Главная / Математика / справочный материал по теме

справочный материал по теме

Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Экстремумы функции.



hello_html_7db9199.gifhello_html_m16a39f1f.gif

hello_html_m2386726.gif если




hello_html_5a05c09f.gifhello_html_m2d6cef7a.gif

если

hello_html_m16d332bf.gif



Достаточный признак возрастания, убывания функции.

hello_html_mde42604.gifhello_html_23d2ee10.gif

Если , то



hello_html_m437fb6fb.gifhello_html_m37b06c81.gif

Если , то



Достаточное и необходимое условие постоянства функции.

hello_html_447fd3bf.gif

hello_html_35b739bd.gif

Если , то




Критические точки функции.

y=f(x) — непрерывная функция; х0 — внутренняя точка её области определения. Тогда

hello_html_4af163f8.gifhello_html_41826e4a.gif

еhello_html_b23835c.gifсли или , то




Точки экстремума.


hello_html_12c42ac6.gifhello_html_7788b553.gif

hello_html_m1ded6933.gif , если



hello_html_3837e406.gif

hello_html_4e1edfd0.gif

hello_html_m1ded6933.gif , если


Эhello_html_359941de.gifhello_html_3a2cccac.gifкстремумы функции.

hello_html_143b7e8a.gifhello_html_7b35f303.gif

hello_html_m3aa7833.gifhello_html_4e2d93f8.gifhello_html_3fa7c697.gifhello_html_m156bda6d.gif






Необходимый признак экстремума.

hello_html_1189320c.gifhello_html_m4e9311dd.gif

Если , то


Только критические точки являются точками экстремума, но не всякая точка экстремума является критической.



Достаточный признак экстремума функции.

1 признак

Пусть х0 — критическая точка функции y=f(x).

hello_html_57d2bd19.gif

hello_html_m2724ebde.gif

hello_html_7c16fc5c.gifhello_html_7c16fc5c.gif, то


hello_html_5c3fe9bf.gifhello_html_77d07570.gifhello_html_4e1b7961.gifhello_html_273793b.gifhello_html_3079561f.gifhello_html_m6d588d35.gifhello_html_m1597956.gifhello_html_77d07570.giff / (x) + -

hello_html_m41acc232.gifhello_html_m4adc99cf.gifх0 x

hello_html_7c16fc5c.gif

hello_html_2fb9e232.gif

hello_html_m1da8e41a.gif

, то

hello_html_1daea31e.gifhello_html_m283c97af.gifhello_html_273793b.gifhello_html_m5da3171c.gif

hello_html_5c3fe9bf.gifhello_html_77d07570.gifhello_html_m7fc6ab06.gifhello_html_m20b09614.giff / (x) - +

hello_html_m41acc232.gifhello_html_m4adc99cf.gifх0 x


2 признак

hello_html_5b48077e.gifhello_html_2fe20942.gifhello_html_m4a607d23.gifhello_html_7554f591.gif

Если , то . Если , то .






























Схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума.

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции f(x).

3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).

4) Отметить эти точки на координатной прямой. Они разбили её на промежутки.

5) Определить знак производной в каждом промежутке. Показать стрелками, где функция возрастает, а где убывает, используя признак.

6) Выписать в ответ промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.


Пример №1.

f(x) = 3х2 - 9х + 5

1) D(y) = R

2) f / (x) = 3*2x - 9*1 + 0 = 6x - 9

3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - нет таких точек

6x - 9 = 0

6х = 9

х = 9 : 6

х = 1, 5

4hello_html_2c3abe96.gifhello_html_m68ebd4c0.gifhello_html_m7941f122.gifhello_html_5bdcd38d.gifhello_html_2b5a4ebc.gif) и 5) - +

hello_html_m502fc0a1.gifhello_html_6db70dbc.gifhello_html_5bdcd38d.gifhello_html_26c4be14.gifhello_html_4a2bfcd4.gif

1,5 х

Ответ: функция убывает при х є (- ∞; 1,5], функция возрастает при х є [1,5; ∞); х=1,5-точка минимума.


Пример №2.

f(x) = 2x + 1/x2

1) D(y) = (- ∞; 0) U (0; ∞)

2) f / (x) = 2*1 + (x-2) / = 2 - 2x-3 = 2 - 2/x3

3) f / (x) = 0 f / (x) не существует при х=0

2 - 2/x3 = 0

3 - 2 = 0

3 = 2

х3 = 1

х = 1

4hello_html_m3372d296.gifhello_html_m7fc6ab06.gifhello_html_mb80c25.gifhello_html_7fd1b2bd.gifhello_html_4f4e4919.gifhello_html_m3b4853d7.gifhello_html_m7fc6ab06.gifhello_html_3fa7c697.gif) и 5)

hello_html_m142263f1.gifhello_html_2b5a4ebc.gifhello_html_77d07570.gifhello_html_3745b211.gifhello_html_2b5a4ebc.gifhello_html_3745b211.gif+ - +

hello_html_m387d436e.gifhello_html_99f6b38.gifhello_html_77d07570.gif

0 1 х

Ответ: функция возрастает при х є (- ∞; 0) U [1; ∞), функция убывает при х є (0; 1]; x = 0 - точка максимума, х = 1 - точка минимума.

















Схема исследования функции на максимум и минимум на отрезке.

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции f(x).

3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).

4) Определить, какие из полученных точек принадлежат отрезку.

5) Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.

6) Из полученных чисел выбрать наибольшее-это максимум функции и наименьшее-это минимум функции.


Пример №1.

f(x) = 2x2 + 8x + 13 [-3; 0]

1) D(y) = R

2) f / (x) = 2*2x + 8*1 + 0 = 4x + 8

3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет

4x + 8 = 0

4х = -8

х = -8 : 4

х = -2

4) -2 є [-3; 0]

5) f(-3) = 2*(-3)2 + 8*(-3) + 13 = 18 - 24 + 13 = 7

f(-2) = 2*(-2)2 + 8*(-2) + 13 = 8 - 16 + 13 = 5

f(0) = 2*02 + 8*0 + 13 = 13

6) Ответ: min f(x) = f(-2) = 5, max f(x) = f(0) = 13.

[-3;0] [-3;0]


Пример №2.

f(x) = x3 - 1,5x2 - 6x + 1 [-2; 0]

1) D(y) = R

2) f / (x) = 3x2 - 1,5*2x - 6*1 + 1 = 3x2 - 3x - 6

3hello_html_m49a3767c.gif) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет

3x2 - 3x - 6 = 0 : 3

x2 - x - 2 = 0

По теореме Виета х1 = -1, х2 = 2

4) х1 = -1 є [-2; 0]

hello_html_m21da93b1.gifх2 = 2 є [-2; 0]

5) f(-2) = (-2)3 - 1,5*(-2)2 - 6*(-2) + 1 = -8 - 6 + 12 + 1 = -1

f(-1) = (-1)3 - 1,5*(-1)2 - 6*(-1) + 1 = -1 - 1,5 + 6 + 1 = 4,5

f(0) = 03 - 1,5*02 - 6*0 + 1 = 1

6) Ответ: min f(x) = f(-2) = -1, max f(x) = f(-1) = 4,5.

[-2;0] [-2;0]

















Схема исследования функции с помощью производной и построение графика функции.

Пример №1.


f(x) = 2x2 - x4


1) Область определения функции.

D(y) = R

2) Чётность, нечётность функции.

f(x) = f(-x) - чётная

f(-x) = -f(x) - нечётная

f(-x) = 2*(-x)2 - (-x)4 = 2x2 - x4 = f(x) - чётная

3) Точки пересечения с осями координат.

Сhello_html_1cabeabe.gifhello_html_m4c58aa17.gif осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0

0 = 2x2 — x4 у = 2*02 - 04 = 0

х2 (2 - х2) = 0 (0;0)

х2 = 0 или 2 - х2 = 0

х = 0 х2 = 2

х = + √2

(0;0), (√2;0), (-2;0)

4) Производная, критические точки.

f / (x) = 2*2x - 4x3 = 4x - 4x3

4x - 4x3 = 0

4x(1 - x2) = 0

4x = 0 или 1 - х2 = 0

х = 0 х2 = 1

х = + 1

критические точки: 0; 1; -1

5) Промежутки возрастания, убывания, точки

экстремума.

hello_html_m15b28140.gifhello_html_m295b7063.gif

hello_html_68fba1aa.gifhello_html_77d07570.gifhello_html_77d07570.gifhello_html_77d07570.gifhello_html_57f17928.gifhello_html_m4016a100.gifhello_html_7683b550.gifhello_html_m7a9277f3.gifhello_html_m11bb7e3d.gif

hello_html_m67a90755.gif+ - + -


-1 0 1 х

т. max т. min т. max

6) Найти значения функции в точках максимума и

минимума (в дополнительных точках, если надо)

f(-1) = 2*(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1

f(0) = 2*02 - 04 = 0

f(1) = 2*12 - 14 = 2 - 1 = 1

7) Построить график функции.

hello_html_41ef2ecc.gifhello_html_4f53be8.gifhello_html_m2902565c.gifу





hello_html_m6d366d0e.gif1



hello_html_m1387dcaf.gifhello_html_4a2bfcd4.gifhello_html_2b5a4ebc.gif

hello_html_mefb40a6.gifhello_html_mb80c25.gif-1 0 1 х














Пример №2.

x

f(x) = x2 - 1


1) Область определения функции.

D(y) = (- ∞; -1) U (-1;1) U (1; ∞)

2) Чётность, нечётность функции.

f(x) = f(-x) - чётная

f(-x) = -f(x) - нечётная

f(-x) = -x = _ x = - f(x) - нечётная

(-x)2 - 1 x2 - 1

3) Точки пересечения с осями координат.

Сhello_html_1cabeabe.gifhello_html_m4c58aa17.gif осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0

0 = x у= 0 =0

x2 -1 02 -1

xhello_html_1cabeabe.gif=0 (0;0) (0;0)

4) Производная, критические точки.

f / (x) = (-x2 -1)/(x2 -1)2

-x2 -1 =0

(x2 -1)2

хhello_html_1cabeabe.gifє Ǿ критических точек нет

5) Промежутки возрастания, убывания, точки

экстремума.

f / (x) < 0 для любого х ═> функция убывает на всей области определения, точек экстремума нет

6) Найти значения функции в точках максимума и

минимума (в дополнительных точках, если надо)

f(-2) = -2 = -2/3 f(-0,9) = -4,7

(-2)2 -1 f(0,9) = 4,7

f(2) = 2 = 2/3 f(1,1) = 5,2

(2)2 -1

f(-1,1) = -5,2

7) Построить график функции.

hello_html_41ef2ecc.gifhello_html_4f53be8.gifhello_html_m2902565c.gifу


hello_html_m725533a1.gifhello_html_m50694edb.gif



hello_html_m6d366d0e.gif1



hello_html_m1387dcaf.gifhello_html_4a2bfcd4.gifhello_html_2b5a4ebc.gif

hello_html_mefb40a6.gifhello_html_mb80c25.gifhello_html_m273bc796.gifhello_html_6dfab747.gif-1 0 1 х



hello_html_m380ebcbe.gif


hello_html_1c24f31e.gif





справочный материал по теме
  • Математика
Описание:

Материал содержит теоретическую часть и практическую. Вся теория собрана в виде определений и схем. Это: определение возрастающей, убывающей функции, признак возрастания или убывания функции, понятие критических точек, точек экстремума, экстремумов функции, признаки экстремума функции, схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума, схема исследования функции на максимум и минимум функции на отрезке, схема исследования функции и построение её графика. В практической части разобраны конкретные примеры на каждую схему.

Автор Дрожжина Наталия Васильевна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 380
Номер материала 25579
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓