Главная / Математика / Справочные материалы по математике

Справочные материалы по математике

ПОДГОТОВКА К ОГЭ.


Справочные материалы для учащихся 9 класса.


Алгебра

Натуральные числа и действия над ними

Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не определяется через другие, более простые понятия. Натуральные числа возникли в результате счета предметов. Их можно записывать как ряд чисел: 1, 2, 3,…Обозначается множество натуральных чисел N.

Для натуральных чисел определены действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, причем сложение и умножение выполняются всегда.

Результат сложения двух или нескольких чисел называется их суммой, а сами числа – слагаемыми: a + b + c + … + k = p, где p – сумма; a, b, c,…k – слагаемые.

Законы:

  1. a + b = b + a – переместительный, коммутативный;

a · b = b · a

  1. (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательный, ассоциативный;

(a · b) · c= a · (b · c)

  1. (a + b) · c = a · c + b · c – распределительный, дистрибутивный.

c · (a + b) = c · a + c · b

Вычесть из числа а число b – значит найти такое число x, которое в сумме с числом b дает число a, т.е. ab = x, если b + x = a, где x – разность a и b и обозначается a - b, a – уменьшаемое, b - вычитаемое.

Разделить число a на число bзначит найти x, при умножении которого на число b получается a, т.е. a : b = x, если x · b = a, где a – делимое, b – делитель числа а, x – частное.

Число, которое делится на 2, называется четным.

Число, которое не делится на 2, называется нечетным.

Признаки делимости чисел.

  1. На 2 делятся все те, и только те числа, у которых в разряде единиц четное число.

  2. На 5 делятся все те, и только те числа, у которых цифра единиц 0 или 5.

  3. На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем.

  4. На 3 (9) делятся те, и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (9).

  5. На 4 (25) делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры – нули, или выражают число, делящееся на 4 (25).

  6. На 6 делятся те, и только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.

  7. Если каждое слагаемое делится без остатка на данное число, то и сумма разделится без остатка на данное число.

  8. Если делятся на данное число все слагаемые, кроме одного слагаемого, которое не делится на данное число, то и сумма не разделится на данное число.

  9. Если хотя бы один из сомножителей делится на данное число, то и все произведение разделится на данное число.


Простые и составные натуральные числа

Если одно из натуральных чисел делится на другое без остатка, то первое число называется кратным второго, а второе – делителем первого.

Например: 14 : 7=2, 14 – кратное числа 7, а 7 – делитель числа 14;

14 – кратное числа 2, а 2 – делитель числа 14.

Число a называется простым, если его делителями является только 1 и само число a. Например: 2, 3, 5, 13, 29,…

Число a, имеющее более двух натуральных делителей (кроме 1 и a) называется составным. Например: 4, 6, 15,…

Число 1 – ни простое, ни составное.

Основная теорема арифметики. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел или их степеней

Например: 110= 2 · 5 · 11;

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3;

525 = 3 · 5 · 5 · 7 = 3 · 52 · 7.


Наибольший общий делитель (НОД)

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называется общим делителем этих чисел.

Самый больший из общих делителей данных чисел называется их наибольшим общим делителем.

Например: найти НОД чисел 126; 540; 630.

Разложим эти числа на простые множители:

126=2·3·3·7; 540=2·2·3·3·3·5; 630=2·3·3·5·7.

Найдем наибольший общий делитель 2·3·3=18.

НОД(126, 540, 630)=18.

Таким образом, чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить их на простые множители, выписать их общие простые множители и перемножить.

Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.

Например: 16 и 25; НОД(16;25)=1, т.к. 16 = 2·2·2·2, 25 = 5·5.



Наименьшее общее кратное (НОК)

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называется общим кратным этих чисел.

Самое меньшее из общих кратных данных чисел называется их наименьшим общим делителем.

Например: найти НОК чисел 63; 280; 150.

Разложим эти числа на простые множители:

63=3·3·7; 280=2·2·2·5·7; 150=2·3·5·5.

Найдем наименьшее общее кратное 2·2·2·3·3·5·5·7=12600.

НОК(63;280;150)=12600.

Таким образом, чтобы найти НОК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, из большего числа выписывают все множители и к ним приписывают недостающие множители из разложений остальных чисел.

Если числа взаимно простые, то их произведение и есть НОК.


Дроби обыкновенные и десятичные

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью.

Записывается с помощью черты и двух натуральных чисел. Число, стоящее под чертой и показывающее, на сколько равных частей разделена единица, называется знаменателем дроби. Число, стоящее над чертой и показывающее, сколько взято таких равных частей, называется числителем дроби.

Дробную черту можно рассматривать как знак деления:hello_html_m3c12840f.gif

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице: hello_html_m5c24ab72.gif

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной: hello_html_148b0bab.gif.

Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной: hello_html_m41800f23.gif.

Дроби hello_html_eb1efe.gif и hello_html_m66561aa3.gif называются равными, если hello_html_m839031d.gif.

Основное свойство дроби. Если оба члена дроби увеличить в одно и то же число раз или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.

Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10,100,1000 и т.д. называют десятичной дробью: hello_html_1b6aa2b8.gifhello_html_604bc39c.gif.


Периодические дроби

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической: 0,3333…=0,(3); 2,6555…=2,6(5).

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде либо конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической дроби.

Правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.

Надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, а после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например: hello_html_m19e76c33.gifhello_html_41961cef.gif.

Правило перевода обыкновенной дроби в бесконечную периодическую дробь.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например: hello_html_m7619d9f8.gif.


Отношение. Проценты. Пропорции

Отношением числа x к числу y называется частное чисел x и y, то есть hello_html_m7d36df78.gif или х : у. Отношение hello_html_m7d36df78.gif означает во сколько раз x больше y, или какую часть числа y составляет число x.

Пропорцией называется равенство двух отношений, то есть hello_html_mb483874.gif.

а и y называются крайними членами, x и b называются средними членами пропорции.

Свойства пропорции.

  • произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, то есть если hello_html_mb483874.gif, то hello_html_m31abaf0b.gif.

  • обратно: числа a,b,x,y составляют пропорцию hello_html_mb483874.gif, если hello_html_m31abaf0b.gif.

  • из пропорции hello_html_m5ab8d98a.gif вытекают пропорции hello_html_512cbbd9.gif, то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

  • чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции

hello_html_m688805e2.gif;

hello_html_6b265770.gif.hello_html_m53d4ecad.gif

Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком % .

Чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на сто.

Например: 125%=1,25; 2,3%=0,023.

Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти а% от числа b, надо b умножить на а и разделить на 100.

Например: 30% от 60 составляют hello_html_m2d639284.gif.

Нахождение числа по его процентам. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение чисел умножить на 100%, то есть hello_html_m5ee8ae9a.gif.

Например: при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпускает 66 автомобилей. На сколько процентов выполнен план?

Решение: hello_html_m3d58fab8.gif.


Целые числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами: 1 и -1, 2 и -2, 15 и -15,…

Числа натуральные, им противоположные, а так же число нуль составляют множество целых чисел Z.

Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называется множеством целых неотрицательных чисел.

Для целых чисел определены действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, причем сложение, вычитание и умножение выполняются всегда.


Рациональные числа

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел Q. Любое рациональное число hello_html_14ad4a6b.gif может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

На множестве рациональных чисел можно производить действия сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на нуль).


Иррациональные числа

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь. Множество таких дробей составляет множество иррациональных чисел I.

Например: 0,131331333125…;

π ≈ 3,14;

e ≈ 2,7;

hello_html_m7171dfbe.gifи т.д.


Действительные числа

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел даёт множество действительных чисел, которое обозначается R.


Числовая прямая, числовые промежутки

Прямую линию с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

hello_html_670f66c3.png

Каждому числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.

Для числовых промежутков вводят обозначения:

  • [a; b] или a≤ х b – замкнутый промежуток (или отрезок) с началом a и концом b;

  • (a; b) или a< х <b - открытый промежуток (интервал);

  • (a; b] или a< х b; [a; b) или a≤ х < b – полуоткрытые промежутки (полуинтервалы);

  • [a; + ∞) или х ≥ a; (- ∞; b] или х b – лучи;

  • (a; + ∞) или х >a; (- ∞; b) или х < b – открытые лучи;

  • (- ∞; + ∞) = R – координатная прямая.


Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называется само это число, если a≥ 0, и противоположное число a, если a< 0. Модуль a обозначается |a|. Итак,

hello_html_m682c3c37.gif

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчёта.

Если a≠0, то на координатной прямой существуют две точки a и a, равноудалённые от нуля, модули которых равны:

hello_html_m741ab644.png

Свойства.

hello_html_573f7133.gifhello_html_m13891fc7.gif


Степень с натуральным показателем. Понятие. Свойства

Степенью числа a с показателем n, где nhello_html_m289d78ff.gifN, аhello_html_m289d78ff.gifR, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a: hello_html_m3b7c331f.gif.

Число a называется основанием степени, n – показателем степени.

Свойства:

  • при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним

hello_html_me98c536.gif

  • при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним hello_html_2e3c57b0.gif

  • при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним

hello_html_m3ad4dafa.gif

  • степень произведения равна произведению степеней множителей hello_html_m2f083d50.gif

  • степень частного равна частному степеней делимого и делителя: hello_html_23e958c7.gif

  • hello_html_117d896b.gif

  • hello_html_m7fe4451f.gif

  • если 0 ≤ а < b, то hello_html_m785e141.gif

  • если а > 1, то hello_html_m22995585.gif, при m > n.

  • если 0 < а < 1, то hello_html_m1514a109.gif при m > n.

  • если а < 0, то hello_html_m76247072.gif при четном n и hello_html_5dd65857.gif при нечетном n.

Утверждения:

  • чётная степень отрицательного числа есть число положительное;

  • нечётная степень отрицательного числа есть число отрицательное;

  • любая степень положительного числа есть число положительное;

  • при возведении нуля в любую натуральную степень получается нуль;

  • при возведении 1 в любую натуральную степень получается единица.


Степень с целым и дробным (рациональным) показателем.

  1. Рассмотрим степень ар, где рhello_html_m289d78ff.gifZ.

Если р=0,то hello_html_144b5a86.gif при hello_html_10d311d3.gif

Если р<0, то hello_html_2a3f0438.gif при hello_html_10d311d3.gif

  1. Рассмотрим степень hello_html_77c00403.gif, где hello_html_e199657.gif - рациональное число. Выражение hello_html_77c00403.gif имеет в общем виде смысл только при а>0. Если а>0, рhello_html_m289d78ff.gifZ, qhello_html_m289d78ff.gifN, то hello_html_271ff217.gif.

  2. Степень с целым и рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем:

hello_html_m59d90308.gif;

hello_html_m7777f5cd.gif;

hello_html_m3988a1c4.gif;

hello_html_3148e40f.gif;

hello_html_e6fad6d.gif.



Квадратный корень и его свойства

Квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а.

Нахождение квадратного корня из числа а называется извлечением квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из числа a0) называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Для арифметического квадратного корня из числа а принято обозначение: hello_html_2b56dc21.gif. Знак hello_html_7ba67ce3.gif называют знаком арифметического квадратного корня, а число а - подкоренным выражением.

Оба равенства для арифметических корней: hello_html_m31412288.gif при hello_html_m4e0ea9c3.gif и hello_html_m7a42600f.gif при hello_html_217b798c.gif можно объединить в одно: hello_html_m238b2914.gif при любом действительном а.

Свойства:

1. hello_html_m102a1811.gif.

2. hello_html_39f1f7cb.gif.

3. hello_html_2ad1d1ce.gif.





Числовые выражения

Из чисел, знаков действий и скобок можно составить различные числовые выражения: hello_html_403b5ec2.gif

Выполняя указанные в выражении действия, получим число, которое называется числовым значением или значением выражения.

Если в выражении встречается деление на нуль, то выражение не имеет смысла.

Два выражения называются тождественно равными, если при всех значениях, входящих в них переменных, принадлежащих общей области определений, соответственные значения этих выражений равны.


Одночлены. Многочлены

Алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел переменных и их степеней, называется одночленом: 3ax4; -2b; 0,5c3(-3b2).

Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных: -2; а; 53; -9а5х3.

Степенью одночлена стандартного вида называется сумма показателей степеней переменных.

Например: 3у5 – степень одночлена равна 3+5=8;

число 7 имеет нулевую степень, т.к. 7=7х0.

Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом или равные между собой, называются подобными. Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называют приведение подобных членов.

Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.

Например:2-3ах5-6 – многочлен;

hello_html_m468ecf1f.gif- не многочлен.

Если в многочлене все одночлены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то полученный многочлен называется многочленом стандартного вида: 2х3у3+1,8ху4-3у+7.

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Степень многочлена стандартного вида, рассмотренного ранее равна 3+3=6.


Формулы сокращённого умножения

  1. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа: hello_html_7bd87958.gif.

  2. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа: hello_html_2ab070b5.gif.

  3. Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел: hello_html_4a325c6e.gif.

  4. Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс куб второго числа: hello_html_b3447ff.gif.

  5. Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа: hello_html_45ed25a.gif.

  6. Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел: hello_html_5680d281.gif.

  7. Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел: hello_html_m75699f8a.gif.

Разложение многочленов на множители

Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называется разложением многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Например: hello_html_509dfda3.gif.

2 способ. Группировка.

Если члены многочлена не имеют общего множителя, отличного от 1, то следует попытаться разложить такой многочлен способом группировки. Для этого надо объединить в группу те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки общий множитель каждой группы. Если после такого преобразования окажется общий множитель у всех получившихся групп, то его выносят за скобки. Этот способ называется способом группировки.

Например: hello_html_4400b31.gif

3 способ. Использование формул сокращенного умножения.

Например:

1)hello_html_m345773f7.gif

2)hello_html_m29175b8f.gif


Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения. Линейные уравнения

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные переменные.

Уравнение с одним неизвестным x записывается в виде f(x)=g(x).

Корнем уравнения называется всякое число, при подстановке которого вместо неизвестной в обе части уравнения получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Областью определения (ОО) уравнения или областью допустимых значений уравнения (ОДЗ) называется множество всех тех значений переменных x, при которых оба выражения f(x) и g(x) имеют смысл.

Два уравнения называются равносильными на данном числовом множестве, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней.

Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ax + b = 0, где а и b – действительные числа, x – неизвестная величина.

При решении линейного уравнения возможны случаи:

  • если а ≠ 0, то ax + b = 0, hello_html_m38c6fc20.gif один корень;

  • если a = b = 0, то hello_html_64737a96.gif, hello_html_e0b231a.gif бесконечное множество решений;

  • если a = 0, b ≠ 0, то hello_html_m1a420cfb.gif корней нет.



Квадратные уравнения. Теорема Виета

Уравнение вида hello_html_7d8bf9a.gif, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем, а ≠ 0, называется квадратным.

а – первый коэффициент;

b – второй коэффициент;

с – свободный член.

Квадратные уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называются неполными.

hello_html_6ee54cc.gif

hello_html_m7533c128.gif

hello_html_m732cdf17.gif

hello_html_m6cf1c498.gif

  1. Если ас > 0 – корней нет

  2. Если ac < 0 hello_html_1b730b13.gifhello_html_77078eaf.gif

hello_html_6d84615.gif

x=0

Выведем формулу корней квадратного уравнения. Для этого решим уравнение hello_html_7d8bf9a.gif, где а ≠ 0. Разделим все его члены на а. Получим равносильное уравнение: hello_html_m66e581a9.gif (2).

Выделим полный квадрат: hello_html_56f435c8.gif .

Тогда уравнение (2) примет вид hello_html_714dbb6.gif

или hello_html_m345efee6.gif (3).

Число корней зависит от знака дроби hello_html_m5c2f0aa4.gif, т.к. а ≠ 0, то hello_html_5ae8b76b.gifhello_html_1b730b13.gif знак определяется выражением hello_html_m63e121f4.gif. Обозначим его D = hello_html_m63e121f4.gif и назовем дискриминантом. Тогда уравнение (3) перепишется в виде: hello_html_2730a6d5.gif (4). Рассмотрим случаи:

D < 0

D = 0

D > 0

hello_html_m73a64304.gif, но

hello_html_m79d82386.gifдля любого действительного x.

Значит, корней нет.



hello_html_e6522a7.gif

hello_html_2730689d.gif

Значит, два равных корня hello_html_40587926.gif.



hello_html_m50078fd5.gifто hello_html_3da80619.gif

hello_html_24cd0be3.gif

hello_html_m5ea67393.gif

hello_html_2b31ca4f.gifилиhello_html_6d3608ae.gifhello_html_60aa275a.gif или hello_html_m3c85e22a.gif

Значит, два различных корня hello_html_670fe1e0.gif

hello_html_3c99395b.gif, где

D = hello_html_m63e121f4.gif


При решении квадратного уравнения, в котором второй коэффициент

b – четное число, используют следующую формулу:

hello_html_7ea9e833.gif, где hello_html_1a9015e9.gif.


Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называется приведенным: hello_html_m78a477e9.gif. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формулам: hello_html_m443dda68.gif;

hello_html_m25e964c5.gif.

Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения hello_html_7d8bf9a.gif равна hello_html_m375ed783.gif, произведение корней равно hello_html_m2c460de.gif.

Доказательство:

hello_html_27f0d6eb.gif

Теорема доказана.

Следствие: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: hello_html_m1d0fa4f7.gif

Обратная теорема: Если числа x1 и x2 такие, что hello_html_64003deb.gif, то они являются корнями квадратного уравнения hello_html_7d8bf9a.gif.



Определение знаков корней квадратного уравнения.

Оба положительны

Оба отрицательны

Одного знака

Разных знаков

hello_html_13af99fb.gif

hello_html_m7e97dc15.gif

hello_html_7c187e3d.gif

hello_html_34e40950.gif

Уравнение 4-ой степени вида hello_html_73989f41.gif, где а ≠ 0, называется биквадратным.


Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен вида hello_html_7b9d742e.gif, где

x – переменная, a, b, c – числа, причем а ≠ 0.

Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю.

Квадратный трехчлен имеет те же корни, что и квадратное уравнение hello_html_7d8bf9a.gif. Так же применима теорема Виета.

Теорема: Если x1 и x2 – корни квадратного трехчлена hello_html_7b9d742e.gif, его можно разложить на множители: hello_html_m3c171b4a.gif.

Доказательство:

hello_html_64dbff65.gif. По теореме Виета hello_html_64003deb.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_5765e1f0.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m5c4f5204.gifТеорема доказана.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.





Уравнения с несколькими неизвестными. Системы уравнений

Уравнение вида f(x; y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих уравнение в верное равенство. Обычно решение записывают в виде пары чисел (x0; y0).

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство.

Уравнение вида hello_html_m3b992ee7.gif, где x, y – переменные, a, b, c – действительные числа, называется линейным.

Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, удовлетворяющих каждому из уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Система линейных уравнений с двумя переменными имеет вид hello_html_m454cf27.gif.

Не решая систему линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

1. Если hello_html_m472a0021.gif, т.е. коэффициенты при x и y не пропорциональны, то система имеет одно решение. Графически – прямые пересекаются.

2. Если hello_html_6faad6f8.gif, т.е. коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены нет, то система не имеет решений. Графически – прямые параллельны.

3. Если hello_html_m3d1f554c.gif, т.е. все коэффициенты пропорциональны, то система имеет множество решений. Графически – прямые совпадают.

Методы решения систем уравнений:

  1. Метод подстановки.

  2. Метод алгебраического сложения.

  3. Графический метод.

  4. Метод введения новых переменных.


Неравенства и их свойства

Запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком >, <, ≥, ≤ называется неравенством.

Неравенства, составленные с помощью знаков >, < называются строгими; неравенства, составленные с помощью знаков ≥, ≤, называются нестрогими.

Два неравенства вида a > b и c > d называются неравенствами одинакового смысла; а вида a > b, c < d неравенствами противоположного смысла.

Вместо двух неравенств x < a, a < y используется запись x < a < yдвойное неравенство.

Неравенства, содержащие только числа, называются числовыми неравенствами.

Решить неравенство, содержащее переменную, это значит найти множество значений переменной, при котором это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решением неравенства.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Свойства:

  1. Если a > b, то b < a.

  2. Если a > b и b > c, то a > c.

  3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство: a > b => a + c > b + c.

  4. Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, переменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство: a + b > c => ac > -b.

  5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство: a > b, n > 0 => na > nb (hello_html_63cf6a27.gif).

  6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство: a > b, n < 0 =>

na < nb (hello_html_m76e62fe8.gif).

  1. Неравенства одного смысла можно почленно складывать: a > b, c > d =>a + c > b + d

  2. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать:

a > b, c < d => a - c > b - d

  1. Если a > b > 0, c > d > 0 => ac > bd.

  2. Обе части неравенства можно возводить в одну и ту же натуральную степень: a > b > 0, m hello_html_m289d78ff.gifN => am > bm.

  3. Из каждой части неравенства можно извлекать корень одной и той же натуральной степени: a > b > 0, m hello_html_m289d78ff.gifN => hello_html_128da9a2.gif.


Решение линейных неравенств

Линейным неравенством называется неравенство вида hello_html_m28a1e192.gif.

Если a>0, то неравенство hello_html_m4a7588c4.gif равносильно неравенству hello_html_625d279f.gif.

Если a<0, то неравенство hello_html_m4a7588c4.gif равносильно неравенству hello_html_5d8d98b6.gif.


Например:

hello_html_m13dda677.gif

hello_html_m7b4f9506.gif

hello_html_m36b1045a.gif


Решение квадратных неравенств

Квадратным неравенством называется неравенство вида hello_html_m780711a5.gif, где hello_html_27ca5b09.gif. Возможны так же знаки нестрогих неравенств hello_html_m31999f63.gif.

Решение неравенства такого типа можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция hello_html_27d7c1da.gifпринимает положительные или отрицательные значения.

С помощью графика квадратного трехчлена можно указать те значения х, при которых будет выполняться нужное неравенство hello_html_m6c3b1e63.gif или hello_html_67ed2a6e.gif. Все возможные случаи расположения параболы hello_html_27d7c1da.gif относительно оси х представлены на рисунке.

hello_html_1bb3285c.png


Квадратные неравенства можно решать методом интервалов.



Решение рациональных неравенств методом промежутков

Неравенство имеет вид hello_html_7c7a2b06.gif, где P(x) и Q(x) – многочлены. Вместо знака > может быть любой знак неравенства.

Решение рациональных неравенств методом промежутков (методом интервалов) основано на следующем свойстве функций вида hello_html_m4c71cd19.gif, где P(x) и Q(x) – рациональные выражения: если такая функция обращается в нуль в точках x1 и х2 (х1 < х2) и между этими точками не имеет других нулей или точек разрыва, то в промежутке (х1; х2) функция сохраняет знак.

Для нахождения таких промежутков знакопостоянства функции hello_html_110e5389.gif на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция обращается в нуль или не существует (терпит разрыв). Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой-либо точке данного промежутка.

Изменение знаков функции f(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которую чертят справа налево. На тех промежутках, где кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство f(x)>0; на тех промежутках, где кривая проходит ниже, – неравенство f(x)<0.


Понятие функции, график функции,

область определения, множество значений

Зависимость переменной y от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись: y=f(x). Переменную х называют независимой переменной (аргументом); у называют зависимой переменной (функцией). Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции D(f).

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции Е(f).

Элементы множества D(f) так же называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы множества Е(f) - значениями функции.

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек (х; у) координатной плоскости, таких, что hello_html_m70a3a08e.gif, а у = f(x), причем х называется абсциссой, у – ординатой.

Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции:

  1. Аналитический – с помощью формулы: у = 5х2 – 7.

  2. Табличный – с помощью таблицы:

    х

    0

    3,5

    7,3

    15

    у

    1

    4

    1,8

    9,2

  3. Описательный.

  4. Графический – с помощью графика:

hello_html_6eca9fc0.png



Свойства функции

1. Областью определения функции называются все значения переменной х, при которых функция имеет смысл (выполнимы указанные действия).

2. Множеством значений функции называются все значения переменной у.

3. Функция у = f(x) называется четной, если для любого значения х из области определения функции значение –х так же принадлежит области определения (область определения симметрична относительно начала отсчета) и выполняется равенство: f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).

Функция у = f(x) называется нечетной, если для любого значения х из области определения функции значение так же принадлежит области определения и выполняется равенство: f(-x) = -f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

4. Нулем функции называется такое значение аргумента х из области определения функции, при котором значение функции равно 0. Для того, чтобы найти нули функции необходимо решить уравнение f(x) = 0.

5. Промежутки, на которых функция либо положительна, либо отрицательна, т.е. имеет один и тот же знак, называются промежутками знакопостоянства.

6. Функция называется периодической, если существует такое число

Т ≠ 0, что для любого значения аргумента х из области определения значения х+Т и х–Т так же принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x - T).

7. Функция называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких что х1 < х2, выполняется неравенство

f(x1) > f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастающая или убывающая на некотором промежутке функция называется монотонной.

Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности.

8. Функция называется ограниченной снизу на некотором множестве Х, если существует такое действительное число М, что для каждого hello_html_m10d6c1e8.gif, f(x) hello_html_m78774d40.gifM.

Функция называется ограниченной сверху на некотором множестве Х, если существует такое действительное число М, что для каждого hello_html_m10d6c1e8.gif, f(x) hello_html_m7ceebba.gifM.

Функция называется ограниченной на некотором множестве Х, если она ограничена и снизу, и сверху.

9. Наибольшим значением функции называется самое большое значение, которое принимает переменная у; наименьшим значением функции называется самое маленькое значение, которое принимает переменная у.


Линейная функция, ее свойства и график

Функция, заданная формулой hello_html_15e33749.gif, где к и b - некоторые числа, называется линейной.

Коэффициент к=tgα характеризует угол α, который образует прямая hello_html_m3fcc3b3d.gif с положительным направлением оси ОХ, и называется угловым коэффициентом. Если к>0, то угол острый; если к<0, то угол тупой; если к=0, то прямая совпадает с осью Оx или ей параллельна.

Свойства:

  1. D(y)=R.

  2. Е(y)=R.

  3. Функция ни четная, ни нечетная, т.к. hello_html_13c5d351.gif не является четной; hello_html_3e969457.gif не является нечетной.

  4. у = 0 при hello_html_m51529aa0.gif (нули функции).

  1. Промежутки знакопостоянства:

  • если к > 0, у < 0 при hello_html_m4dcfdea1.gif; у > 0 при hello_html_m63613b14.gif;

  • если к < 0, у < 0 при hello_html_m63613b14.gif; у > 0 при hello_html_m4dcfdea1.gif.

6. Функция возрастает при к>0 и убывает при к<0 на R.

7. Функция неограниченна, непрерывна.

Графиком функции является прямая. Для ее построения можно найти точки пересечения с осями координат:

  • с осью ОХ: у = 0, hello_html_m440eb504.gif А(hello_html_17bbee04.gif; 0);

  • с осью ОУ: х = 0, у = b hello_html_1b730b13.gif В(0; b).

hello_html_m73a3cd0a.png

График функции hello_html_m40739da.gif может быть построен с помощью параллельного переноса на |b| единиц вверх (b>0), или вниз (b<0) графика функции hello_html_m47396883.gif. Зависимость hello_html_m47396883.gif называется прямой пропорциональностью.

Рассмотрим частные случаи линейной функции.

Если b = 0, то hello_html_m47396883.gif.

Если k=0, то y=b.

Свойства:

1. D(y)=R.

2. Е(y)=R.

3. Функция нечетная, т.к. hello_html_7cceb2e8.gif.

4. у = 0 при hello_html_69c4e849.gif.

5. Промежутки знакопостоянства:

  • если к > 0, у < 0 при hello_html_7c032f2d.gif;

у > 0 при hello_html_m1772f656.gif;

  • если к < 0, у < 0 при hello_html_m1772f656.gif;

у > 0 при hello_html_7c032f2d.gif.

6. Функция возрастает при к>0 и

убывает при к<0 на R.

7. Функция неограниченна, непрерывна.

Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

hello_html_2810a74a.png

Свойства:

1. D(y)=R.

2. Е(y)=b.

3. Функция четная, т.к. hello_html_m3ae0de87.gif.

4. у hello_html_3750bfcb.gif 0.

5. Промежутки знакопостоянства:

  • если b > 0, у > 0;


  • если b < 0, у < 0.


6. Функция постоянна на R.


7. Функция непрерывна.


Графиком функции является прямая, параллельная оси Ox.


hello_html_13aa27dc.png


Функция hello_html_m30597a7c.gif, ее свойства и график

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой hello_html_5e9ebb7f.gif, где hello_html_31f1264c.gif - коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства:

1. D(у) = hello_html_c578993.gif.

2. Е(у) = hello_html_c578993.gif.

3. Нечетная, т.к. hello_html_m19cd7621.gif.

4. Промежутки знакопостоянства:

  • если k > 0, то y > 0 при hello_html_m4ac39b72.gif;

y < 0 при hello_html_18921d99.gif;

  • если k < 0, то y > 0 при hello_html_18921d99.gif;

y < 0 при hello_html_m4ac39b72.gif.

5. Монотонность:

  • при hello_html_34db190e.gifфункция возрастает на hello_html_m260840fd.gif и hello_html_m3ba42ffa.gif;

  • при hello_html_mfd5024d.gifфункция убывает на hello_html_m260840fd.gif и hello_html_m3ba42ffa.gif.

Графиком обратной пропорциональности hello_html_5e9ebb7f.gif является кривая, состоящая из 2-х ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой.


hello_html_4e40290d.png



Функция hello_html_m74dcc9e0.gif ее свойства и график

Функция вида hello_html_m74dcc9e0.gif, где а – некоторое число, аhello_html_3750bfcb.gif0, называется квадратичной.

График функции hello_html_m74dcc9e0.gifможет быть получен с помощью графика функции hello_html_5b3ca6d4.gif:

  • если а>1 , то растяжение вдоль оси Оу в а раз;

  • если 0<a<1, то сжатие вдоль оси Оу в hello_html_41f81115.gif раз;

  • если а<0, то симметрично относительно оси Ох.

Рассмотрим свойства и график функции hello_html_m74dcc9e0.gifв зависимости от знака а.

а > 0

а < 0

1. Д (у) = R.

2. E (y) = hello_html_m3ccbe9ea.gif.

3.Функция четная, т.к. hello_html_7057ccea.gif.

4. у = 0 при х = 0.

5. у>0 при hello_html_m79c2b368.gif.

6. Монотонность:

  • функция возрастает на hello_html_m618a6a2.gif;

  • функция убывает на hello_html_2e1c59c3.gif.

7. унаим = 0 при х=0.

8. Функция ограничена снизу нулем, непрерывна.

hello_html_m4f643495.png

1. Д (у) = R.

2. E (y) =hello_html_m7b0e6f7d.gif.

3.Функция четная, т.к. hello_html_7057ccea.gif.

4. у = 0 при х = 0.

5. у<0 при hello_html_m79c2b368.gif.

6. Монотонность:

  • функция возрастает на hello_html_2e1c59c3.gif;

  • функция убывает на hello_html_m618a6a2.gif.

7. унаиб = 0 при х=0.

8. Функция ограничена сверху нулем, непрерывна.

hello_html_m67d95c62.png


Графики функций hello_html_m9b98e10.gifи hello_html_5e9c02ef.gif. Преобразование графика

Графиком функции hello_html_m9b98e10.gif является парабола, которая может быть получена из графика функции hello_html_m4b621605.gif с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на |n| единиц вверх, если n>0; или на hello_html_7b50cf65.gif единиц вниз, если n<0.

Рассмотрим графики функции hello_html_m9b98e10.gifпри a > 0.

n > 0

n < 0

hello_html_m75f473c9.png


1. D(y)=R.

2. E(y)=hello_html_30b0378d.gif.

3. Четная.

4. Нулей нет.

5. y > 0 при hello_html_4a0ce966.gif.

6. Возрастает на hello_html_m618a6a2.gif;

убывает на hello_html_2e1c59c3.gif.

7. унаим = n при х = 0.

8. Ограничена снизу n, непрерывна.

hello_html_m67e910e8.png

1. D(y)=R.

2. E(y)=hello_html_30b0378d.gif.

3. Четная.

4. у = 0 при hello_html_4bea3a5c.gif.

5. y > 0 при hello_html_66739895.gif;

y < 0 при hello_html_108cb4b7.gif.

6. Возрастает на hello_html_m618a6a2.gif;

убывает на hello_html_2e1c59c3.gif.

7. унаим = n при х = 0.

8. Ограничена снизу n, непрерывна.


Рассмотрим графики функции hello_html_m9b98e10.gifпри a < 0.

n > 0

n < 0

hello_html_mead1c04.png

1. D(y)=R.

2. E(y)=hello_html_737e69c3.gif.

3. Четная.

4. у = 0 при hello_html_4bea3a5c.gif.

5. y > 0 при hello_html_108cb4b7.gif;

y < 0 при hello_html_66739895.gif.

6. Возрастает на hello_html_2e1c59c3.gif;

убывает на hello_html_m618a6a2.gif.

7. унаиб = n при х = 0.

8. Ограничена сверху n, непрерывна.

hello_html_118a07ab.png

1. D(y)=R.

2. E(y)= hello_html_737e69c3.gif.

3. Четная.

4. Нулей нет.

5. y < 0 при hello_html_4a0ce966.gif.

6. Возрастает на hello_html_2e1c59c3.gif;

убывает на hello_html_m618a6a2.gif.

7. унаиб = n при х = 0.

8. Ограничена сверху n, непрерывна.


Графиком функции hello_html_5e9c02ef.gif является парабола, которая может быть получена в результате параллельного переноса графика функции hello_html_m4b621605.gif вдоль оси Оx на |m| единиц вправо, если m>0; или на |m| единиц влево, если m<0.

a > 0

a < 0

hello_html_m2450a25d.png

1. D(y)=R.

2. E(y)=hello_html_m618a6a2.gif.

3. Ни четная, ни нечетная.

4. у = 0 при х=т.

5. y > 0 при hello_html_270fe2d1.gif.

6. Возрастает на hello_html_m4400e96b.gif;

убывает на hello_html_m489f275d.gif.

7. унаим = 0 при х = т.

8. Ограничена снизу нулем, непрерывна.

hello_html_m2582c7a7.png

1. D(y)=R.

2. E(y)=hello_html_4f99a1b2.gif.

3. Ни четная, ни нечетная.

4. у = 0 при х=т.

5. y < 0 при hello_html_270fe2d1.gif.

6. Возрастает на hello_html_m489f275d.gif;

убывает на hello_html_m4400e96b.gif.

7. унаиб = 0 при х = т.

8. Ограничена сверху нулем, непрерывна.

График функции hello_html_22b4a51e.gif может быть получен с помощью 2-х параллельных переносов описанных выше.


Преобразование графиков

1. График функции hello_html_7385b51a.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на |n| единиц вверх, если n>0; или на hello_html_7b50cf65.gif единиц вниз, если n<0.

2. График функции hello_html_m3de5853d.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на |m| единиц вправо, если m>0; или на hello_html_m3eb3ab91.gif единиц влево, если m<0.

3. График функции hello_html_m56c4e0fe.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощи 2-х параллельных переносов: вдоль оси Оу на |n| единиц вверх, если n>0; или на hello_html_7b50cf65.gif единиц вниз, если n<0., вдоль оси Ох на |m| единиц вправо, если m>0; или на hello_html_m3eb3ab91.gif единиц влево, если m<0.

4. График функции hello_html_m549d5be6.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощью симметричного отображения относительно оси Ох.

5. График функции hello_html_m15a7c395.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощью симметричного отображения относительно оси Оу.

6. График функции hello_html_m6bee9deb.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощью сжатия вдоль оси Ох к оси Оу в а раз, если a>1; или растяжения вдоль оси Ох от оси Оу в hello_html_41f81115.gif раз, если 0<a<1.

7. График функции hello_html_18ff64c2.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif с помощью растяжения вдоль оси Оу от оси Ох в а раз, если а>1; или сжатия вдоль оси Оу к оси Ох в hello_html_41f81115.gif раз, если 0<a<1.

8. График функции hello_html_67d5377c.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif следующим образом: часть графика hello_html_18a58ebd.gif, лежащая над осью Ох сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

9. График функции hello_html_m47223dca.gif можно получить из графика функции hello_html_18a58ebd.gif следующим образом: при hello_html_56593ee2.gif график hello_html_18a58ebd.gif сохраняется, а при х<0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.



Квадратичная функция. Посторенние графика квадратичной функции

Функция, заданная формулой hello_html_m8d48b24.gif, где х,у – переменные, а,в,с – заданные числа, hello_html_m5a9c9332.gif, называется квадратичной.

Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Опишем два из них.

1 способ. Квадратичную функцию hello_html_m8d48b24.gif всегда можно привести к виду hello_html_22b4a51e.gif путем выделения полного квадрата.

Преобразуем квадратный трехчлен hello_html_4111cc77.gif. Имеем: hello_html_5cca9e3b.gif Получили формулу hello_html_m4364f962.gif

Эта формула имеет вид hello_html_22b4a51e.gif, где hello_html_m547cc3cb.gif и hello_html_6e6fa9c3.gif

График функции hello_html_22b4a51e.gif получается из графика функции hello_html_m4b621605.gif с помощью параллельного переноса, при котором точка hello_html_m28b325ff.gif переходит в точку hello_html_m22627748.gif. Значит, график любой квадратичной функции hello_html_m8d48b24.gif получается из графика функции hello_html_m4b621605.gif с помощью указанного параллельного переноса.

2 способ. График функции hello_html_m8d48b24.gif есть парабола. Ее вершиной является точка (m; n), где hello_html_m547cc3cb.gif и hello_html_6e6fa9c3.gif Осью симметрии параболы служит прямая х = т, параллельная оси Оу. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 – вниз. Для построения графика квадратичной функции находят координаты нескольких точек соответствующей параболы:

  • абсциссу вершины параболы по формуле hello_html_59bd46b.gif, а ординату – hello_html_2d646339.gif;

  • нули функции;

  • точку пересечения параболы с осью Оу – точку (0; с);

  • дополнительные точки, если необходимо.



Д >0

Два корня х1 и х2; график пересекает ось Ох в двух точках.

Д = 0

Один корень х0; график касается

оси Ох.

Д < 0

Корней нет;

график по одну сторону от оси Ох.





a > 0

hello_html_743caf29.png



hello_html_m33f59475.png



hello_html_591d2af6.png




a < 0

hello_html_1c94a745.png

hello_html_m1df7ea6f.png


hello_html_m26d568a.png



Степенная функция hello_html_61ccc7d8.gif

Функция вида hello_html_143acca2.gif называется степенной функцией с показателем степени n.

Если n = 2, тоhello_html_545da3bf.gif.

1. D(y) = R.

2. E(y) =hello_html_m3ccbe9ea.gif.

3. Функция четная.

4. y=0 при x=0.

5. y > 0 при hello_html_m6e2a59f0.gif.

6. Функция возрастает на hello_html_m3ccbe9ea.gif;

Функция убывает на hello_html_m7b0e6f7d.gif.

7. Функция непрерывна, ограничена снизу нулем.



hello_html_m516fbe65.png

Если n = 3, то hello_html_m3748a5de.gif.

1. D(y) = R.

2. E(y) =R.

3. Функция нечетная.

4. y=0 при x=0.

5. y > 0 при hello_html_4c662e58.gif;

y < 0 при hello_html_7fde53d9.gif.

6. Функция возрастает на R.

7. Функция непрерывна, неограниченна.




hello_html_m6a44419.png


Если hello_html_2ae14a25.gif, то hello_html_6a80552d.gif.

1. D (у) = hello_html_m3ccbe9ea.gif.

2. Е (у) = hello_html_m3ccbe9ea.gif.

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. y=0 при x=0.

5. y > 0 при x > 0.

6. Функция возрастает на hello_html_m3ccbe9ea.gif.

7. Функция непрерывна, ограничена снизу нулем.



hello_html_4c8da18e.png

Графики степенной функции при различных значениях n представлены в таблице.

n > 0 , nhello_html_m289d78ff.gifN

n < 0, nhello_html_m289d78ff.gifZ

п - четное

п - нечетное

п - четное

п - нечетное



hello_html_m516fbe65.png


hello_html_5da5d14b.png


hello_html_m7c704955.png


hello_html_51a1ac54.png

nhello_html_m289d78ff.gifR, hello_html_49af1e97.gif

п > 1

0 < n < 1

n < 0


hello_html_2d294953.png


hello_html_153f5fe3.png


hello_html_14d72e6e.png




Арифметическая прогрессия

Бесконечной числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел. Ее принято обозначать hello_html_m5af22a76.gif.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Это число d называется разностью арифметической прогрессии.

d = a2a1 = a3a2 = … = akak-1 = …

Арифметическая прогрессия задается своим первым членом a1 и разностью d.

Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле (формула n-го члена) hello_html_m25b18b07.gif.

Если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей.

Если d < 0, то арифметическая прогрессия является убывающей.

Если d = 0, то все члены арифметической прогрессии равны между собой и она является постоянной последовательностью.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

hello_html_m6d1aa18e.gifили hello_html_4f316be1.gif, где n, k hello_html_m289d78ff.gifN, nhello_html_m78774d40.gif2.

Сумма членов равноудаленных от концов прогрессии есть величина постоянная, т.е. hello_html_461700ae.gif.

Если на плоскости отмечать точки с координатами hello_html_753ec7a9.gif, то, все эти точки будут лежать на графике функции, задаваемой формулой hello_html_1f878e00.gif.

Это означает, что арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел N и её можно задать формулой вида hello_html_7db1f5a3.gif, где k, b – числа.

Сумма n – первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле hello_html_3f4c8862.gif или hello_html_m4b3f9080.gif.

Доказательство:

Запишем сумму n–первых членов арифметической прогрессии двумя способами.

hello_html_m4139a87d.gif

Сложим почленно эти равенства.

hello_html_m26b53262.gif

В каждой скобке стоит сумма вида hello_html_45afdbea.gif, где k = 0, 1, …, n-1.

hello_html_42995709.gif

Tаких скобок ровно n, тогда hello_html_2e38c90.gif или hello_html_m4b3f9080.gif, что и требовалось доказать.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число не равное нулю.

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии hello_html_m4cdf0855.gif.

Геометрическая прогрессия задается своим первым членом b1 и знаменателем q.

Любой член геометрической прогрессии можно записать по формуле (формула n-го члена) hello_html_m60718e68.gif.

Геометрическая прогрессия возрастает, если hello_html_44ed0696.gif или hello_html_33d0848d.gif.

Геометрическая прогрессия убывает, если hello_html_73d0d2bc.gif или hello_html_m572bb114.gif.

Если q < 0, то последовательность является ни возрастающей, ни убывающей, т.к. знаки ее членов чередуются.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Последовательность чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начинается со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов hello_html_7bb42d5d.gif или hello_html_72e70800.gif, где n, khello_html_m289d78ff.gifN, nhello_html_m78774d40.gif2.

Произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная, т.е. hello_html_m73d007a4.gif.

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

hello_html_maa3f0d0.gif, при q ≠ 1 и hello_html_1e51dcea.gif при q = 1.

Доказательство:

Сумма n–первых членов геометрической прогрессии равна hello_html_83541c.gif (1).

Если q = 1, то все члены равны b1, тогда hello_html_57156063.gif – что и требовалось доказать.

Если q ≠ 1, то умножим равенство hello_html_83541c.gif на q, тогда hello_html_m7eb12ec9.gif.

По определению геометрической прогрессии

hello_html_m34e1758.gif(2).

Вычтем равенство (1) из равенства (2), получим hello_html_m51e1fe4.gif;

hello_html_m3b0d0aaa.gif; hello_html_m70f89a06.gif

или hello_html_2ef7b988.gif, что и требовалось доказать.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если |q| < 1.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому стремится сумма ее n–первых членов при n→∞.

Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна hello_html_m1e237eb0.gif.







Справочные материалы по математике
  • Математика
Описание:

Справочные материалы по математике содержат теоретические сведения из курса математики пятого - шестого классов и курса алгебры седьмого - девятого классов. Материалы включают по всем основным темам определения, правила (словесные формулировки и запись в буквенном виде), теоремы и их доказательства, примеры с разобранными решениями. Данные справочные материалы будут полезны учащимся пятых - девятых классов. Выпускникам девятых классов данный материал поможет при самостоятельной подготовке к ОГЭ и решении КИМ модуля "Алгебра" первой и второй частей, решении модуля "Реальная математика". 

 

Автор Apeщeнкo Eлeнa Aлeксaндрoвнa
Дата добавления 26.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 591
Номер материала 12654
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓