Главная / Математика / Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Неопределённый интеграл"

Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Неопределённый интеграл"


ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»




КРАТКИЙ

СПРАВОЧНИК

по математике

(первообразная, неопределенный интеграл, определенный интеграл)

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Первообразная и неопределенный интеграл

 Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x).

В интегральном исчислении решается обратная задача.

Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением

F'(x)=f(x)

или

dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx.

Определение. Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

hello_html_m906a5be.png.

Таким образом, по определению,

hello_html_24461fa7.png,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, а символ hello_html_m5bc1a2f6.gif- знаком неопределенного интеграла.

Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная равна подынтегральной функции.

Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.


Формулы интегрирования

Свойства неопределенного интеграла

hello_html_27a05021.png

hello_html_64715010.png

hello_html_m5b044871.png

hello_html_15caad2a.png

hello_html_513cd236.png

hello_html_f0ae6fc.png


Если

hello_html_m4bbe6ab9.png

, то

hello_html_3a9e6fc7.png









Таблица интегралов

hello_html_188047a7.png

hello_html_3bc22b90.png

hello_html_17810bf9.png

hello_html_m6b61c2f0.png

hello_html_m426853d4.png

hello_html_m6405ce9.png

hello_html_m47513642.png

hello_html_30f58979.png

hello_html_m6d289200.png

hello_html_3071afa5.png

hello_html_m610af16c.png

hello_html_m51def36e.png

hello_html_4ec3bbcd.png

 

Метод подстановки

Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл hello_html_7eeb0601.gif не является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к табличному.

Метод подстановки основан на применении следующей формулы:

hello_html_30e4db39.png,

где x=hello_html_6f95504e.gif(t) - дифференцируемая функция от t, производная которой hello_html_6f95504e.gif'(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.

Пример:   Необходимо найти интеграл

hello_html_18886c5b.png.

  Применим подстановку: u=arctg(x), тогда

hello_html_6cf7573e.png

  Подставляя полученные значения в искомый интеграл получим:

hello_html_m6912072a.png

  Теперь подставив значение u в полученное выражение получим решение искомого интеграла:

hello_html_49d95f6c.png

Интегрирование по частям

Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемые функции от x, то

d(uv)=udv+vdu.

Отсюда

udv=d(uv)-vdu.

Интегрируя обе части этого равенства, имеем

hello_html_m46d4d1e3.png

  или

hello_html_55dc8a88.png.

Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученной формулы.

Основные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:

1) подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на sin(x) или cos(x), или произведение многочлена от x на ln(x);

2) подынтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsin(x), arccоs(x) и т.д.;

3) подынтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x) или cos(x).

Пример: необходимо найти интеграл

hello_html_4b198d07.png.

Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x). Отсюда

hello_html_5fb1f75b.png.

Определенный интеграл

Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x), при переходе аргумента x от значения a к значению b.

Решение. Положим, что интегрированием найдено

hello_html_m2e8c97eb.png.

Тогда F(x)+C1, где С1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x). Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b. Получим:

[F(x)+C1 ]x=b - [F(x)+C1 ]x=a=F(b) +C1 - F(a) -C1 =F(b)-F(a).

Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C1 отсутствует постоянная величина C1. А так как под C1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C, первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a).

Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом

hello_html_3ec22b79.png.

Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом

hello_html_3ec22b79.png

   так, что если

hello_html_m2e8c97eb.png,

   то

hello_html_539dbe3e.png.

Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

Пример: необходимо найти определенный интеграл

hello_html_m364fd802.png.

Имеем:

hello_html_m323daf53.png.

Таким образом, искомый интеграл равен 6.

Несобственный интеграл

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
   Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

hello_html_m3c79915d.png.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.

Аналогично

hello_html_m5efb09ba.png

и

hello_html_m284550d9.png

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

hello_html_7eee1520.png



Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Неопределённый интеграл"
  • Математика
Описание:

Данная методическая разработка предназначена для самостоятельной работы студентов первого курса медицинского техникума, специальности Сестринское дело по теме: «Неопределенный интеграл». Методическое пособие разработано для преподавателя с целью выявления и систематизации знаний студентов по данной теме. Основными задачами является закрепление и углубление теоретических знаний у студентов  по данной теме.

Методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Она содержит в себе материал, способствующий формированию сознательного отношения к процессу обучения, стремлению к самостоятельной работе и всестороннему овладению знаниями. Развитию интереса к учебному предмету, содействию активизации мышления обучающихся. Развитию познавательной деятельности обучающихся, по овладению программного учебного материала, по дисциплине  «Математика».

Автор Тюменцева Оксана Николаевна
Дата добавления 15.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 493
Номер материала 58070
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓