Главная / Математика / «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

«Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

hello_html_m8493007.gifhello_html_m4b9d998f.gifhello_html_6d0a9f89.gifhello_html_6fd4e915.gifhello_html_6fd4e915.gifhello_html_m267367a3.gifhello_html_45b110b9.gif



Подготовил и провел учитель математики

МКОУ «СОШ №1» г. Поворино

Воронежской области

Карташова С. А.





2014г.



Тема урока: «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

Форма урока – лекция с последующим закреплением. Рассчитан на 2 урока

(Слайд №1)


Цели урока:

  1. Повторить и обобщить знания по теме: «Свойства функций»

  2. Научить применять функциональный метод решения уравнений

  3. Развивать логическое мышление, наблюдательность

  4. Воспитывать активность, творческую инициативу.

(слайд№2)


Оборудование: интерактивная доска, компьютер с презентацией.


План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Мотивация учебной деятельности (сообщение темы, целей урока).

  3. Актуализация опорных знаний (повторение свойств основных функций).

  4. Изучение нового материала (функциональный метод решения уравнений).

  5. Закрепление знаний (решение упражнений).

  6. Подведение итогов. Оценки.


Ход урока.

Учитель:

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь решать не только с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений, но и «нестандартными» методами, о которых мы и поговорим сегодня на уроке. Одним из таких методов решения уравнений является функциональный, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.



(слайд№3)

Ответим на вопросы:

  1. Что называется уравнением?

  2. Что называется корнем уравнения?

  3. Что значит решить уравнение?

  4. Что называется функцией?

  5. Что называется областью определения функции?

  6. Что называется областью значений функции?


(слайд №4)


Рассмотрим (слайд №5)

ПРИМЕР 1. Решите уравнение:

hello_html_m4f31f025.gif

Решение: ОДЗ: hello_html_271629d3.gif


Ответ: решений нет.


(слайд №6)

ПРИМЕР 2. Решите уравнение:

hello_html_70d18f9e.gif

Решение: ОДЗ: hello_html_m62efaf06.gif

ОДЗ состоит из одной точки х=1. Остается проверить, является ли х=1 корнем уравнения. Подставив, видим, что х=1 – корень уравнения.

Ответ: х=1.


Учитель:

Иногда оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения)


(слайд №7)

ПРИМЕР 3.

hello_html_m52022e8f.gif

Решение. Найдем пересечение областей определения функций в правой и левой частях уравнения:

D1hello_html_5728f897.gif

hello_html_m54384f9e.gif

Ограничим множество D, учитывая, что левая часть уравнения неотрицательна, и, значит, такой же должна быть правая частью Для этого нужно рассмотреть пересечение множества D с множеством решений неравенства hello_html_m224baef2.gif, то есть с множеством hello_html_m5d005fb.gif. Следовательно, достаточно рассмотреть уравнение на множестве hello_html_41647a26.gif.

Подстановкой убеждаемся, что оба элемента служат решением уравнения.

Ответ: -3; 2.


(слайд №8)

ПРИМЕР 4.

hello_html_775f17a0.gif

Решение.

  1. hello_html_m6987636d.gif

  2. Так как левая часть уравнения неотрицательна, то hello_html_ee4e236.gif.

  3. hello_html_m4387ddfd.gif

  4. hello_html_48276881.gif

С учетом того, что hello_html_m45bfdeaa.gif корнем уравнения является х=4.

Ответ: 4.


Учитель:

Перейдем к решению уравнений с использованием понятия области значений функции.

(слайд №9-№10)


(слайд №11)

ПРИМЕР 1.

hello_html_1a900633.gif.

Решение. Так как hello_html_5912c282.gif , то уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решений.


ПРИМЕР 2.

hello_html_m3f41ad35.gif.

Решение. ОДЗ: hello_html_28abcf27.gif

Ответ: нет решений.


Учитель:

Если функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, а функция g(x) ограничена снизу, то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе hello_html_29056325.gif


(слайд №12)

ПРИМЕР 3.

hello_html_m422fa3ec.gif

Решение. По определению, hello_html_m49f5c61f.gif

hello_html_395b8e38.gif

hello_html_m22f6f4c4.gif

Равенство достигается, если hello_html_m577232a3.gif

Решим первое уравнение системы:

arccos (x-1) =π, x-1 = -1, x=0.

При х=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство.

Следовательно, решением системы и данного уравнения является х=0.

Ответ: 0.


(слайд №13-14)

ПРИМЕР 4.

hello_html_m604e985c.gif.

Решение.

  1. ОДЗ: hello_html_m2776380f.gif

  2. Рассмотрим функцию hello_html_2fb4cfb3.gif Её графиком является парабола с вершиной А(3;2), тогда hello_html_6198ba5.gif.

  3. Рассмотрим функцию hello_html_m1cb1f42c.gif

Найдем максимум этой функции на промежутке (2;4) с помощью производной.

hello_html_m4071930d.gif

hello_html_1d50a9aa.gif=0, hello_html_216d570.gif




g’ + -


g 2 3 4 x

max

g(3)=2. Имеем hello_html_863c23e.gif

Тогда данное уравнение равносильно системе hello_html_m3d5edb3.gif

Решив первое уравнение системы, получим х=3, проверкой, подставив во второе уравнение убедимся, что х=3 – решение системы и данного уравнения.

Ответ: 3.


(слайд №15)

Учитель:

Этот метод часто встречается на ЕГЭ по математике. Данный метод заключается в том, что одна часть уравнения ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения ограничена снизу этим же числом М. Число М принято называть мажорантой, а этот метод - методом мажорант. В методе мажорант, как вы уже догадались надо хорошо понимать, что такое функция, уметь исследовать свойства функций.



















(слайд №16)

Упражнения для закрепления, выработка умений и навыков.

Класс делится на 2 группы по вариантам.


1 вариант.

Докажите, что уравнение не имеет корней.

  1. hello_html_m6647bde3.gif

  2. hello_html_65edcb83.gif

Решить уравнения:

  1. hello_html_74494557.gif

Ответ: -0,5.

  1. hello_html_m43982a3d.gif

Ответ: 4,25.

  1. hello_html_m6c774401.gif

Ответ: 2.


2 вариант.

Докажите, что уравнение не имеет корней.

  1. hello_html_m5493c496.gif;

  2. hello_html_26c3d66e.gif

Решить уравнения:

  1. hello_html_3eadd960.gif

Ответ: нет решений

  1. hello_html_m51b08d23.gif

Ответ:2,6.

  1. hello_html_54d214f0.gif

Ответ: 2.











Учитель:

Мы сегодня рассмотрели нестандартный метод решения уравнений, используя свойства функций, который применим и для решений неравенств, но об этом мы поговорим на нескольких последующих занятиях.

Подведение итогов, оценки.


(слайд №17)

Домашнее задание:

  1. arcsin (x + 2) + hello_html_m2703e529.gif.

  2. hello_html_m7698c17d.gif

  3. hello_html_m757bae40.gif

  4. hello_html_7aede277.gif

  5. hello_html_m7ba2741c.gif

  6. hello_html_c73b7c4.gif





8


«Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»
  • Математика
Описание:

Тема урока: «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

Форма урока – лекция с последующим закреплением. Рассчитан на 2 урока. 

Цели урока:

  • Повторить и обобщить знания по теме: «Свойства функций»
  • Научить применять функциональный метод решения уравнений
  • Развивать логическое мышление, наблюдательность
  • Воспитывать активность, творческую инициативу.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер с презентацией.

 План урока:

  1. Организационный момент.
  2.  Мотивация учебной деятельности (сообщение темы, целей урока).
  3.   Актуализация опорных знаний (повторение свойств основных функций).
  4.  Изучение нового материала (функциональный метод решения уравнений).
  5.  Закрепление знаний (решение упражнений).
  6. Подведение итогов. Оценки.
Автор Карташова Светлана Александровна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 396
Номер материала 32301
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓