Главная / Математика / Спецкурс по математике «Иррациональные уравнения»

Спецкурс по математике «Иррациональные уравнения»

Название документа Иррациональные уравнения.doc

ВВЕДЕНИЕ


Спецкурс «Иррациональные уравнения»


Программа спецкурса предназначена для старшеклассников (10-11 классов). Она составлена на базе темы: «Иррациональные уравнения» школьного курса алгебры и начала анализа 11 класса. Данный спецкурс представляет собой целостный блок и рекомендуется для расширения и углубления знаний, после прохождения указанной темы в 11 классе. По усмотрению учителя некоторые темы можно интегрировать со школьной программой.



Объяснительная записка


Цели и задачи:

Углубление изучения темы «Иррациональные уравнения», введение новых методов решений уравнений, не изучающихся в школьном курсе алгебры. Развитие математических способностей, логики, мышления, ориентация на профессии, связанные с математикой, требующие достаточно высокой математической культуры, подготовка к поступлению в ВУЗы.

В ходе решения задач развиваются творческие и прикладные стороны мышления, формируются такие навыки умственного труда, как планирование своей работы, посик рациональных путей ее выполнения.

Предлагаемый спецкурс учитывает общие специфические цели углубленного изучения математики, ориентирован на учащихся с устойчивым интересом к математике и имеющим намерение выбрать профессию, связанную с математикой и поможет им успешно учиться в технических ВУЗах.


Определение: Уравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным уравнением с одной переменной.

Пример: а) hello_html_m7078734c.gif;

б) hello_html_3c6df26e.gif;

в) hello_html_m5bd5defc.gif;

г) 12hello_html_m10841749.gif;

д) hello_html_mba0dd4e.gif

Уравнения hello_html_m49e854c9.gif– не иррациональное, т.к. оно квадратное

hello_html_47e2ae49.gifтрансцендентные.

В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения. Поэтому, если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными. Отсюда ясно, например, что иррациональное уравнение hello_html_3279100.gif не имеет решений – его левая часть неотрицательны при всех допустимых значениях х.

Задание: Докажите, что следующие иррациональные уравнения не имеют решений:

1)hello_html_m239c69b9.gif;

2)hello_html_2893ca03.gif ;

3)hello_html_7a34270d.gif.

Решая иррациональное уравнение, мы стараемся свести его к уравнению или системе, не содержащему радикалы. При этом используются свойства корней, возведение обеих частей уравнения в одну степень, метод подстановки и др. И далеко не всегда при этом следим за потерей корней или приобретением посторонних. В школьных учебниках по алгебре и началам анализа нет стройной теории равносильности, неравенств, систем уравнений и систем неравенств.

Существует несколько определений понятия «равносильность» применительно к уравнениям. Остановимся на определении равносильности уравнений на множестве.


Определение: Два уравнения hello_html_2383e898.gif (1) и hello_html_m56fa6182.gif называются равносильными на множестве М, если каждый корень уравнения (1), прина­длежащий множеству М является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2), принадлежащий М, является корнем уравнения (1).

В качестве множества М принято рассматривать область определения уравнения (1). Если оба уравнения не имеют корней на множестве М, то они тоже считаются равносильными на этом множестве.

Рассмотрим различные способы решения иррациональных уравнений.



I. МЕТОД ОЦЕНКИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ


Довольно часто, решая иррациональное уравнение, мы начинаем с нахождения его области определения. И нередко этого бывает достаточно, чтобы найти множество корней уравнения.


hello_html_1ef95d37.gif
1. Решите уравнение

hello_html_2ab89ff5.gif

Решение

О. О. У.: hello_html_51046bd0.gif

Итак, в область определения данного уравнения входят только числа 1 и 3. Проверкой убеждаемся, что hello_html_79967da9.gif - корень уравнения.

Ответ: 3.


2. Решите уравнение hello_html_1cc56c7a.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_m353f600.gif. Легко видеть, что hello_html_13f684e1.gif при hello_html_m353f600.gif, а hello_html_1cabd0d5.gif. Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.


hello_html_m3e037e8c.gif3. Решите уравнение hello_html_2a4cfa00.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_308cfbe7.gif

Данное уравнение не определено ни при одном значении х. Поэтому решений не имеет.

Оhello_html_438e375d.gifтвет: решений нет.


4. Решите уравнение hello_html_17429272.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_m7dbf9a64.gif

Перепишем уравнение в виде

hello_html_m7d23e06a.gif

Пhello_html_m475962a9.gifользуясь определением арифметического квадратного корня, заключаем, что корнем данного уравнения может быть такое число из области определения уравнения, при котором

hello_html_5876b7ab.gif

Ответ: 3.


5. Решите уравнениеhello_html_m31db726e.gif.

Решение

Оhello_html_9aeb0ff.gif
. О. У.: hello_html_514a8bea.gif

Итак, hello_html_816cade.gif

Сумма неотрицательных чисел равна нулю, если все они равны 0. Значит, данному уравнению удовлетворяет только hello_html_m70793170.gif.

Ответ: -1.

6. Решите уравнение hello_html_5befe437.gif.

Решение

Оhello_html_f421e25.gif
. О. У.:hello_html_m2a39b46e.gif

Итак, hello_html_m71e11848.gif.

Сhello_html_7889ed99.gif
умма неотрицательных чисел равна 2, если слагаемые не превышают 2.

hello_html_m70d6cb3b.gif hello_html_6ef308e8.gif

hello_html_m53e02c8e.gif hello_html_m6a3853f1.gif

hello_html_m6f37208.gif hello_html_m6efacc84.gif

Данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

При решении иррациональных уравнений другими приемами не всегда нужно будет находить О. О. У., а иногда это будет очень сложно сделать. Но во многих случаях нахождение О. О. У. полезно, т.к. сужает круг ненужных проверок. А если О. О. У. конечное множество чисел, то остается только проверить эти найденные числа подстановкой в исходное уравнение.


Задание

1)hello_html_2b1e9d68.gif 8)hello_html_m1b4497ab.gif

2)hello_html_m48f10dd4.gif 9) hello_html_m27370242.gif

3) hello_html_19fbb692.gif 10) hello_html_m4817c3d0.gif

4)hello_html_46ccce23.gif 11) hello_html_m6f749fea.gif

5) hello_html_5f409857.gif 12)hello_html_60587c2c.gif

6)hello_html_m37724aa7.gif 13)hello_html_30a82527.gif

7) hello_html_m22f3850.gif 14)hello_html_m1604a878.gif



II. МЕТОД ВОЗВЕДЕНИЯ ОБОИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ

В ОДНУ И ТУ ЖЕ СТЕПЕНЬ


Особенно часто при решении иррациональных уравнений используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема: Если обе части уравнения hello_html_2afaba2a.gif (1), где hello_html_643abaac.gif для любого х из области определения уравнения возвести в одну и ту же степень с четным натуральным показателем hello_html_m29f2f057.gif, то получается уравнение hello_html_m7319274d.gif (2) равносильное данному.


Доказательство:

  1. Пусть hello_html_6a23d78f.gif - корень уравнения (1)

hello_html_354d726e.gif- верное числовое равенство,

hello_html_60b42839.gif- истинное числовое равенство, следовательно, hello_html_6a23d78f.gif - корень уравнения (2).

2. Пусть hello_html_18064224.gif - корень уравнения (2)

hello_html_m6cbb1daf.gif- истинное числовое расенство

hello_html_57abba9c.gif, так как hello_html_643abaac.gif, hello_html_m7e0019c4.gif и hello_html_1edf8359.gif одного знака, следовательно, hello_html_m3a47824c.gif - истинное числовое равенство, поэтому hello_html_18064224.gif - корень уравнения (1)


1. Решите уравнение

hello_html_73ae56aa.gif

Решение.

Оhello_html_m1d37ba4f.gif.О.У.: hello_html_m1828285f.gifhello_html_5e9085c4.gif


hello_html_53c6f4a6.gif

Итак, hello_html_6b39a225.gif.

Возведя обе части в квадрат получаем

hello_html_m9721815.gif

II способ: hello_html_6a37ec23.gifhello_html_m7e633d31.gif

hello_html_m5737b245.gif

Ответ: hello_html_m5737b245.gif


Замечание: Если есть уравнение hello_html_157f10b4.gif, то оно равносильно одной из систем

hello_html_3a97f51a.gifили hello_html_m255b9a3f.gif.


Задание:

1) hello_html_m50113ec2.gif (Отв.: hello_html_2857ba63.gif).

2) hello_html_3c9906c7.gif (Отв.: hello_html_4e8491d1.gif)

3) hello_html_m3e188922.gif (Отв.: hello_html_4e8491d1.gif)

4) hello_html_4971035f.gif (Отв.: hello_html_2857ba63.gif)

5) hello_html_51bdb28c.gif (Отв.: hello_html_1e41edeb.gif или hello_html_m341b4c33.gif)

6) hello_html_5c917a83.gif (Отв.: hello_html_461bbb30.gif)


2. Решите уравнение

hello_html_m38bcac77.gif

Решение.

hello_html_496a784e.gifhello_html_m6e9d64db.gif

hello_html_56e5fea4.gifhello_html_2e917da0.gif

Ответ: 3.

Замечание 2: Уравнениеhello_html_m4b3950ac.gif равносильно системе hello_html_m3c796e38.gif


3. hello_html_m3c18ca4d.gif.

Решение.

hello_html_m381e3b46.gif

hello_html_3f6f1298.gifhello_html_m17f1bf8e.gifhello_html_m60a7c737.gifhello_html_6dd550cb.gif

hello_html_m2dcce9fb.gifhello_html_4493261f.gif

Ответ: 5


4. hello_html_3d26d6b6.gif.

Решение.

О.О.У.: hello_html_m6fc61589.gifhello_html_m9c6562c.gif.

hello_html_m3557034e.gif

Возведем обе части уравнения в шестую степень

hello_html_1bfadf30.gif

При подстановке в условие, убеждаемся, что hello_html_m6390f054.gif - посторонний корень.

Ответ: 2.


5. hello_html_6c7ec80c.gif

Решение.

О. О. У.: hello_html_m77d1a284.gifhello_html_m5450754d.gifhello_html_791d39a2.gif.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

hello_html_7534dc8a.gif

hello_html_m1642de2b.gif

hello_html_m254f6262.gifhello_html_4c6f4c8.gifhello_html_ff637d9.gif

hello_html_4ab4f1ed.gifhello_html_5beea2c2.gif

Ответ: 12.



6. Решите уравнение: hello_html_m66fe7f14.gif.

Решение.

О. О. У.: hello_html_m14fbe78a.gif или hello_html_m4850676f.gif.

Запишем уравнение в виде

hello_html_m47fa936a.gif

возводим его в квадрат

hello_html_3af033f3.gif

hello_html_m7dbfeb06.gif

После повторного возведения в квадрат,

hello_html_m2674d93c.gifили

hello_html_m220cfc07.gifгде

hello_html_m3e225238.gifили hello_html_m2c7d16ac.gif.

Отсюда с учетом О. О. У., имеем hello_html_a6b8f26.gif.

Ответ: 0.


7. Решите уравнение: hello_html_m11d6ce3a.gif

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде hello_html_m16d4bef2.gif не изменив при этом его область определения. Пусть hello_html_2d21c525.gif, тогда

hello_html_m5417a468.gif.

О. О. У.: hello_html_164c692a.gifhello_html_5375af50.gif или hello_html_4c34cbb8.gif.

Возведем обе части уравнения в квадрат

hello_html_m12f35145.gif

hello_html_590bc3d1.gif

hello_html_1f889b86.gif

Видим, что hello_html_m2645dfdb.gifhello_html_m2ea8ab49.gif.

Решим уравнение hello_html_11445ccf.gif, откуда hello_html_6143b53d.gif.

Ответ: 8


8. Решите уравнение: hello_html_38f772c1.gif.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде

hello_html_13afcbf3.gifи введем замену переменной hello_html_m29781184.gif, где hello_html_m1c4f4804.gif.

hello_html_6d8835c8.gif

Полученное уравнение равносильно

hello_html_m4fac5cec.gif

Переходим к уравнению

hello_html_3684f5b0.gif

Ответ: hello_html_m2fd07d86.gif.


Задание:

7) hello_html_2e863422.gif (Ответ: 3).

8) hello_html_m5b765e74.gif (Ответ: 1; 2).

9) hello_html_2f44c370.gif (Ответ: 1).

10) hello_html_m3321fd89.gif (Ответ: hello_html_54788fa7.gif).

11) hello_html_19808194.gif (Ответ: 4).

12) hello_html_24d201fb.gif (Ответ: 4).

13) hello_html_2a5a108e.gif (Ответ: -1).

14) hello_html_4f452918.gif (Ответ: 7).

15) hello_html_m681821a.gif (Ответ: -1; 3).

16) hello_html_m6dc93c3e.gif (Ответ: -4; 4).

17) hello_html_m6792cbc1.gif (Ответ: hello_html_5716048b.gif).

18) hello_html_m3568f5d8.gif (Ответ: 1;-1).

19) hello_html_m2945f5ce.gif (Ответ: -1).

20) hello_html_m4f4d4278.gif (Ответ: 2).

21) hello_html_m61f8fa5b.gif (Ответ: 1).

22) hello_html_6e6da03a.gif (Ответ: 5).

23) hello_html_107e69ee.gif (Ответ: 7;8).

24) hello_html_m70da7ec.gif (Ответ: hello_html_m19d85ec8.gif).





III. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД


1. Решите уравнение hello_html_m3e865686.gif.

Рhello_html_130f8e9.gif
ешение

Построим график функций hello_html_m77d84138.gif и hello_html_6b0dbd32.gif.

Графиком функции hello_html_m77d84138.gif является ветвь параболы hello_html_6d661155.gif, осью которой служит ось х-ов, которая расположена над этой осью.

Графики пересекаются в точке (2;2).

Ответ: 2.


2. Решите уравнение hello_html_m1a9eeff1.gif.

Решение

1hello_html_m2833cdf1.gif
способ

Строим график функций hello_html_m2d4434a9.gif и hello_html_61b73ff7.gif. Заметим, что функция hello_html_m2d4434a9.gif определена только при hello_html_m642c38a2.gif и монотонно возрастает. Вычислив несколько значений у при х = -4, -2, -1, 4, 11,…., построим схематически график этой функции. Прямая hello_html_61b73ff7.gif пересекает этот график в точке, абсцисса которой равна 4. Других точек пересечения построенные графики не имеют, т.к. hello_html_m2d4434a9.gif монотонна.

Оhello_html_ea897b.gif
твет:
4.


2 способ.

Перепишем данное уравнение в виде hello_html_58f5427.gif и рассмотрим две функции hello_html_7ceedcab.gif и hello_html_m7a3e012b.gif. График функции hello_html_7ceedcab.gif – ветвь параболы hello_html_mf4f868a.gif, соответ­ствую­щая только неотрицательным значениям hello_html_5c4c257b.gif. Графиком функции hello_html_m7a3e012b.gif является ветвь параболы hello_html_m13ca0550.gif, соответствующая значениям hello_html_m15d703b.gif.

Ответ: 4

hello_html_m6ac9f2ef.gif

3. Решите уравнение hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5d6c7f5.gif.

Решение

Построим график функций hello_html_m412f1c43.gif и hello_html_m188961ee.gif.

Построенные графики пересекаются в точке (6;2).

Ответ: 6.










IV. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ


1. Решите уравнение hello_html_52d0f0db.gif.

Решение

Пусть hello_html_m728b5b22.gif, где hello_html_2a8f3fd3.gif, тогда hello_html_1d58ba7e.gif, следовательно

hello_html_8c2a1d4.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Данное уравнение относительно hello_html_m29b1e995.gifпримет вид

hello_html_me6cf253.gif

hello_html_7af53e15.gif, hello_html_m3db1da9f.gif, т.к. hello_html_2a8f3fd3.gif, то

hello_html_e957351.gif

hello_html_m5ea14dda.gif, hello_html_m3e9a94fb.gif.

Ответ: 0;5.


2. Решите уравнение hello_html_m1fb611ee.gif.

Решение

hello_html_m16f3b013.gif

hello_html_67799594.gif

Обозначим hello_html_m12348920.gif, hello_html_m474c34bb.gif

hello_html_m1f0f0dee.gif

hello_html_6f3db89a.gif

hello_html_m5e0ba3b.gif

hello_html_779c0a05.gif

hello_html_2ce3aaec.gifhello_html_6f520192.gifне подходит, т.к. hello_html_m474c34bb.gif.

hello_html_6a2318c3.gif

hello_html_4eab32d.gif

hello_html_m2605f52c.gif

hello_html_79ed6eb2.gifhello_html_5fbd8935.gif

Проверка: hello_html_79ed6eb2.gif 18 – 12 = 6 – верно

hello_html_5fbd8935.gifhello_html_20bc5f65.gif – верно.

Ответ: -7; 2.


3. Решите уравнение hello_html_4de1711f.gif.

Решение

hello_html_4de1711f.gif

Обозначим hello_html_m2c08966c.gif, hello_html_m474c34bb.gif, тогда

hello_html_m1a084094.gif

hello_html_724f1117.gif

hello_html_m75efff16.gif

hello_html_me3c18ea.gifили hello_html_261e4a9e.gif – не подходит, т.к. hello_html_m474c34bb.gif

hello_html_1a2f771.gif

hello_html_a6b8f26.gifили hello_html_m6390f054.gif

Ответ: 0;-1.


4. Решите уравнение hello_html_m12870417.gif.

Решение

Путь hello_html_60df0211.gif, где hello_html_2a8f3fd3.gif,

тогда hello_html_mb928bc8.gif

hello_html_26fbe1f9.gif

Данное уравнение относительно hello_html_m29b1e995.gif имеет вид hello_html_7618a608.gif, тогда

hello_html_6735e634.gif

hello_html_m77219a04.gif

hello_html_m75c06440.gif

hello_html_2e3f4aa7.gif

hello_html_m41119ad1.gifhello_html_m4cff3f0b.gif

Остается решить уравнение hello_html_m3dd1521.gif

hello_html_m30ff7e7a.gif

Ответ: -2;1.


5. Решите уравнение hello_html_m58cb70b0.gif.

Решение

Представим данное уравнение в виде:

hello_html_m62664215.gif

Пусть hello_html_3bfc5a3b.gif, где hello_html_2a8f3fd3.gif, тогда

hello_html_2e46b485.gif

hello_html_10e01777.gifhello_html_1e8190fe.gif

Остается решить уравнение hello_html_m6d146a69.gif

hello_html_m1d339ff1.gif

hello_html_7b17b824.gifhello_html_m76e984a0.gifhello_html_m71782a9d.gif

hello_html_f414f5d.gif.

Ответ: hello_html_4e470a66.gif.


6. Решите уравнение hello_html_84c339e.gif.

Решение

Умножим обе части уравнения на 2

hello_html_m52888e1e.gif

hello_html_26f3017c.gif

hello_html_3f06fbc1.gif

Пусть hello_html_4b2776a1.gif, hello_html_2a8f3fd3.gif

hello_html_m3dffa017.gifhello_html_m1109e1f8.gifhello_html_m26b76c24.gif

Остается решить hello_html_m120fd261.gif

hello_html_56abccb3.gifhello_html_6b24039b.gifhello_html_7cf7fb02.gifhello_html_157fc888.gif

Ответ: hello_html_m756ae7cc.gif.


7. Решите уравнение hello_html_m6ff96278.gif.

Решение

hello_html_m20890bb9.gif

hello_html_315eaf97.gif

hello_html_1913e33e.gifhello_html_m2333a8ae.gif

hello_html_4d477658.gif

hello_html_m66dbff0a.gif

hello_html_m2cb3240d.gif

hello_html_7bb3157d.gif

Тогда hello_html_e98bb1a.gif или hello_html_2a74f4fa.gif

hello_html_m32bad5b9.gifhello_html_m1a991be9.gif

hello_html_a6b8f26.gif, hello_html_4282a2d2.gif.

Ответ:0;-5.


8. Решите уравнение hello_html_m551d4bb0.gif.

Решение

Пусть hello_html_m684ea98a.gif, где hello_html_m69b08e38.gif. Тогда hello_html_m7acb5874.gif

Получаем уравнение hello_html_m7d8a03f9.gif. Учитывая, что hello_html_m69b08e38.gif, решим систему

hello_html_2f443e5b.gifhello_html_m3b27af80.gifhello_html_43cf8476.gif.

Остается решить уравнение hello_html_m1091c195.gif

hello_html_5fd50de2.gif, hello_html_2857ba63.gif.

Ответ: 7.


9. Решите уравнение hello_html_m3cb6e0fe.gif.

Решение

Оhello_html_m5cd93444.gif
. О. У.: hello_html_459ffd6b.gif

Рассмотрим два случая:

  1. Пусть hello_html_7c9e38f5.gif. Умножим обе части уравнения на hello_html_m32bd341e.gif

hello_html_118c6caf.gif.

hello_html_m72c523e2.gif

Вводим новую переменную hello_html_2ee90694.gif, где hello_html_m617d8bca.gif. Решаем систему

hello_html_m6f679135.gifhello_html_m12956a9d.gifhello_html_5141cac2.gif.

И далее: hello_html_586e7028.gifhello_html_6cee5ce.gifhello_html_m15a9c48.gifhello_html_48d40379.gif

2) Пусть теперь hello_html_m2c7d16ac.gif. В этом случае hello_html_m1691bf6.gif Тогда переходим к уравнению

hello_html_41eae42a.gif. Пусть hello_html_2ee90694.gif, где hello_html_m5e742033.gif.

hello_html_m19b0fa74.gifhello_html_2d789ebc.gifhello_html_m4381414.gifhello_html_4c6acb75.gif.

hello_html_m82a70f6.gifhello_html_m7297b318.gifhello_html_m2fcffaaa.gif

Ответ: hello_html_mf58774f.gif, 4.


10. Решите уравнение hello_html_262d7da.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_m1b9544e9.gif.

Учитывая, что hello_html_a6b8f26.gif не является корнем данного уравнения, разделим обе части его на hello_html_m4d1b6d20.gif:

hello_html_3c9fc8b8.gif

Обозначим hello_html_1aa8e770.gif. Решаем теперь уравнение

hello_html_m6f01edbb.gif

Остается решить совокупность двух уравнений

hello_html_m77d2bfae.gifhello_html_2f74b8ea.gifhello_html_7aa78616.gif

hello_html_7ba81a02.gifhello_html_32e3b411.gif

Ответ: hello_html_m58598aa0.gif, 1.


11. Решите уравнение hello_html_m14d66497.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_m18a5253.gif.

Заметим, что hello_html_2857ba63.gif – решение данного уравнения. Пусть теперь hello_html_1732e90c.gif. Освободимся от иррациональности в знаменателе левой части уравнения:

hello_html_62dcce89.gif

hello_html_md9ebd9.gif

Пусть hello_html_658f9268.gif, где hello_html_m52277e64.gif

Откуда hello_html_m3a785532.gif

Получим уравнение: hello_html_466eddb3.gif,

hello_html_9e033da.gif, hello_html_m2641f099.gif

Решив уравнение hello_html_46f9905a.gif, находим еще два корня: 3 и 11.

Ответ: 3; 7; 11.


12. Решите уравнение hello_html_md37bbc5.gif

Решение

Заметим, что hello_html_m5e531f1c.gif решение уравнения.

Пусть теперь hello_html_51d31f34.gif, преобразуем уравнение к виду:

hello_html_m2cb45f37.gif

1 случай: hello_html_mbe1a69f.gifhello_html_3bb4933e.gif, hello_html_6301a15b.gif

hello_html_m271aad49.gif

hello_html_m4f99b3a.gif

Пусть hello_html_77292b36.gif, hello_html_2a8f3fd3.gif

hello_html_m2efb2c35.gif

Легко убедиться, что данное уравнение решений не имеет.

2 случай: hello_html_m2bbe24c8.gifhello_html_16d66bdc.gif, hello_html_425678fc.gif, поэтому

hello_html_m37ebbefe.gif,

hello_html_77132ded.gif,

hello_html_454a44bf.gif

hello_html_5cd03936.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_781c0ae0.gifhello_html_4fdd4a00.gif

Остается решить уравнение

hello_html_m544c2496.gif

hello_html_7ee6f270.gif

hello_html_m63a319f3.gifhello_html_1e98eda.gif.

Ответ: hello_html_m1fef100d.gif.


13. Решите уравнение hello_html_e72621.gif.

Решение

Пусть hello_html_181efb5e.gif, где hello_html_m10b93bea.gif, тогда

hello_html_m5ec4fa83.gif

Имеем hello_html_m7194f8ba.gif

hello_html_319f3e3d.gif

hello_html_m2905044a.gif

hello_html_m46496f4f.gif

hello_html_m9c78617.gifhello_html_m47b007b6.gifhello_html_m4c232812.gif

Ответ: -1; hello_html_m74a8584b.gif.


14. Решите уравнение hello_html_m2b4a92c2.gif.

Решение

Заметим, что hello_html_m1182986.gif является решением данного уравнения. Пусть hello_html_m3e7d7aeb.gif, тогда числитель и знаменатель левой части разделим на hello_html_47de1a09.gif

hello_html_183104ca.gifhello_html_3624a5d8.gif

Обозначим hello_html_m7b2996cf.gif.

Выразим через х и у:hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_25f138db.gif

получаем hello_html_m40a77d10.gifhello_html_1b29bff3.gifhello_html_4ddb9654.gifhello_html_me3c18ea.gif

Осталось решить уравнение hello_html_maa01f40.gif решений нет.

Ответ: 6.


15. Решите уравнение hello_html_m17e17267.gif

Рhello_html_m53194bc5.gif
ешение

О. О. У.: hello_html_16471ff8.gif

Пусть hello_html_m431769f3.gif

hello_html_88876db.gif

hello_html_m5b368a92.gifhello_html_b5629c0.gifhello_html_186a6250.gif

Если hello_html_3f36b15e.gifhello_html_m6882b796.gifhello_html_m8053bbb.gifhello_html_39ac27da.gif

hello_html_215b99ca.gifhello_html_a6b302c.gif

hello_html_mcac706c.gifhello_html_m26cf346b.gif

Ответ: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2e41ffdc.gif


Задание

1)hello_html_m410769df.gif (Ответ: hello_html_3f68ea91.gif)

2)hello_html_m3f306d8a.gif (Ответ: hello_html_m2bb77c11.gif)

3)hello_html_72751976.gif (Ответ: hello_html_m3444be7d.gif)

4)hello_html_698d9600.gif (Ответ: hello_html_m23c60fd0.gif)

5)hello_html_m71d6398.gif (Ответ: hello_html_m7f7a1862.gif)

6)hello_html_481b408f.gif (Ответ: hello_html_5c1fd9ce.gif)

7)hello_html_185b2a09.gif (Ответ: hello_html_3f68ea91.gif)

8)hello_html_39059e1a.gif (Ответ: hello_html_102ff5f5.gif)

9)hello_html_m169bdfc0.gif (Ответ: hello_html_m753d5239.gif)

10) hello_html_3d116c09.gif (Ответ: hello_html_5520b9b8.gif)



V. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ПОЛНОГО КВАДРАТА

В ПОДКОРЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ


1. Решите уравнениеhello_html_2483a049.gif

Решение

hello_html_5c6866ff.gifтогда исходное уравнение имеет вид

hello_html_m23b8b919.gif

hello_html_m2f7a9abe.gif

Единственным корнем этого уравнения является число hello_html_5551103a.gif

hello_html_3b50ca3.gif

Ответ: 2,25.


2. Решите уравнение hello_html_mcdb34c3.gif

Решение

Пусть hello_html_m47a53664.gif

hello_html_m43e4e00d.gif hello_html_m4394d6cb.gif

hello_html_3bde6750.gif

hello_html_7803cf36.gif

hello_html_1fa87c0d.gif hello_html_m32245786.gifhello_html_46abf9c5.gif

hello_html_40a95ce7.gif hello_html_464393e3.gif, hello_html_m122e64bf.gif.

Ответ: 2,5.


Задание

1)hello_html_m493e0a9c.gif (Ответ: -1;0)

2)hello_html_23bbf8ad.gif (Ответ: 0;3)

3)hello_html_563a067f.gif (Ответ: 2)

4)hello_html_m5d7108f8.gif (Ответ: hello_html_3a96bf33.gif)

5)hello_html_m20a8064d.gif (Ответ: решений нет)

6)hello_html_m4f89cd6b.gif (Ответ: 5)

7)hello_html_b91b042.gif (Ответ: 1; 2,5; 13)

8)hello_html_710b4230.gif (Ответ: 5;10)

9)hello_html_670ef637.gif (Ответ: hello_html_5ec1e32a.gif)

10)hello_html_59fcc5db.gif (Ответ: hello_html_m50b44f22.gif)

11)hello_html_m493e0a9c.gif (Ответ: hello_html_16e80ce0.gif)


3. Решите уравнение hello_html_m77bea676.gif

Решение

Пусть hello_html_225f1c98.gif

Выразим х через у

hello_html_m24fe7ad7.gifhello_html_m47579dc1.gif, перейдем к уравнению относительно у:

hello_html_701aa8e4.gif

Раскроем модули

Получим совокупность трех систем

hello_html_2a3ea5c1.gif hello_html_177ff83a.gifhello_html_9516278.gif

И далее: hello_html_1858464c.gif, hello_html_4788b99.gif, hello_html_5728bf69.gif.

Ответ: hello_html_me78537f.gif.



VI. МЕТОД УМНОЖЕНИЯ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЕ

НА СОПРЯЖЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ


1. Решите уравнение hello_html_734835e5.gif.

Решение

Умножим обе части уравнения на hello_html_1e98df2d.gif. Получим уравнение-следствие

hello_html_2a53c640.gif

Это уравнение равносильно совокупности

hello_html_m34e4fd1d.gif

Решим второе уравнение совокупности. Его следствием будет hello_html_a470878.gif.

Отсюда hello_html_1e41edeb.gif.

Осталось произвести проверку. Ей подвергнем значения hello_html_1e41edeb.gif, hello_html_m57e3ef1b.gif. Легко убедиться, что первый корень подходит, а второй нет.

Ответ: 2.

Прежде чем преступить к разбору следующего примера, отметим, что выражение hello_html_1e98df2d.gif обращается в ноль при hello_html_m57e3ef1b.gif. Именно это значение и оказалось посторонним корнем. Естественно возникает необходимость сформулировать теорему о равносильных уравнениях.


Теорема: Если обе части уравнения hello_html_2afaba2a.gif умножить на одно и тоже выражение hello_html_m14b00622.gif, которое имеет смысл в области данного уравнения и не обращается в ноль hello_html_m2eb5c5c8.gif, то получится уравнение hello_html_324bfad.gif равносильно данному в области его определения.


1. Решите уравнение hello_html_m7755a68a.gif.

Решение

Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящий в левой части уравнения на hello_html_334f49a7.gif. Эта операция приведет к следующему уравнению, равносильно исходному

hello_html_m2142fe74.gif

Это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности

hello_html_m25c966b2.gif

Отсюда: hello_html_151c2aea.gif или hello_html_3f729e23.gif.


Задание

1)hello_html_625a474d.gif (Ответ: 4)

2)hello_html_m490105f2.gif (Ответ:-1)

3) hello_html_76428711.gif (Ответ:2)

4) hello_html_m5ebffcb7.gif (Ответ:hello_html_33b98bf3.gif)

5) hello_html_7ef6ce39.gif (Ответ:hello_html_m6e1b35d8.gif)

6) hello_html_3f22cc63.gif (Ответ:-hello_html_78af08a7.gif)

7) hello_html_m54cb4715.gif (Ответ: hello_html_m6a164486.gif)

8) hello_html_m4f21c3f9.gif (Ответ: нет корней)

9) hello_html_m35451d82.gif (Ответ: 16)

10)hello_html_6c7ec80c.gif (Ответ: 12)

11) hello_html_m146c8850.gif (Ответ: нет корней)

12) hello_html_129d4a06.gif (Ответ:2;3)

13)hello_html_m61f8fa5b.gif (Ответ: 1)



VII. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ


1. Решите уравнение hello_html_m6c512cf1.gif

Решение

Пусть hello_html_1668c6d2.gif, где hello_html_19cb43c2.gif;

hello_html_m774e8868.gif, где hello_html_59648f54.gif.

Тогда получим систему уравнений

hello_html_m227675f7.gif hello_html_m65f13adc.gifhello_html_5a327564.gifhello_html_1c668504.gif

Достаточно теперь решить уравнение

hello_html_ma3b02d2.gif

hello_html_621635a2.gif

hello_html_5aae0450.gif

Ответ: -5, 5.


2. Решите уравнение hello_html_m2e11caed.gif

Решение

Пусть hello_html_63424377.gif, hello_html_20cd0e83.gif. Составим систему

hello_html_m42e93342.gif hello_html_5a246c05.gifhello_html_50a420b.gifhello_html_m5124783c.gif

hello_html_60b8c89d.gif hello_html_m59157f2a.gifhello_html_me26c5f9.gif

Переходим к уравнению относительно hello_html_m5547f17b.gif:

hello_html_m453569f6.gif hello_html_m231f1779.gif

Ответ: -61; 30.


3. Решите уравнение hello_html_m64f430c5.gif

Решение

Пусть hello_html_m1e72f2da.gif, hello_html_706f8659.gif, следовательно

hello_html_m6e83fe76.gif

Вводим еще одну замену: hello_html_1a9f2bfd.gif

Получаем систему

hello_html_64cd71d9.gif hello_html_m6c2dff39.gifhello_html_4abceab.gif

И далее hello_html_m795b161b.gif Составляем квадратное уравнение hello_html_m2aca248.gif

hello_html_m507153f8.gif

Решаем теперь совокупность

hello_html_m13e1d082.gif hello_html_m5e25ba1b.gifhello_html_m4cdbd605.gif

Ответ: -15;13.


4. Решите уравнение hello_html_m23ec925e.gif.

Решение

Пусть hello_html_m38902d9e.gif, где hello_html_19cb43c2.gif

hello_html_m2f6bb3.gif, где hello_html_7b38935a.gif

Составляем систему уравнений

hello_html_m79f172f7.gif

Вводим обозначения

hello_html_1a9f2bfd.gif hello_html_m898a06.gifhello_html_m21691ace.gifhello_html_m137c658e.gif

hello_html_7c3f0f06.gif hello_html_7511035f.gifhello_html_7382a706.gif

Система hello_html_m491d643.gif действительных решений не имеет.

Завершаем решение совокупности

hello_html_m4a09cc18.gif hello_html_1512cf1a.gif

Ответ: -15; 1.


5. Решите уравнение hello_html_m38303452.gif.

Решение

Обозначим hello_html_m7ede1a97.gif, где hello_html_7b38935a.gif.

hello_html_7ec8482c.gif

Пусть hello_html_1a9f2bfd.gif Тогда переходим к системе

hello_html_11cc0d6a.gif hello_html_m23c3a046.gif

Вторая система действительных корней не имеет. Запишем решение первой системы

hello_html_m2df286.gifи далее hello_html_m4a0b1cab.gif

Ответ: 1; 4.


6. Решите уравнение hello_html_31e12440.gif.

Решение

Пусть hello_html_m5ee6fa65.gif, где hello_html_m7e14d73b.gif и hello_html_7b38935a.gif.

Найдем hello_html_7fde86e5.gif

hello_html_40be3d42.gif.

Получим систему hello_html_4922479d.gif

Обозначим hello_html_1a9f2bfd.gif Перейдем к системе

hello_html_maed2c22.gif hello_html_m593e9e2d.gifhello_html_m6e1e4229.gif

hello_html_m3139784a.gif hello_html_49eeeb7c.gifhello_html_m4688bb0a.gif

Система (2) имеет решения, но hello_html_31ffafd1.gifи hello_html_397c1811.gif разных знаков.

Ответ: hello_html_m300709d5.gif


Задание

1)hello_html_m215dfc2f.gif (Ответ: -1; 3; 35)

2)hello_html_m57a47aba.gif (Ответ: -6;1)

3)hello_html_3ccc3fd1.gif (Ответ: 0)

4)hello_html_m1088a0e2.gif (Ответ: 2)

5)hello_html_719c6013.gif (Ответ: 8)

6)hello_html_m4381e37c.gif (Ответ: 1;-9)

7) hello_html_c3bd82f.gif (Ответ: -6; 4)

8) hello_html_m75a8168f.gif (Ответ: 4416)



VIII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ


Есть немало иррациональных уравнений, которые не решаются приемами, разобранными ранее. Приходится искать искусственные приемы. А иногда бывает полезным использовать знание области определения функций, входящих в уравнение, а так же таких их свойства, как монотонность, ограниченность и т.д.


1. Решите уравнение hello_html_675181c0.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_mbd89f7e.gif

Функция hello_html_2a71383.gif – возрастает в О. О. У, а hello_html_m7b54bd5d.gif – убывает. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня, значение которого в данном случае легко подбирается: hello_html_m346c34bb.gif

Ответ: 1.




2. Решите уравнение hello_html_2aaae95a.gif.

Решение

Легко видеть, что hello_html_a6b8f26.gif– корень данного уравнения. В левой части уравнения стоит функция, являющаяся суммой двух возрастающих функций, а потому и сама возрастает на множестве R. Следовательно каждое свое значение она принимает только один раз. Значит, других решений, кроме hello_html_a6b8f26.gif, данное уравнение не имеет.


Задание

1) hello_html_m585af7bf.gif (Ответ: 2)

2)hello_html_m3d842d22.gif (Ответ: 4)


3. Решите уравнение hello_html_m3f56de75.gif.

Решение

О. О. У.: hello_html_m62ddd7f5.gif

hello_html_m7cd977a0.gif

hello_html_m538d915d.gif

hello_html_m66113678.gif

hello_html_m3304ac86.gif

Тогда получим уравнение hello_html_2008ab1e.gif

hello_html_m99e0e43.gif hello_html_715db52b.gif

Ответ: -2;0.


4. Решите уравнение hello_html_m5e69f411.gif.

Решение

О. О. У.:R

Заметим, что hello_html_m5e194738.gif

В это же время hello_html_m1c1eab34.gif. Следовательно, левая и правая части данного уравнения могут быть равны, если они одновременно равны 5. Поэтому единственным решением исходного уравнения является hello_html_a6b8f26.gif.

Ответ: 0


Задание

3)hello_html_m798ccd2.gif (Ответ: 2)


5. Решите уравнение hello_html_m2a0ea96.gif.

Решение

О. О. У.:R

Перепишем данное уравнение в виде hello_html_m21ba5f2d.gif. В ведем вспомогательную функцию hello_html_m70267e6e.gif. Тогда данное уравнение представится в виде hello_html_50fe8d7d.gif (*). Легко видеть, что hello_html_217fd40b.gif – нечетная функция. Поэтому hello_html_6a14eca0.gif, если hello_html_50fd2814.gif. И тогда уравнение (*) можно записать так hello_html_m413f74db.gif (**). А теперь докажем, что функция hello_html_217fd40b.gif монотонно возрастает.

hello_html_3817088f.gif

hello_html_5113b150.gif, где hello_html_m5c77b0fa.gif. Из уравнение (**) следует, учитывая возрастание функции hello_html_217fd40b.gif, что hello_html_12652714.gif. Значит hello_html_m6390f054.gif.

Ответ: -1.


6. Решите уравнение hello_html_m7fa0b49.gif

Решение

О. О.У.: hello_html_m697343e1.gif.

Воспользуемся неравенством

hello_html_71996502.gif.

Геометрическая интерпретация этого неравенства: скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. Оно является частным случаем (hello_html_2b1cd393.gif) общего неравенства Коши-Буняковского. Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов hello_html_1de5ccf4.gif

Имеем hello_html_5c2e089a.gif. Значит, векторы hello_html_748f6065.gif и hello_html_4a5b8074.gif коллинеарны, т.е.

hello_html_mcb15140.gif, hello_html_m5520abcd.gif, hello_html_m3ae6cde6.gifhello_html_69d3b926.gif

hello_html_m9023451.gif

Последний посторонний корень.

Ответ: 1;hello_html_4e6d0ea5.gif.


7. Решите уравнение hello_html_m595e7086.gif.

Решение

Введем векторы hello_html_15d8120d.gifи hello_html_m438cf71f.gif.

Тогда hello_html_m16937c00.gif

hello_html_6876612d.gif

hello_html_2c47eb96.gif

следовательно вектора hello_html_m7ef95cfc.gifи hello_html_m3ee28c5d.gif коллинеарны. поэтому

hello_html_m7e829e06.gif

hello_html_4d06b3b1.gif hello_html_m1d5700ad.gif.

Ответ: hello_html_778676e6.gif.


Задание

4) hello_html_301bbe81.gif.































Литература


  1. Полонский «Задачник к школьному курсу».

  2. Виленкин, Гутер, Шварцбурд, Овчинский «Алгебра».

  3. Литвиненко, Мордкович «Практикум по решению задач школьной математики». Выпуск 2.

  4. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы»

  5. Шарыгин И. Ф, Голубев В.И. «Факультативный курс по математике»

  6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебраический тренажер».

  7. Зимберг «Подготовка учителя к уроку».

  8. Полоцкий, Якир «Тригонометрия. Задачник к школьному курсу».

  9. Беляева, Потапов, Титоренко «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами».


















33


Название документа СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.doc


СОДЕРЖАНИЕ КУРСА



Метод оценки области определения и области значения……………………..

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень………….

Графический метод………………………………………………………………

Метод замены переменных………………………………………………………

Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях……………

Метод умножения обеих частей уравнения на сопряженное выражение…….

Метод сведения к системе уравнений…………………………………………..

Использование свойств функций………………………………………………..



























ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО ТЕМЕ:

«МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»








Составила: Задериева Н. П.


Спецкурс по математике «Иррациональные уравнения»
  • Математика
Описание:

Спецкурс «Иррациональные уравнения»

 

 

         Программа спецкурса предназначена для старшеклассников (10-11 классов). Она составлена на базе темы: «Иррациональные уравнения» школьного курса алгебры и начала анализа 11 класса. Данный спецкурс представляет собой целостный блок и рекомендуется для расширения и углубления знаний, после прохождения указанной темы в 11 классе. По усмотрению учителя некоторые темы можно интегрировать со школьной программой.

Автор Задериева Наталья Петровна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 427
Номер материала 33375
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓