Главная / Математика / Справочные материалы по геометрии (часть 2)

Справочные материалы по геометрии (часть 2)

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ.

Геометрия

ЧАСТЬ 2

Треугольник



Неравенство треугольника

На любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

hello_html_48b123f.gif,

где а,b,с – длина сторон треугольника, причем hello_html_6893934c.gif.

Внешний угол треугольника, равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.


hello_html_4b06dae8.png

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла – большая сторона.

hello_html_m4c0555bc.gif

hello_html_20aaee1a.gif

hello_html_16bec5a4.gif

hello_html_m14411357.png



hello_html_58289114.png




hello_html_6eb2c62.png

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

(С У С)




hello_html_eeee755.png

По двум сторонам и двум прилежащим к ней углам (У С У)




hello_html_m45163ab5.png

По трем сторонам (С С С)




hello_html_289b3998.png

Сходственные (соответствующие) элементы равных треугольников равны.



Признаки подобия треугольников

По двум углам (У У).


hello_html_m7b1b8b3b.png


По двум сторонам и углу между ними

( С У С).




hello_html_m6df33963.png

По трем сторонам (С С С).






hello_html_m77de17c7.png

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольники, подобные данному.

Сходственные линейные элементы подобных треугольников пропорциональны сходственным сторонам.

Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

hello_html_m5359f17b.gif

Медиана

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.


hello_html_m68ab920.png

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.


Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Высота

Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника.












hello_html_484f182b.png

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные принадлежащим сторонам треугольника.


hello_html_m4ae81103.png

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.


hello_html_2f75df68.png

Серединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая ее пополам.

Все серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности. Около каждого треугольника можно описать окружности и притом только одну.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника является точкой пересечения высот треугольника, образованного средними линиями данного.

hello_html_m782249ff.png

Площадь треугольника

hello_html_1079db4f.gif

hello_html_m2f4335cf.gif

hello_html_6144dae4.gif(формула Герона)

hello_html_78c6b912.gif

hello_html_45f40364.gif

hello_html_m59d12b2e.gif- полупериметр

hello_html_871501b.gif-радиус вписанной окружности

hello_html_58a69d58.gif-радиус описанной окружности








hello_html_m6b22e16c.gif


Теорема косинусов

hello_html_42bca690.gif

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов

hello_html_m6024711.gif

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов.


Вписанная окружность

В каждый треугольник можно вписать окружность и только одну.

Её центр – точка пересечения биссектрис.

Радиус (r) вычисляется по формулам:

hello_html_78900192.gif

hello_html_93bedb0.gif

hello_html_m650e3332.gif

hello_html_35ade0b7.gif- полупериметр




hello_html_m41aa8967.png

Описанная окружность

Около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус (R) вычисляется по формулам:

hello_html_m18fbaab5.gif

hello_html_52be0648.gif





hello_html_m638dc519.png

Прямоугольный треугольник

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.



hello_html_m1be1c146.png

Теорема Пифагора

Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

hello_html_58d7ddbf.gif


Свойства прямоугольного треугольника

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Только в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на стороне треугольника (совпадает с серединой гипотенузы).

hello_html_7d08e0e.png

Площадь прямоугольного треугольника

hello_html_1d88c9a2.gif;

hello_html_666c50b5.gif, hello_html_1febf8f4.gif - высота, проведенная к гипотенузе.

Тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.


hello_html_m5d4a4fce.gif

hello_html_6de81e17.gif

hello_html_5efbe9e2.gif

hello_html_3393ca70.gif

Признаки прямоугольных треугольников

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Если медиана треугольника равна половине соответствующей ей стороны, то треугольник прямоугольный.


Решение прямоугольных треугольников

Дано: гипотенуза и острый угол.

hello_html_31e26ff1.gif

hello_html_57b9019d.gif

hello_html_m29ebeb61.gif



Дано: катет и острый угол.

hello_html_m1ed0e0ab.gif

hello_html_6671c465.gif




hello_html_833d5b5.png

hello_html_m63b9cd52.gif

Дано: высота, опушенная на гипотенузу, и острый угол.

hello_html_4f02e960.gif

hello_html_m29978ebc.gif

hello_html_44b63745.gif

hello_html_m2c4539f.gif



Катет, лежащий против угла 300 , равен половине гипотенузы.

hello_html_4844ecee.png











hello_html_m66dc709a.png


Соотношения в прямоугольном треугольнике

hello_html_73d4ba61.gif

hello_html_40f2879d.gif

hello_html_10c5f2fc.gif

hello_html_m3a9b5e86.gif

hello_html_m61c85761.png

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным треугольником называется треугольник с двумя равными сторонами.

Общая вершина равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника, а третья сторона основанием.

hello_html_m5b7895c4.png

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равны.

Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой (осью симметрии).

Высоты (биссектрисы, медианы), проведенные к боковым сторонам равны.


hello_html_b042b07.png

Все эти свойства равнобедренного треугольника обратимы и могут быть использованы для получения признаков равнобедренного треугольника.

Правильный треугольник

Правильным (равносторонним) называется треугольник, все стороны которого равны.


hello_html_106dd5c2.png

Свойства правильного треугольника

Все углы равностороннего треугольника равны 600.

Только в правильном треугольнике совпадают точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров. Эта точка называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружности.

Центр правильного треугольника и его высота в отношении 2:1, считая от вершины.

Только в правильном треугольнике hello_html_55cb90a6.gif

hello_html_21e10880.png

Площадь правильного треугольника

hello_html_4fad5187.gif





















Справочные материалы по геометрии (часть 2)
  • Математика
Описание:

Справочные материалы по геометрии содержат теоретические сведения по всем основным темам курса геометрии седьмого - девятого классов. По каждой теме представлены определения, правила, свойства ( словесная и буквенная формулировка ), теоремы и их доказательства. Приведены примеры и их решения. Данный материал будет полезен на уроках математики как дополнительная, обобщающая информация. Для выпускников девятых классов представленный материал поможет при подготовке к сдаче ОГЭ, при решении КИМ модуля "Геометрия" первой и второй частей. Так же  справочные материалы незаменимы при подготовке к ЕГЭ. 

Автор Apeщeнкo Eлeнa Aлeксaндрoвнa
Дата добавления 27.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 803
Номер материала 12949
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓