Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Виды функций и их графики"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ                                СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ                                                            НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ                                                                                                                   «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

 

 

 

КРАТКИЙ

СПРАВОЧНИК

по математике

Построение графиков функции, геометрические преобразования графиков функций, исследование графиков функций, графический метод решения уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Линейная функция	3
y = x2	5
y = x3	7
Степенная функция	8
Показательная функция	10
Функция y = ex	11
Логарифмическая функция	12
Натуральный логарифм. y = ln x	13
Тригонометрические функции	14
sin	14
cos	17
tg	19
ctg	20
arcsin	21
arccos	22
arctg	23
arcctg	24
Преобразования графиков функций	25
Симметричные преобразования	27
Параллельный перенос	29
Сжатие и растяжение	31
Построение графика функции y=|f(x)|	33
Построение графика функции y=f(|x|)	34
Обратное преобразование графика функции	35
Некоторые алгоритмы построения и свойства графиков функций	36
Построение графиков функций у = sin kx и y = cos kx	37

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейная функция

Линейная функция - это функция вида:

y = kx + b

здесь k и b являются действительными числами.

Линейная функция имеет следующие свойства:

1. y = kx + b - это ни чётная, ни нечётная функция;
2. Область определения функции y = kx + b - вся числовая прямая;
3. Множество значений лнейной функции - вся числовая прямая;
4. Если k > 0, то функция возрастает, а если k < 0, то линейная функция убывает.

Коэффициент k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом. Угловой коэффициент определяет угол между графиком линейной функции и положительным направлением оси абсцисс.

График линейной функции есть прямая. Вот график линейной функции y = 2x + 1

здесь угловой коэффициент больше нуля, угол прямой y = 2x + 1 с положительным направлением оси x - острый.

А теперь посмотрим как изменится график линейной функции y = 2x + 1, если угловой коэффициент сделать отрицательным, т.е. y = -2x + 1.

Здесь угол прямой y = -2x + 1 с положительным направлением оси x - тупой.

Как изменяется график линейной функции в зависимости от числа b в формуле линейной функции y = kx + b? Если b увеличивать, график смещается вверх, если число b уменьшать, то график y = kx + b смещается вниз.

y = x²

Функция игрек равен икс в квадрате имеет следующие свойства:

1. Функция y = x² - это четная функция, т.е. при изменении знака аргумента на противоположный, значение функции не меняется;
2. На промежутке от минус бесконечности до нуля функция игрек равен икс в квадрате убывает;
3. На промежутке от нуля до плюс бесконечности функция игрек равен икс в квадрате возрастает;
4. Область определения функции y = x² - вся числовая прямая;
5. Множество значений функции y = x² - от нуля до плюс бесконечности.

График функции y = x² называется парабола:

y = x³

Функция игрек равен икс в кубе имеет следующие свойства:

1. Функция y = x³ - это нечетная функция, т.е. при изменении знака аргумента на противоположный, значение функции меняется;
2. Функция игрек равен икс в кубе возрастает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = x³ - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции y = x³ - вся числовая прямая.

График функции y = x³ называется кубическая парабола:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степенная функция

Функция y = xⁿ называется степенной. Показатель степени n принадлежит множеству действительных чисел.

График степенной функции при том, что n натуральное и n больше или равно двум называется параболой n-й степени. Если n четное, то функция y = xⁿ является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Чем больше четное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x^-n, где n четное и больше или равно двум, является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример для y = x^-2

Другой пример для y = x^-4:

Если n нечетное и n больше или равно трем, то функция y = xⁿ является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Чем больше нечетное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x^-n, где n нечетное и больше или равно трем, является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Пример для y = x^-3:

Показательная функция

Функция y = a^x называется показательной, здесь a > 0 и a не равно 1.

Свойства показательной функции зависят от значения основания a.

Свойства показательной функции при a > 1:

1. Функция y = a^x является ни четной, ни нечетной;
2. Функция игрек равен "а" в степени икс возрастает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = a^x - вся числовая прямая;
4. Область значений функции y = a^x - промежуток от нуля до плюс бесконечности.

График функции y = a^x при a = 2:

Свойства показательной функции при 0 < a < 1:

1. Функция y = a^x является ни четной, ни нечетной;
2. Функция игрек равен "а" в степени икс убывает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = a^x - вся числовая прямая;
4. Область значений функции y = a^x - промежуток от нуля до плюс бесконечности.

График функции y = a^x при a = 0,5:

Функция y = e^x

Функция y = e^x - это частный случай показательной функции. Основанием функции y = e^x является иррациональное число e = 2.7182818284... Эта функция обладает характерной особенностью: касательная к графику функции y = e^x в точке x = 0, y= 1 составляет угол 45 градусов с осью X.

График функции игрек равно "е" в степени икс:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция y = log_ax, т.е. логарифм икс по основанию а. Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции.

Свойства логарифмической функции зависят от значения основания a.

Свойства логарифмической функции при a > 1:

1. Функция y = log_ax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" возрастает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = log_ax - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = log_ax - вся числовая прямая.

График функции y = log_ax при a = 2:

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1:

1. Функция y = log_ax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" убывает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = log_ax - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = log_ax - вся числовая прямая.

График функции y = log_ax при a = 0,5:

Натуральный логарифм y = ln x.

Натуральный логарифм y = ln x, т.е. логарифм икс по основанию "e", является частным случаем обычного логарифма. Функция натуральный логарифм является обратной по отношению к функции y = e^x.

Свойства натурального логарифма

1. Функция y = ln x является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "e" возрастает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = ln x - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = ln x - вся числовая прямая.

График функции y = ln x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, аркфункции.

sin

Функция синус y = sin x.

Свойства функции синус:

1. Функция синус y = sin x является нечетной;
2. y = sin x является возрастающей в интервале [0, П/2], в интервале [П/2, 3П/2] убывает, а в интервале [3П/2, 2П] вновь возрастает;
3. Область определения функции синус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции синус от -1 до 1;
5. Функция y = sin x является периодической с периодом 2Пи.

График функции y = sin x синусоида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

Функция косинус y = cos x.

Свойства функции косинус:

1. Функция косинус y = cos x является четной;
2. y = cos x является убывающей в интервале [0, Пи], в интервале [Пи, 2Пи] возрастает, эти интервалы проходим против часовой стрелки;
3. Область определения функции косинус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции косинус от -1 до 1;
5. Функция y = cos x является периодической с периодом 2Пи.

График функции y = cos x косинусоида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

Функция тангенс y = tg x.

Свойства функции тангенс:

1. Функция тангенс y = tg x является нечетной;
2. y = tg x возрастает в интервале [-Пи/2, Пи/2];
3. Область определения функции тангенс интервал [0, Пи], кроме точки Пи/2;
4. Множество значений функции тангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = tg x является периодической с периодом Пи.

График функции y = tg x тангенсоида, вертикальные линии на графике - это асимптоты тангенсоиды, т.е. графика функции y = tg x

 

 

 

 

 

 

 

ctg

Функция котангенс y = ctg x.

Свойства функции котангенс:

1. Функция котангенс y = ctg x является нечетной;
2. y = ctg x убывает в интервале [0, Пи];
3. Область определения функции котангенс интервал от нуля до Пи, кроме точек ноль и Пи;
4. Множество значений функции котангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = ctg x является периодической с периодом Пи.

На картинке график функции y = ctg x, вертикальные линии на графике - это асимптоты графика функции y = ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

Функция арксинус y = arcsin x. Функция arcsin является обратной для функции sin на отрезке -П/2 до П/2.

Свойства функции арксинус:

1. y = arcsin x является нечетной функцией;
2. Функция арксинус - возрастающая функция;
3. Область определения функции арксинус от -1 до 1;
4. Множество значений функции арксинус от -П/2 до П/2.

График функции y = arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

Функция арккосинус y = arccos x. Функция arccos является обратной для функции cos на отрезке от 0 до Пи.

Свойства функции арккосинус:

1. y = arccos x является ни четной, ни нечетной функцией;
2. Функция арккосинус - убывающая функция;
3. Область определения функции арккосинус от -1 до 1;
4. Множество значений функции арккосинус от 0 до Пи.

График функции y = arccos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

Функция арктангенс y = arctg x. Функция arctg является обратной для функции tg на отрезке от -Пи/2 до Пи/2.

Свойства функции арктангенс:

1. y = arctg x является нечетной функцией;
2. Функция арктангенс - возрастающая функция;
3. Область определения функции арктангенс - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции арктангенс от -П/2 до П/2.

График функции y = arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg

Функция арккотангенс y = arcctg x. Функция arcctg является обратной для функции ctg на отрезке от 0 до Пи.

Свойства функции арккотангенс:

1. y = arcctg x является ни четной, ни нечетной функцией;
2. Функция арккотангенс - убывающей функция;
3. Область определения функции арккотангенс - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции арккотангенс от 0 до Пи.

График функции y = arcctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразования графиков функций

Определение. Преобразования графиков функций — это  линейные преобразования функции  y = f(x) или её аргумента x к виду  y = af(kx + b) + m, а  также преобразование  с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции y = f(x), где y =  kx + b,  y = ax², y = xⁿ , y=xk, y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=axy=logax , можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СИММЕТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

График функции y = -f(x) получается с помощью симметричного преобразования графика функции y = f(x) относительно оси х, при этом точка пересечения с осью х остается неизменной.

Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции y = sin(x)

Симметричным для графика y = sin(x) является график функции y = - sin(x)

Для более наглядного представления построим графики исходной функции и преобразованной в одной плоскости:

Рассмотрим данное преобразование на других примерах:

Квадратичная функция:

 

Показательная функция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

График функции y = f(x - a) получается с помощью переноса графика функции y =f (x) относительно оси х на  вправо при а > 0 и влево при a < 0.

Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции

Перенесем данный график на 3 единичных отрезка влево, прибавив к x число 3: y =

Точно также перенесем график на 2 единичных отрезка вправо, отняв от x число 2:

y =

Для более наглядного представления построим графики исходной функции и преобразованной в одной плоскости:

Рассмотрим данное преобразование на других примерах:

Квадратичная функция:

Синусоидальная функция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ

Сжатие: График функции y = f(аx) (a > 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f(x) вдоль оси х в а раз.

Растяжение: График функции y=f(аx) (1 > a > 0) получается с помощью растяжения графика функции y = f(x) вдоль оси х в 1/а раз.

При этом в обоих случаях точки пересечения графика с осью у остаются неизменными

Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции

С помощью растяжения графика на 2 получаем график функции y =/2

Для более наглядного представления построим графики исходной функции и преобразованной в одной плоскости:

Рассмотрим данные преобразование на других примерах:

Показательная функция:

 

Синусоидальная функция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение графика функции y=|f(x)|

Части графика y = f(x), лежащие выше оси х и на оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х - симметрично отражаются относительно этой оси (вверх)

Функция y = |f(x)| неотрицательна (её график расположен в верхней полуплоскости).

Рассмотрим функцию y = |x² - 4x + 3|

Рассмотрим данные преобразование на других примерах:

y = |log₂x|:

y = |sin x|:

 

 

 

 

 

 

Построение графика функции y=f(|x|)

Часть графика y = f(x), лежащая левее оси у, удаляется, а часть, лежащая правее оси у остаётся без изменения и симметрично отражается относительно оси у (вверх)

Функция y = f(|x|) чётная (её график симметричен относительно оси у).

Рассмотрим функцию y = x² - |x| + 3

Рассмотрим данные преобразование на других примерах:

y = log₂|x|:

y = sin |x|:

 

 

ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

График функции y = g(x), обратной функции y = f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y = f(x) относительно прямой y = x.

Данное преобразование можно проводить только для функций, имеющих обратные.

Например:

Логарифмической функции обратна показательной

Квадратичной функции обратна y =:

Косинусу обратен арккосинус:

 

 

 

 

 

НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ И СВОЙСТВА ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

1. Алгоритм построения графика функции y = cos2x:

1. Построить график y = cosx.
2. Сжать в 2 раза по оси ОХ.

Свойства функции y = cos2x:

D(y) = R; E(y) = [–1; 1];
Период: ; четная;
Возрастает: [–/2 + n; n]
Убывает: [n; /2 + n]
Нули функции:(/4 + 1/2n; 0)
Точки max: n;
Точки min: /2 + n;

2. Алгоритм построения графика функции y = cos1/2x:

1. Построить график y = cosx.
2. Растянуть в 2 раза по оси ОХ.

Свойства функции y = cos1/2x:

D(y) = R; E(y) = [–1; 1];
Период: 4; четная;
Возрастает: [– 2 + 4n; 4n]
Убывает: [4n; 2 + 4n]
Нули функции:( + 2n; 0)
Точки max: 4n;
Точки min: 2 + 4n;

3. Алгоритм построения графика функции y = sin(x + 2):

1. Построить график y = sinx.
2. Сдвинуть график на 2 единицы влево по оси ОХ.

4. Алгоритм построения графика функции y = sin(x – 2):

1. Построить график y = sinx.
2. Сдвинуть график на 2 единицы вправо по оси ОХ.

5. Алгоритм построения графика функции y = 2cosx:

1. Построить график y = cosx.
2. Увеличить ординату в 2 раза.

 

6. Алгоритм построения графика функции y = 1/2cosx:

1. Построить график y = cosx.
2. Уменьшить ординату в 2 раза.

7. Алгоритм построения графика функции y = – cosx:

1. Построить график y = cosx.
2. Выполнить зеркальное отображение относительно оси ОХ.

8. Алгоритм построения графика функции y = sinx + 2:

1. Построить график y = sinx.
2. Сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси Оy.

9. Алгоритм построения графика функции y = sinx – 2:

1. Построить график y = sinx;
2. Сдвинуть график на 2 единицы вниз по оси Оy.

10. Алгоритм построения графика функции y=3sinх

1. Построить график функции y=sinx
2.  Осуществить растяжение от оси х с коэффициентом 3

11. Алгоритм построения графика функции  y=-1/3cosx-1

1. Построить график функции y=cosx
2. Осуществить сжатие к оси х с коэффициентом 3
3. Подвергнуть график преобразованию симметрии относительно оси х
4. Осуществить сдвиг вдоль оси у на 1 единицу масштаба вниз

12. Алгоритм построения графика функции  y=-1/2cosx

1. Построить график функции y=cosx
2.  Осуществить сжатие к   оси х с коэффициентом 2
3. Подвергнуть график преобразованию симметрии относительно оси х

13. Алгоритм построения графика функции y=4sin(x-π/6)

4. Построить график функции y=sinx
5. Осуществить сдвиг вдоль оси x на π/6 единиц масштаба вправо
6. Осуществить растяжение от оси х с коэффициентом 4

Построение графиков функций

у = sin kx и y = cos kx

Для того чтобы построить графики функций у = sin kx и y = cos kx будет использован прием растяжения и сжатия графика по оси абсцисс. Этот прием часто применяется при построении графиков тригонометрических функций. Причём при 0 < k < 1, график "растягивается", а при k > 1, "сжимается". Построить график функции .

Для построения графика используем схему исследования функции, рассмотренную в предыдущем занятии.

Областью определения функции  является вся числовая прямая. D(y) = R.

Множество значений функции промежуток [-1;1]. E(y) = [-1;1].

Функция нечетная, т.к. = - . График функции симметричен относительно начала координат.

Периодическая. Период данной функции найдем из равенства , где Т - наименьший положительный период для функции y = sinx, а k - коэффициент при аргументе (в данном случае ).

Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Если у = 0, то  = 0, откуда  = k, x = 2k, а такими точками являются (0; 0), (2; 0), нам достаточно знать только эти точки, так как функция периодична и нечётна, и достаточно построить график только на отрезке [0; 2].

Максимум функции равен 1 при  = , т. е. при х = .

Минимум функции равен -1 при  = , т.е. при х = 3.
По этим данным построим график функции . Сначала график строим для положительного полупериода [0; 2], затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду [0; -2] (рис. 1), и, наконец, на всей области определения (штриховая линия).

Но график функции  можно построить иначе, приняв за исходный известный нам график функции
у = sinx, нанесенный штриховой линией на рисунке 2. Замечаем, что период исходной функции y = sinx равен
T = 2, а период заданной функции  составляет t = 4, т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 2) путем растяжения его вдоль оси Ох вдвое.

График функции y = sin 4x будем строить аналогично предыдущему, учитывая, что k = 4, период этой функции равен: . Область определения функции — вся числовая прямая. Множество значений — отрезок [-1; 1].
График функции у = sin 4х строим путем сжатия по оси Ох исходного графика y = sinx в 4 раза (рис. 3), так как период у заданной функции в 4 раза меньше периода 2 исходной функции.

Таким образом, если известен график y = f (x), то график функции y = f(kx) строится посредством сжатия по оси Ох исходного графика пропорционально коэффициенту k при аргументе, а именно: если k > 1, то сжатие в k раз; если 0 < k < 1, то растяжение в 1/k раз.