Главная / Математика / Справочные материалы по геометрии (часть 3)

Справочные материалы по геометрии (часть 3)

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ.

Геометрия

ЧАСТЬ 3

Параллелограмм

Параллелограммом называют четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Сумма соседних углов параллелограмма 1800.

Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.


hello_html_34cf7567.png

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике две противоположные стоны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то это параллелограмм.

Периметр параллелограмма hello_html_52858b9f.gif


Площадь параллелограмма

hello_html_1016d9a9.gif

hello_html_e3e3f3d.gif

hello_html_m235b1e7.gif





hello_html_3cbd79a6.png

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.

hello_html_m4455bc8f.gif


Ромб

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.

Высоты ромба равны.

В ромб можно вписать окружность

hello_html_m13e7fd5b.gif.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.






hello_html_71b97620.png

Признаки ромба

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.

Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.

Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.

Площадь ромба hello_html_72638100.gif



Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

Около прямоугольника можно описать окружность.

hello_html_6b4d692d.gif

Прямоугольник обладаю всеми свойствами параллелограмма.


hello_html_m167c54ef.png

Признаки прямоугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.

Если в четырехугольнике три угла прямые, то это прямоугольник.

Площадь прямоугольника

hello_html_m565f7ff8.gif

hello_html_m778fd44.gif

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб с прямыми углами).

Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Квадрат – правильный четырехугольник.


hello_html_m65d88a41.png

Площадь квадрата

hello_html_m7b5e6376.gif

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Элементы трапеции

BС и CD – верхние и нижние основания,

AB и CD – боковые стороны,

АС и BD – диагонали,

MN – средняя линия,

MN =hello_html_m26589cc.gif.

Высота трапеции ВВ1 –расстояние между прямыми оснований.






hello_html_50bd533f.png

Площадь трапеции

hello_html_m2399ba5c.gif






Неравенство для сторон трапеции

hello_html_4b92653.gif


hello_html_m252f6db5.gif

Неравенство для диагоналей трапеции

hello_html_2eab0c32.gif


Свойства треугольников в трапеции.

hello_html_60ca7549.gif~hello_html_m11b13938.gif

hello_html_4b39b58.gif

hello_html_5f370f2c.gif






hello_html_m2b850e82.gif

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

hello_html_m5940e792.gif


hello_html_m6e69a749.png

Равнобокая трапеция

Равнобокой (равнобедренной) называется трапеция с равными боковыми сторонами.











hello_html_m69703c57.gif

hello_html_5ec918b2.gif

hello_html_m6e756c6d.gif

Свойства равнобокой трапеции

Диагонали равнобокой трапеции равны hello_html_280a386a.gif.

Углы при одном основании равнобокой трапеции равны.



Только около равнобокой трапеции можно описать окружность; она совпадает с окружностью, описанной около любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции. Её центр лежит на серединном перпендикуляре к основанию трапеции.

Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне.


В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии.




hello_html_d4dad18.png



Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (центра окружности).

Отрезки в окружности

Для любой точке М окружности с центром О выполняется равенство: ОМ=R (отрезок ОМ – радиус окружности).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности (D).

D=2R



hello_html_7da82863.png

Длина окружности

hello_html_4177d9a9.gif

Дуга окружности

Часть окружности, заключенная между ее двумя точками, называется дугой.





hello_html_20db6a75.gif

Две любые точки М и N определяют на ней две дуги: hello_html_183b359f.gif и hello_html_m5dfe25a5.gif. Любую из этих дуг стягивает хорда MN.

Равные дуги стягиваются равными хордами.


Длина дуги

hello_html_2fedeffe.gif, где hello_html_m6fe865a7.gif- величина угла АОВ в радианах;

hello_html_6e99bae0.gif, где hello_html_4631edd4.gif - величина угла АОВ в градусах.

hello_html_4666b057.png

Круг

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Для всех точек N круга выполняется неравенство: ОN hello_html_m2f8363ca.gif R.

Площадь круга

hello_html_5d10e3ee.gif

С – длина окружности,

D = 2R – диаметр.




hello_html_4176f43.png




Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, называется сектором круга.

Любые два радиуса задают два сектора.

Площадь сектора

hello_html_m3e831d2b.gif;

hello_html_4a267b56.gif

(hello_html_m6fe865a7.gif радиан hello_html_1c92cea.gif)








hello_html_7809c5fd.png

Часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой, называется сегментом.

Любая хорда делит круг на два сегмента.

Сегмент, задаваемый диаметром, называется полукругом.

Площадь сегмента

hello_html_931f79d.gif

hello_html_m6fe865a7.gif-радианная мера дуги hello_html_777b01ae.gif или hello_html_mfc80523.gif

(соответственно для сегментов hello_html_23948b02.gif или hello_html_2c28c1a.gif).




hello_html_cda8a56.png

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то он ей перпендикулярен.


hello_html_4d41ef7.png

Если две хорды АВ и СD имеют общую точку М , то hello_html_m6420f62d.gif.

Для данной точки М внутри окружности произведение отрезков хорды, на которое делит ее данная точка, есть величина постоянная и равная hello_html_m747ee708.gif.


hello_html_m47f3982c.png

Прямая и окружность

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности; прямая, имеющая с окружностью две общие точки, - секущей.

Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда диаметр, проходящий через общую точку прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.




hello_html_608af148.png

Если окружность касается сторон данного угла, то:

  • центр окружности лежит на биссектрисе угла;

  • отрезки касательных равны между собой.


hello_html_28315269.png

Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны.


hello_html_m256f9c1f.png

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется угол между двумя ее радиусами.

Радиусная мера центрального угла равна радиусной мере дуги, которую он опирается (измеряется дугой, на которую он опирается).

hello_html_m146be0e6.png

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

hello_html_m27882f87.png

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма 1800.








hello_html_m5d5678b0.png

Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащейся в этом угле дуги окружности.








hello_html_m2e7c2d25.png

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Её центр должен принадлежать всем биссектрисам внутренних углов этого многоугольника. Её радиус можно вычислить по формуле hello_html_m23737a84.gif, где S – площадь, а р – полупериметр многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.



hello_html_m693aaaf5.gif

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Её центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, а радиус может быть вычислен по формулам:

hello_html_m23737a84.gif

hello_html_881e75d.gif

где S – площадь треугольника,

а r – его полупериметр.


hello_html_m644be882.gif

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.






hello_html_5f5bf67c.png

Описанная окружность

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Её центр лежит на всех серединных перпендикулярах сторон (и диагоналей) этого многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника.






hello_html_m673c131e.png

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Её центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, а радиус вычисляется по формулам:

hello_html_m18fbaab5.gif

hello_html_52be0648.gif

a,b,c – длины сторон треугольника,

S – его площадь.


hello_html_1aaabb03.gif

Около треугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 1800.


hello_html_m5c29c3ba.png



Правильные многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.

Любой правильный многоугольник является вписанным и описанным, центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром многоугольника (точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон, биссектрис углов).

hello_html_m2e9b5b6c.gif- сторона,

hello_html_57fcc606.gif- радиус вписанной окружности,

hello_html_3016b364.gif- периметр,

hello_html_4c75880f.gif- площадь.




hello_html_7309429.png



Формулы для правильных многоугольников

Число

сторон

Центральный

угол

Радиус

вписанной

окружности

описанной окружности

n

hello_html_m6fe865a7.gif

r

R

3

600

hello_html_1f49b52f.gif

hello_html_1f49b52f.gif

4

900

hello_html_205ea8dc.gif

hello_html_m2c542f8b.gif

6

1200

hello_html_m2c542f8b.gif

а

8

1350

hello_html_me3044b8.gif

hello_html_m722512c6.gif

12

1500

hello_html_583bf8f4.gif

hello_html_m3ec92549.gif

Число

сторон

Площадь



Связь между r и R

n

S

3

hello_html_1e909f78.gif

hello_html_234f3ee0.gif

4

hello_html_36a211af.gif

hello_html_m3e94833c.gif

6


hello_html_3253ffe3.gif

hello_html_m29a4ca02.gif

8


hello_html_1cd42ae6.gif


hello_html_2739e164.gif

12

hello_html_8d813db.gif

hello_html_m19e5ff71.gif



































Справочные материалы по геометрии (часть 3)
  • Математика
Описание:

Справочные материалы по геометрии содержат теоретические сведения по всем основным темам курса геометрии седьмого - девятого классов. По каждой теме представлены определения, правила, свойства ( словесная и буквенная формулировка ), теоремы и их доказательства. Приведены примеры и их решения. Данный материал будет полезен на уроках математики как дополнительная, обобщающая информация. Для выпускников девятых классов представленный материал поможет при подготовке к сдаче ОГЭ, при решении КИМ модуля "Геометрия" первой и второй частей. Так же  справочные материалы незаменимы при подготовке к ЕГЭ. 

Автор Apeщeнкo Eлeнa Aлeксaндрoвнa
Дата добавления 27.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 791
Номер материала 12951
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓