Главная / Математика / Сборник заданий с подробным решением по теме системы уравнений

Сборник заданий с подробным решением по теме системы уравнений

hello_html_m390ad899.jpg






















Система уравнений с двумя неизвестными.

Габриэль Крамер – швейцарский математик - заложил основы теории определителей. Известная под именем «правила Крамера» теорема была им сформулирована и доказана в 1750 г.    

Теорема     (Правило Крамера).  Если в системе  n линейных уравнений с  n  неизвестными hello_html_5698e1be.gif, то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

hello_html_m46b3754e.gif =hello_html_34efbcf8.gif, hello_html_2e5a702e.gif =hello_html_2a7eb386.gif, …, hello_html_785a379e.gif =hello_html_m63fb3e20.gif,

Рассмотрим систему уравнений hello_html_ma778dcb.gif (каждое из них представляет прямую на плоскости XOY).

Введем обозначения

hello_html_m1b154eef.gif(определитель системы), hello_html_2ffe7078.gif, hello_html_m7a77f95e.gif. hello_html_m18849730.gifформулы Крамера.

Определитель hello_html_2f7ec93a.gif получается из hello_html_2e85d6ba.gif заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Аналогично получается .

Возможны три случая.

С л у ч а й 1.

Определитель системы не равен нулю:hello_html_m5b42b3c1.gif, hello_html_37f3a561.gif hello_html_3bc59a7c.gif hello_html_mfd3fa05.gif

Тогда система имеет единственное решение.

Пример (3 вариант ОГЭ 2014):

Решить систему уравнений hello_html_m37cfa68f.gif.

hello_html_m6b2bd17f.gif hello_html_m47ba4896.gif -20 -21= - 41hello_html_m62fcd3d1.gif0

hello_html_m6ff1a43c.gif=hello_html_a95c256.gif= 8 – 49= - 41, hello_html_65434753.gif=hello_html_409775ab.gif = 35 + 6 =41

Х= - 41: (-41)= 1; у=41 : (- 41) = -1. Ответ: (1; - 1)

С л у ч а й 2.

Определитель системы равен нулю:hello_html_41f40700.gif (т. е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей hello_html_m4bbacbe5.gif не равен нулю (т. е свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). hello_html_m53aae3aa.gif hello_html_3365ee5e.gif х hello_html_3bc59a7c.gif 0 или hello_html_21068e2a.gif у hello_html_3bc59a7c.gif 0, т.е.

hello_html_m777b15a.gif =hello_html_m663e9873.gif hello_html_m2d1e1c0d.gif. В этом случае система не имеет решений.

Пример: hello_html_50e7c10d.gif

hello_html_4418ae67.gif = 4 - 4=0 , hello_html_m6ff1a43c.gif= hello_html_25be28cf.gif = 10 – 7 = 3 hello_html_3bc59a7c.gif0, hello_html_65434753.gif= hello_html_74e5de5a.gif = 14- 20 = - 6hello_html_3bc59a7c.gif 0

х= 3: 0; у = - 6 : 0 Ответ: система не имеет решений.

С л у ч а й 3.

hello_html_m5f3f8fbb.gif(т. е. и коэффициенты и свободные члены пропорциональны hello_html_m777b15a.gif =hello_html_m663e9873.gif = hello_html_m459fbf72.gif), если одно из уравнений, есть следствие другого; система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Пример: hello_html_25f129df.gifhello_html_1756caa0.gif

= hello_html_m77ed7945.gif = 24 -24 = 0, hello_html_m6ff1a43c.gif= hello_html_2f17adf5.gif = 4 – 4 = 0,

hello_html_65434753.gif= hello_html_m6a99429f.gif = 3 - 3 =0.

Ответ: система имеет множество решений.





Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами.

Результаты экзаменов по математике показывают, что задачи с параметрами представляют для школьников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена. Рассмотрим,

на примерах, как с помощью определителей можно решать уравнения с параметрами.

Пример: Найдите все значения параметра а, при которых система

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m42c8317e.gif имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение при условии hello_html_m5b42b3c1.gif. Так как hello_html_64d9e048.gif= - 40-6а, то система имеет единственное решение при аhello_html_173b2b30.gif

Ответ: приhello_html_5046ca29.gif система имеет единственное решение.



Пример: Найдите все значения параметра в, при которых система

hello_html_5fb657dc.gifне имеет решений.

Решение:

hello_html_2d0c1b7f.gif = -184 + 120 = - 64hello_html_3750bfcb.gif0

данная система не будет иметь решений, если

hello_html_maec69d3.gif=-8в +24=0

то есть при в = 3 .

Ответ: при в = 3 система не имеет решений.

Пример: Найдите все значения а, при которых система

hello_html_m780a7288.gifhello_html_m1cf81dc0.gif

не имеет решений.

Решение.

hello_html_mf08fb93.gif= -20а-10hello_html_7f28bb4a.gif,

hello_html_4cfc4050.gif=hello_html_m67fc02a5.gif= -20а+14а= -6а,

hello_html_m4fb2e379.gif=49-5(4-5а)=29+25а.

Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы hello_html_41f40700.gifи hello_html_m5d844058.gif илиhello_html_25d0930d.gif.

hello_html_m1c90943e.gif,

hello_html_3d1082a5.gif=0 при а=0 или при а = -2.

При а=0 hello_html_491b513c.gif

При а = -2 hello_html_63210278.gif

Значит, при а=0 , а = -2 система не имеет решений.

Ответ: при а = 0 система не имеет решений.

Пример: Найдите все значения параметра в, при которых система

hello_html_m6d80a056.gif

имеет бесконечно много решений.

Решение: hello_html_m5129333e.gif

то данная система имеет бесконечно много решений при условии

hello_html_66556072.gif и hello_html_db72bc7.gif=hello_html_39ab0e9b.gif

-8в= -12, в =1,5 и 6-4в=0, -4в= -6, в =1,5

Ответ: при в = 1,5 система имеет бесконечно много решений.

Пример: Найдите все значения а, при которых система

hello_html_m5243146e.gif

не имеет решений.


Решение.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_76223e6b.gif

hello_html_41f40700.gifпри а = hello_html_5059b3a1.gif.

  1. а = hello_html_m5d8bb57a.gif

  2. a=hello_html_605ada52.gif

Ответ: при а = -hello_html_42567408.gif система не имеет решений.




Примеры решения системы уравнений с тремя неизвестными методом определителей.

Рассмотрим применение определителя при решении системы уравнений с тремя неизвестными.

1. hello_html_14a672cd.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_28a34971.gif4 (56-32)-6(24-16)+10(24-28) = 96-48-40=8

hello_html_m1ee2a2b.gif= 20 (56 – 32) – 6 (24 – 16) + 10 (24 – 48) =

480 + 48 –240= 288

hello_html_mcfe515b.gif= 4 (24 – 48 )–20 (24 –16 ) + 10 ( 36 -12 ) = -24 -160 + 240 = 56

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6b6e6e35.gif=4(84-24)-6(36-12)+20(24-28)=240-144-80=16

Х=hello_html_m374fb84e.gif; у =hello_html_m29ab2c60.gif; z = hello_html_m17cd97d2.gif

Ответ: (36; 7; 2).


2. hello_html_m992849d.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m168407eb.gif10(-24+40)+12(24-32)+8(-60+48)=

=160-96-96= -32

hello_html_m2b7ebba1.gif6(-24+40)+12(16-8)+8(-40+12)=

= 96+96-224=-32

hello_html_73bb8a7.gif10(16-8)-6(24-32)+8(12-32)=80+48-160= -4

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4e82498d.gif10(-12+40)+12(12-32)+6(-60+48)=280-240-72= -32.

Х=hello_html_3d006d5d.gif; у =hello_html_7a024533.gif; z =hello_html_290af522.gif.


Ответ: (1;1;1)


3. hello_html_m6979a050.gif

Перепишем систему в виде:

hello_html_m36fb6132.gif

hello_html_m6d8a3b69.gif=8(-16+36)=6(48-60)+4(-72=40)=

=160-72-128= -40

hello_html_m392c0f5e.gif= -4(-4+9)+3(-2+9)+2(3-6)= -20+21-6= -5

hello_html_63265ecb.gif=4(-2+9)+4(12-15)+2(-18+5)=28-12-26= -10

hello_html_3b5ccc51.gif=4(6-3)+3(-18+5)-4(-18+10)=12-39+32=5

Х=hello_html_2d6f53ab.gif; у =hello_html_732afcd7.gif; z =hello_html_6a056b85.gif-1.

Ответ: (1; 2; -1).


4. hello_html_m411207f8.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Приведем систему к виду:

hello_html_m39d2879d.gif

hello_html_m6510a369.gif5(-4-20)-2(4-15)+3(8+6)= -120+22+42= -56

hello_html_50bfeb57.gif-2(-4-20)-2(0+50)+3(0-20)=48-100-60= -112

hello_html_m1297d6b8.gif5(0+50)+2(4-15)+3(-20-0)=250-22-60=168

hello_html_23424613.gif5(20-0)-2(-20-0)-2(8+6)=100+40-28=112

Х=hello_html_m5382493e.gif; у =hello_html_m611439d4.gif; z =hello_html_48ddf981.gif

Ответ: (2; -3; -2).


5. hello_html_m2730c648.gif

hello_html_5d50d893.gif3(-18+20)-4(15-16)+2(25-24)=6+4+2=12

hello_html_80e39ce.gif5(-18+20)-4(-9+4)+2(-15+6)=10+20-18=12

hello_html_m5be5ba84.gif=3(-9+4)-5(15-16)+2(5-12)=-15+5-14= -24


Х=hello_html_m6967e73c.gif; у =hello_html_m754d92be.gif; z =hello_html_m3fee8608.gif.


Ответ: (1; -2; 5).





6. hello_html_m87e2458.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m3cad8769.gif1(-1-0)+1(1-1)+1(0+1)=-1+1=0

hello_html_m3d33972e.gif5(-1-0)-1(1-2)+1(0+2)=-5+1+2=-2

hello_html_m1d7a968c.gif1(1-2)-5(1-1)+1(2-1)=-1-0+1=0

hello_html_35e01e10.gif1(-2-0)-1(2-1)+5(0+1)=-2-1+5=2


Данная система не имеет решений, так как hello_html_m6c2e07f7.gif.


Ответ: система не имеет решений.


7. hello_html_m3c5a4eb3.gif

hello_html_m3cad8769.gif1(-1-0)-1(1-1)+1(0+1)=-1-0+1=0

hello_html_215696e6.gif5(-1-0)-1(1-3)+1(0+3)=-5+2+3=0

hello_html_m1a1bf0ff.gif1(1-3)-5(1-1)+1(3-1)=-2-0+2=0

hello_html_6cc73673.gif1(-3-0)-1(3-1)+5(0+1)=-3-2+5=0


Система имеет бесконечно много решений, так как hello_html_69b238a4.gif

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Полученные знания и приобретённые навыки при решении систем уравнений с тремя неизвестными, если не помогут при сдачи ЕГЭ, то наверняка помогут при изучении математического анализа.

Решение экономических задач.

При решении экономических задач часто используют матрицы и определители. Особенно этот вопрос актуален в наши дни, так как нельзя представить нашу жизнь без баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим задачи, использующие понятие матрицы и определителя.

Задача 1.

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели приведены в таблице.

Вид изделия, п/п

Количество изделий, ед.

Расход сырья, кг/изд.

Норма времени изготовления, ч/изд.

Стоимость изделия,

ден. ед./

изд.

1

10

5

10

15

2

20

4

5

10

3

30

3

15

20

4

40

2

20

25

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Решение. По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

hello_html_6dc4eb93.gif= (10, 20, 30, 40) — вектор ассортимента;

hello_html_m3ddaeb0f.gif= (5, 4, 3, 2) — вектор расхода сырья;

hello_html_m5f3f3bd6.gif= (10, 5, 15, 20) — вектор затрат рабочего времени;

hello_html_m11111b74.gif= (15, 10, 20, 25) — вектор стоимости.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие

скалярные произведения вектора ассортимента hello_html_6dc4eb93.gif на три других

вектора, т. е.

S = hello_html_6dc4eb93.gifhello_html_m3ddaeb0f.gif = 10·5 + 20· 4 + 30·3 + 40·2 = 50 + 80 + 90+80 =300 кг;

T = hello_html_6dc4eb93.gifhello_html_m5f3f3bd6.gif = 10·10 + 20·5 + 30·15 + 40·20 = 100+100+450+800=1450 ч;

Р = hello_html_6dc4eb93.gifhello_html_m11111b74.gif = 10·15 + 20·10 + 30·20 + 40·25 = 150+200+600+1000=1950 ден.ед.


Рассмотрим типичную ситуацию. Некоторая фирма занимается реализацией четырех видов товаров в трех городах: Шелехов, Иркутск и Ангарск,. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу

A = (aij) =hello_html_1fcbc137.gif

Величина aij, которая находится в i-й строке и j-м столбце матрицы A, обозначает количество j-го товара, проданное в i-м районе. Таким образом, строки матрицы соответствуют районам, а столбцы – видам товаров. Обозначим через ci, i= 1, 2, 3, 4 цены на реализуемые товары. Они образую матрицу-столбец

C = hello_html_m5081e7e6.gif

Если хотим найти суммарный объем продаж в первом районе, то мы должны вычислить следующее выражение:

a11c1 + a12c2 + a13c3 + a14c4,

которое является скалярным произведением первой строки матрицы A на столбец цен C. И строчка, и столбец являются арифметическим 4-х мерными векторами. Про выражение (a11c1 + a12c2 + a13c3 + a14c4) говорят, что оно получено при умножении первой строки матрицы A на столбец C.

Производя такое умножение на столбец C второй и третьей строк, получаем еще две величины, которые представляют собой суммарные продажи во втором и третьем районах. Эти две величины вместе с ранее найденной величиной образуют вектор суммарных продаж

P = hello_html_191dc6c0.gif.









Задача 2.

В три разных магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество телевизоров, пылесосов, электропечей. В первый – по 12 телевизоров, 8 пылесосов, 10 электропечей, во второй – по 7 телевизоров, 9 пылесосов, 10 электропечей, а в сельский третий магазин – по 2 телевизора, 3 пылесоса и 5 электропечей. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их до завоза. Найти, в каком магазине самая маленькая и самая большая выручка, если матрица цен выглядит так:

P=hello_html_2f83b61b.gif(цены указаны в тыс.руб.).


Решение.

Найдем матрицу поступлений товаров:


A=hello_html_27393616.gif, найдем суммарные выручки:

C=hello_html_m4f133b4f.gif

= hello_html_6f24613.gif (цены указаны в тыс.руб.)

Ответ: самая маленькая выручка в третьем магазине, а самая большая в первом.


Задача 3.

На каждый из двух складов три раза в месяц привозят товар трёх наименований. Найти суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров. Если поступление товаров на первый склад можно описать матрицей

A1=hello_html_13133c97.gif, а поступление товаров на второй склад



матрицей

A2=hello_html_m484368ef.gif.

Решение.A1+A2= hello_html_m14185f31.gif + hello_html_m1a78dfdb.gif =hello_html_3b5362c5.gif ,

12(A1+A2) = 12hello_html_1d32cae0.gif=hello_html_m6d2db297.gif.

Задача 4.

Со склада в магазин доставили товары, поступление которых описывается матрицей

A1=hello_html_6496d328.gif, однако не все товары пользовались спросом. Найти количество товаров, оставшихся в магазине, если количество купленных товаров описывается матрицей

A2=hello_html_da3057c.gif.

Решение: Найдем разность этих двух матриц:

A1 - A2=hello_html_5f34df9b.gif -hello_html_m6c16c136.gif = hello_html_m29876ce1.gif.

Задача 5.

Пусть в магазин поступили три вида товаров: телефоны, планшеты и ноутбуки, - тогда вектор

x1= (15;17;13); будет означать, что поступило 15 телефонов, 17 планшетов и 13 ноутбуков. Если во второй завоз поступление этих товаров имело вид:

x2=(10;18;20), мы можем найти суммарное поступление товаров:

x1+x2 = (15+10; 17+18; 13+20) = (25; 35; 33).

Если магазин не один, а два, тогда завоз товаров можно описать матрицей, у которой две строки и три столбца. Первая строка относится к первому магазину, а вторая – ко второму.

Допустим, что во второй магазин завезли в первый раз 5 телефонов, 20 планшетов и 14 ноутбуков. Тогда общий завоз в первый раз можно записать матрицей

A1 =hello_html_602390b1.gif

Если во второй завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей

A2=hello_html_2cfc666b.gif, тогда мы можем найти суммарный завоз товаров в магазины:

A1+A2 =hello_html_602390b1.gif + hello_html_m7cd637c7.gif = hello_html_3e0dbcdb.gif

Если завоз товаров в магазины, который описывается матрицей A1, был произведен троекратно, то результирующий завоз будет описываться матрицей:

3A1= 3hello_html_602390b1.gif = hello_html_m56cb5cce.gif

Задача 6.Пусть матрица уровня продаж имеет вид:A = hello_html_67a03ae4.gif(Объемы продаж даны в тысячах штук). Пусть цены заданы с помощью матрицы: C = hello_html_3fd57d7b.gif

Тогда для нахождения вектора-столбца суммарных продаж мы произведем вычисления

C =hello_html_29fda486.gifhello_html_m220a53b4.gif=hello_html_m5854d890.gif=hello_html_m65589e23.gif

В этом примере применено действие умножения матриц.


Задания для самостоятельного решения.


1. Решить систему уравнений (задание из пробного ОГЭ 2014год)

4 вариант

hello_html_6c9f9d32.gif

Решение:

Δ = hello_html_mf4016b0.gif = -35 + 4 = - 31

hello_html_161c2ce6.gif = hello_html_m4a02dda3.gif = -55 +24 = -31

hello_html_6bea2b3a.gif = hello_html_m3a588a5e.gif = 84 – 22 = 62

х = hello_html_5b664853.gif = hello_html_2ff7ac55.gif = 1, у= hello_html_7572b0ec.gif = hello_html_55b5e065.gif = - 2

Ответ: (1; -2)



7 вариант
hello_html_680be963.gif

Решение:

Δ =hello_html_2df64f1b.gif = 20 + 21 =41


hello_html_m1bb8de88.gif =hello_html_3230ac73.gif = -8 + 49 = 41

hello_html_6bea2b3a.gif = hello_html_m3a06c62a.gif = 35 + 6 = 41

х = hello_html_5b664853.gif = hello_html_2b7b736f.gif = 1, у = hello_html_7572b0ec.gif = hello_html_2b7b736f.gif = 1

Ответ: (1; 1)

8 вариант

Решение:

hello_html_2d57702c.gif

Δ =hello_html_558566c7.gif = 35 – 4 = 31

hello_html_m1bb8de88.gif =hello_html_m171f9e6b.gif = 55 – 24 = 31

hello_html_6bea2b3a.gif = hello_html_m3a588a5e.gif = 84 – 22 = 62

х = hello_html_5b664853.gif = hello_html_m741a265c.gif = 1, у = hello_html_7572b0ec.gif = hello_html_m384a9c87.gif = 2

Ответ: (1; 2)

2.Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной:

А =hello_html_m27f14401.gif

Решение:

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:

Δ А = hello_html_m2c44aa7.gif = 3 - 0 + 2 λ -12-0 + 2 λ = 4 λ – 9.


Если 4 λ – 9 ≠ 0, т.е. λ ≠ hello_html_m3e2868e7.gif ,то Δ А ≠ 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

3.Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):

hello_html_m3b2b3e45.gif

Решение:
hello_html_639f371e.gif

hello_html_588ed2bb.gif = - 9 +3 = - 6;

hello_html_3bf5eefe.gif =hello_html_m69497c95.gif = 18 + 4 = 22

hello_html_m51d3a47e.gif =hello_html_2b0cfd6e.gif = 12 + 18= 30; hello_html_m270e1d75.gif = hello_html_7c0cac7a.gif = hello_html_11f35e29.gif; hello_html_m7cb38aac.gif = hello_html_78140572.gif = - 5

hello_html_m748d4f9b.gif

4.Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):

hello_html_24cb2547.gif

Решение:

hello_html_m4a428523.gif

hello_html_7476893c.gif = 6 - 6 = 0

hello_html_3bf5eefe.gif =hello_html_m45b6ef12.gif= -12 + 6 = -6 ≠ 0

hello_html_m51d3a47e.gif =hello_html_m1d2f5169.gif = 18 - 12= 6 ≠ 0

hello_html_m53aae3aa.gif hello_html_3365ee5e.gif х hello_html_3bc59a7c.gif 0 или hello_html_21068e2a.gif у hello_html_3bc59a7c.gif 0, т.е.

В этом случае система не имеет решений.

hello_html_m361c649a.gif система не имеет решений.

5. Решите систему уравнений (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):

hello_html_2995bf11.gif

Решение:

hello_html_59ff66e1.gif hello_html_m291a4fd3.gif = 1 + 0 +1 – 0 - 0 – 0 = 2

hello_html_6c2f7b87.gif = hello_html_m3bc2a367.gif = 3 +0 -5 – 0- 0- 2 = - 4

hello_html_33f84256.gif = hello_html_14011b6f.gif = -2

hello_html_m13503942.gif hello_html_88d682f.gif = 2 + 0 + 3 -0 + 5 – 0 = 10

hello_html_m83ea0bb.gif = hello_html_m384e1e98.gif = 5 , аналогично находим Z. Но решение может быть иным, например, найдя х, мы можем подставить данное значение в первое уравнение и вычислить у, а подставив в третье вместо, найдём z b или через второе уравнение.

hello_html_m361c649a.gif (-2; 5;-3)



6 .Аналогично можно решить систему (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):

hello_html_m68a1f143.gif прежде, чем решать систему уравнений, нужно её упорядочить hello_html_66327c31.gif

hello_html_5043dd2.gif = 3+ 3 + 3 – 27-1-1 = -20

hello_html_m42ef4004.gif = hello_html_m5dd90563.gif = 6 + 18 + 12 – 108 -2 -6 = 30 -110= -80

hello_html_m7baf9c04.gif = hello_html_m6e5a483d.gif = 6 + 36 + 6 – 54 -12 -2 = 48 -68 = -20

Х = - 80 : -20 = 4; у = - 20 : ( -20) = 1;

3· 4 -1 + z=12; z = 1

Ответ: (4; 1;-1)






7. Решить систему уравнений (И.В. Ященко и др. ГИА 9 класс тематическая рабочая тетрадь):

hello_html_m6565254e.gif

Δ = hello_html_36dcdb3c.gif = 40+8 = 48; hello_html_m576d3e6b.gif = hello_html_511430d7.gif = 10 – 22 = -12

Х = - 12 : 48 = - 0, 25; hello_html_m2d9d9c69.gif = hello_html_m58175ff5.gif =88+ 8 = 96; у = 96: 48 =2

Ответ: (- 0,25; 2).



Желаем успехов!hello_html_m7f31307d.png

Сборник заданий с подробным решением по теме системы уравнений
  • Математика
Описание:

Знаете, как применять формулы Крамера при решении систем уравнений? Как решить простые экономические задачи интересными и нестандартными методами.

Познакомьтесь со сборником составленным моим учеником Цымбалом Ильёй и возможно вы, овладеете новыми приёмами решения уравнений.

Если вы учащиеся 9 класса вы встретие полезные для вас задания, в том числе и для профилей.

Многие не знают, что такое матрица и определители, но ещё больше людей не имеют представления, как применитять матричный метод при решении экономических задач,как можно решать системы из ОГЭ, и не только,интересным способом.

Автор Кириллова Татьяна Николаевна
Дата добавления 29.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 933
Номер материала 16925
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓