Главная / Математика / Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Виды функций и их графики"

Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Виды функций и их графики"


ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»







КРАТКИЙ

СПРАВОЧНИК

по математике

Построение графиков функции, геометрические преобразования графиков функций, исследование графиков функций, графический метод решения уравнений










СОДЕРЖАНИЕ

Линейная функция

3

y = x2

5

y = x3

7

Степенная функция

8

Показательная функция

10

Функция y = ex

11

Логарифмическая функция

12

Натуральный логарифм. y = ln x

13

Тригонометрические функции

14

sin

14

cos

17

tg

19

ctg

20

arcsin

21

arccos

22

arctg

23

arcctg

24

Преобразования графиков функций

25

Симметричные преобразования

27

Параллельный перенос

29

Сжатие и растяжение

31

Построение графика функции y=|f(x)|

33

Построение графика функции y=f(|x|)

34

Обратное преобразование графика функции

35

Некоторые алгоритмы построения и свойства графиков функций

36

Построение графиков функций у = sin kx и y = cos kx

37











Линейная функция

Линейная функция - это функция вида:

y = kx + b

здесь k и b являются действительными числами.

Линейная функция имеет следующие свойства:

1. y = kx + b - это ни чётная, ни нечётная функция;
2. Область определения функции y = kx + b - вся числовая прямая;
3. Множество значений лнейной функции - вся числовая прямая;
4. Если k > 0, то функция возрастает, а если k < 0, то линейная функция убывает.

Коэффициент k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом. Угловой коэффициент определяет угол между графиком линейной функции и положительным направлением оси абсцисс.

График линейной функции есть прямая. Вот график линейной функции y = 2x + 1

hello_html_m16ca16f8.jpg

здесь угловой коэффициент больше нуля, угол прямой y = 2x + 1 с положительным направлением оси x - острый.

А теперь посмотрим как изменится график линейной функции y = 2x + 1, если угловой коэффициент сделать отрицательным, т.е. y = -2x + 1.

hello_html_a1127a6.jpg

Здесь угол прямой y = -2x + 1 с положительным направлением оси x - тупой.

Как изменяется график линейной функции в зависимости от числа b в формуле линейной функции y = kx + b? Если b увеличивать, график смещается вверх, если число b уменьшать, то график y = kx + b смещается вниз.

y = x2

Функция игрек равен икс в квадрате имеет следующие свойства:

1. Функция y = x2 - это четная функция, т.е. при изменении знака аргумента на противоположный, значение функции не меняется;
2. На промежутке от минус бесконечности до нуля функция игрек равен икс в квадрате убывает;
3. На промежутке от нуля до плюс бесконечности функция игрек равен икс в квадрате возрастает;
4. Область определения функции y = x2 - вся числовая прямая;
5. Множество значений функции y = x2 - от нуля до плюс бесконечности.

График функции y = x2 называется парабола:

hello_html_f4bd70.jpg

y = x3

Функция игрек равен икс в кубе имеет следующие свойства:

1. Функция y = x3 - это нечетная функция, т.е. при изменении знака аргумента на противоположный, значение функции меняется;
2. Функция игрек равен икс в кубе возрастает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = x3 - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции y = x3 - вся числовая прямая.

График функции y = x3 называется кубическая парабола:

hello_html_m59f98e58.jpg





























Степенная функция

Функция y = xn называется степенной. Показатель степени n принадлежит множеству действительных чисел.

График степенной функции при том, что n натуральное и n больше или равно двум называется параболой n-й степени. Если n четное, то функция y = xn является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Чем больше четное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

hello_html_30ba718d.jpg

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x-n, где n четное и больше или равно двум, является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример для y = x-2

hello_html_359aee0c.jpg

Другой пример для y = x-4:

hello_html_m18fade8c.jpg

Если n нечетное и n больше или равно трем, то функция y = xn является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Чем больше нечетное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

hello_html_bc82419.jpg

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x-n, где n нечетное и больше или равно трем, является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Пример для y = x-3:

hello_html_30129d9c.jpg

Показательная функция

Функция y = ax называется показательной, здесь a > 0 и a не равно 1.

Свойства показательной функции зависят от значения основания a.

Свойства показательной функции при a > 1:

1. Функция y = ax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция игрек равен "а" в степени икс возрастает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = ax - вся числовая прямая;
4. Область значений функции y = ax - промежуток от нуля до плюс бесконечности.

График функции y = ax при a = 2:

hello_html_d017921.jpg

Свойства показательной функции при 0 < a < 1:

1. Функция y = ax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция игрек равен "а" в степени икс убывает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = ax - вся числовая прямая;
4. Область значений функции y = ax - промежуток от нуля до плюс бесконечности.

График функции y = ax при a = 0,5:

hello_html_3f7efaa1.jpg

Функция y = ex

Функция y = ex - это частный случай показательной функции. Основанием функции y = ex является иррациональное число e = 2.7182818284... Эта функция обладает характерной особенностью: касательная к графику функции y = ex в точке x = 0, y= 1 составляет угол 45 градусов с осью X.

График функции игрек равно "е" в степени икс:

hello_html_m7862908e.jpg

































Логарифмическая функция

Логарифмическая функция y = logax, т.е. логарифм икс по основанию а. Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции.

Свойства логарифмической функции зависят от значения основания a.

Свойства логарифмической функции при a > 1:

1. Функция y = logax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" возрастает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = logax - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = logax - вся числовая прямая.

График функции y = logax при a = 2:

hello_html_m804e0d5.jpg

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1:

1. Функция y = logax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" убывает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = logax - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = logax - вся числовая прямая.

График функции y = logax при a = 0,5:

hello_html_m666d2e67.jpg

Натуральный логарифм y = ln x.

Натуральный логарифм y = ln x, т.е. логарифм икс по основанию "e", является частным случаем обычного логарифма. Функция натуральный логарифм является обратной по отношению к функции y = ex.

Свойства натурального логарифма

1. Функция y = ln x является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "e" возрастает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = ln x - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = ln x - вся числовая прямая.

График функции y = ln x:

hello_html_m7b61944e.jpg



























Тригонометрические функции

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, аркфункции.

sin

Функция синус y = sin x.

Свойства функции синус:

1. Функция синус y = sin x является нечетной;
2. y = sin x является возрастающей в интервале [0, П/2], в интервале [П/2, 3П/2] убывает, а в интервале [3П/2, 2П] вновь возрастает;
3. Область определения функции синус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции синус от -1 до 1;
5. Функция y = sin x является периодической с периодом 2Пи.

График функции y = sin x синусоида

hello_html_m605044c3.jpg

hello_html_m6498220a.jpg

hello_html_6e152294.jpg

hello_html_m45b5a5f1.jpg

hello_html_797cefea.jpg



































cos

Функция косинус y = cos x.

Свойства функции косинус:

1. Функция косинус y = cos x является четной;
2. y = cos x является убывающей в интервале [0, Пи], в интервале [Пи, 2Пи] возрастает, эти интервалы проходим против часовой стрелки;
3. Область определения функции косинус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции косинус от -1 до 1;
5. Функция y = cos x является периодической с периодом 2Пи.

График функции y = cos x косинусоида

hello_html_63ba534d.jpg

hello_html_m7790b76c.jpg

hello_html_67e3fa04.jpg



































tg

Функция тангенс y = tg x.

Свойства функции тангенс:

1. Функция тангенс y = tg x является нечетной;
2. y = tg x возрастает в интервале [-Пи/2, Пи/2];
3. Область определения функции тангенс интервал [0, Пи], кроме точки Пи/2;
4. Множество значений функции тангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = tg x является периодической с периодом Пи.

График функции y = tg x тангенсоида, вертикальные линии на графике - это асимптоты тангенсоиды, т.е. графика функции y = tg x

hello_html_m4d62a93c.jpg















ctg

Функция котангенс y = ctg x.

Свойства функции котангенс:

1. Функция котангенс y = ctg x является нечетной;
2. y = ctg x убывает в интервале [0, Пи];
3. Область определения функции котангенс интервал от нуля до Пи, кроме точек ноль и Пи;
4. Множество значений функции котангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = ctg x является периодической с периодом Пи.

На картинке график функции y = ctg x, вертикальные линии на графике - это асимптоты графика функции y = ctg x

hello_html_m56657982.jpg

















arcsin

Функция арксинус y = arcsin x. Функция arcsin является обратной для функции sin на отрезке -П/2 до П/2.

Свойства функции арксинус:

1. y = arcsin x является нечетной функцией;
2. Функция арксинус - возрастающая функция;
3. Область определения функции арксинус от -1 до 1;
4. Множество значений функции арксинус от -П/2 до П/2.

График функции y = arcsin x

hello_html_71e47e21.jpg



























arccos

Функция арккосинус y = arccos x. Функция arccos является обратной для функции cos на отрезке от 0 до Пи.

Свойства функции арккосинус:

1. y = arccos x является ни четной, ни нечетной функцией;
2. Функция арккосинус - убывающая функция;
3. Область определения функции арккосинус от -1 до 1;
4. Множество значений функции арккосинус от 0 до Пи.

График функции y = arccos x

hello_html_669aa00c.jpg

































arctg

Функция арктангенс y = arctg x. Функция arctg является обратной для функции tg на отрезке от -Пи/2 до Пи/2.

Свойства функции арктангенс:

1. y = arctg x является нечетной функцией;
2. Функция арктангенс - возрастающая функция;
3. Область определения функции арктангенс - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции арктангенс от -П/2 до П/2.

График функции y = arctg x

hello_html_5864534c.jpg

































arcctg

Функция арккотангенс y = arcctg x. Функция arcctg является обратной для функции ctg на отрезке от 0 до Пи.

Свойства функции арккотангенс:

1. y = arcctg x является ни четной, ни нечетной функцией;
2. Функция арккотангенс - убывающей функция;
3. Область определения функции арккотангенс - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции арккотангенс от 0 до Пи.

График функции y = arcctg x

hello_html_563c7e49.jpg

































Преобразования графиков функций

Определение. Преобразования графиков функций — это  линейные преобразования функции  y = f(x) или её аргумента x к виду  y = af(kx + b) + m, а  также преобразование  с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции y = f(x), где y =  kx + b,  y = ax2, y = xn, y=xk, y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=axhello_html_2febd0af.pngy=logax , можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Общий вид функции

Преобразования

y = f(xb)

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

  • вправо, если b > 0;

  • влево, если b < 0.

y = f(x + b)

  • влево, если b > 0;

  • вправо, если b < 0.

y = f(x) + m

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

  • вверх, если m > 0,

  • вниз, если m < 0.


Отражение графика

y = f(− x)

  • симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = − f(x)

    • симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.


Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

  • При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,

  • при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

  • При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

  • при 0 < k < 1 — сжатие графика к оси абсцисс в k раз.


Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

  • При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

  • при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f(| x |)

  • При hello_html_m659aa8a5.gif — график остаётся без изменений,

  • при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.


hello_html_m1e9c802a.png



































СИММЕТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

График функции y = -f(x) получается с помощью симметричного преобразования графика функции y = f(x) относительно оси х, при этом точка пересечения с осью х остается неизменной.

Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции y = sin(x)

hello_html_7239167a.png

Симметричным для графика y = sin(x) является график функции y = - sin(x)

hello_html_m2b2f4629.png

Для более наглядного представления построим графики исходной функции и преобразованной в одной плоскости:

hello_html_m76f76e9.png

Рассмотрим данное преобразование на других примерах:

Квадратичная функция:

hello_html_m213d509d.png



Показательная функция:

hello_html_65d6c976.png











































ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

График функции y = f(x - a) получается с помощью переноса графика функции y =f (x) относительно оси х на hello_html_63a5c666.gif вправо при а > 0 и влево при a < 0.

Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции hello_html_m1907a892.gif

hello_html_m80e2277.png

Перенесем данный график на 3 единичных отрезка влево, прибавив к x число 3: y = hello_html_5a74567a.gif

hello_html_4b4193dd.png

Точно также перенесем график на 2 единичных отрезка вправо, отняв от x число 2:

y = hello_html_m1de4a2ae.gif

hello_html_239f33e1.png

Для более наглядного представления построим графики исходной функции и преобразованной в одной плоскости:

hello_html_md5834e9.png

Рассмотрим данное преобразование на других примерах:

Квадратичная функция:

hello_html_5d2847f9.png

Синусоидальная функция:

hello_html_58baea97.png

































СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ

Сжатие: График функции y = f(аx) (a > 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f(x) вдоль оси х в а раз.

Растяжение: График функции y=f(аx) (1 > a > 0) получается с помощью растяжения графика функции y = f(x) вдоль оси х в 1/а раз.

При этом в обоих случаях точки пересечения графика с осью у остаются неизменными

Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции hello_html_m1907a892.gif

hello_html_m80e2277.png

С помощью растяжения графика hello_html_5ab21ae6.gifна 2 получаем график функции y =hello_html_5ab21ae6.gif/2

hello_html_301cf3a0.png

Для более наглядного представления построим графики исходной функции и преобразованной в одной плоскости:

hello_html_46f0fbd1.png

Рассмотрим данные преобразование на других примерах:

Показательная функция:

hello_html_m2edd0942.png



Синусоидальная функция:

hello_html_2255bf1.png

































Построение графика функции y=|f(x)|

Части графика y = f(x), лежащие выше оси х и на оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х - симметрично отражаются относительно этой оси (вверх)

Функция y = |f(x)| неотрицательна (её график расположен в верхней полуплоскости).

Рассмотрим функцию y = |x2 - 4x + 3|

hello_html_m6d6329f4.png

Рассмотрим данные преобразование на других примерах:

y = |log2x|:

hello_html_1642bcab.png

y = |sin x|:

hello_html_m75d186ec.png













Построение графика функции y=f(|x|)

Часть графика y = f(x), лежащая левее оси у, удаляется, а часть, лежащая правее оси у остаётся без изменения и симметрично отражается относительно оси у (вверх)

Функция y = f(|x|) чётная (её график симметричен относительно оси у).

Рассмотрим функцию y = x2 - |x| + 3

hello_html_45ad2e3d.png

Рассмотрим данные преобразование на других примерах:

y = log2|x|:

hello_html_m5ee3ffd7.png

y = sin |x|:

hello_html_61a3b889.png





ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

График функции y = g(x), обратной функции y = f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y = f(x) относительно прямой y = x.

Данное преобразование можно проводить только для функций, имеющих обратные.

Например:

Логарифмической функции обратна показательной

hello_html_6492fc19.png

Квадратичной функции обратна y =hello_html_5ab21ae6.gif:

hello_html_m1de17ffa.png

Косинусу обратен арккосинус:

hello_html_974cc74.png











НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ И СВОЙСТВА ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

1. Алгоритм построения графика функции y = cos2x:

  1. Построить график y = cosx.

  2. Сжать в 2 раза по оси ОХ.

Свойства функции y = cos2x:

D(y) = R; E(y) = [–1; 1];
Период: hello_html_63dddb03.png; четная;
Возрастает: [–hello_html_63dddb03.png/2 + hello_html_63dddb03.pngn; hello_html_63dddb03.pngn]
Убывает: [hello_html_63dddb03.pngn; hello_html_63dddb03.png/2 + hello_html_63dddb03.pngn]
Нули функции:(hello_html_63dddb03.png/4 + 1/2hello_html_63dddb03.pngn; 0)
Точки max: hello_html_63dddb03.pngn;
Точки min: hello_html_63dddb03.png/2 + hello_html_63dddb03.pngn;

2. Алгоритм построения графика функции y = cos1/2x:

  1. Построить график y = cosx.

  2. Растянуть в 2 раза по оси ОХ.

Свойства функции y = cos1/2x:

D(y) = R; E(y) = [–1; 1];
Период: 4hello_html_63dddb03.png; четная;
Возрастает: [– 2hello_html_63dddb03.png + 4hello_html_63dddb03.pngn; 4hello_html_63dddb03.pngn]
Убывает: [4hello_html_63dddb03.pngn; 2hello_html_63dddb03.png + 4hello_html_63dddb03.pngn]
Нули функции:(hello_html_63dddb03.png + 2hello_html_63dddb03.pngn; 0)
Точки max: 4hello_html_63dddb03.pngn;
Точки min: 2hello_html_63dddb03.png + 4hello_html_63dddb03.pngn;

3. Алгоритм построения графика функции y = sin(x + 2):

  1. Построить график y = sinx.

  2. Сдвинуть график на 2 единицы влево по оси ОХ.

4. Алгоритм построения графика функции y = sin(x – 2):

  1. Построить график y = sinx.

  2. Сдвинуть график на 2 единицы вправо по оси ОХ.

5. Алгоритм построения графика функции y = 2cosx:

  1. Построить график y = cosx.

  2. Увеличить ординату в 2 раза.



6. Алгоритм построения графика функции y = 1/2cosx:

  1. Построить график y = cosx.

  2. Уменьшить ординату в 2 раза.

7. Алгоритм построения графика функции y = – cosx:

  1. Построить график y = cosx.

  2. Выполнить зеркальное отображение относительно оси ОХ.

8. Алгоритм построения графика функции y = sinx + 2:

  1. Построить график y = sinx.

  2. Сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси Оy.

9. Алгоритм построения графика функции y = sinx – 2:

  1. Построить график y = sinx;

  2. Сдвинуть график на 2 единицы вниз по оси Оy.

10. Алгоритм построения графика функции y=3sinх

  1. Построить график функции y=sinx

  2. Осуществить растяжение от оси х с коэффициентом 3

11. Алгоритм построения графика функции y=-1/3cosx-1

  1. Построить график функции y=cosx

  2. Осуществить сжатие к оси х с коэффициентом 3

  3. Подвергнуть график преобразованию симметрии относительно оси х

  4. Осуществить сдвиг вдоль оси у на 1 единицу масштаба вниз

12. Алгоритм построения графика функции y=-1/2cosx

  1. Построить график функции y=cosx

  2. Осуществить сжатие к оси х с коэффициентом 2

  3. Подвергнуть график преобразованию симметрии относительно оси х

13. Алгоритм построения графика функции y=4sin(x-π/6)

  1. Построить график функции y=sinx

  2. Осуществить сдвиг вдоль оси x на π/6 единиц масштаба вправо

  3. Осуществить растяжение от оси х с коэффициентом 4

Построение графиков функций

у = sin kx и y = cos kx


Для того чтобы построить графики функций у = sin kx и y = cos kx будет использован прием растяжения и сжатия графика по оси абсцисс. Этот прием часто применяется при построении графиков тригонометрических функций. Причём при 0 < k < 1, график "растягивается", а при k > 1, "сжимается". Построить график функции hello_html_m37fb6dc6.gif.

Для построения графика используем схему исследования функции, рассмотренную в предыдущем занятии.

Областью определения функции hello_html_m37fb6dc6.gif является вся числовая прямая. D(y) = R.

Множество значений функции промежуток [-1;1]. E(y) = [-1;1].

Функция нечетная, т.к. hello_html_3121c72f.gif= - hello_html_m37fb6dc6.gif. График функции симметричен относительно начала координат.

Периодическая. Период данной функции найдем из равенства hello_html_m67095544.gif, где Т - наименьший положительный период для функции y = sinx, а k - коэффициент при аргументе (в данном случае hello_html_m7b63e1.gif).

hello_html_m1ebb240e.png
Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Если у = 0, то hello_html_77472238.gif = 0, откуда hello_html_e75080.gif = hello_html_23eb9ba8.pngk, x = 2hello_html_23eb9ba8.pngk, а такими точками являются (0; 0), (2hello_html_23eb9ba8.png; 0), нам достаточно знать только эти точки, так как функция периодична и нечётна, и достаточно построить график только на отрезке [0; 2hello_html_23eb9ba8.png].

Максимум функции равен 1 при hello_html_e75080.gif = hello_html_m5d49dac0.gif, т. е. при х = hello_html_23eb9ba8.png.

Минимум функции равен -1 при hello_html_e75080.gif = hello_html_6b5d36e6.gif, т.е. при х = 3hello_html_23eb9ba8.png.
По этим данным построим график функции hello_html_m37fb6dc6.gif. Сначала график строим для положительного полупериода [0; 2hello_html_23eb9ba8.png], затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду [0; -2hello_html_23eb9ba8.png] (рис. 1), и, наконец, на всей области определения (штриховая линия).

hello_html_54c0aaa7.png

Но график функции hello_html_m37fb6dc6.gif можно построить иначе, приняв за исходный известный нам график функции
у = sinx, нанесенный штриховой линией на рисунке 2. Замечаем, что период исходной функции y = sinx равен
T = 2hello_html_23eb9ba8.png, а период заданной функции hello_html_m37fb6dc6.gif составляет t = 4hello_html_23eb9ba8.png, т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 2) путем растяжения его вдоль оси Ох вдвое.

hello_html_m15f7e26f.png


График функции y = sin 4x будем строить аналогично предыдущему, учитывая, что k = 4, период этой функции равен: hello_html_m4e6044ea.gif. Область определения функции — вся числовая прямая. Множество значений — отрезок [-1; 1].
График функции у = sin 4х строим путем сжатия по оси Ох исходного графика y = sinx в 4 раза (рис. 3), так как период у заданной функции в 4 раза меньше периода 2hello_html_23eb9ba8.png исходной функции.

hello_html_3b3e9278.png
Таким образом, если известен график y = f (x), то график функции y = f(kx) строится посредством сжатия по оси Ох исходного графика пропорционально коэффициенту k при аргументе, а именно: если k > 1, то сжатие в k раз; если 0 < k < 1, то растяжение в 1/k раз.

hello_html_m6b31334d.png


Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Виды функций и их графики"
  • Математика
Описание:

Данная методическая разработка предназначена для самостоятельной работы студентов первого курса медицинского техникума, специальности Сестринское дело по теме: «Виды функций и их графики». Методическое пособие разработано для преподавателя с целью выявления и систематизации знаний студентов по данной теме. Основными задачами является закрепление и углубление теоретических знаний у студентов  по данной теме.

Методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Она содержит в себе материал, способствующий формированию сознательного отношения к процессу обучения, стремлению к самостоятельной работе и всестороннему овладению знаниями. Развитию интереса к учебному предмету, содействию активизации мышления обучающихся. Развитию познавательной деятельности обучающихся, по овладению программного учебного материала, по дисциплине  «Математика».

Автор Тюменцева Оксана Николаевна
Дата добавления 15.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 1423
Номер материала 58073
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓