Решение
квадратных уравнений
различными способами
Работа ученицы 8И класса,
Архипова Анастасия
Руководитель Правитель О.А.
2013г.
г. Красноярск
1. Из истории квадратных уравнений.
а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
х2 +
х = 
, х2 – х = 14 
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
б) Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с, а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.
в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2 + bх = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
1. Решение квадратных уравнений используя свойства коэффициентов.
А. Пусть дано квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
1.Если а + b + с = 0
(т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2
= 
.
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
х2 +
х + =
0.
Согласно теореме Виета
По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,
Получаем х1 =
1, х2 = , что и требовалось доказать.
2. Если а - b
+ с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 =
– .
Доказательство. По теореме Виета
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
т.е. х1 = –
1 и х2 = , что и требовалось
доказать.
● Примеры
1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 –
208 = 0), то х1 = 1, х2 = = 
.
Ответ: 1; – 
.
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2=
- 
Ответ: - 1; - 
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
х1,2 = 
можно записать в виде
х1,2 = 
● Пример
Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;
D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;
х = 
Ответ: 2; 
.
В. Приведенное уравнение
x2 + px + q = 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
х1,2 =
принимает вид:
х1,2 = 
или х1,2 = - 
(3).
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.
● Примеры
1. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 = 7±
= 7±
= 7±8.
Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .
2. Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении
x2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
x2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
у
у=х2
у = - рх - q
х1 х2 х
● Пример
1.Решим графически уравнение
х2 – 3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
х2 = 3х + 4
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и
N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.
у
у=х2 у = - 3х + 4
- 1 4 х
Ответ: х1 = – 1 , х2 = 4 .
3. Дидактический материал к работе.
|
Решите уравнения, используя свойства коэффициентов: 5х2 – 7х + 2 = 0 839х2 – 448х – 391 = 0 3х2 + 5х – 8 = 0 939х2 + 978х +39 = 0 11х2 + 25х – 36 = 0 313х2 + 326х + 13 = 0 11х2 + 27х +16 = 0 2006х2 – 2007х + 1 = 0 х2 + 2х – 3 = 0; х2 – 3х + 2 = 0 2х2 – 7х + 5 = 0; х2 +4х + 3 = 0 z2 – 7z + 6 = 0 z2 + 5z + 4 = 0 z2 – 2z + 3 = 0. |
Решите уравнения, используя свойства коэффициентов: 5х2 – 7х + 2 = 0 839х2 – 448х – 391 = 0 3х2 + 5х – 8 = 0 939х2 + 978х +39 = 0 11х2 + 25х – 36 = 0 313х2 + 326х + 13 = 0 11х2 + 27х +16 = 0 2006х2 – 2007х + 1 = 0 х2 + 2х – 3 = 0; х2 – 3х + 2 = 0 2х2 – 7х + 5 = 0; х2 +4х + 3 = 0 z2 – 7z + 6 = 0 z2 + 5z + 4 = 0 z2 – 2z + 3 = 0. |
Литература:
1) Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
2) Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
3) Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4) Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
5) Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
6) Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7) Дидактические материалы по алгебре.
8) М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В своей работе ученица Архипова Анастасия приводит различные способы решения квадратных уравнений и предлагает решить созданный ею тренажер.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения.
6 677 920 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Правитель Оксана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.