Главная / Математика / Решение тригонометрических уравнений. Урок по алгебре и началам анализа на итоговом повторении в 11 классе

Решение тригонометрических уравнений. Урок по алгебре и началам анализа на итоговом повторении в 11 классе

Гречушкина С.Ю. – учитель математики МБОУ СОШ № 15 г. Мичуринска Тамбовской области

Конспект урока по алгебре и началам анализа на итоговом повторении

в 11 классе.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

  • образовательные: систематизировать знания обучающихся по теме: «Тригонометрические уравнения»; оказать помощь в совершенствовании навыков решения простейших тригонометрических уравнений. Построить алгоритм действия при решении тригонометрических уравнений.

  • развивающая: Способствовать развитию умений сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы;

  • воспитательная: Побуждать учащихся к само и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, развивать коммуникативные умения, рефлексию, культуру и дисциплину умственного труда.

Универсальные учебные действия (УУД): личностные: формирование устойчивой мотивации к обучению на основе алгоритма выполнения заданий; регулятивные: оценивание правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; познавательные: осуществление поиска необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы; коммуникативные: учитывание разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве.

Планируемые образовательные результаты: знать: определения обратных тригонометрических функций, основные формулы для решения тригонометрических уравнений; формулы тригонометрии; способы решения однородных тригонометрических уравнений первой степени, второй степени; графическое изображение решений тригонометрических уравнений и неравенств; уметь: вычислять обратные тригонометрические функции некоторых числовых значений; решать простейшие тригонометрическое уравнения и сводящиеся к ним, а также применять тригонометрические преобразования к более сложным; показывать решение на единичной окружности, воспринимать устную речь, участвовать в диалоге; применять: полученные знания к решению тригонометрических уравнений различной трудности, изученные формулы к преобразованию тригонометрических выражений и решению уравнений; приобретенная компетентность: целостная.

Оборудование:

  • таблицы

  • задания на печатной основе;

  • тетради для самостоятельных работ;

  • проектор;

  • Интерактивная доска (рисунки к уроку № 1).

УРОК № 1 «Решение простейших тригонометрических уравнений»

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент.

Данные уравнения могут присутствовать в заданиях групп В и С на ЕГЭ. В заданиях группы В обычно предлагаются простейшие уравнения или задания, в которых приходится применять различные методы решения уравнений. В заданиях группы С решение тригонометрического уравнения является одним из этапов решения показательного, логарифмического уравнений или исследования функции.

  1. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения:

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a

Повторение материала проводится по таблице


sin x = a

cos x = a

tg x = a

ctg x = a

hello_html_4a446596.gif>1

решений нет

решений нет

х = arctg a + πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ

х = arcctga +πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ

hello_html_4a446596.gif<1

x = (–1)narcsina + π n, n hello_html_m57cf711c.pngZ

x = ± arccosa +2 π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

a = 1

х = hello_html_m77fdfc92.gif + 2π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

x = 2π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

х = hello_html_m12edfb30.gif+πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ

x=hello_html_m12edfb30.gif+πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ

a= 1

x = – hello_html_m77fdfc92.gif+ 2π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

x= π +2π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

х = hello_html_m12edfb30.gif+πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ

x=hello_html_m24538ae1.gif+πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ

a = 0

x = π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ n,

x=hello_html_m77fdfc92.gif+2π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

x = π n, nhello_html_m57cf711c.pngZ

x=hello_html_m77fdfc92.gif+ πn,nhello_html_m57cf711c.pngZ

Арксинусом числа а называется число b, b hello_html_m57cf711c.png[– hello_html_m77fdfc92.gif; hello_html_m77fdfc92.gif], sin b = a

Арккосинусом числа а называется число b, b hello_html_m57cf711c.png[0; π], cos b = a

ahello_html_m6ab0a489.jpgrcsin(– a) = arcsinа; arccos (–a) = π arccosa;

arctg(– a) = – arctga; arcctg(– a) = π – arcctga.

Тригонометрический круг: (интерактивная доска)

III. Реализация целей урока.

Устно. Решить уравнения: 1) sin х= 1;

2) cos x = hello_html_m9b24522.gif; 3) cos x = – hello_html_m3d4efe4.gif; 4) sin х = hello_html_18bb84e9.gif; 5) tg х = 1; 6) сtg х = hello_html_m980c3de.gif; 7) сtg х = – 3;

Письменно:

Задание 1. Решите уравнения: 8) sin х = hello_html_m9b24522.gif

Решение: х = (– 1)karcsin hello_html_m9b24522.gif + π k, k hello_html_m57cf711c.pngZ; х = (– 1)k hello_html_m7e0b5b25.gif + πk k hello_html_m57cf711c.pngZ.

Ответ: х = (– 1)k hello_html_m667a0225.gif + πk, khello_html_m57cf711c.pngZ.

Работа в парах: (через проектор) Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

9) cos 2x = 0,5;

14) sin (2х – 3) =0,5;

10) sin 4х = 0;

15) cos (3х hello_html_m12edfb30.gif) = 0;

11) tg 3х = 0;

16) 2sinhello_html_m1e864fd1.gif = hello_html_m9b24522.gif;

12) 2 cos 2x hello_html_m980c3de.gif= 0;

17) cos( hello_html_m11ea7655.gif= sinhello_html_m667a0225.gif.

13) hello_html_1caef8ee.gifsin 3х + 1 = 0;


Ответы: 9) х = hello_html_m47359e42.gif; 10) х =hello_html_m12edfb30.gifk, khello_html_m289d78ff.gifZ; 11) х = hello_html_m667a0225.gifk, khello_html_m289d78ff.gifZ;

12) х = hello_html_m6e15d6aa.gif; 13) х = hello_html_2ad3c6e8.gif; 14) х = hello_html_m4ae5f040.gif; 15) х = hello_html_m63f6546d.gif; 16) х = hello_html_184d7404.gif; 17) х = hello_html_184d7404.gif.

Часто в тестах ЕГЭ к заданиям даны дополнительные вопросы. Рассмотрим некоторые из них на примере задания №1 (уравнение 8). При ответах на дополнительные вопросы удобнее представить решения в виде объединения двух семейств решений

х = hello_html_m667a0225.gif + 2πk, khello_html_m57cf711c.pngZ (1) hello_html_m53d4ecad.gifх = hello_html_m5ada6324.gif + 2πn, nhello_html_m57cf711c.pngZ (2).

Дополнительные вопросы (проектор)

А) Найдите наименьший положительный корень.

Выбираем наименьшее положительное решение из каждого семейства. Из (1) имеем х = hello_html_m667a0225.gif, из (2) х = hello_html_m5ada6324.gif. Наименьшим из них будет hello_html_m667a0225.gif. Ответ: hello_html_m667a0225.gif или 60°.

Б) Найдите наибольший отрицательный корень.

При k = – 1 из (1) имеем х = hello_html_m667a0225.gif – 2πk = - hello_html_2da171d.gif.

При n= – 1 из (2) имеем х = hello_html_m5ada6324.gif – 2π = – hello_html_m3fca649e.gif.

Наибольшим из них будет – hello_html_m3fca649e.gif. Ответ: – hello_html_m3fca649e.gif или – 240°.

В) Укажите те корни уравнения, для которых cos х > 0

hello_html_17f9f5e8.pngОтметим все решения уравнения (1) на тригонометрическом круге. Из этих решений надо выбрать те, для которых cosx > 0. Известно, что cos х > 0, если х лежит в I четверти или в IV четверти. Получаем, что

х = hello_html_m667a0225.gif + 2πk, k hello_html_m57cf711c.pngZ Ответ: hello_html_m667a0225.gif + 2πk, k hello_html_m57cf711c.pngZ.

Г) Укажите те корни, которые лежат в промежутке

[–3π; π].

Решим системыhello_html_4c297e9f.gif (1) и hello_html_a39b9ec.gif (2).

Имеем (1) hello_html_m2dd3bd5.gifhello_html_39bcdcee.gifk = 1 и х = – hello_html_2da171d.gif.

(2) hello_html_403847e0.gifhello_html_39bcdcee.gif n= 1 и х = hello_html_m3fca649e.gif. Ответ: – hello_html_2da171d.gif; hello_html_m3fca649e.gif.

Д) Сколько корней имеет уравнение на промежутке [–3π; hello_html_m77fdfc92.gif]?

Решим системыhello_html_m36b6d9f6.gif (1) и hello_html_3029d364.gif (2).

Решением (1) системы будет k = – 1 и k = 0. Решением (2) системы будет n= – 1.

hello_html_76d92a91.jpgТаким образом, получаем 2 + 1 = 3 корня. Ответ: 3 корня

Е) Найти ближайший к π корень уравнения.

Отметим все корни уравнения (I) на тригонометрическом круге.

Искомым корнем является hello_html_m5ada6324.gif.

Ответ:hello_html_m5ada6324.gif.

Жhello_html_d16689d.png) Между какими корнями заключено число π ?

Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой.

Ответ: – hello_html_m3fca649e.gif< – π< hello_html_m667a0225.gif.

Зhello_html_m41999cb.png) Найти наибольшую длину отрезка, внутри которого не содержится ни одного корня уравнения.

Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой.

Среди отрезков АВ или ВС надо выбрать наибольший. Длина АВ равна hello_html_m5ada6324.gif hello_html_m667a0225.gif = hello_html_m667a0225.gif. Длина ВС равнаhello_html_m79f4e22b.gif hello_html_m5ada6324.gif = hello_html_2da171d.gif. Наибольшая длина равна hello_html_2da171d.gif. Ответ: hello_html_2da171d.gif.

И) Найти наименьшую длину отрезка, на котором есть два корня уравнения.

Оhello_html_m41999cb.pngтметим корни уравнения (1) на координатной прямой.

Среди отрезков АВ или ВС надо выбрать наименьший.


Длина АВ равнаhello_html_m5ada6324.gif hello_html_m667a0225.gif = hello_html_m667a0225.gif. Длина ВС равнаhello_html_m79f4e22b.gif hello_html_m5ada6324.gif = hello_html_2da171d.gif. Наименьшая длина равна hello_html_m667a0225.gif.

Ответ hello_html_m667a0225.gif.

IV. Запись домашнего задания, его анализ:

повторить § 5,6,16,17,18 (формулы!)

В5: № 920, 930, 941;

В14: № 1954, 1961, 2148, 2154 (ЕГЭ 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 528с.);

Сhello_html_m44723319.png1 (для желающих)




V. Итог урока:

1.оценки.

2.Обратить внимание на теоретический материал в таблицах, используемых на уроке.

Информационные ресурсы:

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. Москва 2009.

  2. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 528с.)

  3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва 2006.

  4. Егерев В.К., Зайцев В.В., Курдемский Б.А. Сборник по математике для поступающих во втузы под редакцией Сканави М.И.

  5. ЕГЭ 2014. Математика. Самое полное издание типовых вариантов заданий. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 128с.)

  6. ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания. Базовый и профильный уровни. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 56с.) (1, 2)

  7. Пособия по решению заданий части В. Корянов А.Г., Надежкина Н.В.: В 1 (2014), В 4 (2014), В 5 (2014), В 7 (2014), В 8 (2014), В 10 (2014), В 12 (2014), В 13 (2014), В 14 (2014)

  8. Пособия по решению заданий части С (2011-2014). Корянов А.Г., Прокофьев А.А.: С 1 (2012), С 2 (2013), С 3 (2014), С 4 (2013), С 5 (2012), С 6 (2011) .

  9. www.uroki.net

  10. www.uztest.ru

  11. www.mathvaz.ru




Решение тригонометрических уравнений. Урок по алгебре и началам анализа на итоговом повторении в 11 классе
  • Математика
Описание:
  11 класс.  Алгебра Цель урока: 

Систематизировать знания обучающихся по теме: «Тригонометрические уравнения»; оказать помочь в совершенствовании навыков решения простейших тригонометрических уравнений. Построить алгоритм действия при решении тригонометрических уравнений. Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.

Тип урока:   Урок обобщения и систематизации знаний.      Важнейшей проблемой, с которой сталкивается каждый учитель, выпускающий 11 класс, это проблема организации заключительного повторения курса алгебры таким образом, чтобы в процессе повторения создать условия для достижения каждым учеником наивысшего для него образовательного результата. С этой целью предлагаю один из конспектов урока по алгебре и началам анализа на итоговом повторении в 11 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений"
Автор Гречушкина Светлана Юрьевна
Дата добавления 09.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1797
Номер материала 49511
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓