Найти значения функции в точках максимума и

минимума (в дополнительных точках, если надо)

f(-2) = -2 = -2/3 f(-0,9) = -4,7

(-2)2 -1 f(0,9) = 4,7

f(2) = 2 = 2/3 f(1,1) = 5,2

(2)2 -1

f(-1,1) = -5,2

7) Построить график функции.

hello_html_1cd3157f.gifhello_html_944f826.gifhello_html_18938e07.gifу


hello_html_m66f79594.gifhello_html_m12da75c.gif



hello_html_f3d5dd8.gif1



hello_html_m2d7684af.gifhello_html_1d430eb2.gifhello_html_3c80bc03.gif

hello_html_7cc667e1.gifhello_html_maf82489.gifhello_html_m1689b086.gifhello_html_2ea7a7b7.gif-1 0 1 х



hello_html_m26a6436d.gif


hello_html_m18d4fda6.gif





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Справочный материал по теме"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Заведующий филиалом музея

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Материал содержит теоретическую часть и практическую. Вся теория собрана в виде определений и схем. Это: определение возрастающей, убывающей функции, признак возрастания или убывания функции, понятие критических точек, точек экстремума, экстремумов функции, признаки экстремума функции, схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума, схема исследования функции на максимум и минимум функции на отрезке, схема исследования функции и построение её графика. В практической части разобраны конкретные примеры на каждую схему.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 925 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Самостоятельная работа по математике за 5 класс по теме "Десятичная запись натуральных чисел".
  • Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
  • Тема: § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
  • 01.10.2020
  • 1867
  • 49
«Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 04.01.2015 366
    • DOCX 77.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Дрожжина Наталия Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Дрожжина Наталия Васильевна
    Дрожжина Наталия Васильевна
    • На сайте: 8 лет и 9 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 13436
    • Всего материалов: 9

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 224 человека из 56 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 679 человек из 79 регионов

Мини-курс

Инновационные технологии в краеведческой и географической работе со школьниками: применение туристических приемов для эффективного обучения

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Фитнес: особенности занятий и специфика питания

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 82 человека из 33 регионов

Мини-курс

Технологии и анализ в медиакоммуникациях

7 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе