Решение текстовых задач на уроках математики как способ развития логического мышления школьников

Решение текстовых задач на уроках математики как способ развития логического мышления школьников

Грицук Лариса Владимировна

Учитель математики

КГУ СОШ № 43

Казахстан

     В современном мире  часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, ясно излагать свои мысли и  логически рассуждать. Именно поэтому развитие мышления является основной задачей школьного курса обучения. Задача  учителя математики – не просто давать знания, предусмотренные школьной программой, а способствовать формированию высокого уровня логического мышления школьников. Математика имеет огромные возможности для реализации этой цели.

Формирование логического мышления – важная составная часть педагогического процесса [11, с 21]. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал – одна из основных задач современной школы. Математика даёт реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя – полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого [12, с 68].

При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доспупном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся.

Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания. Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое [9, с 123].

Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны.

Анализ и синтез, взаимно связанные операции мышления, находят постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач. Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи. При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез. Анализ и синтез, как взаимосвязанные мыслительные операции находят своё применение при решении текстовых задач. Учащийся под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные, условия и вопрос. При решении составных задач требуется применить более сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной задачи, так же как и простой, сводится к расчленению его на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условие и искомое должны подвергнуться дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы [2, с 48]. Логическое мышление – мышление, проходящее в рамках формальной логики и отвечающее ее требованиям. Задача развития логического мышления учащихся ставится и, определенным образом, решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена – развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислении. С осознанием отдельных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи. Используя в обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации мышления учащихся и, тем самым, способствовали его развитию [1, с 132]. Учитель должен владеть методикой работы над текстовой задачей, уметь заинтересовать учеников.

     Особое место в курсе математики занимают сюжетно-текстовые задачи. Задача учителя математики   научить детей  сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, развивать гибкость и критичность мышления,  и самое главное - увязывать обучение математике с жизнью. Чтобы достичь поставленных целей,  трудно обойтись без текстовых задач.  Решение текстовых задачи традиционно считается для учащихся одной из  сложных тем школьного курса  математики. Это объясняется в значительной степени тем, что если задачи другого рода требуют для своего решения формально-технического аппарата, применение которого  имеет четкий алгоритм. Решение текстовых сюжетных задач требует от учащихся еще и этапа осмысления, а затем этапа составления уравнения или системы уравнений. Этот этап в значительно меньшей степени формализован и требует от учащегося понимания имеющихся в задаче условий и перевода их на язык математики; и, самое главное, в большей степени, чем все остальные, носит эвристический характер.

       Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития школьников, глубины освоения учебного материала, поэтому актуальность этого вопроса  очевидна. Важная задача стоит перед учителем: научить  методам и алгоритмам решения основных типов текстовых задач, встречающиеся на итоговой аттестации в основной школе, при сдаче ЕНТ. К сожалению, этому  не уделяется внимание при решении задач на уроках математики в школе, да и по количеству отведенных часов на данную тему не дает возможности  хорошо закрепить материал.

       Решение любой математической задачи — это цепь рассуждений. Вычисления, которые приходится производить, невозможны без нахождения логических связей между величинами, встречающимися в условии задачи. Следовательно, для успешного формирования навыков решения задачи, необходимо научить школьников правильно рассуждать. Поэтому работу лучше начинать с занятий, на которых предлагаются для решения задачи, развивающие логическое мышление. Серьезное внимание необходимо уделить  решению таких школьных математических задач, которые имеет практическое применение в жизни. Это, в первую очередь, задачи на проценты и части, а так же задачи на движение и на работу. Чтобы научиться решать текстовые задачи нужно познакомиться с   основными методами их решения: арифметическим, алгебраическим и комбинированным.

Основные методы решения текстовых задач

       Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

I. Арифметический метод.

        Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер.

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.

При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.

При арифметическом методе решения задач формируются 56 основных умений и навыков [13,с.34]. Из них 38 умений и навыков приобретаются при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим методами.

К ним относятся следующие умения и навыки:

1.                                          Краткая запись условия задачи.

2.                                          Изображение условия задачи с помощью рисунка.

3.                                          Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.

4.                                          Выполнение арифметических действий над величинами (числами).

5.                                          Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз.

6.                                          Нахождение разностного сравнения величин (чисел).

7.                                          Нахождение кратного сравнения величин (чисел).

8.                                          Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.

9.                                          Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа).

10.                                      Нахождение дроби от величины (числа).

11.                                      Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.

12.                                      Нахождение процентов данной величины (данного числа).

13.                                      Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.

14.                                      Нахождение процентного отношения двух величин (чисел).

15.                                      Составление пропорций.

16.                                      Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин (чисел).

17.                                      Определение  производительности труда.

18.                                      Определение производительности труда при совместной работе.

19.                                      Определение части работы, выполненной в течение некоторого промежутка времени.

20.                                      Определение скорости движения.

21.                                      Определение пути, пройденного телом.

22.                                      Определение времени движения тела.

23.                                      Понятие о собственной скорости (скорости в стоячей воде) движения тела по воде.

24.                                      Нахождение пути, пройденного двумя телами при встречном движении.

25.                                      Нахождение скорости движения тела по течению и против течения реки.

26.                                      Нахождение времени прохождения телом единицы пути при заданной скорости движения.

27.                                      Нахождение скорости сближения тел, движущихся в одном направлении, и скорости удаления.

28.                                      Нахождение скорости сближения или скорости удаления тел, движущихся в противоположных направлениях или при встречном движении.

29.                                      Нахождение части пути, пройденного телом за определённое время, когда известно время прохождения всего пути.

30.                                      Нахождение количества вещества, содержащегося в растворе, смеси, сплаве.

31.                                      Нахождение концентрации, процентного содержания.

32.                                      Нахождение стоимости товара, акции.

33.                                      Нахождение цены товара, акции.

34.                                      Нахождение прибыли.

35.                                      Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.

36.                                      Нахождение себестоимости продукции.

37.                                      Расчёт начислений банка на вклады.

38.                                      Проверка решения задачи по условию.

   Умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач только арифметическим методом, можно разбить на две группы. К первой группе относятся умения и навыки, которые необходимы для дальнейшего изучения математики.

К первой группе относятся следующие умения и навыки:

1.                                          Перевод календарного времени в арифметическое число.

2.                                          Перевод арифметического числа в календарное время.

3.                                          Нахождение времени предыдущего события.

4.                                          Нахождение времени последующего события.

5.                                          Нахождение промежутка времени между двумя событиями.

Все умения и навыки этой группы формируются в процессе решения задач на вычисление времени, т.е. тех задач, которые нет смысла решать алгебраически.

      Вторая группа – это те умения и навыки, без знания которых можно решить все текстовые задачи алгебраическим методом, и в дальнейшем их незнание не будет пробелом в математическом образовании учащихся.

Ко второй группе относятся следующие умения и навыки:

1.                                          Введение понятия "часть".

2.                                          Выполнение действий сложения и вычитания частей.

3.                                          Выполнение умножения и деления части на число.

4.                                          Приём уравнивания большего числа с меньшим и меньшего с большим.

5.                                          Приём уравнивания прибавлением к меньшему числу и вычитанием из      большего числа их полуразности.

6.                                          Определение числа частей, составляющих данное число.

7.                                          Введение понятий условной единицы.

8.                                          Нахождение дроби условной единицы и её частей.

9.                                          Сравнение частей величин.

10.                                      Сложение и вычитание частей единицы.

11.                                      Метод исключения неизвестного посредством замены одной величины другой.

12.                                      Решение задач методом предположения.

13.                                      Составление плана решения задачи.

Эти умения и навыки, несомненно, представляют интерес. Но почти все из них можно отнести к числу умений и навыков, формирующихся у учащихся при решении нестандартных задач. Решение таких задач следует проводить систематически наряду с решением стандартных текстовых задач.

II. Алгебраический метод.

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

При алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков.

Отличными от тех, которые формируются при арифметическом  решении, являются следующие:

1.                                          Введение неизвестного.

2.                                          Введение двух неизвестных.

3.                                          Введение трёх и более неизвестных.

4.                                          Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.

5.                                          Выполнение действий умножения и деления неизвестных.

6.                                          Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.

7.                                          Решение линейных уравнений.

8.                                          Решение линейных неравенств.

9.                                          Решение квадратных уравнений и неравенств.

10.                                      Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств.

11.                                      Решение систем уравнений и систем неравенств.

12.                                      Составление одного уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.

13.                                      Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.

14.                                      Выбор значений неизвестных по условию задачи.

15.                                      Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.

16.                                      Решение уравнений с параметром.

17.                                      Исследовательская работа.

   В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.

III. Комбинированный метод.

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается количество идейно близких задач.

Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.

Вопросы к задаче с комментариями к ним:

1.      О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).

2.      Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).

3.      Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится знак вопроса).

4.      Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).

5.      Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).

6.      Какие условия используются для составления “модели”? (Выписать полученную “модель”)

7.      Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения).

             Роль текстовых задач в процессе обучения математике многообразна, и она сводится главным образом к следующим функциям:

ü    служит усвоению математических понятий и отношений между ними,

ü     учит школьников применению такого метода познания действительности, как моделирование,

ü    способствует более полной реализации межпредметных связей;

ü    развивает у учащихся способность анализировать, рассуждать, обосновывать,

ü    развивает логическое мышление школьников;

ü    прививает и укрепляет интерес школьников к математике.

Что полностью соответствует  требованиям к образованию  современного школьника.

Список литературы

1.       Василевский А. Б. Обучение решению задач по математике. Минск, 1988.

2.      Демидова, Т.Е. А.П. Тонких. Теория и практика решения текстовых задач. // М.: Издательский центр «Академия», 2002.

3. Журналы «Математика в школе» №4/2000, №9/2000, №8/2003, №5/2003, №8/2002, №5/2002.
4. Ковалева Г.И.,Бузулина Т.И., Безрукова О.Л. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами.- Волгоград: Учитель, 2009.
5. Кудряшова Т.Г. Решение нестандартных задач на уроках математики. -  Воронеж: ВОИПКиПРО, 2008.
6. Кузнецова Л.В.«Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. - М.: ДРОФА, 2001.
7.  Лизинский В.М. Приемы и формы в учебной деятельности. М.: Центр пед. поиск, 2002
8. Лысенко Ф.Ф. Алгебра. 9 класс. Итоговая аттестация. – Ростов-на-Дону: Легион, 2006 .
9. Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики.// М.: «Просвещение», 1997 г.
10. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика/ А.Я Блох, В.А. Гусев и др.; Сост. В.И. Мишин.- М.: Просвещение, 1999.

11.  Петухова Л.И. О решении текстовых задач по математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. С. 34.

12. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.- М.: Просвещение, 1990.
13.  Рустюмова И.П., Кузнецова Т.А., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к единому национальному тестированию (ЕНТ) по математике.-Алматы: «Ғылым», 2005.
14. Сборник задач по математике для поступающих в вузы/ Под ред. М.И. Сканави. –М., Издательский дом ОНИКС, 2000.
15. Учебно-методическое пособие и сборник тестов для поступающих в вузы «Математика».- Алматы: «Шың кітап»,2010.

16.  Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. М., 1989.

17.  Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике.- М.: Просвещение, 1989.