Сообщение по теме "Формирование вычислительных навыков учащихся"

(Слайд №2) Замечательный русский художник Николай-Петрович Богданов-Бельский (1868 – 1945г.), ученик Рачинского написал знаменитую картину              «Устный счет», которая хранится в Третьяковской галерее.

На картине изображены крестьянские дети, которые напряженно ищут в уме решение примера.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

    Этот необычный для учеников трехклассной сельской школы пример, можно решить быстро, если знать некоторые «тайны» устного счета, о которых мы поговорим немного позже.

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа её закладывается в первые 5–6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и др. предметов.

(Слайд №3)  Что же такое вычислительная культура? 

Наличие у учащихся вычислительной культуры характеризуется следующей совокупность признаков:

Уверенное владение алгоритмами основных операций над рациональными числами;

Прочное и осознанное знание законов арифметических действий;

Применение рациональных приемов вычислений;

Выработка потребности и умений осуществлять самоконтроль;

Умение эффективно сочетать устные, письменные и инструментальные вычисления;

Умение по условию задачи определить, являются ли исходные данные точными или приближенными, и владение правила действия с последними

Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

Об уровне вычислительной культуры учащихся можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.

Анализ ЕГЭ показал, что одной из причин недостаточной подготовки по математике учащихся является слабая базовая подготовка за курс основной школы, в частности неудовлетворительное развитие вычислительных навыков у выпускников. Все усилия выпускника сводятся к нулю, если он не смог правильно найти числовое значение выражения, но при этом отлично владеет теоретическим материалом.

Особые затруднения у школьников вызывают:

— сложение и вычитание обыкновенных дробей

;

— перевод обыкновенной дроби в десятичную

;

— сокращение дробей;

— деление натуральных чисел и десятичных дробей.

Низкий уровень вычислительных навыков затрудняет усвоение ряда разделов курса математики. Потому, например, в 7 классе учащиеся, выполнив правильно необходимые преобразования при решении уравнения и получив 18у=2,7, не могут найти значение у. В 9 классе значительная часть учащихся затрудняется в выполнении таких заданий:

; ;  и т. д.

Почти четверть детей, окончивших начальную школу, ошибаются при вычислении значений числовых выражений, в порядке действий в выражении.

Около 40% шестиклассников не могут округлить натуральные числа и десятичные дроби; около 20% не осиливают вычислений с дробями.

Учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями.

Но как добиться того, чтобы исключить или свести к минимуму ошибки, связанные с элементарными вычислениями, и ошибки при выполнении базовых математических операций? Как определить, сформирован ли у учащегося навык в решении необходимого и достаточного набора базовых задач, столь нужного для приобретения прочных математических знаний на выходе?

Начиная работу с 5–6 классами, учитель должен с первых же уроков обратить серьезное внимание на дальнейшее развитие навыков вычислений, планируя на каждый урок включение какого-либо рода вычислительных упражнений как в форме письменных, так и в форме устных заданий.

Как отследить учителю своевременность усвоения знаний школьниками, каким образом скорректировать допущенные ошибки и ликвидировать пробелы? Для решения этих вопросов нужна, прежде всего, надежная диагностика, тренинг, индивидуальная коррекционная работа.

(Слайд №4)    Начать работу над развитием вычислительных навыков учащихся пятых классов необходимо с проведения диагностики уровня владения вычислительными навыками, сформированными у учащихся в начальной школе.

При проведении замеров скорости вычислений необходимо выполнять следующие требования: замер проводится при перемножении двузначных чисел. Заготавливаются карточки, содержащие не менее 10 вариантов заданий по четыре примера в каждом. Чтобы карточки были одинаково сложными, условия примеров содержат каждую цифру (от 2 до 9) по два раза. Пока они лежат лицевой стороной вниз, ученики подписывают на них свои фамилии. Длительность выполнения строго контролируется. По команде «начали» ребята переворачивают листочки и преступают к решению. По команде «закончили» все одновременно прекращают писать, переворачивают и сдвигают на край парты листочки. При оценке выполненных работ неправильно вычисленные цифры не учитываются. Не учитываются и заранее написанные цифры условия. Значит, в решении примера, приведенного ниже, не будут учтены цифры: 3,6,4,7,1. А как быть с цифрой 5? Фактически она ошибочна, но сложение (1+4=5) выполнено верно. Цифра 5 считается условно правильной и подлежит учету. В приведенном решении примера девять правильно определенных цифр:

Инструментарий для проверки техники вычислений

( предоставлен Засыпкиной Е. В., учителем математики АМОУ СОШ № 11)

В течение учебного года, используя данную методику, учитель периодически может проверять скорость вычислений учащихся, (т. е. сколько цифр они высчитывают за 1 минуту, не считая цифр, используемых при записи примера) и проводить мониторинг вычислительных навыков учащихся. При этом необходимо доводить результаты мониторинга до сведения учащихся, чтобы они видели повышение скорости своих вычислительных навыков. Эффективность этой работы возрастает при использовании само и взаимопроверки. Эти задания можно использовать как при работе со всем классом, так и для индивидуальных заданий. Оценивается уровень владения вычислительными навыками следующим образом: отметка «3» выставляется, если учащийся за 1 минуту высчитывает от 20 до 29 цифр; отметка «4» -- от 30 до 39 цифр, отметка «5» --- 40 цифр. При увеличении скорости вычислений можно вместо четырёх числовых выражений предложить решить пять, создавая возможность для дальнейшего развития самым «быстрым» учащимся.

Для диагностики сформированности  навыков устного счета можно использовать разработанные материалы из книги Н.Н. Хлевнюк и М.В. Ивановой «Формирование вычислительных навыков на уроках математики», где предлагается система работы по формированию навыков оперирования числами и выражениями на основе определений, правил и свойств. Кроме того пособие позволяет организовать работу по развитию математических способностей школьников на основе полученных вычислительных навыков. Пособие содержит контроль, диагностику, мониторинг, тренинг и материалы для коррекции. Средства контроля представляют собой полный пакет уровневых тестов «Контрольный устный счет» (далее КУС) для проверки умений и навыков в выполнении важнейших математических элементов, из которых выстраиваются все математические задачи. Каждый КУС содержит две части: первую, для проверки усвоения базовых знаний, и вторую, направленную на развитие математических способностей школьников.

В пособии предложена форма анализа   выполнении тестов КУС, на основе которой осуществляется диагностика умений и навыков каждого учащегося. После диагностики предполагается проведение индивидуальной работы с использованием материалов для коррекции, а кроме того тренинг с целью достижения  более высоких результатов.

Содержание тестов полностью соответствует государственному стандарту математического образования, способствует реализации принципов уровневого обучения.   Тематика и содержание  КУС с успехом можно использовать для учащихся, по любым общеобразовательным программам  и учебникам. 

(Слайд №5)  Устные вычисления имеют большое образовательное, воспитательное и практическое и чисто методическое значение. Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека, умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счет всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках математики теоретических знаний.

Устный счет способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также развивающее значение, так как считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, памяти, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления, логического мышления учащихся, творческих начал и волевых качеств, наблюдательности и математической зоркости. Кроме того, устный счет способствует развитию речи учащихся, если с самого начала обучения вводить в тексты заданий и использовать при обсуждении упражнений математические термины.                                                                                                            

(Слайд №6) В наш век новых технологий и развития компьютерной техники разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Для того чтобы производить вычисления в уме, надо знать некоторые «хитрые» способы быстрого счета. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.

СПОСОБЫ БЫСТРОГО СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

Поразрядное сложение двузначных чисел

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т. д.).

76 + 38 + 47 + 86 + 45 = (70 + 30 + 40 + 80 + 40) +(6 + 8 + 7 + 6 + 5) = 260 + 32= 292.

Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого.

56 + 47 = (56 + 40) + 7 = 96 + 7 = 103;

8375 + 473 = ((8375 + 400) + 70) + 3 = (8775 + 70) + 3 = 8845 + 3 = 8848.

Сложение путем округления

Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением.

3916+991+1998+2002=(4000+1000+2000+2000)–(84+9+2)+2=9000–95+2=8907.

Сложение с использованием свойств действий с числами

Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа

12 + 63 + 28 = (12 + 28) + 63 = 40 + 63 = 103;

3013 + 74 + 2187 + 126 = (3013 + 2187) + (74 + 126) =5200 + 200 = 5400.

Прибавляют к какому-нибудь числу сумму чисел; можно прибавлять к данному числу каждое слагаемое отдельно

863 + (346 + 137) = 863 + 346 + 137 = 863 +137+ 346 = 1000 + 346 = 1346.

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом

549 + 94 = 549 + (100 – 6) = 549 + 100 – 6 = 643.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением

298 + 397 = 300 – 2 + 400 – 3 = 700 – 5 = 695;

504 + 497 = 500 + 4 + 500 – 3 = 1001.

Сложение десятичных дробей путем поразрядного сложения, начиная с высших разрядов 

Отдельно сложить целые части, десятичные доли, а затем сложить полученные результаты.

8,4 + 6,51 = ((8,4 + 6) + 0,5) + 0,01 = (14,4 + 0,5) + 0,01 = 14,9 + 0,01 = 14,91.

СПОСОБЫ БЫСТРОГО ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ

Поразрядное вычитание

574 - 243 = (500 - 200) + (70 - 40) + (4 - 3) = 300 + 30 + 1= 331.

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого.

647 – 256 = (500 - 200) + ( 140 - 50 ) + ( 7 - 6) = 300 + 90 + 1 = 391.

Вычитание с использованием свойств действий с числами

1358 – (158  + 78) = (1358 – 158) – 78 = 1112;

(973 +747) - 873 = (973 - 873) + 747 = 100 + 747 = 847;

5861 + (1414 – 884) = (5861 + 1414) - 884 = 7275 - 884 = 6391;

1093 - (1494 - 907) = (1093 + 907) = 2000 - 1494 = 506.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

67 - 48 = (67+1) - 48 = (68 - 48) - 1 = 20 - 1 = 19;

453 - 316 = 453 – (313 + 3) = (453 - 313) - 3 = 140 - 3 = 137.

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих

Если уменьшаемое и/или  вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением

713 - 65 = (700 + 13) - 65 = (700 - 65) + 13 = 635 + 13 = 648;

824 - 396 = 800 – (400 - 4) = (824 - 400) + 4 = 424 + 4 = 428;

395 – 98 = (400 – 5) – (100 – 2) = 400 – 100 – 5 + 2 = 297.

(Слайд №7) 3. СПОСОБЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

3.1 Умножение на 4, 8,16 и т. д.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают.

213  8 = (213  2)  4= (426 2)  2 = 852  2= 1704.

3.2 Умножение на 5; 50; 0,5; 25; 2,5; 0,25; 125; 12,5; 1,25; 0,125

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2 .

138 5 = (138 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2 .

87 50 =(87100) : 2 = 4350.

Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2 .

3600,5 = 360 : 2 = 180.

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.

34825 = 34800 : 4 = 8700.

Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4.

962,5 = 960 : 4 = 240.

Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4.

1960,25 = 196 : 4 = 49.

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8.

32 125 = 32 : 8 1000 = 4000.

Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8.

24 12,5 = 24 : 8 100 = 300.

Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8.

64 1,25 = 64 : 8 10 = 80.

Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

16,8 0,125 = 16,8 : 8 = 2,1 (см. Приложение I).

Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

53 5 = 26 10 + 1  5 = 265 (53 : 2 = 26 и 1 в остатке) ;

43 25 = 10 100 + 3  5 = 1075 (43 : 4 = 10 и 3 в остатке) ;

66 125 = 8 1000 + 2 125 = 8250 (66 : 8 = 8 и 2 в остатке) .

3.3 Умножение на 1,5 и на 15.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.

1) 24 1,5 = 24 + 12 = 36; 2)129 15 = 1290 + 645 = 1935.

3.4 Умножение на 11.

1 способ.

Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число.

24111 = 2410 + 241 = 2651,

2 способ.

Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

34 11 = 374, т. к. 3 + 4 =7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

68 11 = 748, т. к. 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

3.5 Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.

1) 57 101 = 5757. 2) 89 10101 = 898989.

3.6 Умножение на 9, 99 и 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель (cм. Приложение I).

1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574; 2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;

3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.

3.7 Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

8 318 = 8 (300 + 0+8)= 2400 + 80 + 64 =2544;

2) 7 196 = 7 (200 - 4) = 1400 – 28 = 1372.

4. СПОСОБЫ БЫСТРОГО ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ

4.1 Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление.

1)720 : 45 = (720 : 9) : 5 =  80 : 5 = 16  или 2) 9324 : 36 = ( 9324 : 3 ) : 12 = 3108 : 12 =  259.

4.2 Деление на 0,5; 5; 50 и 500

Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить  на 1; 10; 100  или 1000 соответственно, и затем результат умножить на  2. 

1) 21600 : 50 = 21600 : 100  2 = 432.  2) 42400 : 5 = 42400 : 10  2 = 8480. 

3) 214000 : 500 = 214000 : 1000 2 = 428.  4) 218 : 0,5 = 1218 2= 436.

4.3 Деление на 25; 2,5; 0,25 

Чтобы число разделить на  25, надо это число разделить на 100 и умножить на  4 . Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на  10 и умножить на  4.  Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на  4. 

1) 12100 : 25 =  12100 : 100 4 = 484 . 2) 31 : 0,25 = 31  4 = 124 . 

3) 240 : 2,5 = 240 : 10 4= 24  4 = 96. 

4.4 Деление на 125; 12,5; 1,25; 0,125

Чтобы число разделить на 125; 12,5; 1,25; 0,125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно (см. Приложение I). 

1) 4000 : 12,5 = 4000 : 100 8 = 320.  2) 9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.

3) 18 : 1,25 = 144 : 108 = 14,4. 4) 11 : 0,125 = 118 = 88.

5. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1=7), и к его полученному числу приписывают 25 (6 7 = 42. Ответ: 4225).

95² = 9025; 125² = 15625.

(Слайд № 8) Найти значение выражения разными способами: 56+47; 453-316; 213∙4; 24∙25; 65∙11.

(Слайд №9) Вычислите: 4240:5; 12100:25;  720:45;  84∙25; 56∙125; 35∙99; 95².   

(Слайд № 10) С.А. Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счёту полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво. Учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.

2) Приёмы, основанные на значениях некоторых свойств чисел или результатов действий (10•10+11•11+12•12+13•13+14•14):365, если знать, что в этом ряде чисел 10•10+11•11+12•12=13•13+14•14=365 (сумма квадратов трех последовательных чисел равна сумме квадратов следующих за ними двух чисел).

3) Сразу можно записать ответ, если знать, что 37•3=111

4) Зная число Шахразады 1001=7•11•13, сразу можно получить результат:7•11•13•678=678678

5) Наблюдая примеры

1+3=4=2•2 1+3+5+7=16=4•4

1+3+5=9=3•3 1+3+5+7+9=5•5

можно выявить закономерность. Если складываются натуральные нечётные последовательные числа, то сумма любого количества последовательных нечётных чисел, начиная с 1, равна произведению числа, выражающего количество слагаемых, на самого себя.

6) Можно использовать для вычислений ещё одну закономерность:

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

Впервые эту закономерность выявил итальянский математик XVI века Николо Тарталья.

7) Можно находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел заметив, что сумма крайних равна сумме двух любых других, равноудалённых от начала и конца ряда.

Например:

5+6+7+8+9+10+11=(5+11)+(6+10)+(7+9)+8=16•3+8=56

Приёмы устного счёта очень разнообразны. При выполнении вычислений устно, порой надо проявлять творческую инициативу, смекалку и выполнять действие тем или иным способом.

(Слайд № 11) Теперь мы легко можем найти значение выражения на картине.

(Слайд №12 ) Интерес к устным вычислениям подстегивают различные математические фокусы на быстрое вычисления или отгадывания числа. Предлагаю на доске записать шестизначное число, ещё одно шестизначное число, третье число я запишу сама, четвертое снова попрошу записать вас, а пятое запишу сама. А теперь попрошу быстро дать ответ. В чем суть этого фокуса?

Найти сумму 10 чисел Фибоначчи. В чем суть этого фокуса?

Библиография

1.  Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18.- С. 9-14.

2.  С. Минаева. Формирование вычислительных умений в основной школе. Газета «математика в школе» №2-2006.

3.  Федотова Л., Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №35. - С. 3-7.

4. Минаева, С. Формирование вычислительных умений в основной школе / Математика: прил. к газ. «Первое сентября». – 2006. – 16–31 янв. (№2). – с. 3–6.

5. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Г.М. Кузнецова и др. – М.: Дрофа, 2000. – 80 с.: ил.

6. Математика. 6 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 5-е изд. – М.:Мнемозина, 2006. – 264 с.: ил.

7. Математика. 5 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 8-е изд. – М.:Мнемозина, 2008. – 270 с.: ил.

8. Федотова, Л.Н. Повышение вычислительной культуры учащихся [Электронный документ]. – (festival.1september/articles/210122.) 16.01.2010