Главная / Математика / Система задач практического содержания по алгебре и началам анализа и геометрии в старшей школе

Система задач практического содержания по алгебре и началам анализа и геометрии в старшей школе

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m405537ae.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif

Система задач практического содержания.


Алгебра и начала анализа


10А.1. Имеется проволока длиной а метров. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли, одна сторона которого примыкает к стене заводского здания, так, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей.

10А.2. Для посадки ценных культур нужно выделить участок прямоугольной формы, площадь которого 5,76 га. Какие размеры должен иметь участок,, чтобы затраты на постройку ограды вокруг него были наименьшими?

10А.3. Из куска картона 32 см х 20 см требуется сделать коробку без крышки наибольшей вместимости, вырезая по углам равные квадраты и затем загибая выступы для образования боков коробки. Какова должна быть длина сторон вырезаемых квадратов?

10А.4. Лампа висит над центром круглого стола радиуса r. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшей (освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света)?

10А.5. Найти наибольшую длину бревна MN, которое можно сплавить из канала шириной а в канал шириной b. Стенки канала прямолинейны и отходят друг от друга под прямым углом.


а


M



b

N

10А.6. Заводу поручено изготовить резервуары емкостью 4 м3, имеющие форму правильной четырехугольной призмы и открытые сверху. При этом внутренняя поверхность должна быть покрыта оловом. Какими следует выбрать размеры резервуара, чтобы израсходовать наименьшее количество олова? (Толщиной стенок пренебречь).

10А.7. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. каковы должны быть размеры всех ребер, чтобы полная поверхность была наименьшей?

10А.8. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh2. При каких b и h прочность балки будет наибольшей?

10А.9. Окно иммет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определите размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре.

10А.10. При проектировании цеха по переработке плодоовощной продукции планируется строительство нескольких одинаковых холодильных камер, каждая из которых имеет форму правильной четырехугольной призмы объемом 144 м3. Для облицовки боковых стенок камеры используют материал, цена которого 15р., а для облицовки дна – 20 р за один квадратный метр. При каких размерах холодильной камеры стоимость ее облицовки будет наименьшей?

10А.11.На двух стройплощадках возводятся два одноэтажных склада общей площадью 600 м2. Стоимость постройки склада прямо пропорциональна квадрату его площади. Кроме того, известно, что строительство 1м2 на второй площадке обходится на 40% дороже, чем на первой. Какой должна быть площадь каждого склада, чтобы стоимость строительства была наименьшей?

10А.12. требуется выгородить прямоугольное пастбище площадью 1 км2 и разделить его на два прямоугольных участка. Какой наименьшей длины забор при этом может получиться?

10А.13. По одну сторону от стены высотой 30 м на расстоянии 10 м от стены лежит груз, по другую сторону от стены по горизонтальной площадке ездит кран. Башня крана имеет высоту 20м, а его стрела, прикрепленная к верхней точке башни, имеет длину l м и может быть расположена под любым углом к горизонту. При какой наименьшей длине l стрелы кран может поднять груз через стену? (Трос крана свисает вертикально с конца стрелы, его длина не ограничена).


11А.1. Скорость движения тела задана уравнением v =(3t2 + 2t – 1) (в м/с). Найдите путь, пройденный телом за 10 с от начала движения.

11А.2.Скорость движения тела в момент времени t задается формулой v =15 - 3t, где vскорость ( в м/с), t - время (в с). Какой путь пройдет тело от начала отсчета времени до остановки?

11А.3. Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении по прямой. Одно тело двигалось со скоростью v =(6t2 + 2t)м/с, другое – со скоростью v=(4t+5)м/с. на каком расстоянии они будут друг от друга через 5с?

11А.4. Найдите объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х2, х=2, у=0, вокруг :

а) оси Ох; б) оси Оу.

11А.5. Сила 4 Н сжимает пружину на 4 см. Какую работу нужно произвести, чтобы сжать эту пружину на 2 см?

11А.6. Период полураспада радиоактивного вещества равен 3 ч. Через какой промежуток времени от 8 кг этого радиоактивного вещества останется 0,25 кг?

11А.7. Период полураспада радиоактивного вещества равен 2,5 ч. Через какой промежуток времени от 4 кг этого радиоактивного вещества останется 0,5 кг?

11А.8. В комнате, где температура воздуха равна 20°, некоторое тело охлаждается от 100° до 60° за 20 мин. Считая скорость остывания тела пропорциональной разности температур тела и окружающей среды, определить, за какое время тело остынет до 30°.

11А.9. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 15 см. Найдите высоту воронки наибольшего объема.

11А.10. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак емкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала?

11А.11. Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверхность?

11А.12. Число деталей, которые рабочий должен был изготовить по норме, составляет 60% числа фактически изготовленных им деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил норму?

11А.13. Из 25-процентного раствора поваренной соли испарилась 1/3 имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора.

11А.14. Хозяйка налила в дырявый бидон керосин. Сколько керосина (в процентах) вылилось из бидона за 1 ч, если через 3 ч в нем осталось на 19 % меньше того количества керосина, которое в нем было через 1ч после наполнения?

11А.15. Определите давление воды на стенку шлюзы, длина которой 20 м и высота 5м, считая шлюз доверху заполненным водой.

11А.16. Вычислите давление воды на плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно а, нижнее b (a>b), высота H. Предполагается, что поверхность воды достигает верхнего края плотины. Подсчитайте давление для случая а = 400 м, b=200 м, Н= 20 м.

11А.17. Найдите давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h=3,5м и радиусом r=1,5 м, на его стенки, если плотность бензина ρ=900 кг/м3.

11А.18. Вычислите силу давления воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу, если труба, лежащая горизонтально, наполовину наполнена водой. Известно, что поперечным сечением трубы является круг диаметром 6 м .


Геометрия


Аксиомы стереометрии, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.

10Г. 1.1. Три мухи одновременно взлетели с оконного стекла. Когда в следующий раз они снова окажутся в одной плоскости?

10Г.1.2. Объясните, почему штатив нивелира принято изготавливать с тремя ножками, а не с двумя или четырьмя.

10Г. 1.3. Чтобы проверить, хорошо ли обработана плоская поверхность, в разных ее местах прикладывают линейку, прямолинейность которой выверена заранее, и смотрят, нет ли зазора между ними. В каком случае говорят, что поверхность неплоская? Почему?

10Г.1.4. Если только некоторые точки проволоки касаются плоской поверхности наковальни, значит, проволока непрямая. Почему? Чтобы выровнять ее, ударяют молотком по ее выпуклостям. После нескольких ударов проволоку поворачивают. Зачем?

10Г.2.1. Каждая грань доски – прямоугольник. Докажите, что, в каком бы направлении ни распиливали доску, пересекая все ее продольные ребра, в сечении всегда будет параллелограмм.

10Г.3.1. На практике вертикальность установки столба проверяют, глядя на столб поочередно в двух направлениях. Как обосновать правильность такой проверки?

10Г.3.2. При ремонте сверлильного станка слесарь должен с помощью угольника выверить перпендикулярность оси сверла к плоскости стола, на котором крепится деталь. Как это сделать?

10Г.3.3. На верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных один от другого (по поверхности земли) на 3,4 м, упирается концами перекладина. Один из столбов возвышается над землей на 5,8 м, другой – на 3,9 м. Найти длину перекладины.

10Г.3.4. Трос подвесной дороги, перекинутый через реку, укреплен на одном берегу на высоте 4 м, на другом – 35,6 м от уровня реки; расстояние между проекциями точек подвеса на горизонтальную плоскость48,3 м. Найти длину троса между креплениями. На провес добавить 10%.

10Г.3.5. Два электрических провода нужно протянуть от столба, на котором они будут укреплены на высоте 7 м, к дому, где они крепятся на высоте 4 м. Сколько потребуется провода, если расстояние по земле от дома до столба равно 15 м и на провисание и крепление нужно добавить 5% найденной длины?

Параллелепипед, призма

10Г.4.1. Сколько краски надо для покраски гаража, крыша которого двускатная, длина которого 680 см, ширина – 340 см, высота боковых стен – 190 см и фронтон высотой 40 см, если на покраску 1 м2 идет 130 г?

10Г.4.2. Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными 12 см, 8 см, 5 см. Сколько пойдет на изготовление параллелепипеда проволоки? На обрезки положить 3%.

10Г.4.3. Сколько рулонов обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 х 5 х 3м, если размеры обоев в одном рулоне 0,5 х 7м и на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери?

10Г.4.4. Поперечное сечение канала – равнобокая трапеция высотой 5м и сторонами оснований 25м и 7м. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?


Цилиндр

11Г.1.1. Сколько метров стыковочных швов пришлось сварить электросварщикам, сооружавшим газопровод Уренгой – Помары – Ужгород, если его длина 4451 км и сварен он из двенадцатиметровых труб диаметром 1420 мм.

11Г.1.2. Сколько квадратных метров жести пойдет на изготовление водосточной трубы длиной 5 м и диаметром 20 см, если на швы прибавляют 3% площади поверхности трубы?

11Г.1.3. Хватит ли 8500 м2 изоляционной ленты для двукратного покрытия ею километра газопровода диаметром 1420 мм?

11Г.1.4. Из круглого листа металла отштампован цилиндрический стакан диаметра 250 мм, высотой 500 мм. Предполагая, что при штамповке площадь листа не изменилась, определить диаметр листа.

11Г.1.5. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?

11Г.1.6. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.

Конус

11Г.2.1. Сколько квадратных метров ткани требуется, чтобы сшить конусообразную палатку высотой 3 м и диаметром 4м?

11Г.2.2. Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 2м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м х 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от общей площади крыши?

11Г.2.3. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м?

11Г.2.4. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 30 см и 20 см, а образующая 30 см. Сколько краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если на 1м2 поверхности требуется 200 г краски?

11Г.2.5. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер конической формы, если диаметры ведер 25 см и 30 см, образующая 27,5см и если на 1 м2 требуется 150 г олифы?

Объем параллелепипеда

11Г.3.1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см, 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?

11Г.3.2. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на прямоугольной площадке размером 2,5 х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.

11Г.3.3. Из сплошного латунного бруска длиной 360 мм с квадратным поперечным сечением, сторона которого 80 мм, отлиты три одинаковых зубчатых колеса. Угар составляет 6,5% от веса бруса. Найти вес каждой зубчатки.

11Г.3.4. Выкопан ледник в форме прямоугольного параллелепипеда размером 4 х 5 х 2,5м. Найти площадь выема льда на озере, необходимую, чтобы набить ледник льдом доверху. Толщина льда на озере 40 см, 8 % объема займут пустоты между кусками льда.

11Г.3.5. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. какова масса 1 погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)?

11Г.3.6. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина его 0,8 м, ширина 37,5 см. Он должен вмещать 0,18 м3. Найдите высоту аквариума.

11Г.3.7. классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося пришлось не менее 6м2 воздуха. Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 х 6,25 х 3,6 м, вместить 30 человек, не нарушая санитарной нормы?


Объем призмы

11Г. 4.1. Поперечное сечение железнодорожной насыпи имеет форму трапеции с основаниями 8 м, 14 м и углом в 45°. Сколько надо земли, чтобы сделать такую насыпь на протяжении 1 км, если на усадку земли уходит 6%?

11Г.4.2. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.

11Г.4.3. Доказать, что объем скирды сена

V = hello_html_m18b8925.gif.Найти вес сена в скирде,hello_html_655bcfec.png

если а = 6 м, b= 4,6м, h= 6,2м, l=10м.

Удельный вес сена равен 0,03 т/м3


11Г.4.4.Сколько солдат потребуется для того, чтобы вырыть за 8 ч траншею длиной 25 м и ход сообщения такой же длины, учитывая, что каждый солдат в час может выкопать 0,75 м2?

Профили траншеи и хода сообщения hello_html_m64fd843c.png

и размеры в метрах даны на рисунке.







Объем цилиндра

11Г.5.1. Сколько метров стальной проволоки в мотке, если его масса 30 кг, а диаметр проволоки 6 мм? Плотность стали 7600 кг/м3.

11Г.5.2. Радиус медного цилиндра равен 10 мм, высота 20 мм, его вес 30 граммов. Определить, сплошной цилиндр или полый.

11Г.5.3. 25 метров медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3).

11Г.5.4. Газовый резервуар имеет форму цилиндра, который сверху прикрыт шаровым сегментом. Радиус цилиндра равен 15 дм, высота цилиндрической части 100 дм, полная высота резервуара 125 дм. Найти его объем

11Г.5.5. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?

11Г.5.6. Стальной вал, диаметр которого равен 8,4 см и длина 97 см, обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,2 см. На сколько уменьшится масса вала после обработки? (плотность стали 7,4 г /см 3)

11Г.5.7. В цилиндрический сосуд, внутренний диаметр которого 10 см, опущено тело сложной конфигурации. Найдите объем тела, если уровень жидкости в сосуде поднялся на 4 см.

11Г.5.8.Вычислите, каков запас зерна в элеваторе, имеющем 40 цилиндрических резервуаров. Размеры резервуара: высота 30 м, внутренний диаметр 10 м. Плотность зерна

800 кг/м3.

11Г.5.9. Сколько бочек цилиндрической формы длиной 1,5 м и внутренним диаметром 0,8 м потребуется для перевозки 16,5 т керосина? Плотность керосина 0,8*103 кг/м3.

11Г.5.10. Сколько квадратных метров бумаги в рулоне, высота которого 85 см, а радиусы 45 см и 2 см? Толщина бумаги 0,1 мм.

11Г.5.11. Железобетонная панель имеет размеры 600 х 120 х 22 см. По всей ее длине – 6 цилиндрических отверстий, диаметры которых 14 см. Найдите массу панели, если плотность материала 2,5 т / м3.

11Г.5.12. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных насоса. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?

11Г.5.13.Суточное выпадение осадков составило 15 мм. Сколько воды могло бы выпасть на круглую клумбу, диаметр которой 8 м?


Объем конуса

11Г.6.1. Куча щебня имеет форму конуса, образующая которого 4м. Найдите ее объем, если угол естественного укоса (угол наклона образующей к плоскости основания) для щебня 30°.

11Г.6.2. Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м3 зерна равна 750 кг?

11Г.6.3. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 33°. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м3?

11Г.6.4. Отрезок ствола сосны длиной 15,5 м имеет диаметры концов d1 = 42 см и d2 = 25 cм. Найти относительную погрешность, которую мы допускаем, вычисляя объем сосны умножением площади поперечного сечения ствола на его длину

11Г.6.5.Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.

Объем шара

11Г.7.1. Из цилиндра, осевое сечение которого – квадрат со стороной 10 см, кузнец выковал шар. Найдите радиус этого шара.

11Г.7.2. Из свинцового шара радиуса 10 мм делают цилиндрический диск толщиной 3 мм. Каков диаметр диска?

11Г.7.3. Внешний диаметр полого шара 18 см. толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.

11Г.7.4. Сколько воды вмещает котел, имеющий цилиндрическую форму высотой 200 см, диаметром 200 см и основанием полусферической формы?

Система задач практического содержания по алгебре и началам анализа и геометрии в старшей школе
  • Математика
Описание:

Предлагаемые к рассмотрению на уроках задачи - примеры из окружающей действительности, позволяют раскрывать перед учащимися практическую значимость математики, широкую общность ее выводов.

Использование подобных задач как средства мотивации знаний, умений и методов создает условия для реализации в процессе введения нового материала связи обучения математике с жизнью, развития межпредметных связей, а значит, способствует развитию надпредметных знаний – компетентностей.



Автор Бикбердина Клара Мутигулловна
Дата добавления 03.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 3015
Номер материала MA-062922
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓