ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»
КРАТКИЙ
СПРАВОЧНИК
по математике
(первообразная, неопределенный интеграл, определенный интеграл)
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x).
В интегральном исчислении решается обратная задача.
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением
F'(x)=f(x)
или
dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx.
Определение. Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом
.
Таким образом, по определению,
,
где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, а символ 
- знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная равна подынтегральной функции.
Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.
Формулы интегрирования
Свойства неопределенного интеграла
Если
, то
Таблица интегралов
Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл 
не является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к табличному.
Метод подстановки основан на применении следующей формулы:
,
где x=
(t) - дифференцируемая функция от t, производная которой '(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.
Пример: Необходимо найти интеграл
.
Применим подстановку: u=arctg(x), тогда
Подставляя полученные значения в искомый интеграл получим:
Теперь подставив значение u в полученное выражение получим решение искомого интеграла:
d(uv)=udv+vdu.
Отсюда
udv=d(uv)-vdu.
Интегрируя обе части этого равенства, имеем
или
.
Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученной формулы.
Основные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:
1) подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на sin(x) или cos(x), или произведение многочлена от x на ln(x);
2) подынтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsin(x), arccоs(x) и т.д.;
3) подынтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x) или cos(x).
Пример: необходимо найти интеграл
.
Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x). Отсюда
.
.
Тогда F(x)+C1, где С1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x). Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b. Получим:
[F(x)+C1 ]x=b - [F(x)+C1 ]x=a=F(b) +C1 - F(a) -C1 =F(b)-F(a).
Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C1 отсутствует постоянная величина C1. А так как под C1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C, первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a).
Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом
.
Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом
так, что если
,
то
.
Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.
Пример: необходимо найти определенный интеграл
.
Имеем:
.
Таким образом, искомый интеграл равен 6.
.
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.
Аналогично
и
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная методическая разработка предназначена для самостоятельной работы студентов первого курса медицинского техникума, специальности Сестринское дело по теме: «Неопределенный интеграл». Методическое пособие разработано для преподавателя с целью выявления и систематизации знаний студентов по данной теме. Основными задачами является закрепление и углубление теоретических знаний у студентов по данной теме.
Методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Она содержит в себе материал, способствующий формированию сознательного отношения к процессу обучения, стремлению к самостоятельной работе и всестороннему овладению знаниями. Развитию интереса к учебному предмету, содействию активизации мышления обучающихся. Развитию познавательной деятельности обучающихся, по овладению программного учебного материала, по дисциплине «Математика».
6 664 525 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Тюменцева Оксана Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.