Спецкурс по математике «Иррациональные уравнения»

ВВЕДЕНИЕ

 

Спецкурс «Иррациональные уравнения»

 

         Программа спецкурса предназначена для старшеклассников (10-11 классов). Она составлена на базе темы: «Иррациональные уравнения» школьного курса алгебры и начала анализа 11 класса. Данный спецкурс представляет собой целостный блок и рекомендуется для расширения и углубления знаний, после прохождения указанной темы в 11 классе. По усмотрению учителя некоторые темы можно интегрировать со школьной программой.

 

 

Объяснительная записка

 

Цели и задачи:

         Углубление изучения темы «Иррациональные уравнения», введение новых методов решений уравнений, не изучающихся  в школьном курсе алгебры. Развитие математических способностей, логики, мышления, ориентация на профессии, связанные с математикой, требующие достаточно высокой математической культуры, подготовка к поступлению в ВУЗы.

         В ходе решения задач развиваются творческие и прикладные стороны мышления, формируются такие навыки умственного труда, как планирование своей работы, посик рациональных путей ее выполнения.

         Предлагаемый спецкурс учитывает общие специфические цели углубленного изучения математики, ориентирован на учащихся с устойчивым интересом к математике и имеющим намерение выбрать профессию, связанную с математикой и поможет им успешно учиться в технических ВУЗах.

 

Определение: Уравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным уравнением с одной переменной.

Пример:     а) ;

                   б) ;

                   в) ;

                   г) 12;

                   д)

         Уравнения – не иррациональное, т.к. оно квадратное

трансцендентные.

         В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения. Поэтому, если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными. Отсюда ясно, например, что иррациональное уравнение  не имеет решений – его левая часть неотрицательны при всех допустимых значениях х.

Задание: Докажите, что следующие иррациональные уравнения не имеют решений:

1);

2) ;

3).

         Решая иррациональное уравнение, мы стараемся свести его к уравнению или системе, не содержащему радикалы. При этом используются свойства корней, возведение обеих частей уравнения в одну степень, метод подстановки и др. И далеко не всегда при этом следим за потерей корней или приобретением посторонних. В школьных учебниках по алгебре и началам анализа нет стройной теории равносильности, неравенств, систем уравнений и систем неравенств.

         Существует несколько определений понятия «равносильность» применительно к уравнениям. Остановимся на определении равносильности уравнений на множестве.

 

Определение: Два уравнения  (1) и  называются равносильными на множестве М, если каждый корень уравнения (1), прина­длежащий множеству М является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2), принадлежащий М, является корнем уравнения (1).

         В качестве множества М принято рассматривать область определения уравнения (1). Если оба уравнения не имеют корней на множестве М, то они тоже считаются равносильными на этом множестве.

         Рассмотрим различные способы решения иррациональных уравнений.

 

 

I. МЕТОД ОЦЕНКИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ

 

         Довольно часто, решая иррациональное уравнение, мы начинаем с нахождения его области определения. И нередко этого бывает достаточно, чтобы найти множество корней уравнения.

 

№ 1. Решите уравнение

Решение

О. О. У.:

Итак, в область определения данного уравнения входят только числа 1 и 3. Проверкой убеждаемся, что  - корень уравнения.

Ответ: 3.

 

№ 2. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.: . Легко видеть, что  при , а . Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

 

№ 3. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:

Данное уравнение не определено ни при одном значении х. Поэтому решений не имеет.

Ответ: решений нет.

 

№ 4. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:

Перепишем уравнение в виде

Пользуясь определением арифметического квадратного корня, заключаем, что корнем данного уравнения может быть такое число из области определения уравнения, при котором

Ответ: 3.

 

№ 5. Решите уравнение.

Решение

О. О. У.:

Итак,

Сумма неотрицательных чисел равна нулю, если все они равны 0. Значит, данному уравнению удовлетворяет только .

Ответ: -1.

№ 6. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:

Итак, .

Сумма неотрицательных чисел равна 2, если слагаемые не превышают 2.

                       

                         

                              

Данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

         При решении иррациональных уравнений другими приемами не всегда нужно будет находить О. О. У., а иногда это будет очень сложно сделать. Но во многих случаях нахождение О. О. У. полезно, т.к. сужает круг ненужных проверок. А если О. О. У. конечное множество чисел, то остается только проверить эти найденные числа подстановкой в исходное уравнение.

 

Задание

1)          8)

2)                    9)

3)                       10)

4)            11)

5)            12)

6)                   13)

7)                  14)

 

 

II. МЕТОД ВОЗВЕДЕНИЯ ОБОИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ

 В ОДНУ И ТУ ЖЕ СТЕПЕНЬ

 

         Особенно часто при решении иррациональных уравнений используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема: Если обе части уравнения  (1), где  для любого х из области определения уравнения возвести в одну и ту же степень с четным натуральным показателем , то получается уравнение  (2) равносильное данному.

 

Доказательство:

1.     Пусть  -  корень уравнения (1)

 - верное числовое равенство,

- истинное числовое равенство, следовательно,  -  корень уравнения (2).

2. Пусть  -  корень уравнения (2)

 - истинное числовое расенство

, так как ,  и  одного знака, следовательно,  - истинное числовое равенство, поэтому  -  корень уравнения (1)

 

№ 1. Решите уравнение

Решение.

О.О.У.:  

 

        

Итак, .

Возведя обе части в квадрат получаем

II способ:  

Ответ:

 

Замечание: Если есть уравнение , то оно равносильно одной из систем

 или .

 

Задание:

1)                              (Отв.: ).

2)                             (Отв.: )

3)                         (Отв.: )

4)                            (Отв.: )

5)                        (Отв.:  или )

6)              (Отв.: )

 

№ 2. Решите уравнение

Решение.

 

 

Ответ: 3.

Замечание 2: Уравнение равносильно системе

 

№ 3. .

Решение.

   

 

Ответ: 5

 

№ 4. .

Решение.

О.О.У.:  .

Возведем обе части уравнения в шестую степень

При подстановке в условие, убеждаемся, что  - посторонний корень.

Ответ: 2.

 

№ 5.

Решение.

О. О. У.:    .

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

  

 

Ответ: 12.

 

 

№ 6. Решите уравнение: .

Решение.

О. О. У.:  или .

Запишем уравнение в виде

возводим  его в квадрат

После повторного возведения в квадрат,

 или

 где

 или .

Отсюда с учетом О. О. У., имеем .

Ответ: 0.

 

№ 7. Решите уравнение:

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде  не изменив при этом его область определения. Пусть , тогда

.

О. О. У.:   или .

Возведем обе части уравнения в квадрат

Видим, что    .

Решим уравнение , откуда .

Ответ: 8

 

№ 8. Решите уравнение: .

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде

 и введем замену переменной , где .

Полученное уравнение равносильно

Переходим к уравнению

Ответ: .

 

Задание:

7)                                              (Ответ: 3).

8)                            (Ответ: 1; 2).

9)                                              (Ответ: 1).

10)                                           (Ответ: ).

11)                                 (Ответ: 4).

12)                                      (Ответ: 4).

13)                                           (Ответ: -1).

14)                                          (Ответ: 7).

15)                                           (Ответ: -1; 3).

16)                                        (Ответ: -4; 4).

17)                                       (Ответ: ).

18)                            (Ответ: 1;-1).

19)                               (Ответ: -1).

20)                             (Ответ: 2).

21)                            (Ответ: 1).

22)                                    (Ответ: 5).

23)                                  (Ответ: 7;8).

24)                          (Ответ: ).

 

 

 

 

III. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

 

№ 1. Решите уравнение .

Решение

Построим график функций  и .

         Графиком функции  является ветвь параболы , осью которой служит ось х-ов, которая расположена над этой осью.

         Графики пересекаются в точке (2;2).

Ответ: 2.

 

№ 2. Решите уравнение .

Решение

1 способ

Строим график функций  и . Заметим, что функция  определена только при  и монотонно возрастает. Вычислив несколько значений у при х = -4, -2, -1, 4, 11,…., построим схематически график этой функции. Прямая  пересекает этот график в точке, абсцисса которой равна 4. Других точек пересечения построенные графики не имеют, т.к.  монотонна.

Ответ: 4.

 

2 способ.

Перепишем данное уравнение в виде  и рассмотрим две функции  и . График функции  – ветвь параболы , соответ­ствую­щая только неотрицательным значениям . Графиком функции  является ветвь параболы , соответствующая значениям .

Ответ: 4

№ 3. Решите уравнение .

Решение

         Построим график функций  и .

Построенные графики пересекаются в точке (6;2).

Ответ: 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ

 

№ 1. Решите уравнение .

Решение

Пусть , где , тогда , следовательно

Данное уравнение относительно примет вид

, , т.к. , то

, .

Ответ: 0;5.

 

№ 2. Решите уравнение .

Решение

Обозначим ,

         не подходит, т.к. .

     

Проверка:    18 – 12 = 6  – верно

                        – верно.

Ответ: -7; 2.

 

№ 3. Решите уравнение .

Решение

Обозначим , , тогда

 или  – не подходит, т.к.

 или

Ответ: 0;-1.

 

№ 4. Решите уравнение .

Решение

Путь , где ,

тогда

Данное уравнение относительно  имеет вид , тогда

    

Остается решить уравнение

Ответ: -2;1.

 

№ 5. Решите уравнение .

Решение

Представим данное уравнение в виде:

Пусть , где , тогда

 

Остается решить уравнение

 

.

Ответ: .

 

№ 6. Решите уравнение .

Решение

Умножим обе части уравнения на 2

Пусть ,

 

Остается решить

    

Ответ: .

 

№ 7. Решите уравнение .

Решение

Тогда  или

           

, .

Ответ:0;-5.

 

№ 8. Решите уравнение .

Решение

Пусть , где . Тогда

Получаем уравнение . Учитывая, что , решим систему

        .

Остается решить уравнение

,       .

Ответ: 7.

 

№ 9. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:

Рассмотрим два случая:

1)    Пусть . Умножим обе части уравнения на

.

Вводим новую переменную , где . Решаем систему

  .

И далее:                    

2) Пусть теперь . В этом случае  Тогда переходим к уравнению

. Пусть , где .

  .

                   

Ответ: , 4.

 

№ 10. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.: .

Учитывая, что  не является корнем данного уравнения, разделим обе части его на :

Обозначим . Решаем теперь уравнение

Остается решить совокупность двух уравнений

  

Ответ: , 1.

 

№ 11. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.: .

Заметим, что  – решение данного уравнения. Пусть теперь . Освободимся от иррациональности в знаменателе левой части уравнения:

Пусть , где

Откуда

Получим уравнение: ,

,

Решив уравнение , находим еще два корня: 3 и 11.

Ответ: 3; 7; 11.

 

№ 12. Решите уравнение

Решение

Заметим, что  решение уравнения.

Пусть теперь , преобразуем уравнение к виду:

1 случай:  ,

Пусть ,

Легко убедиться, что данное уравнение решений не имеет.

2 случай:  , , поэтому

,

,

    

Остается решить уравнение

     .

Ответ: .

 

№ 13. Решите уравнение .

Решение

Пусть , где , тогда

Имеем

    

Ответ: -1; .

 

№ 14. Решите уравнение .

Решение

Заметим, что  является решением данного уравнения. Пусть , тогда числитель и знаменатель левой части разделим на

 

Обозначим .

Выразим через х и у:

получаем            

Осталось решить уравнение  решений нет.

Ответ: 6.

 

№ 15. Решите уравнение

Решение

О. О. У.:

Пусть

    

Если                           

             

    

Ответ:

 

Задание

1)          (Ответ: )

2)          (Ответ: )

3)          (Ответ: )

4)                   (Ответ: )

5)                        (Ответ: )

6)      (Ответ: )

7)      (Ответ: )

8)                            (Ответ: )

9)       (Ответ: )

10) (Ответ: )

 

 

V. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ПОЛНОГО КВАДРАТА

В ПОДКОРЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ

 

№ 1. Решите уравнение

Решение

 тогда исходное уравнение имеет вид

Единственным корнем этого уравнения является число

Ответ: 2,25.

 

№ 2. Решите уравнение

Решение

Пусть

             

        

  ,     .

Ответ: 2,5.

 

Задание

1)                   (Ответ: -1;0)

2)                    (Ответ: 0;3)

3)                   (Ответ: 2)

4)                       (Ответ: )

5)                             (Ответ: решений нет)

6)                         (Ответ: 5)

7)     (Ответ: 1; 2,5; 13)

8)                    (Ответ: 5;10)

9)                           (Ответ: )

10)                (Ответ: )

11)                 (Ответ: )

 

№ 3. Решите уравнение

Решение

Пусть

Выразим х через у

 , перейдем к уравнению относительно у:

Раскроем модули

Получим совокупность трех систем

     

И далее: ,    , .

Ответ: .

 

 

VI.  МЕТОД УМНОЖЕНИЯ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЕ

НА СОПРЯЖЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

 

№ 1. Решите уравнение .

Решение

Умножим обе части уравнения на . Получим уравнение-следствие

Это уравнение равносильно совокупности

Решим второе уравнение совокупности. Его следствием будет .

Отсюда .

Осталось произвести проверку. Ей подвергнем значения , . Легко убедиться, что первый корень подходит, а второй нет.

Ответ: 2.

         Прежде чем преступить к разбору следующего примера, отметим, что выражение  обращается в ноль при . Именно это значение и оказалось посторонним корнем. Естественно возникает необходимость сформулировать теорему о равносильных уравнениях.

 

Теорема: Если обе части уравнения  умножить на одно и тоже выражение , которое имеет смысл в области данного уравнения и не обращается в ноль , то получится уравнение  равносильно данному в области его определения.

 

№ 1. Решите уравнение .

Решение

Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящий в левой части уравнения на . Эта операция приведет к следующему уравнению, равносильно исходному

Это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности

Отсюда:  или .

 

Задание

1)                         (Ответ: 4)

2)                                   (Ответ:-1)

3)                         (Ответ:2)

4)                                             (Ответ:)

5)                          (Ответ:)

6)                                      (Ответ:-)

7)                            (Ответ: )

8)                                        (Ответ: нет корней)

9)                                          (Ответ: 16)

10)                                     (Ответ: 12)

11)                                        (Ответ: нет корней)

12)                       (Ответ:2;3)

13)                            (Ответ: 1)

 

 

VII. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ

 

№ 1. Решите уравнение

Решение

Пусть , где ;

         , где .

Тогда получим систему уравнений

      

Достаточно теперь решить уравнение

Ответ: -5, 5.

 

№ 2. Решите уравнение

Решение

Пусть , . Составим систему

           

           

Переходим к уравнению относительно :

         

Ответ: -61; 30.

 

№ 3. Решите уравнение

Решение

Пусть , , следовательно

Вводим еще одну замену:

Получаем систему

                

И далее  Составляем квадратное уравнение   

Решаем теперь совокупность

                   

Ответ: -15;13.

 

№ 4. Решите уравнение .

Решение

Пусть , где

         , где

Составляем систему уравнений

Вводим обозначения

                  

         

Система  действительных решений не имеет.

Завершаем решение совокупности

  

Ответ: -15; 1.

 

№ 5. Решите уравнение .

Решение

Обозначим , где .

Пусть  Тогда переходим к системе

        

Вторая система действительных корней не имеет. Запишем решение первой системы

 и далее

Ответ: 1; 4.

 

№ 6. Решите уравнение .

Решение

Пусть , где   и .

Найдем

.

Получим систему

Обозначим  Перейдем к системе

               

                               

Система (2) имеет решения, но и  разных знаков.

Ответ:

 

Задание

1)                                   (Ответ: -1; 3; 35)

2)     (Ответ: -6;1)

3)                       (Ответ: 0)

4)                                   (Ответ: 2)

5)                                    (Ответ: 8)

6)                         (Ответ: 1;-9)

7)                 (Ответ: -6; 4)

8)                         (Ответ: 4416)

 

 

VIII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ

 

         Есть немало иррациональных уравнений, которые не решаются приемами, разобранными ранее. Приходится искать искусственные приемы. А иногда бывает полезным использовать знание области определения функций, входящих в уравнение, а так же таких их свойства, как монотонность, ограниченность и т.д.

 

№ 1. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:

Функция  – возрастает в О. О. У, а  – убывает. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня, значение которого в данном случае легко подбирается:

Ответ: 1.

 

 

 

№ 2. Решите уравнение .

Решение

         Легко видеть, что – корень данного уравнения. В левой части уравнения стоит функция, являющаяся суммой двух возрастающих функций, а потому и сама возрастает на множестве R. Следовательно каждое свое значение она принимает только один раз. Значит, других решений, кроме , данное уравнение не имеет.

 

Задание

1)                      (Ответ: 2)

2)                                    (Ответ: 4)

 

№ 3. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:    

                  

                  

                  

                  

Тогда получим уравнение

     

Ответ: -2;0.

 

№ 4. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:R

Заметим, что

В это же время . Следовательно, левая и правая части данного уравнения могут быть равны, если они одновременно равны 5. Поэтому единственным решением исходного уравнения является .

Ответ: 0

 

Задание

3)                   (Ответ: 2)

 

№ 5. Решите уравнение .

Решение

О. О. У.:R

Перепишем данное уравнение в виде . В ведем вспомогательную функцию . Тогда данное уравнение представится в виде   (*). Легко видеть, что  – нечетная функция. Поэтому , если . И тогда уравнение (*) можно записать так  (**). А теперь докажем, что функция  монотонно возрастает.

, где . Из уравнение (**) следует, учитывая возрастание функции , что . Значит .

Ответ: -1.

 

№ 6. Решите уравнение

Решение

О. О.У.: .

Воспользуемся неравенством

.

Геометрическая интерпретация этого неравенства: скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. Оно является частным случаем () общего неравенства Коши-Буняковского. Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов

         Имеем . Значит, векторы  и  коллинеарны, т.е.

,     ,       

Последний посторонний корень.

Ответ: 1;.

 

№ 7. Решите уравнение .

Решение

Введем векторы и .

Тогда

следовательно вектора и  коллинеарны. поэтому

    .

Ответ: .

 

Задание

4) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1.     Полонский «Задачник к школьному курсу».

2.     Виленкин, Гутер, Шварцбурд, Овчинский «Алгебра».

3.     Литвиненко, Мордкович «Практикум по решению задач школьной математики». Выпуск 2.

4.     Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы»

5.     Шарыгин И. Ф, Голубев В.И. «Факультативный курс по математике»

6.     Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебраический тренажер».

7.     Зимберг «Подготовка учителя к уроку».

8.     Полоцкий, Якир «Тригонометрия. Задачник к школьному курсу».

9.     Беляева, Потапов, Титоренко «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

 

 

Метод оценки области определения и области значения……………………..

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень………….

Графический метод………………………………………………………………

Метод замены переменных………………………………………………………

Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях……………

Метод умножения обеих частей уравнения на сопряженное выражение…….

Метод сведения к системе уравнений…………………………………………..

Использование свойств функций………………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО ТЕМЕ:

«МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

 

 

 

 

 

 

 

Составила:      Задериева Н. П.