Главная / Математика / Решение олимпиадных задач для 7-8 классов

Решение олимпиадных задач для 7-8 классов

Задача № 1.

Сколько цифр содержит число hello_html_m34da06dc.gif?

hello_html_m5a69434.gif

Ответ: 13.

Задача №2.

Вычислить, не используя, калькулятор:

1, 23454 + 0, 76554 - 1, 23453 hello_html_7e6cc508.gif0, 76552 – 1, 23452hello_html_7e6cc508.gif0, 76553 + 4, 938hello_html_7e6cc508.gif3, 062.

Решение:

Пусть 0,2345 = а, тогда 1,2345 = 1+ а; 0,7655 = 1 – а.

(1+а)4 + (1 – а)4 – (1+а)3(1 – а)2 – (1+а)2(1 – а)3 = (1+а)4 + (1 – а)4

- (1+а)2(1 – а)2 ((1 + а) + (1 – а)) = (1+а)4 + (1 – а)4 – 2(1 +а)2(1 + а)2 = ((1+а)2

- (1 – а)2)2 = (1 + а2 + 2а – 1 – а2 – 2а)2 = (4а)2.

Пусть 0,938 = в, тогда 4,938 = 4 + в; 3,062 = 4 – в и

4,938 * 3,062 = (4 + в)(4 – в) = 16 – в2. Заметим так же, что 4*0,2345 = 0,938 получаем, что 4а = в. Из этого имеем: (4а)2 + 16 – в2 = в2 + 16 – в2 = 16.

Ответ: 16.

Задача №3.

Выразите через hello_html_m4c899162.gif значение выражения hello_html_774e725f.gif, если известно, что hello_html_m1996cf24.gif.

Решение: Преобразуем выражение hello_html_m4e558795.gif

hello_html_mb2e2476.gif

hello_html_11d38016.gif. Т.к. hello_html_4df1b378.gif.

Ответ: 3xyz.

Задача № 4.

Решите уравнение: hello_html_6695753a.gif.

Решение: Умножьте обе части уравнения на 2, hello_html_6695753a.gif, hello_html_m402145f3.gif, hello_html_2416268.gif после группировки получим hello_html_185c16ea.gif, откуда hello_html_5ead2970.gif.

Ответ: hello_html_m68cb4994.gif.

Задача № 5.

При каких целых значениях a, число hello_html_c12cb8e.gif является целым?

Решение:

Выполним следующие преобразования:

hello_html_2a871e9d.gif= hello_html_m3d7ab7f5.gif = hello_html_36a154.gif + hello_html_4b791f6f.gif = hello_html_638478a9.gif+ hello_html_4b791f6f.gif = а – 3 + hello_html_4b791f6f.gif

Для того, чтобы результат был целым числом, необходимо, чтобы: а было целым,

( -3 – уже целое) и (а + 3) равнялось или 1, или -1, или 5, или -5, так как только в этом случае дробь hello_html_4b791f6f.gif будет являться целым числом.

Получаем:

а + 3 = 1, значит а = -2,

а + 3 = -1, значит а = -4,

а + 3 = 5, значит а = 2,

а + 3 = -5, значит а = -8.

Ответ: -8; -4; -2; 2.

Задача № 6.

Пусть xyz = 1, a = x + hello_html_m329f5a7d.gif , b = y + hello_html_1f8a39a8.gif, c = z + hello_html_95b8680.gif. Вычислите hello_html_282b01a8.gif

Решение:

hello_html_7dd7a15a.gif.

Следует заметить , что hello_html_34ca22d7.gif.

Аналогично, hello_html_68f0888c.gif и hello_html_meb3eaaf.gif.

Тогда hello_html_m563dda6e.gif, hello_html_m1a2dc160.gif,

hello_html_657290f1.gif.

hello_html_bd775c8.gif

Следовательно, hello_html_7dd7a15a.gif.

Ответ: 4

Задача № 7.

Заданы четыре числа a, b, c и 1-a-b-c. Пусть число N- наименьшее из этих чисел. Найдите наибольшее значение N.

Решение:

Обозначим: m = 1 – abc , тогда из условия задачи следует, что

a + b + c + m = 1.

Предположим, что N > hello_html_685d8d49.gif, тогда каждое из данных чисел больше, чем hello_html_685d8d49.gif,

Следовательно, a + b + c + m > 1 – противоречие. Значение N = hello_html_685d8d49.gif

достигается, если a = b = c = hello_html_685d8d49.gif

Ответ: hello_html_m5aeafa77.gifhello_html_m5aeafa77.gif.

Задача № 8.

Найдите все пары целых чисел a и b, удовлетворяющих уравнению

hello_html_5ad3c3bf.gif.

Решение:

Преобразуем уравнение hello_html_m6af4b021.gif, hello_html_md10f4d.gif,

hello_html_3f405058.gif, hello_html_6b355a28.gif, hello_html_61edc8f8.gif Число 11 разлагается на целые множители следующими способами: hello_html_490bdd3f.gif

Рассматривая всевозможные варианты, получим 4 пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению.

Рассмотрим один вариант

hello_html_72050719.gif, следовательно, hello_html_m5a37d77a.gif.

Аналогично находим еще три пары решений.

Ответ:hello_html_542014ec.gif

Задача № 9.

Решите в натуральных числах уравнение ab+1=(a+1)2.

Решение:

Очевидно, что при а=1 и b=1 уравнение решений не имеет. Преобразуем уравнение hello_html_3cc3682d.gif, hello_html_m5310ce85.gif, hello_html_m1f80cd5b.gif. Т.к. так как a и b – натуральные, то a≠0, получаем a+2-b=0,

a=b-2 и так как a и b– натуральные, то b≥3. Ответ: любая пара вида (t, t-2), где thello_html_559182c5.gifN, t≥3.

Ответ: Любая пара вида (t, t-2), где thello_html_559182c5.gifN, t≥3.

Задача № 10.

Докажите, что hello_html_mdf9c5a9.gif.

Решение:

Заметим, что hello_html_13fd33ca.gif Тогда получим hello_html_m32c0df76.gif

=hello_html_m195280a9.gif





Задача № 11.

Даны пять точек (- 2; 8), (1; hello_html_6eec8aff.gif), ( hello_html_7f8f9891.gif ; 1), ( hello_html_28ba069d.gif ), (hello_html_67fe0208.gif ).

Какое максимальное количество этих точек может принадлежать линии, заданной уравнением
hello_html_m498eaa60.gif

Решение:

Подставив координаты каждой точки в равенство, найдем зависимость в от а для каждой точки: 1) в = 8 + 4а; 2) в = 0,5 – 0,5а; 3) в = 1 – 3а;

4) в = 0,2 – 0,8а; 5) в = 0,25 – 0,5а.

Равенства 2) и 5) не могут выполняться одновременно. Одновременно могут выполняться равенства 1), 3) и 4). Одновременно не могут выполняться равенства 1), 2), 3) и 4) или 1), 3), 4) и 5).

Итак, указанному графику могут принадлежать максимум три точки: (-2; 8),

( hello_html_7f8f9891.gif ; 1), ( hello_html_28ba069d.gif ).

Ответ: (-2; 8), ( hello_html_7f8f9891.gif ; 1), ( hello_html_28ba069d.gif ).

Задача № 12.

Найдите все пары чисел (m, n) такие, что каждое из уравнений x2-mx+n=0 и x2-nx+m=0 имеет два различных натуральных корня.

Решение:

Пусть х1 и х2 - корни 1-го уравнения, а у1 и у2 – корни второго уравнения. По теореме Виета из 1-го уравнения следует, что hello_html_6799caee.gif , из 2 – го уравнения следует, что hello_html_47ff4417.gif

Следовательно, hello_html_m332374f0.gif . Сложив почленно эти равенства и выполнив преобразования, получим равенство hello_html_3e9fa947.gif. Каждое слагаемое левой части этого равенства равно 1, либо одно из них равно 2, а другое 0 (т.к. х1, х2 и у1, у2 - натуральные числа).

1) Если каждое слагаемое левой части равно 1, то х1 = х2 = у1 = у2 =2. Это не соответствует условию задачи.

2) Если одно из слагаемых равно 2 (если это первое слагаемое, то х1 =2, х2 =3, или наоборот), тогда hello_html_677bff3b.gif, т.е. у1 =5, у2 =1 (или наоборот). По найденным значениям х1, х2 и у1, у2 найдем, что m=5, q=6; m=6 q=5.

Ответ: m=5, n=6; m=6 n=5.

Задача № 13.

Осваивая новые земли, колонисты нашли заболоченный участок, но если осушить его, то земля будет пригодна для проживания. На дне этого болота с постоянной силой бьют ключи. Если поставить 12 насосов, то болото можно осушить за 4 дня, а если 9 насосов, то за 6 дней. Но у колонистов только 6 насосов. За сколько дней они смогут осушить данное болото? ( Объем воды в болоте на момент начала осушения всегда одинаков).

Решение: Пусть объем воды в болоте - а литров и каждую минуту добавляется (за счет подземных вод) р литров, а искомое время - х дней. Тогда 12 насосов откачают за 4 дня 4р + а литров воды из болота, а каждый насос за один день откачивает hello_html_m5b4ec9d0.gif литров. Значит 9 насосов за 6 дней откачают 6р + а литров воды из болота, следовательно, каждый насос за день откачивает
hello_html_m298f29e5.gif. Так как, количество воды, которую откачивает насос за один день , постоянно, то hello_html_m5b4ec9d0.gif = hello_html_m298f29e5.gif. Отсюда получим, что а = 12р. Так как у колонистов всего 6 насосов, то за х дней они откачают хр +а литров воды, а значит каждый из насосов за день откачает hello_html_mcd27d3e.gif = hello_html_m298f29e5.gif. Отсюда, заменив а на 12р, получим х = 12 дней.

Ответ: за 12 дней.

Задача № 14.

Попав на восточный базар, вы попадете в восточную сказку, которую описывала Шахерезада в «1000 и 1 ночи». Путешественник решил привезти в подарок 1кг пряностей. Но хозяин лавки сказал, что у него есть только гирька в 1г. Как возможно самым быстрым способом отвесить покупателю 1кг пряностей?

Решение:

Потребуется 10 взвешиваний. При этом последовательно отвешивается : 1, 2, 4, 8, 16г (при этом уже взвешенные пряности каждый раз пересыпаются на чашку с гирей); гиря снимается, отвешивается 31г, гиря кладется и пряности пересыпаются, отвешивается 63 г, гиря окончательно снимается и последовательно отвешивается : 125 г, 250 г, 500 г. Ссыпав вместе все пряности , получаем 1кг.

Ответ: 10 взвешиваний.

Задача № 15.

На благоустройство пришкольного участка пришли 16 представителей от трех девятых классов. Каждый представитель от 9 "А" класса посадил по 13 саженцев клена, каждый представитель от 9 "Б" - по 5 саженцев клена, а каждый представитель от 9 "В" - по 4 саженца. Всего было посажено 113 саженцев клена. Сколько представителей от каждого класса принимали участие в работе по благоустройству пришкольного участка?

Решение:

Данную задачу решим, составив несложную систему уравнений. Пусть х - количество представителей 9 "А" класса, у - количество представителей 9 "Б" класса, z - количество представителей 9 "В" класса. Из условий задачи следуют уравнения 13х+5у+4z=113, х+у+z=16. Из второго уравнения выразим переменную z=16-x-y и подставим в первое уравнение, получим 9х+у=49. 9х=49-у, число 49-у должно делиться на 9, при этом у должно быть меньше 16. Этим условиям удовлетворяют два значения

49-у, это 45 или 36. Если 49-у=36, то у=13, х=4 (не удовлетворяют условию задачи, в сумме уже больше 16), если 49-у=45, то у=4, а х=5, z=7.

Ответ: 9 "А" - 5 человек, 9 "Б" - 4 человека, 9 "В" - 7 человек.

Задача № 16.

Девятнадцать непересекающихся областей нарисованы на тетрадном листке в клетку. Площади этих областей составляют соответственно 1, 2, 3, ...., 19 клеточек. Одну из этих областей закрасили фиолетовым цветом, девять областей - желтым цветом и еще девять областей - красным цветом. Известно, что общая площадь областей, закрашенных желтым цветом, на 90 квадратиков больше, чем общая площадь областей, закрашенных красным цветом. Найдите площадь области, закрашенной фиолетовым цветом.

Решение:

Площадь красных областей не меньше, чем 1+2+...+9=45, а площадь желтых областей не больше, чем 11+12+...+19=135. Если хотя бы одно из этих неравенств было бы строгим, то разница между площадями была бы меньше 90, значит, площадь красных областей 45, а площадь желтых - 135, это в свою очередь возможно, если девять областей с самыми маленькими площадями - красные, а девять самых больших - желтые, следовательно, площадь фиолетовой области равна 10 квадратных единиц.

Решение: 10 квадратных единиц.

Задача № 17.

На Новогодний вечер в городском дворце культуры, от каждой школы были приглашены отличники. Всего было не более 40 человек от каждой школы. В школе № 1053 дети были из разных классов, но некоторые из них были знакомы между собой. Когда они собрались возле автобуса, чтобы отправиться на вечер, то каждая девочка улыбнулась знакомому мальчику, а каждый мальчик улыбнулся каждой незнакомой девочке. Всего улыбок было 117. Сколько мальчиков и сколько девочек отправилось от школы № 1053 на Новогодний вечер?

Решение:

Допустим, что не каждый мальчик улыбнулся незнакомой девочке, а каждая девочка улыбнулась незнакомому мальчику. От этого общее количество улыбок не изменится, но тогда каждая девочка улыбнулась каждому мальчику. Если принять за х количество девочек, а за у количество мальчиков, то ху = 117. Необходимо найти такие целые х и у, что х + у ≤ 40 и ху = 117. Такими числами являются 13 и 9.

Ответ: 13 и 9 человек

Задача № 18.

Каждое утро вся семья Саши Иванова за завтраком выпивает по полной чашке кофе со сливками. Сам Саша выпивает четверть всех сливок и шестую часть всего кофе. Сколько человек в Сашиной семье пьют кофе со сливками за завтраком каждое утро?

Решение:

Пусть х - количество выпитых чашек кофе со сливками, у- количество сливок в чашках, тогда х-у - количество кофе в чашках. Так как Саша выпил одну целую чашку кофе со сливками, которая состояла из четверти всех сливок и шестой части кофе, то составим уравнение hello_html_m33d3a5b6.gif=1, из которого следует, что у+2х=12, где у и х - только целые числа, причем у - еще и четное число и у hello_html_m7c48e444.gif х (т.к. количество молока не может быть больше, чем количество всего напитка в чашках). Перебором находим решение последнего несложного уравнения, получаем три пары: х = 6, у = 0; х = 5, у = 2; х = 4, у = 4.

Условию задачи удовлетворяет вторая пара чисел.

Задача № 19.

Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

Ответ: 7 минут.

Задача № 20.

У девятиклассника Саши на столе стоят два графина, в одном из них 1 литр сока, второй графин пустой. Саша последовательно проводит переливания из первого графина во второй, из второго в первый и т.д., причем доля отливаемого сока составляет последовательно: hello_html_6eec8aff.gif, hello_html_7f8f9891.gif, hello_html_685d8d49.gif и т.д. от количества сока в графине, из которого сок отливается. Сколько будет сока в графинах после 2007 переливаний?

Решение:

После первого, третьего, пятого переливаний в обоих графинах будет по ½ л сока (это можно заметить, рассмотрев несколько первых переливаний сока). Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в графинах было по 0,5 л сока, то при следующем переливании из второго графина берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом графине оказывается – 1/2 + (1/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) л сока. При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в графинах будет  по 0,5   л сока.

Ответ: 0,5 л сока.

Задача № 21

В магазине «Чайная церемония» продают два сорта популярного черного чая – «Цейлонский» - по 10 рублей за фунт и «Индийский» - по 6 рублей за фунт. Ч увеличить прибыль, хозяин магазина решил смешать два сорта чая, а продавать смесь по-прежнему – по 10 рублей за фунт. В какой пропорции следует ему смешать сорта чая, чтобы получить по 3 рубля за фунт сверх положенной прибыли?

Решение:

Предположим, что доля цейлонского чая в одном фунте равна х, тогда доля индийского чая равна (1 – х). Чтобы при цене 10 рублей за фунт иметь прибыли на 3 рубля больше, чем раньше, нужно, чтобы старая цена фунта равнялась 7 рублям. Получаем уравнение:

10∙х + 6∙(1 – х) = 7,

Откуда находим: х = hello_html_685d8d49.gif , 1 – х = hello_html_m57c90caf.gif .

Значит, наше отношение есть: 1: 3.

Ответ: 1 : 3.

Задача № 22

Ученики Саша и Андрей играли в следующую игру. Саша записал по кругу семь чисел, затем для каждых двух соседних чисел он посчитал их сумму и записал между ними, а первоначальные числа стер. У Саши получилась замкнутая цепочка чисел 1, -5, 5, 22, 9, -1, 3. О своих действиях с числами он рассказал Андрею. Может ли Андрей найти исходные числа, записанные Сашей?

Решение:

Пусть х – некоторое число, которое было записано между числами 1 и -5. Зная одно из чисел и сумму, можно определить и второе число, составим таблицу с несложными вычислениями.


Порядковый номер числа

Число

1

х

2

-5-х

3

5-(-5-х)=10+х

4

22-(10+х)=12-х

5

9-(12-х)=х-3

6

-1-(х-3)=2-х

7

3-(2-х)=1+х

1

1-(1+х)=-х


Приравниваем первую и последнюю строки таблицы, получаем уравнение х=-х, где х=0. Находим искомые числа 0, 5, 10, 12, 3, 2, 1.

Ответ: Андрей сможет найти числа. Это числа 0, 5, 10, 12, 3, 2, 1.



Задача № 23

Окружность радиуса R касается основания АС равнобедренного треугольника АВС в его середине и пересекает сторону АВ в точках P и Q , а сторону СВ в точках S и T. Окружности, описанные около треугольников SQB и PTB , пересекаются в точках В и Х. Найдите расстояние от точки Х до основания треугольника АВС.

C:\Users\людмила юрьевна\Desktop\рисунок.tif



Решение:




hz_f8_0036.gif

Очевидно, что на чертеже выполняется симметрия относительно прямой BH, которая делит угол ABC на два равных угла. Заметим, что равны и углы QBX и QSX (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Аналогично, равны и углы XQS и XBS, но угол QBX равен углу XBS в силу симметрии, поэтому все четыре угла равны. Значит, треугольник QSX равнобедренный с основанием QS. Следовательно, точка X лежит на серединном перпендикуляре к хорде QS, кроме того, она, очевидно что

равноудалена от точек Q и T , поэтому X является центром исходной окружности. Следовательно, расстояние от X до AC равно R.

Ответ: R.

Задача № 24.


В параллелограмме MNPK на сторонах MN и MK отмечены точки X и Y соответственно, причем так, что hello_html_ebe6f74.gif hello_html_628c05e7.gif. Отрезок XY пересекает диагональ MP в точке Z. Найдите отношение hello_html_m5988166c.gif.


Решение:

Отметим точки А и В на диагонали MP так, чтобы hello_html_312ae536.gif hello_html_m542f2a3a.gif . Треугольники MNA и MXZ подобны, так же как и треугольники MKB и MYZ .hz_f8_0032.jpg

hello_html_eccce66.gif; hello_html_5e252109.gif, складываем равенства и получаем hello_html_50186cfe.gif.

Так как стороны треугольников MNA и PKB попарно параллельны и стороны MN=PK, то эти треугольники равны. Тогда MA=PB и MA+MB=PB+MB=MP.

Следовательно, hello_html_m57ff7ff5.gif, отсюда находим, что hello_html_m62b2a549.gif, hello_html_m4f115b5f.gif.

Ответ: hello_html_5201997d.gif.


Задача № 25.

Стороны треугольника относятся как 4:13:15, радиус вписанного в треугольник круга равен 6. Определите площадь треугольника.

Решение:

Дано: hello_html_m4c9dc63e.gif, АВ : ВС : АС = 4 : 13 :15, r = 6.

Найти: SABC

Решение: так как АВ : ВС : АС = 4 : 13 :15, то АВ = 4х, ВС=13х, АС = 15х, где х - коэффициент пропорциональности. Периметр треугольника

Р = 4х + 13х + 15х = 32х. Используя формулу Герона, найдем площадь ∆ АВС: hello_html_6ad18b45.gif p=16x – полупериметр,

hello_html_49e08663.gif(1)

С другой стороны, hello_html_m2bff1c90.gif, где r – радиус вписанной окружности.

hello_html_4b69d053.gif(2)

Из (1) и (2) hello_html_7c54eda5.gif hello_html_39f44f64.gif

Число 0 не подходит, значит, коэффициент пропорциональности - число 4.

hello_html_2709fc3b.gif

Ответ: 384.

Задача № 26.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.

Решение:

Используя свойства вписанной и описанной окружности и теорему Пифагора, запишем систему. hello_html_583b84b7.gif hello_html_245fbf6e.gif. Откуда hello_html_658ca7a4.gif. Площадь равна hello_html_1e4c699f.gif.

Ответ: 24.

Задача № 27.

Основания трапеции равны 3 и 2. Диагонали его равны 4 и 3. Найдите площадь трапеции.



Решение олимпиадных задач для 7-8 классов
  • Математика
Описание:

Подготовка к олимпиаде по математике:

На Новогодний вечер в городском дворце культуры, от каждой школы были приглашены отличники.  Всего было не более 40 человек от каждой школы.  В школе № 1053 дети были из разных классов, но некоторые из них были знакомы между собой. Когда они собрались возле автобуса, чтобы отправиться на вечер, то каждая девочка улыбнулась знакомому мальчику, а каждый мальчик улыбнулся каждой незнакомой девочке. Всего улыбок было 117. Сколько мальчиков и сколько девочек отправилось от школы № 1053 на Новогодний вечер?

 

На благоустройство пришкольного участка пришли 16 представителей  от трех девятых  классов. Каждый представитель от 9 "А" класса посадил по 13 саженцев клена, каждый представитель от 9 "Б" - по 5 саженцев клена, а каждый представитель от 9 "В" - по 4 саженца. Всего было посажено 113 саженцев клена. Сколько представителей от каждого класса принимали участие в работе по благоустройству пришкольного участка?

Автор Раззаренова Людмила Юрьевна
Дата добавления 08.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 569
Номер материала 45515
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓