Главная / Математика / Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"

Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"

hello_html_m23dfebe8.gifhello_html_m5f4cedc0.gifГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»







КРАТКИЙ



СПРАВОЧНИК



по математике

(тригонометрия)



















ТРИГОНОМЕТРИЯ

Предмет тригонометрия

Слово "тригонометрия" искусственно составлено из греческих слов: "тригонон" - треугольник и "метрезис" - измерение. Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Тригонометрические функции

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть a° - градусная мера угла, b - радианная, тогда справедливы формулы:

hello_html_m119664b8.gif

hello_html_388684ad.gif

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента

1.

hello_html_435ba8cc.gif

4.

hello_html_34c91502.gif

2.

hello_html_424178ad.gif

5.

hello_html_39470c18.gif

3.

hello_html_59f31f62.gif

6.

hello_html_70dd024f.gif


Формулы сложения

hello_html_m7a2247e5.gif

hello_html_ba17712.gif

hello_html_m30abc113.gif

hello_html_1fe5716d.gif

(в последних двух формулах hello_html_66161826.gif и соответственно hello_html_a1fb2b4.gif

hello_html_m30788347.gif

hello_html_m473fb85f.gif

( в последних двух формулах hello_html_m766456c8.gif и соответственно hello_html_m16cacb58.gif

Формулы двойных и половинных углов

1.

hello_html_7c72d7e2.gif

5.

hello_html_m7fd944d0.gif

2.

hello_html_9c45767.gif

6.

hello_html_6978a0d.gif

3.

hello_html_m4c1d99a2.gif

7.

hello_html_6eab05ad.gif

4.

hello_html_m3df202a6.gif

8.

hello_html_m585bf308.gif

Формулы преобразования суммы в произведение

hello_html_mb4ccfb0.gif


hello_html_m2522072a.gif

hello_html_729aa1e2.gif

hello_html_m36bef299.gif

hello_html_m508ed0c6.gif

hello_html_m16565673.gif

hello_html_5be74e73.gif


Формулы преобразования произведения в сумму

hello_html_m23caa28.gif

hello_html_m2bdd90f1.gif

hello_html_7ac720e8.gif

Формулы приведения

hello_html_m7e91be2b.gif

hello_html_m39f16c31.gif

hello_html_md30e9d.gif

hello_html_m30804592.gif

hello_html_508b7caa.gif

hello_html_m78d347a7.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_1390d01d.gif

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_67a20dac.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5aef3502.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_13d7f4af.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_3ab94070.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_me04acfa.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_7a6a10d6.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_68d818b8.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5739787c.gif







Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение

Общее решение

Частные случаи

hello_html_66a0e68a.gif

hello_html_6d49674e.gif

hello_html_65eb7466.gif

hello_html_24c09a0.gif,

hello_html_63973dda.gif

hello_html_m4a177071.gif

hello_html_62a8f35.gif

hello_html_5962e948.gif

hello_html_m6ae0139.gif

hello_html_m335ccbe3.gif,

hello_html_63973dda.gif

hello_html_6e8f4c2e.gif

hello_html_m57a6e07c.gif

hello_html_79e3a3c.gif

hello_html_m6217e380.gif

hello_html_3d0c2b92.gif,

hello_html_213bf720.gif

hello_html_51236de.gif

hello_html_269acda0.gif

hello_html_5962e948.gif

hello_html_6075387c.gif

hello_html_m30d06fb4.gif,

hello_html_213bf720.gif

hello_html_5330fc42.gif

hello_html_6daa85cd.gif

hello_html_79e3a3c.gif

hello_html_6075387c.gif

Для решения простейших тригонометрических неравенств hello_html_m7cb1629e.gif, hello_html_m623b4c6b.gif, hello_html_m2e8040a.gif, hello_html_m5de3eae8.gif (вместо знака hello_html_23a4f722.gif могут стоять hello_html_7d72a047.gif, hello_html_5bdd7094.gif, hello_html_2464d612.gif) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей функции с прямой hello_html_m70200518.gif, расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции.

Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.

Тригонометрические функции половинного аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти

находится угол hello_html_723eef1e.gif)

hello_html_59f8e86d.gif

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол hello_html_m17c0599a.gif)

  1. Через hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_31090054.gif

  1. Через hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_6c801543.gif

  1. Через hello_html_36170045.gif

hello_html_13b33b51.gif

  1. Через hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_m165a477f.gifhello_html_m62a00377.gif




Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

hello_html_m7d69598a.gif

Преобразование степеней синуса и косинуса

hello_html_m139b385d.gif

  1. Графики и основные свойства тригонометрических функций

Синус

hello_html_m7819262a.gifдля hello_html_m7f68e517.gif

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m6adc38b1.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_m1a313a40.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_m7c46555f.gif

hello_html_6c878021.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_m8240a59.gif, период hello_html_m2abb494.gif, нечетная

косинус

hello_html_m7819262a.gifдля hello_html_69013b0b.gif

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m1a313a40.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_m7f68e517.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_m6adc38b1.gif

hello_html_m414d97e0.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_m8240a59.gif, период hello_html_m2abb494.gif, четная

тангенс

hello_html_m5a70454.gifдля hello_html_mf9b45e8.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_2a64d84.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_213411ca.gif

hello_html_f17080d.gif, hello_html_m347f956c.gif\hello_html_m2227e576.gif, hello_html_m5a683d37.gif, период hello_html_48ca3c3f.gif, нечетная

котангенс

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m6f55d524.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_2a64d84.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_213411ca.gif

hello_html_m7776b3dd.gif, hello_html_m347f956c.gif\hello_html_m3ad02541.gif, hello_html_m5a683d37.gif, период hello_html_48ca3c3f.gif, нечетная


Графики и основные свойства обратных тригонометрических функций

арксинус

hello_html_m7819262a.gifдля hello_html_5978ff05.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_3f6e47c1.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_683fbecc.gif

Функция нечетная

hello_html_m68f744fd.gif, hello_html_m37ce6283.gif, hello_html_m28d50fa4.gif, непериодическая функция

арккосинус

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_5978ff05.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_5978ff05.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_f902530.gif

Функция ни четная, ни нечетная

hello_html_m40f6a21e.gif, hello_html_m37ce6283.gif, hello_html_2ab73c1.gif, непериодическая функция

арктангенс

hello_html_m5a70454.gifдля hello_html_m646b7c01.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_m5b056491.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_1bf05e28.gif

Функция нечетная

hello_html_m653fc2c9.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_105ae6f4.gif, непериодическая функция

арккотангенс

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m646b7c01.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_m646b7c01.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_f902530.gif

Функция ни четная, ни нечетная

hello_html_6f024a6f.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_m32849054.gif, непериодическая функция


Связь тригонометрических функций с обратными тригонометрическими функциями осуществляется при помощи следующей таблицы

hello_html_2862455c.gif

hello_html_m186f510b.gif

hello_html_37a4206a.gif

hello_html_m6657ea47.gif

hello_html_a1549bf.gif

-90°=hello_html_61c4d28c.gif

-1

-

-

-60°=hello_html_389ad382.gif

hello_html_m14e07f09.gif

-

- hello_html_m5d4c79fa.gif

-

-45°=hello_html_6d71d2e9.gif

hello_html_m17cf7544.gif

-

-1

-

-30°=hello_html_5b08fce5.gif

hello_html_m778120a7.gif

-

hello_html_m66f9fb5f.gif

-

0

0

1

0

¥

30°=hello_html_42e9c287.gif

hello_html_m4dbdf1cc.gif

hello_html_m183e9b24.gif

hello_html_m2856a66a.gif

hello_html_m5d4c79fa.gif

45°=hello_html_m26715ffc.gif

hello_html_25819d9b.gif

hello_html_25819d9b.gif

1

1

60°=hello_html_m51954f78.gif

hello_html_m183e9b24.gif

hello_html_m4dbdf1cc.gif

hello_html_m5d4c79fa.gif

hello_html_m2856a66a.gif

90°=hello_html_m40b4ff44.gif

1

0

¥

0

120°=hello_html_5649b759.gif

-


-

hello_html_m66f9fb5f.gif

135°=

-

hello_html_m17cf7544.gif

-

- 1

150°=hello_html_7f330670.gif

-

hello_html_m14e07f09.gif

-

- hello_html_m5d4c79fa.gif

180°=hello_html_1fcf3bc.gif

-

-1

-

- ¥




Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

hello_html_a0c2ee.gif

Примеры решения задач

  1. Найти значение следующих тригонометрических выражений: bs01718_

hello_html_7dfea777.gif, hello_html_6bed77e.gif hello_html_m7a74e5e4.gif, если hello_html_m99bb4c.gif.

Решение. Выпишем формулы для нахождения hello_html_7dfea777.gif, hello_html_6bed77e.gif hello_html_m7a74e5e4.gif:

hello_html_m76d3e6b9.gif, hello_html_3224b587.gif, hello_html_433791a3.gif.

hello_html_9f9d92b.gif.

Из основного тригонометрического тождества найдем hello_html_79c10126.gif:

hello_html_3bbde95e.gifhello_html_40f608c.gif

Далее найдем значения искомых выражений:

hello_html_288f73d9.gifhello_html_4fa1b4de.gif

Ответ: hello_html_m413abdfc.gif, hello_html_11e8f0bf.gif, hello_html_50172e7b.gif

  1. Доказать тождество: bs01718_

hello_html_5225ceae.gif

Решение. Приведем левую часть к 1:

hello_html_m3d4d872a.gif


hello_html_m12e4f555.gif.

Тождество доказано.

  1. Вычислить значение выражения: bs01718_

hello_html_69ad182b.gif

Решение. Используя формулы приведения, получим:

hello_html_m3c56021.gif

hello_html_m299d8956.gif

hello_html_m3ef74fbb.gif

hello_html_m20a7f02d.gif

Итак, значение выражения 0.

Пояснения к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.hh00546_

Для решения произвольных тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы, которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.

Из общих соображений выскажем следующее: при замене одной функции другой следует избегать введения радикалов, так как это усложняет решение и требует проверки найденных корней (при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни).

Иногда оказывается возможным, перенеся все члены уравнения в левую часть, разложить ее на сомножители.

  1. Уравнения, однородные относительно hello_html_m74ec0d.gif и hello_html_32449a00.gif.

Каждое из уравнений:

hello_html_4938ea24.gif,

hello_html_m3f20df00.gifи т.д.

называется однородным относительно hello_html_m74ec0d.gif и hello_html_32449a00.gif. Сумма показателей степеней у hello_html_m74ec0d.gif и hello_html_32449a00.gif во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Делением на hello_html_m10f466cb.gif, hello_html_m38b8bce9.gif степень однородного уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно hello_html_m4572dc68.gif.

Разделив, например, уравнение hello_html_m3f20df00.gif на hello_html_m2aa451f8.gif, получим уравнение:

hello_html_m7ac7dcbc.gif.

При hello_html_m10c5456.gif эти уравнения эквивалентны, так как если hello_html_6c0780cd.gif, то из первого уравнения получим, что и hello_html_m341b5e61.gif, что невозможно (hello_html_m74ec0d.gifи hello_html_32449a00.gif при одном и том же аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим hello_html_m4572dc68.gif, решая квадратное уравнение относительно hello_html_m4572dc68.gif, а по значениям hello_html_m4572dc68.gif - соответствующие значенияhello_html_m7b669399.gif.

  1. Решить уравнение: bs01718_

hello_html_14ccf23.gif

Решение. Заменяя hello_html_4d829cdd.gif и hello_html_m4c964b5b.gif, получим однородное уравнение:

hello_html_m5e468715.gif,

или

hello_html_1c37f93.gif.

Деля на hello_html_m2aa451f8.gif (hello_html_34eb1cbf.gif), получим:

hello_html_351ce698.gif.

Вводим новую переменную hello_html_f17080d.gif и получаем квадратное уравнение относительно нее:

hello_html_94965ab.gif.

Корни этого уравнения: hello_html_52bd1e33.gif. Далее получаем равносильную совокупность уравнений:

hello_html_25f08833.gif hello_html_mbcbf5c6.gif

hh00546_

  1. Уравнения, левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.

Перенеся все члены любого уравнения в левую часть, его можно привести к виду hello_html_6404cf90.gif.

Если левая часть этого уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из корней полученных уравнений, которые входят в область определения первоначального уравнения.

Рассмотрим пример.

  1. Решить уравнение: bs01718_

hello_html_m31ddac13.gif.

Решение. Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим уравнение:

hello_html_8b8ceff.gif

или hello_html_6c3e25e9.gif.

Разность косинусов преобразуем в произведение hello_html_m85117c3.gif, которое равносильно совокупности уравнений:

hello_html_m5e672954.gif hello_html_m1f6b47c5.gif hello_html_379165df.gifhh00546_

  1. Уравнения вида hello_html_m24ccdd3f.gif.

Эти уравнения можно решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки hello_html_m128db57.gif, воспользовавшись формулами, выражающими hello_html_53e14c78.gif и hello_html_32449a00.gif через hello_html_m51fd206b.gif:

hello_html_55462243.gif и hello_html_m33c78790.gif.

Исходное уравнение сводится к дробно-рациональному алгебраическому уравнению, решение которого нами было рассмотрено ранее.

Такие уравнения рациональнее решать введением вспомогательного угла: hello_html_m40235213.gif. Рассмотрим дальнейший ход решения уравнения путем эквивалентных преобразований левой части:

hello_html_m53d7b6cc.gif.

Введем обозначения:

hello_html_554145e0.gifи hello_html_8ba8b97.gif.

Заметим, что выражение в скобках в этом случае преобразуется в косинус разности аргументов:

hello_html_179af296.gif.

Таким образом, исходное уравнение приводится к эквивалентному простейшему тригонометрическому уравнению:

hello_html_53b89ea.gif, или hello_html_5e187d2c.gif,

решение которого, суть

hello_html_7a22d165.gifhello_html_63df98a4.gifhello_html_7ea27d64.gif, hello_html_m7f62247a.gif.

Задача решена в общем виде.

  1. Решить уравнение: bs01718_

hello_html_mfba10e2.gif.

Решение. (первый способ) Заменив hello_html_53e14c78.gif и hello_html_32449a00.gif через hello_html_m51fd206b.gif, получим:

hello_html_5751fe0.gifhello_html_64feb559.gif. Введем новую переменную: hello_html_m128db57.gif и получим эквивалентное квадратное уравнение относительно hello_html_1277e9c8.gif:

hello_html_m161ad6ac.gif,

у которого дискриминант равен нулю и, следовательно, имеем единственный корень hello_html_m74841a5c.gif. Задача свелась к решению уравнения:

hello_html_6254774f.gif; hello_html_4d417318.gif; hello_html_150cc429.gif, hello_html_m7f62247a.gif.

Решение. (второй способ). Введем вспомогательный угол: hello_html_m6619da2d.gif.

Тогда решение исходного уравнения сразу запишется в виде:

hello_html_7a22d165.gifhello_html_3797a0ba.gifhello_html_516cf9db.gif=hello_html_3797a0ba.gifhello_html_48ef956a.gif, hello_html_m7f62247a.gif.

Иными словами, мы получили тот же ответ, что не удивительно.



Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"
  • Математика
Описание:

Данная методическая разработка предназначена для самостоятельной работы студентов первого курса медицинского техникума, специальности Сестринское дело по теме: «Тригонометрия». Методическое пособие разработано для преподавателя с целью выявления и систематизации знаний студентов по данной теме. Основными задачами является закрепление и углубление теоретических знаний у студентов  по данной теме.

Методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Она содержит в себе материал, способствующий формированию сознательного отношения к процессу обучения, стремлению к самостоятельной работе и всестороннему овладению знаниями. Развитию интереса к учебному предмету, содействию активизации мышления обучающихся. Развитию познавательной деятельности обучающихся, по овладению программного учебного материала, по дисциплине  «Математика».

Автор Тюменцева Оксана Николаевна
Дата добавления 15.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 679
Номер материала 58072
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓