Задача № 1.
Сколько
цифр содержит число 
?
Ответ: 13.
Задача №2.
Вычислить, не используя, калькулятор:
1,
23454 + 0, 76554 - 1, 23453 
0, 76552 – 1,
234520, 76553 + 4,
9383, 062.
Решение:
Пусть 0,2345 = а, тогда 1,2345 = 1+ а; 0,7655 = 1 – а.
(1+а)4 + (1 – а)4 – (1+а)3(1 – а)2 – (1+а)2(1 – а)3 = (1+а)4 + (1 – а)4 –
- (1+а)2(1 – а)2 ((1 + а) + (1 – а)) = (1+а)4 + (1 – а)4 – 2(1 +а)2(1 + а)2 = ((1+а)2 –
- (1 – а)2)2 = (1 + а2 + 2а – 1 – а2 – 2а)2 = (4а)2.
Пусть 0,938 = в, тогда 4,938 = 4 + в; 3,062 = 4 – в и
4,938 * 3,062 = (4 + в)(4 – в) = 16 – в2. Заметим так же, что 4*0,2345 = 0,938 получаем, что 4а = в. Из этого имеем: (4а)2 + 16 – в2 = в2 + 16 – в2 = 16.
Ответ: 16.
Задача №3.
Выразите через 
значение
выражения 
, если
известно, что 
.
Решение: Преобразуем
выражение 
. Т.к. 
.
Ответ: 3xyz.
Задача № 4.
Решите
уравнение: 
.
Решение: Умножьте обе части уравнения на 2, , 
, 
после группировки получим 
, откуда 
.
Ответ:
.
Задача № 5.
При каких целых
значениях a,
число 
является целым?
Решение:
Выполним следующие преобразования:
= 
= 
+ 
= 
+ = а – 3 +
Для того, чтобы результат был целым числом, необходимо, чтобы: а было целым,
(
-3 – уже целое) и (а + 3) равнялось или 1, или -1, или 5, или -5, так как
только в этом случае дробь будет являться целым числом.
Получаем:
а + 3 = 1, значит а = -2,
а + 3 = -1, значит а = -4,
а + 3 = 5, значит а = 2,
а + 3 = -5, значит а = -8.
Ответ: -8; -4; -2; 2.
Задача № 6.
Пусть
xyz
= 1, a = x
+ 
, b
= y + 
, c
= z + 
. Вычислите
Решение:
.
Следует
заметить , что 
.
Аналогично,
и 
.
Тогда
, 
,
.
Следовательно,
.
Ответ: 4
Задача № 7.
Заданы четыре числа a, b, c и 1-a-b-c. Пусть число N- наименьшее из этих чисел. Найдите наибольшее значение N.
Решение:
Обозначим: m = 1 – a – b – c , тогда из условия задачи следует, что
a + b + c + m = 1.
Предположим,
что N >
, тогда каждое из данных
чисел больше, чем ,
Следовательно,
a
+ b
+ c
+ m
> 1 – противоречие. Значение N =
достигается,
если a = b = c =
Ответ: 
.
Задача № 8.
Найдите все пары целых чисел a и b, удовлетворяющих уравнению
.
Решение:
Преобразуем уравнение 
, 
,
, 
, 
Число 11
разлагается на целые множители следующими способами: 
Рассматривая всевозможные варианты, получим 4 пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению.
Рассмотрим один вариант
,
следовательно, 
.
Аналогично находим еще три пары решений.
Ответ:
Задача № 9.
Решите в натуральных числах уравнение ab+1=(a+1)2.
Решение:
Очевидно, что при а=1 и b=1
уравнение решений не имеет. Преобразуем уравнение 
, 
, 
. Т.к. так как a
и b
– натуральные, то a≠0, получаем a+2-b=0,
a=b-2
и так как a и b–
натуральные, то b≥3. Ответ: любая
пара вида (t, t-2),
где t
N,
t≥3.
Ответ: Любая
пара вида (t,
t-2),
где tN,
t≥3.
Задача № 10.
Докажите, что 
.
Решение:
Заметим, что 
Тогда получим 
=
Задача № 11.
Даны пять точек (- 2; 8), (1; 
), ( 
; 1), ( 
), (
).
Какое
максимальное количество этих точек может принадлежать линии, заданной
уравнением
Решение:
Подставив координаты каждой точки в равенство, найдем зависимость в от а для каждой точки: 1) в = 8 + 4а; 2) в = 0,5 – 0,5а; 3) в = 1 – 3а;
4) в = 0,2 – 0,8а; 5) в = 0,25 – 0,5а.
Равенства 2) и 5) не могут выполняться одновременно. Одновременно могут выполняться равенства 1), 3) и 4). Одновременно не могут выполняться равенства 1), 2), 3) и 4) или 1), 3), 4) и 5).
Итак, указанному графику могут принадлежать максимум три точки: (-2; 8),
(
; 1), ( 
).
Ответ:
(-2; 8), (
; 1), ( ).
Задача № 12.
Найдите все пары чисел (m, n) такие, что каждое из уравнений x2-mx+n=0 и x2-nx+m=0 имеет два различных натуральных корня.
Решение:
Пусть х1
и х2 - корни 1-го уравнения, а у1 и у2 – корни
второго уравнения. По теореме Виета из 1-го уравнения следует, что 
, из 2 – го уравнения
следует, что 
Следовательно, 
. Сложив почленно эти
равенства и выполнив преобразования, получим равенство 
. Каждое слагаемое левой
части этого равенства равно 1, либо одно из них равно 2, а другое 0 (т.к. х1,
х2 и у1, у2 - натуральные числа).
1) Если каждое слагаемое левой части равно 1, то х1 = х2 = у1 = у2 =2. Это не соответствует условию задачи.
2) Если одно из
слагаемых равно 2 (если это первое слагаемое, то х1
=2, х2 =3, или наоборот), тогда 
, т.е. у1 =5,
у2 =1 (или наоборот). По найденным значениям х1, х2
и у1, у2 найдем, что m=5,
q=6;
m=6
q=5.
Ответ: m=5, n=6; m=6 n=5.
Задача № 13.
Осваивая новые земли, колонисты нашли заболоченный участок, но если осушить его, то земля будет пригодна для проживания. На дне этого болота с постоянной силой бьют ключи. Если поставить 12 насосов, то болото можно осушить за 4 дня, а если 9 насосов, то за 6 дней. Но у колонистов только 6 насосов. За сколько дней они смогут осушить данное болото? ( Объем воды в болоте на момент начала осушения всегда одинаков).
Решение: Пусть объем воды в болоте
- а литров и каждую минуту добавляется (за счет подземных вод) р литров, а
искомое время - х дней. Тогда 12 насосов откачают за 4 дня 4р + а литров воды
из болота, а каждый насос за один день откачивает 
литров. Значит 9 насосов
за 6 дней откачают 6р + а литров воды из болота, следовательно, каждый насос за
день откачивает
. Так как, количество
воды, которую откачивает насос за один день , постоянно, то = . Отсюда получим, что а =
12р. Так как у колонистов всего 6 насосов, то за х дней они откачают хр +а
литров воды, а значит каждый из насосов за день откачает 
= . Отсюда, заменив а на
12р, получим х = 12 дней.
Ответ: за 12 дней.
Задача № 14.
Попав на восточный базар, вы попадете в восточную сказку, которую описывала Шахерезада в «1000 и 1 ночи». Путешественник решил привезти в подарок 1кг пряностей. Но хозяин лавки сказал, что у него есть только гирька в 1г. Как возможно самым быстрым способом отвесить покупателю 1кг пряностей?
Решение:
Потребуется 10 взвешиваний. При этом последовательно отвешивается : 1, 2, 4, 8, 16г (при этом уже взвешенные пряности каждый раз пересыпаются на чашку с гирей); гиря снимается, отвешивается 31г, гиря кладется и пряности пересыпаются, отвешивается 63 г, гиря окончательно снимается и последовательно отвешивается : 125 г, 250 г, 500 г. Ссыпав вместе все пряности , получаем 1кг.
Ответ: 10 взвешиваний.
Задача № 15.
На благоустройство пришкольного участка пришли 16 представителей от трех девятых классов. Каждый представитель от 9 "А" класса посадил по 13 саженцев клена, каждый представитель от 9 "Б" - по 5 саженцев клена, а каждый представитель от 9 "В" - по 4 саженца. Всего было посажено 113 саженцев клена. Сколько представителей от каждого класса принимали участие в работе по благоустройству пришкольного участка?
Решение:
Данную задачу решим, составив несложную систему уравнений. Пусть х - количество представителей 9 "А" класса, у - количество представителей 9 "Б" класса, z - количество представителей 9 "В" класса. Из условий задачи следуют уравнения 13х+5у+4z=113, х+у+z=16. Из второго уравнения выразим переменную z=16-x-y и подставим в первое уравнение, получим 9х+у=49. 9х=49-у, число 49-у должно делиться на 9, при этом у должно быть меньше 16. Этим условиям удовлетворяют два значения
49-у, это 45 или 36. Если 49-у=36, то у=13, х=4 (не удовлетворяют условию задачи, в сумме уже больше 16), если 49-у=45, то у=4, а х=5, z=7.
Ответ: 9 "А" - 5 человек, 9 "Б" - 4 человека, 9 "В" - 7 человек.
Задача № 16.
Девятнадцать непересекающихся областей нарисованы на тетрадном листке в клетку. Площади этих областей составляют соответственно 1, 2, 3, ...., 19 клеточек. Одну из этих областей закрасили фиолетовым цветом, девять областей - желтым цветом и еще девять областей - красным цветом. Известно, что общая площадь областей, закрашенных желтым цветом, на 90 квадратиков больше, чем общая площадь областей, закрашенных красным цветом. Найдите площадь области, закрашенной фиолетовым цветом.
Решение:
Площадь красных областей не меньше, чем 1+2+...+9=45, а площадь желтых областей не больше, чем 11+12+...+19=135. Если хотя бы одно из этих неравенств было бы строгим, то разница между площадями была бы меньше 90, значит, площадь красных областей 45, а площадь желтых - 135, это в свою очередь возможно, если девять областей с самыми маленькими площадями - красные, а девять самых больших - желтые, следовательно, площадь фиолетовой области равна 10 квадратных единиц.
Решение: 10 квадратных единиц.
Задача № 17.
На Новогодний вечер в городском дворце культуры, от каждой школы были приглашены отличники. Всего было не более 40 человек от каждой школы. В школе № 1053 дети были из разных классов, но некоторые из них были знакомы между собой. Когда они собрались возле автобуса, чтобы отправиться на вечер, то каждая девочка улыбнулась знакомому мальчику, а каждый мальчик улыбнулся каждой незнакомой девочке. Всего улыбок было 117. Сколько мальчиков и сколько девочек отправилось от школы № 1053 на Новогодний вечер?
Решение:
Допустим, что не каждый мальчик улыбнулся незнакомой девочке, а каждая девочка улыбнулась незнакомому мальчику. От этого общее количество улыбок не изменится, но тогда каждая девочка улыбнулась каждому мальчику. Если принять за х количество девочек, а за у количество мальчиков, то ху = 117. Необходимо найти такие целые х и у, что х + у ≤ 40 и ху = 117. Такими числами являются 13 и 9.
Ответ: 13 и 9 человек
Задача № 18.
Каждое утро вся семья Саши Иванова за завтраком выпивает по полной чашке кофе со сливками. Сам Саша выпивает четверть всех сливок и шестую часть всего кофе. Сколько человек в Сашиной семье пьют кофе со сливками за завтраком каждое утро?
Решение:
Пусть х - количество
выпитых чашек кофе со сливками, у- количество сливок в чашках, тогда х-у
- количество кофе в чашках. Так как Саша выпил одну целую чашку кофе со
сливками, которая состояла из четверти всех сливок и шестой части кофе, то
составим уравнение 
=1, из
которого следует, что у+2х=12, где у и х - только целые
числа, причем у - еще и четное число и у 
х (т.к.
количество молока не может быть больше, чем количество всего напитка в чашках).
Перебором находим решение последнего несложного уравнения, получаем три пары: х
= 6, у = 0; х = 5, у = 2; х = 4, у = 4.
Условию задачи удовлетворяет вторая пара чисел.
Задача № 19.
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
Ответ: 7 минут.
Задача № 20.
У
девятиклассника Саши на столе стоят два графина, в одном из них 1 литр сока,
второй графин пустой. Саша последовательно проводит переливания из первого
графина во второй, из второго в первый и т.д., причем доля отливаемого сока
составляет последовательно: 
, 
, 
и т.д. от количества
сока в графине, из которого сок отливается. Сколько будет сока в графинах после
2007 переливаний?
Решение:
После первого, третьего, пятого переливаний в обоих графинах будет по ½ л сока (это можно заметить, рассмотрев несколько первых переливаний сока). Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в графинах было по 0,5 л сока, то при следующем переливании из второго графина берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом графине оказывается – 1/2 + (1/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) л сока. При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в графинах будет по 0,5 л сока.
Ответ: 0,5 л сока.
Задача № 21
В магазине «Чайная церемония» продают два сорта популярного черного чая – «Цейлонский» - по 10 рублей за фунт и «Индийский» - по 6 рублей за фунт. Ч увеличить прибыль, хозяин магазина решил смешать два сорта чая, а продавать смесь по-прежнему – по 10 рублей за фунт. В какой пропорции следует ему смешать сорта чая, чтобы получить по 3 рубля за фунт сверх положенной прибыли?
Решение:
Предположим, что доля цейлонского чая в одном фунте равна х, тогда доля индийского чая равна (1 – х). Чтобы при цене 10 рублей за фунт иметь прибыли на 3 рубля больше, чем раньше, нужно, чтобы старая цена фунта равнялась 7 рублям. Получаем уравнение:
10∙х + 6∙(1 – х) = 7,
Откуда
находим: х = , 1
– х = 
.
Значит, наше отношение есть: 1: 3.
Ответ: 1 : 3.
Задача № 22
Ученики Саша и Андрей играли в следующую игру. Саша записал по кругу семь чисел, затем для каждых двух соседних чисел он посчитал их сумму и записал между ними, а первоначальные числа стер. У Саши получилась замкнутая цепочка чисел 1, -5, 5, 22, 9, -1, 3. О своих действиях с числами он рассказал Андрею. Может ли Андрей найти исходные числа, записанные Сашей?
Решение:
Пусть х – некоторое число, которое было записано между числами 1 и -5. Зная одно из чисел и сумму, можно определить и второе число, составим таблицу с несложными вычислениями.
|
Порядковый номер числа |
Число |
|
1 |
х |
|
2 |
-5-х |
|
3 |
5-(-5-х)=10+х |
|
4 |
22-(10+х)=12-х |
|
5 |
9-(12-х)=х-3 |
|
6 |
-1-(х-3)=2-х |
|
7 |
3-(2-х)=1+х |
|
1 |
1-(1+х)=-х |
Приравниваем первую и последнюю строки таблицы, получаем уравнение х=-х, где х=0. Находим искомые числа 0, −5, 10, 12, −3, 2, 1.
Ответ: Андрей сможет найти числа. Это числа 0, −5, 10, 12, −3, 2, 1.
Задача № 23
Окружность радиуса R касается основания АС равнобедренного треугольника АВС в его середине и пересекает сторону АВ в точках P и Q , а сторону СВ в точках S и T. Окружности, описанные около треугольников SQB и PTB , пересекаются в точках В и Х. Найдите расстояние от точки Х до основания треугольника АВС.
Решение:
Очевидно, что на чертеже выполняется симметрия относительно прямой BH, которая делит угол ABC на два равных угла. Заметим, что равны и углы QBX и QSX (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Аналогично, равны и углы XQS и XBS, но угол QBX равен углу XBS в силу симметрии, поэтому все четыре угла равны. Значит, треугольник QSX равнобедренный с основанием QS. Следовательно, точка X лежит на серединном перпендикуляре к хорде QS, кроме того, она, очевидно что
равноудалена от точек Q и T , поэтому X является центром исходной окружности. Следовательно, расстояние от X до AC равно R.
Ответ: R.
Задача № 24.
В параллелограмме MNPK на сторонах MN и MK отмечены
точки X и Y соответственно,
причем так, что 
. Отрезок XY пересекает
диагональ MP в точке Z. Найдите
отношение 
.
Решение:
Отметим
точки А и В на диагонали MP так, чтобы 
.
Треугольники MNA и MXZ подобны, так же как и
треугольники MKB и MYZ .
; 
, складываем
равенства и получаем 
.
Так как стороны треугольников MNA и PKB попарно параллельны и стороны MN=PK, то эти треугольники равны. Тогда MA=PB и MA+MB=PB+MB=MP.
Следовательно, 
, отсюда
находим, что 
, 
.
Ответ: 
.
Задача № 25.
Стороны треугольника относятся как 4:13:15, радиус вписанного в треугольник круга равен 6. Определите площадь треугольника.
Решение:
Дано: 
, АВ : ВС : АС = 4 : 13
:15, r
= 6.
Найти: SABC
Решение: так как АВ : ВС : АС = 4 : 13 :15, то АВ = 4х, ВС=13х, АС = 15х, где х - коэффициент пропорциональности. Периметр треугольника
Р = 4х + 13х + 15х = 32х. Используя
формулу Герона, найдем площадь ∆ АВС: 
p=16x
– полупериметр,
(1)
С другой стороны, 
, где r
– радиус вписанной окружности.
(2)
Из (1) и (2) 
Число 0 не подходит, значит, коэффициент пропорциональности - число 4.
Ответ: 384.
Задача № 26.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.
Решение:
Используя свойства вписанной и описанной
окружности и теорему Пифагора, запишем систему. 
. Откуда 
. Площадь равна 
.
Ответ: 24.
Задача № 27.
Основания трапеции равны 3 и 2. Диагонали его равны 4 и 3. Найдите площадь трапеции.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Подготовка к олимпиаде по математике:
На Новогодний вечер в городском дворце культуры, от каждой школы были приглашены отличники. Всего было не более 40 человек от каждой школы. В школе № 1053 дети были из разных классов, но некоторые из них были знакомы между собой. Когда они собрались возле автобуса, чтобы отправиться на вечер, то каждая девочка улыбнулась знакомому мальчику, а каждый мальчик улыбнулся каждой незнакомой девочке. Всего улыбок было 117. Сколько мальчиков и сколько девочек отправилось от школы № 1053 на Новогодний вечер?
На благоустройство пришкольного участка пришли 16 представителей от трех девятых классов. Каждый представитель от 9 "А" класса посадил по 13 саженцев клена, каждый представитель от 9 "Б" - по 5 саженцев клена, а каждый представитель от 9 "В" - по 4 саженца. Всего было посажено 113 саженцев клена. Сколько представителей от каждого класса принимали участие в работе по благоустройству пришкольного участка?
6 655 407 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Раззаренова Людмила Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.