Сборник задач по стереометрии

        Пирамида.

1. В правильной четырехугольной пирамиде высота составляет с боковой гранью угол, равный 37º. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.                                                                                   (37º).

2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше её высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.                     (30º).

3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь её основания 16 см². Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного параллельно основанию через середину  бокового ребра.     (10 см, 4 см²).

4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды. (6√­­3см).

5. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 45º. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.

  Решение: Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d=10 см.

6. Используя рис.1, на котором изображена правильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл.1 и табл.2.

                                                                              Таблица 1.

                                                                             Таблица 2.

Ответы

К табл. 1:

1)h=2, k=√7, β=30º;

2)b=4√6, h=4√3, k=2√15;

3)a=2√3, h=2√3, k=√13;

4)a=12, b=8, β=30º.

К табл. 2:

1) k=2, b=√7, α=60º;

2) a=2√3, k=√2, b=√3;

3) a=12, b=2√13, a=30º;

4) k=4, h=2√3, b=2√7.

Указание: Перед решением задачи следует повторить и затем записать на доске формулы

      NC=a√3/2, ON=a√3/6, OC=a√3/3.

7. Используя рис. 2, на котором изображена правильная четырехугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 3 и табл.4.

                                                                       Таблица 3.

                                                                       Таблица 4.

                                                                                Табл. 3 (1- 2, √5, 60º;

                                                                                               2- 2, √2, √6;

                                                                                               3- 6√3, 3√5, 30º;

                                                                                               4- 4√3, 2, 2√5).

                                                                                Табл. 4 (1- 2√2, 2√3, √14;

                                                                                               2- 2√2, 2√2, √6;

                                                                                               3- 4√6, 2√10, 30º;

                                                                                               4- 4√3, 2√14, 60º).

Указание: Перед решением этой задачи следует повторить и затем записать на доске формулы

   AC=a√2, AO=a√2/2, ON=a/2.

8. Площадь боковой поверхности пирамиды, в основании которой лежит трапеция, равна 2Q. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы. Найдите сумму площадей боковых граней, проходящих через непараллельные стороны трапеции.                (Q)

9. В основании пирамиды лежит ромб. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные углы. Площадь одной из боковых граней равна Q. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.                     (4Q)

10. Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, если известно, что ее боковое ребро, равное a, со стороной основания составляет угол 60º.                                                       (5a²√3/4)

11. Дана правильная треугольная пирамида, у которой а- сторона основания, k- апофема, P- периметр основания, S1- площадь боковой поверхности, S- площадь пирамиды. Заполните табл. 5.

                                                        Таблица 5.

                                                                                            (1-10, 15, 75+25√3/4;

2- 8, 288, 288+16√3;

3- 11, 33, 297+121√3/4;

4- 15, 14, 315+225√3/4;

5- 4, 12, 33√3).

Указание: Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу. Перед решением необходимо повторить и записать на доске формулы:

                       S=Pk/2, P=3a, S=S1+S2, S2=a²√3/4.

                       (S2- площадь основания пирамиды).

12. Дана правильная четырехугольная пирамида, у которой a- сторона основания, k- апофема, P- периметр основания, S1- площадь боковой поверхности, S- площадь пирамиды.

                                                                           Таблица 6.

                                                                                       (1- 24, 144, 180;

                                                                                        2- 52, 520, 20;

                                                                                        3-36, 9, 369;

                                                                                        4- 11,18, 517;

                                                                                        5- 8, 32, 22).

Указание: Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.

                          S= Pk/2, P=4a, S=S1+S2, S2=a².

                         (S2- площадь основания пирамиды).

                           Усеченная пирамида.

1. Два односторонних плоских угла при ребре боковой грани усеченной пирамиды. Найдите эти углы.

2. Высота усеченной пирамиды равна 2h. Сходственные стороны ее основания относятся как 1:3. Вычислить высоту полной пирамиды. (3h)

3. Основание усеченной пирамиды - прямоугольник со сторонами 27 см и    15 см. Найти стороны верхнего основания, если его периметр равен 56 см.

 Решение: У усеченной пирамиды основания являются подобными многоугольниками, т.е. отношение сторон верхнего и нижнего оснований пропорционально.  Полупериметр верхнего основания равен 28 см, а остальные стороны равны x см и 28-x см. Тогда

                                                            27/15 = 28-x/x

и стороны верхнего основания равны 10 см и 18 см.

4.  Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, высота пирамиды – 3 см. Вычислите площади диагональных сечений данной усеченной пирамиды.

Решение: Диагональными сечениями данной правильной усеченной пирамиды являются равнобедренные трапеции, стороны оснований которых равны 4√2 см и 2√2, а площадь равна:

                                           S=(4√2+2√2)/2*3=9√2 (см²).

5. Дана правильная треугольная усеченная пирамида (рис. 3), у которой a- сторона нижнего основания; a1 – сторона верхнего основания, b - боковое ребро, h - высота, k - апофема, α - угол между боковой гранью и основанием, β - угол между боковым ребром и основанием. Заполнить табл.7 и табл.8.

                                                                                                        Таблица 7.   

 (1 – 2√6, √30, 45º;   2 – 6, 3, √91/2;

                                                   3 – 15, 2√7, 30º;     4 – 9, 3, √39/2).

                                                                                          Таблица 8.

(1-  12,  √21, 3;

2-     √13, 1, 30º;

3-     √15, √3, √6;

4-     15, 2√21, 4√3).

Указание: Перед решением задачи следует повторить и затем записать на доске формулы

                 CO = a/√3 , C1O1 = a1/√3, ON = a/2√3, O1N1 = a1/2√3.

6. Заполните табл. 9, если a и b – стороны оснований пирамиды, h – высота,   k – апофема, S1 – площадь боковой поверхности, S – площадь поверхности пирамиды.

                                                                                    Таблица 9.

 (1 - 2 , 54, 54+45√3;

   2- 5, 100, 168;

   3 – 2, 36 , 36+30 √3).

Указание: Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу. Перед решением повторить и записать на доске необходимые формулы.

                     Цилиндр.

1. Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.

                                                                                                            (5 см).

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого равна 4 см². Найдите площадь основания.

                                                                                                             (π см²).

3. Чему равна высота цилиндра, радиус основания которого равен 1 м, а площадь осевого сечения равновелика основанию.

                                                                                                              (π/2 м).

4. Диаметр основания цилиндра равен его высоте. Найдите отношение площади осевого сечения S к площади его основания.

                                                                                                          (Sосн/S=π/4).

5. Дан прямой круговой цилиндр, у которого буквой c обозначена длина окружности основания, d – диаметр основания, H – высота цилиндра, d1 – диагональ осевого сечения, B0 – площадь основания, Q – площадь осевого сечения. Используя известные формулы, заполните пустые ячейки в табл.1.

    Указание: Перед решением  задачи следует выполнить рисунок на доске, повторить и затем записать на доске формулы

     с = πd, d²1 = d²+H²; B0 = πd²/4; Q = dH.

                                                                                                  Таблица 1.

6. Квадрат, площадь которого равна Q, свернули так, что получилась боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

                                                                                                         (Qπ/4)

7. Пусть S – площадь боковой поверхности цилиндра, d – диаметр основания, H – высота цилиндра. Заполните пустые ячейки в табл. 2.

                                                                                                    Таблица 2.

                                                                                               (1 - 60π; 2 – 4; 3 – 15).

8. Радиус основания цилиндра равен 2 см, а диагональ осевого сечения – 5см. Найдите: a) высоту цилиндра; б) площадь осевого сечения цилиндра; в) площадь боковой поверхности; г) площадь поверхности цилиндра.

                                                (а) – 3 см; б) – 12 см²; в) – 12π см²; г) – 20π см²)

9. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если а) диаметр основания цилиндра равен 1, а высота равна длине окружности основания; б) осевое сечение цилиндра – квадрат с высотой h; в) площадь осевого сечения равна Q.                                                                     (а) - π²; б) -πh²; в)- πQ).

                                               Конус.

1. Найдите площадь осевого сечения конуса, если образующая равна l, а угол при вершине осевого сечения составляет: а) 30º; б) 45º; в) 90º.

                                                                        (а) - l²/4; б) - √2 l²/4; в) - l²/2).

2. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 1. Определите радиус и высоту конуса.

                                                                                (R=1/2; H=1√3/2).

3. Высота конуса равна радиусу основания R. Найдите площадь осевого сечения, если R=3 см.

                                                                                                       (9 см²)

4. Через середину высоты конуса проведена плоскость параллельно основанию. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса равен  2 см.

                                                                                                         (π см²)

5. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

                                                                             (H√2/2, где H- высота конуса).

6. Дан конус, осевое сечение которого- равносторонний треугольник. Через две образующие , составляющие между собой угол 30º, проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен r.

                                                                                                                      (r²)

7. Полукруг радиуса R свернут в конус. Найдите: а) радиус основания конуса; б) угол α при вершине осевого сечения.

                                                                                              (R/2; 60º)

8. Дан прямой круговой конус, у которого буквой обозначена длина окружности основания, d-диаметр основания, H-высота конуса, l-образующая конуса, α- угол наклона образующей к основанию, B-площадь основания, Q- площадь осевого сечения. Используя известные формулы, заполните пустые ячейки в табл.3.

    Указание: Перед решением задачи сделайте на доске рисунок, повторите и запишите на доске формулы

     c=πd, l²=H²+d²/2, B=πd²/4, Q=dH/2.                       Таблица 3.

9. Образующая конуса удалена от центра его основания на расстояние l см и наклонена к плоскости основания под углом 30º. Вычислите площадь основания конуса.                                                                     (4π см²)

10. Боковая поверхность конуса равна 132π см², образующая – 11 см. Найдите площадь основания.                                                  (144π см²)

11. Какое минимальное количество картона необходимо для изготовления модели конуса, высота которого 12 см, а диаметр – 10 см?       (90π см²)

12. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2√2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. (2 π√2 см²)

13. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор, дуга которого равна 60º, а хорда – b. Найдите боковую поверхность конуса.      (π/6 b²)

                                             Усеченный конус.

1. Высота H усеченного конуса равна разности радиусов оснований. Найдите площадь осевого сечения, если радиусы оснований равны R и r.

                                                                                                           ((R²-r²)/2)

2. Чему равна площадь сечения, проведенного через середину высоты усеченного конуса параллельно основаниям, если радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 2 см?                                         (9 π см²)

3. Дан усеченный конус, у которого буквами с1 и с2 обозначены длины окружностей соответственно нижнего и верхнего оснований, d1 и d2- диаметры соответственно нижнего и верхнего оснований, H – высота, l – образующая усеченного конуса, α – угол наклона образующей к плоскости  нижнего основания, Q – площадь диагонального сечения. Используя известные формулы, заполните пустые ячейки в табл.4.

   Указание: Перед решением задачи сделайте на доске чертеж, повторите и затем запишите  формулы

         c1= πd1, c2= πd2, l²=H²+(R-r)², Q=((R+r)/2)*H.

                                                                                        Таблица 4.

4. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна 132π дм², образующая – 11 дм. Найдите радиусы оснований, если известно, что их отношение равно 2.                                                                     (8 дм и 4 дм)

5. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 дм и 6 дм, образующая – 5 дм. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения; в) угол наклона образующей к плоскости основания; г) площадь боковой поверхности усеченного конуса; д) площадь поверхности усеченного конуса.

                                        (а) 4 дм; б) 18 дм²; и) arcsin 0,8; г) 45π дм²; 90π дм²)

6. Дан усеченный конус, у которого R, r – радиусы нижнего  и верхнего оснований, H, l – высота и образующая усеченного конуса, α – угол наклона образующей к плоскости нижнего основания, Sбок – боковая поверхность, S – поверхность усеченного конуса. Заполните пустые ячейки в табл. 5.

    Указание: Перед решением  сделать на доске чертеж, повторить и затем на доске записать формулы

             S=π(R+r)l, S=Sбок+πR²+πr².

                                                                                         Таблица 5.

                                                                     ( 1) – 10 ; arcsin 0,8; 260π; 616 π;

                                                                       2) – 4; arcsin 0,8; 45π, 90π;

                                                                       3) – 1; 6√2; 48 π√2; 50 π+48 π√2;

                                                                       4) – 5; 4; arcsin 0,8; 90π;

                                                                       5) – 4; 7√3; 80π√3; 80π√3+174π)

                                             Шар и сфера.

1. В шаре проведены два параллельных сечения на расстоянии 1 см и 2 см от центра. Найдите расстояние между сечениями.                        (3 см и 1 см)

2. Найдите расстояние от центра до плоскости, если расстояние от центра этого шара до плоскости равно d, а радиус шара – R.                ( 0 или d-R)

3. Две сферы, радиусы которых равны R1 и R2, имеют единственную общую точку. Найдите расстояние между их центрами.                      (R1+R2, |R1-R2|)

4. Площадь поверхности полушара на Q площади его основания. Найдите площадь основания.                                                                             (Q)

5. Шар радиуса 5 см пересечен плоскостью, отстоящей от центра на 3 см. Найдите  площадь круга, полученного в сечении.                            (16π см²)

Призма.

1.     Из скольких кубиков с ребром 3 см можно составить куб с ребром 15 см?

(125)

2.     Не  используя рисунок, решите задачи:

а) Полная поверхность куба равна 96 см² . Чему равен объем куба?

(64 см³)

б) Объем куба равен 64 см³. Чему равна площадь его боковой поверхности?

(64 см²)

3.     Может ли человек взять и перенести куб из золота, ребро которого равно 20 см? (1 м³ золота весит приблизительно 19 т.)

(нет, масса этого куба 152 кг)

4.     Найдите объем куба, если

а) площадь его грани равна Q                                                                                (√Q³)

б) диагональ куба равна d                                                                                  ()

5.     Сумма всех ребер куба равна 24. Чему равен его объем?

(8 куб.ед)

6.     Измерения прямоугольного параллелепипеда составляют 15 м, 50 м, 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.

(30 м)

7.     Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна h, а в основании лежит ромб с диагоналями d₁ и d_2.

(0.5d₁d₂h)

8.     Измерения прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию, второй член которой равен 4 см. Найдите его объем.

Решение:

Пусть a,b,c – измерения данного параллелепипеда, тогда b²=ac, b=4, V=abc=16*4=64 см³

9.     В правильной треугольной призме все ребра равны. Найдите объем призмы

(а³√3/4, а – ребро призмы )

10.  Объем прямой треугольной призмы  равен 60 см³. От нее отсекли четырехугольную призму плоскостью, проходящей через средние линии основания данной призмы. Найдите объем четырехугольной призмы.

(45 см³)

11.  В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, наибольшая ее грань – квадрат. Найдите объем призмы.

(30 см³)

12.  Найдите правильной четырехугольной призмы, площадь основания которой равна 49 см², а площадь боковой грани – 56 см².

(392 см³)

13. Дана правильная треугольная призма, у которой а – сторона основания, h – высота,  S – площадь основания, V – объем призмы. Заполните пустые ячейки в таблице 1.        

Таблица 1.

(1 - 4√3, 24 ; 2 - 16√3, 5 ; 3 – 216, 6√2; 4 - 36√3, 12; 5 – 10, 24  )

14.  Дана правильная четырехугольная призма, у которой а – сторона основания, h – высота, S – площадь основания, V – объем призмы. Заполните пустые ячейки в таблице 2.        

Таблица 2.

(1 - 25, 100 ; 2 - 64, 7 ; 3 – 13, 1859; 4 - 45, 225; 5 – 20, 15  )

Указание: перед решением задач 13 и 14 следует построить на доске чертеж к каждой из них.

Пирамида, усеченная пирамида.

1.    Объем первой пирамиды равен 210 см³. Определите объем второй пирамиды, если площадь ее основания в 2 раза больше площади основания первой пирамиды, а высота в три раза меньше.

Решение: Объем второй пирамиды равен 2/3 объема первой, т.е. 210*2/3=140 см³

2.     Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и имеют длины a, b, c. Найдите ее объем.                                                                      (1/6 abc)

3.     Определите объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна  a, а боковые ребра взаимно перпендикулярны.           (1/24 а³√2)

4.     В основании пирамиды лежит ромб со стороной 6 см и углом 60^о . Высоты пирамиды равна 10 см. Найдите ее объем.                                                  (60√3 см³)

5.     Определите объем правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45^о.

Решение: Из того, что боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45^о, следует, что высота пирамиды равна стороне основания, тогда объем равен:

V=1/3Sh=1/3*6**2=4√3 см³  

6.     От прямой треугольной призмы  плоскостью, проходящей через середину бокового ребра и не пересекающую его сторону нижнего основания, отсечена пирамида, объем которой равен 20 см³ . Определите объем оставшейся части призмы.

Решение: Пусть V – объем призмы, тогда объем отсеченной призмы V=1/3S*h/2=1/6Sh=1/6V=20, V=120 см³

7.     Дана правильная треугольная пирамида, у которой а – сторона основания, h – высота,  S – площадь основания, V – объем пирамиды. Заполните пустые ячейки в таблице 3.

Таблица 3.

(1 – 12,25√3, 49√3 ; 2 - 16√3,24 ; 3 – 10,- ; 4 - 36√3, 12; 5 – 30, 16 )

8.     Дана правильная четырехугольная пирамида, у которой а – сторона основания, h – высота,  S – площадь основания, V – объем пирамиды. Заполните пустые ячейки в таблице 4.

Таблица 4.

(1 – 36,120 ; 2 – 81,12 ; 3 – 12,672 ; 4 – 10,100; 5 – 8,15 )

9.     Пирамида, объем которой равен 200 см³, пересечена плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно основанию. Определите объем усеченной пирамиды.                                                                                  (175 см³)

10.  Дана правильная треугольная усеченная пирамида, у которой а и а₁ – стороны нижнего и верхнего оснований соответственно, h – высота, S и S₁ – площади нижнего и верхнего оснований соответственно, V – объем. Заполните пустые ячейки в таблице 5.

Таблица 5.

(1 – 6,25 √3; 2,25 √3; 36,75 √3
2 –  4√3; √3; 18
3 – 6; 4√3; 95√3
4 - 4√2; 2√2; 28√3
5 - 6√5; 4√5; 9√3)

11.  Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой а и а₁ – стороны нижнего и верхнего оснований соответственно, h – высота, S и S₁ – площади нижнего и верхнего оснований соответственно, V – объем. Заполните пустые ячейки в таблице 6.

Таблица 6.

(1 – 36,25,73
2 –  8,100,976
3 – 4,3,4
4 – 12,10,728
5 – 20,15,9)

Устные задачи по теме «Призма».

Обозначения: a,b,c – соответственно длина, ширина, высота прямоугольного параллелепипеда, d – длина диагонали основания. Прописные буквы H, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее основания, а буквы s, Q, S_б, S_п -  площадям: s – основания, Q –диагонального сечения, S_б – боковой поверхности, S_п – полной поверхности призмы. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания обозначен буквой .

Четырехугольная призма.

Перед решением задач следует повторить формулы для вычисления элементов куба со стороной а: d=a √2, D=a √3, s=a²=, Q=d*a.

Если в задачах идет речь о прямоугольном параллелепипеде, то следует повторить формулы: D=a²+b²+c², d²=a²+b², s=ab, Q=dc, S=Pc

1.     Ребро куба равно а. Найдите: диагональ грани, диагональ куба, периметр основания, площадь диагонального сечения, площадь поверхности куба, периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины.

2.     По рис.1 и по данным элементам в табл.1 найдите остальные элементы куба.

3.     По рис.2 и по данным элементам в таб.2 найдите остальные элементы

прямоугольного параллелепипеда.

                                                                                             D

                  D

        d                                                                  a          d       

a

Рис.1                                                                 Рис.2

4.     Перпендикулярным сечением наклонной четырехугольной призмы является ромб со стороной 3см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно 12 см.

5.     Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смежными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см.

6.     Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Высота призмы – 5 см. Найдите: диагональ основания, диагональ боковой грани, диагональ призмы, площадь основания, площадь диагонального сечения, площадь боковой поверхности, площадь поверхности призмы.

7.     Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 32 см² , а площадь поверхности 40 см² . Найдите высоту призмы.

Треугольная и шестиугольная призмы.

Перед решением задач целесообразно повторить формулы: P=3a, s=a²√3/4 – для правильной треугольной призмы и P=6a, s=3a²√3/2 – для правильной шестиугольной призмы со стороной основания а, а также формулы S_б=PH и S_п=S_б+2s – для произвольной призмы.

8.      Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны: 2см, 3см, 4см. Боковая поверхность призмы – 45 см² . Найдите ее боковое ребро.

9.     Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние линии основания призмы, равна 25 см² .

10.  Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 12 см. Вычислите: площадь основания, площадь боковой поверхности, площадь поверхности, площадь сечения, проведенного через медиану основания и боковое ребро, которые проходят через одну вершину основания. 

11.  В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь боковой поверхности 12 см² . Найдите высоту.

12.  Найдите неизвестные элементы правильной треугольной призмы по элементам, заданными в табл.3

13.  По элементам, заданным в табл.4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы.