Главная / Математика / Решение квадратных уравнений различными способами

Решение квадратных уравнений различными способами





Решение

квадратных уравнений

различными способами








Работа ученицы 8И класса,

Архипова Анастасия

Руководитель Правитель О.А.








2013г.

г. Красноярск


1. Из истории квадратных уравнений.


а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х2 + х = hello_html_3ab5298d.gif, х2 – х = 14 hello_html_3f98dfc0.gif

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.


б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:


ах2 + bх = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.


Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х2 + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.








  1. Решение квадратных уравнений используя свойства коэффициентов.


А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.


1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = hello_html_m6e289869.gif.



Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение


х2 + hello_html_535734a5.gif х + hello_html_m6e289869.gif = 0.


Согласно теореме Виета


hello_html_m4d7316f3.gif


По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

hello_html_m5c032eff.gif

Получаем х1 = 1, х2 = hello_html_m6e289869.gif, что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – hello_html_m6e289869.gif.

Доказательство. По теореме Виета


hello_html_m4d7316f3.gif


По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,


hello_html_10772d54.gif

т.е. х1 = 1 и х2 = hello_html_m6e289869.gif, что и требовалось доказать.


Примеры


1. Решим уравнение 345х2 137х – 208 = 0.


Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = hello_html_m6e289869.gif = hello_html_m546e439a.gif.

Ответ: 1; hello_html_3ba0f66c.gif.

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то


х1= - 1, х2= - hello_html_m4f2cec21.gif

Ответ: - 1; - hello_html_m4f2cec21.gif



Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней


х1,2 = hello_html_m684d656d.gif


можно записать в виде


х1,2 = hello_html_3196ab61.gif


Пример


Решим уравнение 3х2 14х + 16 = 0.


Решение. Имеем: а = 3, b = 14, c = 16, k = 7;


D = k2ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;


х = hello_html_4b6c5a8b.gif


Ответ: 2; hello_html_78a3181e.gif.


В. Приведенное уравнение


x2 + px + q = 0


совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней


х1,2 = hello_html_m684d656d.gif

принимает вид:


х1,2 = hello_html_2e3c1c99.gif или х1,2 = - hello_html_7bb2981b.gif (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

Примеры

1. Решим уравнение х2 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 = 7±hello_html_70323da.gif= 7±hello_html_m38294bd3.gif= 7±8.


Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .


2. Графическое решение квадратного уравнения.


Если в уравнении

x2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

x2 = – px q .

Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.





у

у=х2



у = - рх - q






х1 х2 х



Пример

1.Решим графически уравнение

х2 3х – 4 = 0.


Решение. Запишем уравнение в виде

х2 = 3х + 4

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и

N (3;13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и

х2 = 4.

у

у=х2 у = - 3х + 4













- 1 4 х

Ответ: х1 = – 1 , х2 = 4 .



3. Дидактический материал к работе.


Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

2 – 7х + 2 = 0

839х2 – 448х – 391 = 0

2 + 5х – 8 = 0

939х2 + 978х +39 = 0

11х2 + 25х – 36 = 0

313х2 + 326х + 13 = 0

11х2 + 27х +16 = 0

2006х2 – 2007х + 1 = 0

х2 + 2х – 3 = 0;

х2 3х + 2 = 0

2 7х + 5 = 0;

х2 +4х + 3 = 0

z2 – 7z + 6 = 0

z2 + 5z + 4 = 0

z2 – 2z + 3 = 0.


Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

2 – 7х + 2 = 0

839х2 – 448х – 391 = 0

2 + 5х – 8 = 0

939х2 + 978х +39 = 0

11х2 + 25х – 36 = 0

313х2 + 326х + 13 = 0

11х2 + 27х +16 = 0

2006х2 – 2007х + 1 = 0

х2 + 2х – 3 = 0;

х2 3х + 2 = 0

2 7х + 5 = 0;

х2 +4х + 3 = 0

z2 – 7z + 6 = 0

z2 + 5z + 4 = 0

z2 – 2z + 3 = 0.


Литература:


  1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

  2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

  3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

  4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990

  5. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

  6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

  7. Дидактические материалы по алгебре.

  8. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.

Решение квадратных уравнений различными способами
  • Математика
Описание:

В своей работе ученица Архипова Анастасия приводит различные способы решения квадратных уравнений и предлагает решить созданный ею тренажер.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных  участков и с земляными работами  военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные  уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные  уравнения.

 

Автор Правитель Оксана Александровна
Дата добавления 07.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 338
Номер материала 39800
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓