Главная / Математика / Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)

Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)

Вариант №1

Декабрь 2014

B 1 . Поезд Но­во­си­бирск-Крас­но­ярск от­прав­ля­ет­ся в 15:20, а при­бы­ва­ет в 4:20 на сле­ду­ю­щий день (время мос­ков­ское). Сколь­ко часов поезд на­хо­дит­ся в пути?

В 2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат — сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч? 

hello_html_e7f7db1.png

B 3 . Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 м2. В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

 

Фирма

Цена стек­ла (руб. за 1 м2)

Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)

A

420

75

Б

440

65

В

470

55


B 4 . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 12. DE ― сред­няя линия этого тре­уголь­ни­ка, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABDE.

B 5 . Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

B 6 . Най­ди­те ко­рень урав­не­ния hello_html_m63b214be.png.hello_html_0.gif



В 7. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_4907666.png, CH  — высота, hello_html_m4f4af709.png, hello_html_m56159f53.png. НайдитеAH.

В 8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

hello_html_15fa5fcf.pnghello_html_m5cf3f4b6.png


В 9. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де hello_html_9893ae3.png точка hello_html_302e26ad.png – се­ре­ди­на ребра hello_html_m29a83e4b.png, hello_html_5728922d.png – вер­ши­на. Из­вест­но, что hello_html_4fca4ab3.png=3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_6810cb7a.png.

В 10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_3a366d13.png, если hello_html_m17eb1317.png.

В 11. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те hello_html_m21a6211d.png м над землей, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле hello_html_m55203c56.png, где hello_html_37197701.png км — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 4 км. На сколь­ко мет­ров нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы рас­сто­я­ние до го­ри­зон­та уве­ли­чи­лось до 48 ки­ло­мет­ров?




Вариант №1

Декабрь 2014

В 12. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер. hello_html_m24e1f21c.png


B 13 . Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 5 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 5 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

B 14 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_825bd89.png на от­рез­ке hello_html_5f62b451.png





15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_183162f4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png


16. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m1e35b117.png до плос­ко­сти hello_html_6efb9be6.png.


17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

hello_html_m7bd5defa.png


18. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно hello_html_m73512086.png. На одной из них лежит вер­ши­на hello_html_22d09072.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние hello_html_m29a83e4b.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png Из­вест­но, что hello_html_6bd89558.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник hello_html_55a8f74c.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png

19.  В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

20. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_71fa9894.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.


21. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Вариант №2

Декабрь 2014

B1. На счету Ма­ши­но­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на было 53 рубля, а после раз­го­во­ра с Леной оста­лось 8 руб­лей. Сколь­ко минут длил­ся раз­го­вор с Леной, если одна ми­ну­та раз­го­во­ра стоит 2 рубля 50 ко­пе­ек?

В 2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха hello_html_m11344f7c.png. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Водитель может начинать движение, когда температура двигателя достигнет hello_html_m11344f7c.png. Какое наименьшее количество минут потребуется, чтобы водитель мог начать движение? hello_html_64475fb4.png

В 3. Кли­ент хочет арен­до­вать ав­то­мо­биль на трое суток для по­езд­ки про­тя­жен­но­стью 600 км. В таб­ли­це при­ве­де­ны ха­рак­те­ри­сти­ки трех ав­то­мо­би­лей и сто­и­мость их арен­ды. По­ми­мо арен­ды кли­ент обя­зан опла­тить топ­ли­во для ав­то­мо­би­ля на всю по­езд­ку. Какую сумму в руб­лях за­пла­тит кли­ент за арен­ду и топ­ли­во, если вы­бе­рет самый де­ше­вый ва­ри­ант?

Ав­то­мо­биль

Топ­ли­во

Рас­ход топ­ли­ва (л на 100 км)

Аренд­ная плата (руб. за 1 сутки)

А

Ди­зель­ное

7

3400

Б

Бен­зин

10

3500

В

Газ

12

3100

Цена ди­зель­но­го топ­ли­ва — 21 рубль за литр, бен­зи­на — 23 рубля за литр, газа — 16 руб­лей за литр.

В 4. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен hello_html_m248513b3.png. Най­ди­те мень­ший угол дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В 5. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

В 6. Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_m5e5270f8.png.



В 7. В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png hello_html_70d3ccaf.png, вы­со­та hello_html_3940000a.png равна 4, hello_html_m3be1fdd9.png. Най­ди­те hello_html_52d63ee.png.

В 8. Пря­мая hello_html_m6cdeb35.png яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции hello_html_74c2ddd4.png. Най­ди­те a.

В 9. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке, все дву­гран­ные углы ко­то­ро­го пря­мые. hello_html_m1035e24b.png

В 10. Най­ди­те hello_html_13fc03b6.png, если hello_html_7aba3477.png, при hello_html_769f5ac5.png.

В 11. В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­нуhello_html_42b50f8f.png где hello_html_mf2b33a1.png – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана, hello_html_42e0783a.png – на­чаль­ная вы­со­та стол­ба воды, hello_html_m6f66230a.png – от­но­ше­ние пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний крана и бака, а hello_html_1003048d.png – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те hello_html_m48cc21af.png м/сhello_html_m2bb991ac.png). Через сколь­ко се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объема воды?

Вариант №2

Декабрь 2014

В 12. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все ребра равны 34. Най­ди­те угол hello_html_d33b99.png. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В 13. Один­на­дцать ру­ба­шек де­шев­ле курт­ки на 1%. На сколь­ко про­цен­тов три­на­дцать ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

В 14. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции hello_html_169764b4.png






15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_59c5777c.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_498b1500.png


16. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: hello_html_4d99b560.png

18. В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png из­вест­ны сто­ро­ны: hello_html_376b810d.png hello_html_m58b19588.png hello_html_368971f5.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки hello_html_3e6a0328.png и hello_html_4d32fac2.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые hello_html_m29a83e4b.png и hello_html_4fca4ab3.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_332b1349.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок hello_html_m67067672.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_m17d3da6.png

19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_m454d67a3.png

имеет един­ствен­ный ко­рень.

21. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m708099c1.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше hello_html_m4a47b91d.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние hello_html_56af7ecb.png.





Вариант №3

Декабрь 2014

B 1 . Мо­биль­ный те­ле­фон стоил 6000 руб­лей. Через не­ко­то­рое время цену на эту мо­дель сни­зи­ли до 4800 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена?

B 2 . На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми в 1973 году. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

hello_html_384fdc2d.png

B 3 . От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

 

1

2

3

Ав­то­бу­сом

От дома до ав­то­бус­ной 
стан­ции — 5 мин.

Ав­то­бус в пути: 
2 ч 5 мин.

От оста­нов­ки ав­то­бу­са 
до дачи пеш­ком 10 мин.

Элек­трич­кой

От дома до стан­ции же­лез­ной 
до­ро­ги — 30 мин.

Элек­трич­ка в пути: 
1 ч 40 мин.

От стан­ции до дачи 
пеш­ком 5 мин.

Марш­рут­ным такси

От дома до оста­нов­ки марш­рут­но­го 
такси — 20 мин.

Марш­рут­ное такси в до­ро­ге: 
1 ч 30 мин.

От оста­нов­ки марш­рут­но­го такси 
до дачи пеш­ком 35 мин.








B 4 .  В треугольнике hello_html_5347236a.png hello_html_65bcb7c5.png 6, высота hello_html_18b4d6e1.png равна 3. Найдите градусную меру угла hello_html_m195330e8.png. hello_html_m651de1d0.jpg

B 5 . На эк­за­ме­не 45 би­ле­тов, Федя не вы­учил 9 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет.

B 6 . Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_m2862b791.png. В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

B 7 .hello_html_2d9ff534.png

В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png угол hello_html_22d09072.png равен 90°, синус внеш­не­го угла при вер­ши­не hello_html_3e6a0328.pngравен hello_html_ma269705.pnghello_html_m399f223d.png. Най­ди­те hello_html_m2a068cda.png.

B 8 . hello_html_m54fdd0c9.pngНа ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Вариант №3

Декабрь 2014

B 9 . В кубе hello_html_m487ee1f1.png точка hello_html_m5a6cd016.png — середина ребра hello_html_2b9dfb64.png, точка hello_html_m5cafd800.png — середина ребраhello_html_m5cac094d.png, точка hello_html_m7eb3431e.png — середина ребра hello_html_683281d7.png. Найдите угол hello_html_m193273b5.png. Ответ дайте в градусах.

B 10 . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m7e1cb8e0.png.

B 11 . Кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на вы­стре­ли­ва­ет камни под не­ко­то­рым ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Тра­ек­то­рия полeта камня опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой hello_html_m534c8833.png, где hello_html_me2dda7c.png мhello_html_m4996378d.png, hello_html_m49ecafb.png – по­сто­ян­ные па­ра­мет­ры, hello_html_m286966cb.png – сме­ще­ние камня по го­ри­зон­та­ли, hello_html_398d5ab5.png – вы­со­та камня над землeй. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии (в мет­рах) от кре­пост­ной стены вы­со­той 8 м нужно рас­по­ло­жить ма­ши­ну, чтобы камни про­ле­та­ли над сте­ной на вы­со­те не менее 1 метра?

B 12 . hello_html_m441ad5d8.pngОс­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 6, бо­ко­вое ребро равно 6. Най­ди­те объем приз­мы.


B 13 . Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 3 ра­бо­чих, а во вто­рой — 9 ра­бо­чих. Через 4 дня после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 7 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

B 14 .Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции hello_html_m1545e362.png.




15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_183162f4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png


16. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m1e35b117.png до плос­ко­сти hello_html_6efb9be6.png.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

hello_html_m7bd5defa.png


18. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно hello_html_m73512086.png. На одной из них лежит вер­ши­на hello_html_22d09072.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние hello_html_m29a83e4b.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png Из­вест­но, что hello_html_6bd89558.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник hello_html_55a8f74c.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png

19. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

20. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_71fa9894.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

21. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?




Вариант №4

Декабрь 2014

B 1 . Пачка сли­воч­но­го масла стоит 60 руб­лей. Пен­си­о­не­рам ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 5%. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит пен­си­о­нер за пачку масла?

B 2 . На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую цену зо­ло­та за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

hello_html_17394894.png

B 3 . Ке­ра­ми­че­ская плит­ка одной и той же тор­го­вой марки вы­пус­ка­ет­ся трёх раз­ных раз­ме­ров. Плит­ки упа­ко­ва­ны в пачки. Тре­бу­ет­ся ку­пить плит­ку, чтобы об­ли­це­вать пол квад­рат­ной ком­на­ты со сто­ро­ной 3 м. Раз­ме­ры плит­ки, ко­ли­че­ство пли­ток в пачке и сто­и­мость пачки при­ве­де­ны в таб­ли­це.

Раз­мер плит­ки 
(смhello_html_26550faf.pngсм)

Ко­ли­че­ство 
пли­ток в пачке 

Цена пачки 

20hello_html_26550faf.png20

25

604 р.

20hello_html_26550faf.png30

16

595 р. 20 к.

30hello_html_26550faf.png30

11

594 р.

Во сколь­ко руб­лей обойдётся наи­бо­лее дешёвый ва­ри­ант по­куп­ки?

B 4 .  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см hello_html_26550faf.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

hello_html_m37767fe0.png

B 5 . Вика вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по че­тыр­на­дца­ти ка­на­лам из трид­ца­ти пяти по­ка­зы­ва­ют ре­кла­му. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Вика по­па­дет на канал, где ре­кла­ма не идет.

B 6 . Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: hello_html_2318fb42.png

B 7 . В треугольнике hello_html_5347236a.png угол hello_html_m195330e8.png равен hello_html_4907666.png, угол hello_html_4a187959.png равен hello_html_7a34411c.png, hello_html_14a6b889.png hello_html_30facc04.png. Найдите высоту hello_html_m3558d12b.png. hello_html_3ece1905.jpg

B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну hello_html_64cc9906.png (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 5 м/с?

B 9 . Найдите расстояние между вершинами hello_html_m195330e8.png и hello_html_253a3c0b.png многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

hello_html_20790bb5.png

B 10 . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m77852464.png.

B 11 . При тем­пе­ра­ту­ре hello_html_m6ea5bd04.png рельс имеет длину hello_html_3cd91bdc.png м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну hello_html_2247eaac.png, где hello_html_m4d50cda.png — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния, hello_html_m65750dc8.png — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 7,5 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

Вариант №4

Декабрь 2014

B 12. В правильной четырёхугольной призме hello_html_m487ee1f1.png ребро hello_html_6abeef1c.png равно 24, а диагональ hello_html_3f8d77e0.png равна 30. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки hello_html_4a187959.png, hello_html_180dd091.png и hello_html_m195330e8.png.

hello_html_6d6eb1a.png

B 13 . Баржа в 10:00 вышла из пунк­та hello_html_3e6a0328.png в пункт hello_html_m1e35b117.png, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от hello_html_3e6a0328.png. Про­быв в пунк­те hello_html_m1e35b117.png 1 час 20 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт hello_html_3e6a0328.png в 16:00. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна hello_html_24bc25c2.png км/ч.

B 14 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_93e599b.pngна

от­рез­ке hello_html_m57e6ad66.png.




15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_3b8ea9b4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_498b1500.png


16. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: hello_html_4d99b560.png

18. В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png из­вест­ны сто­ро­ны: hello_html_376b810d.png hello_html_m58b19588.png hello_html_368971f5.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки hello_html_3e6a0328.png и hello_html_4d32fac2.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые hello_html_m29a83e4b.png и hello_html_4fca4ab3.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_332b1349.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок hello_html_m67067672.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_m17d3da6.png

19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_m454d67a3.png

имеет един­ствен­ный ко­рень.

21. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m708099c1.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше hello_html_m4a47b91d.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние hello_html_56af7ecb.png.





Ответы: профиль декабрь 2014.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

ВАР 1

13

1

8280

9

0,36

39

9,6

-2

10

-28

178,75

16

30

 25

ВАР 2

18

3

10452

24

0,3

-2

0,5

24

14

1

50

60

17

1

ВАР 3

20

38

2,25

30

0,8

-2

2

0,25

60

5

90

54

3

6

ВАР 4

57

1010

5436

3

0,6

-5

2

8

30

10

62,5

4

2

9



Вариант 1,3

С1. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_183162f4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png



Решение.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде:

hello_html_m6157b99.png

В ре­зуль­та­те по­лу­чим:

hello_html_m3b5b0679.png

Зна­чит

hello_html_5e693be9.png

.

hello_html_6ffea299.pngб) От­ме­тим ре­ше­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти.

 

От­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png при­над­ле­жат корни hello_html_309529f7.pnghello_html_4cbc2599.png и hello_html_2efd5bf8.png

 

 

Ответ:

А) hello_html_5e693be9.png

Б) hello_html_309529f7.pnghello_html_4cbc2599.png и hello_html_2efd5bf8.png

С2. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m1e35b117.png до плос­ко­сти hello_html_6efb9be6.png.



Решение.

hello_html_mcb33baf.pngПря­мые hello_html_4eeac8c9.png и hello_html_m1c4f0dfb.png пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой hello_html_1fc2ec47.png. Плос­кость hello_html_6efb9be6.png, со­дер­жа­щая пря­мую hello_html_1fc2ec47.png, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти hello_html_m5f920f2a.png. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те hello_html_64b10124.png пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m5f920f2a.png, в ко­то­ром hello_html_m641181fd.pnghello_html_7ccde3f.pnghello_html_m3bf9d580.png:

 

 

hello_html_m190a7566.png

Ответ: hello_html_m191e1ae3.png.

С3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств hello_html_m7bd5defa.png

Ре­ше­ние.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

 

hello_html_1faf652a.png

 

hello_html_m52560fed.png

 

hello_html_m60d9c5f5.pngпри всех hello_html_m592c56e7.pngпо­сколь­ку hello_html_4bf9f191.png

 

Сле­до­ва­тель­но,

hello_html_m7ee71353.png

 

Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство hello_html_2df99f7b.png

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы: hello_html_m43ab8d67.png

Оче­вид­но, кор­ня­ми урав­не­ния hello_html_59cce21f.pngбудут числа: −4 и −3. (Ко­рень квад­рат­но­го трех­чле­на hello_html_7bfe31fa.pngрав­ный −5 не может слу­жить ис­ко­мым кор­нем из-за не­от­ри­ца­тель­но­сти вы­ра­же­ния hello_html_7af65171.png).

Те­перь решим не­ра­вен­ство hello_html_m6953948a.png

hello_html_m1835b595.png

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство hello_html_m2e9388d6.pngПе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство hello_html_526b2a0b.png


С4. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно hello_html_m73512086.png. На одной из них лежит вер­ши­на hello_html_22d09072.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние hello_html_m29a83e4b.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png Из­вест­но, что hello_html_6bd89558.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник hello_html_55a8f74c.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png

Решение.

Пусть hello_html_3940000a.png — вы­со­та тре­уголь­ни­ка hello_html_6aa090dc.png и hello_html_m29eed033.png — ра­ди­ус и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, hello_html_2ce74331.png по­это­му hello_html_m303f2ef9.png Най­дем пло­щадь, по­лу­пе­ри­метр и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка hello_html_m32a04f41.png

 

hello_html_6a8fa4f8.png

Тогда hello_html_m3b9ad33d.png Кроме того, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

hello_html_m71e9d329.png

Пусть окруж­ность с цен­тром в точке hello_html_7e65799d.png ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны hello_html_m2a068cda.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m16dc49fa.png и дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых. Ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен hello_html_m77ee09f6.png по­сколь­ку он вдвое мень­ше рас­сто­я­ния между пря­мы­ми. Точку ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мой hello_html_m29a83e4b.png обо­зна­чим hello_html_m542b372c.png

 

hello_html_5f5865db.png

Пусть точки hello_html_m1e35b117.png и hello_html_302e26ad.png лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки hello_html_3e6a0328.png (рис. 1). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му hello_html_m3193a2bb.png и hello_html_m655ac96a.png — бис­сек­три­сы смеж­ных углов hello_html_15aa7104.png и hello_html_3253c773.png со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, hello_html_m17db4f9d.png и hello_html_3e245469.png по­сколь­ку эти углы об­ра­зо­ва­ны па­ра­ми со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки hello_html_m2a2e03ec.png и hello_html_4894c8d.png по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том hello_html_m3cbdd84d.png По­это­му

 

hello_html_6e84831c.png

 

hello_html_m7740e820.png

Пусть точки hello_html_m1e35b117.png и hello_html_302e26ad.png лежат по одну сто­ро­ну от точки hello_html_3e6a0328.png (рис. 2). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му лучи hello_html_m3193a2bb.png и hello_html_m655ac96a.png сов­па­да­ют и яв­ля­ют­ся бис­сек­три­сой угла hello_html_m40be3510.png Зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки hello_html_d72191b.png и hello_html_m17a4a91d.pngпо­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том hello_html_m2e7fae2a.png Тогда

 

 

hello_html_m6714e5ff.png

 

Ответ: hello_html_69de0e3d.png



С5.

В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла hello_html_5728922d.png у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти hello_html_302e26ad.png у.е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял hello_html_m7a7cb53c.png бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до hello_html_606069e7.png у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до hello_html_157d7a5.png у.е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить hello_html_m10ed7ec2.png бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

 

hello_html_3ab85d0f.png % то есть hello_html_61b06463.png % = hello_html_48679917.png %.

 

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

 

Ответ: 96.



С6. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_71fa9894.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

hello_html_m1fae6e0b.png


С7.

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?



Решение.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му 4k − 8l + 0 · m = −3(k + l + m).

 

а) За­ме­тим, что в левой части при­ведённого выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му k + l + m — ко­ли­че­ство целых чисел — де­лит­ся на 4. По усло­вию 40 < k + l + m < 48, по­это­му k + l + m = 44. Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

 

б) При­ведём ра­вен­ство 4k − 8l = −3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, по­лу­ча­ем, что 5l ≥ 7k, от­ку­да l > k. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

 

в) Под­ста­вим k + l + m = 44 в пра­вую часть ра­вен­ства 4k − 8l = −3(k + l + m), от­ку­да k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44, по­лу­ча­ем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤ 17, то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

 в) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда hello_html_611a47e6.png ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

 

Ответ: а) 44; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 17.

Вариант 2,4.

C 1 № 504240. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_3b8ea9b4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_498b1500.png

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при hello_html_m4652922e.png то есть при hello_html_m598dd24d.png Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен нулю:

 

hello_html_6f5c424d.png

 

Серию hello_html_1ae0d6a2.png нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ: hello_html_3393a925.png

б) hello_html_m2ab21cf2.pngПри по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке hello_html_m1c7b575d.png

 

Ответ: а) hello_html_5609ed84.png б) hello_html_2eeca1e8.png



С2.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре ACна­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки ED и L.



Решение.

hello_html_m30607e6e.pngЗа­ме­тим, что hello_html_m502210fc.png по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка hello_html_79918cba.png имеем: hello_html_m3e49fac8.png Тогда пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_397b87f5.png равна:

 

hello_html_m73753c71.png

 

 

Ответ: hello_html_m65724459.png


С3.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств hello_html_4d99b560.png

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. За­ме­тим, что чис­ли­тель дроби (левая часть не­ра­вен­ства), по­ло­жи­те­лен при всех зна­че­ни­яhello_html_m592c56e7.pngтак как дис­кри­ми­нант под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния от­ри­ца­те­лен: hello_html_79f55978.pngА для того чтобы левая часть не­ра­вен­ства была не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ние двух усло­вий: hello_html_maf2fa5d.pngиhello_html_m7acc1b74.pngРешим си­сте­му:

 

hello_html_1bf0c44e.png

 

Од­на­ко, при hello_html_m46d813bb.pngзна­ме­на­тель левой части пер­во­го не­ра­вен­ства об­ра­ща­ет­ся в нуль. По­это­му даль­ней­шие наши ис­сле­до­ва­ния будем вести на мно­же­стве hello_html_5c400ad6.png

Решим пер­вое не­ра­вен­ство на ука­зан­ном мно­же­стве. По­сколь­ку наhello_html_a8754d4.pnghello_html_mf0581ae.pngто

 

hello_html_m9e9610e.png

 

hello_html_63b52918.png

 

По­сколь­ку на hello_html_a8754d4.pnghello_html_mf0581ae.pngто на этом мно­же­ствеhello_html_586e01b4.pngА также на hello_html_536515ec.pngЗна­чит, на этом мно­же­стве

hello_html_m9a972e6.png

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы есть мно­же­ство (2; 3).

 

Ответ: (2; 3).



С4.

В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png из­вест­ны сто­ро­ны: hello_html_376b810d.png hello_html_m58b19588.png hello_html_368971f5.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки hello_html_3e6a0328.png и hello_html_4d32fac2.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые hello_html_m29a83e4b.png и hello_html_4fca4ab3.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_332b1349.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок hello_html_m67067672.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_m17d3da6.png



Решение.

hello_html_63a1bf92.pngОбе точки hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_4253a143.png не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок hello_html_m67067672.png не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_4253a143.png лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник hello_html_7ad31c89.png — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

 

hello_html_4b768295.png

 

Зна­чит, тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png по­до­бен тре­уголь­ни­ку hello_html_m39a564a8.png так как угол hello_html_m16dc49fa.png — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен hello_html_m4d63985e.png тогда hello_html_m3ca7c4af.png hello_html_26d7e99d.png Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка hello_html_7ad31c89.png равны:

 

hello_html_2f372382.png

 

hello_html_741fb611.pngПод­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим

 

hello_html_m36ab6666.png

hello_html_77554595.png Сле­до­ва­тель­но, hello_html_m56f5fb76.png

Пусть точка hello_html_m57c89ec4.png лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны hello_html_m29a83e4b.png. Углы hello_html_1f7da1a2.png и hello_html_m5a0a28b.png равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png по­до­бен тре­уголь­ни­ку hello_html_1a6199b9.png, так как уголhello_html_m16dc49fa.png — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен hello_html_m5e8e5fd7.png то есть, тре­уголь­ни­ки hello_html_1a6199b9.png и hello_html_m16dc49fa.png равны, по­это­му hello_html_m44b05846.png За­ме­тим, что hello_html_m964ca0d.png и точка hello_html_m57c89ec4.png дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны hello_html_506b5d75.png

Если точка hello_html_4253a143.png лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны hello_html_m33370b28.png то hello_html_m447da854.png но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем hello_html_m42ce3364.png Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ: hello_html_2cc3377e.png

С5. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение:

Тогда банк вложит hello_html_407261f.png средств в комбинат, а hello_html_m26e58ab3.png – в торговый комплекс.
а) Ясно, что минимальная выручка будет тогда, когда проекты принесут минимальный доход, а банк будет вынужден отдать клиентам проценты по максимальной ставке. Минимальную прибыль можно найти так: hello_html_m2899fc99.png. Минимальная прибыль равна 5%.
б) Максимальным доход будет, если все проекты принесут максимально возможную сумму, и банк выдаст клиенты проценты по минимальной ставке. Максимальная прибыль: hello_html_m5d1bdddf.png. Максимальная прибыль равна 20%.

Ответ: 5%, 20%.


С6.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_m454d67a3.png

 

имеет един­ствен­ный ко­рень.



Решение.

Если x0 яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го урав­не­ния, то и −x0 яв­ля­ет­ся его кор­нем. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, толь­ко если x0 = −x0, то есть x0 = 0. Под­ста­вим зна­че­ние x = 0 в ис­ход­ное урав­не­ние:

 

hello_html_f648af.png

 

от­ку­да либо |a − 3| = 0  a = 3, либо |a − 3| = 2 a = 1, или a = 5.

При a = 3 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x2 = 2|x|. Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа −2; 0 и 2, то есть ис­ход­ное урав­не­ние имеет более од­но­го корня.

При a = 1 и при a = 5 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию x2 + 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней.

При −2 ≤ x ≤ 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x2 = 0, ко­то­рое имеет един­ствен­ный ко­рень.

При x > 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x2 − 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней. При a = 1 и при a = 5 ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

 

Ответ: 1; 5.


С 7.

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m708099c1.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше hello_html_m4a47b91d.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние hello_html_56af7ecb.png.



Решение.

Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние тре­тье­го члена воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m29423fcd.png, при­чем толь­ко если hello_html_m5268f4c3.png и hello_html_44d6645b.png. То есть если де­ся­тич­ная дробь на­чи­на­ет­ся так:

 

hello_html_48c2dce2.png (чет­вер­тая цифра не hello_html_c952b9e.png).

За­ме­тим, что таким об­ра­зом на­чи­на­ет­ся, на­при­мер, число

 

hello_html_10e04a35.png

Най­дем число hello_html_m4ef86722.png и про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ет ли оно усло­ви­ям за­да­чи. Для этого за­пи­шем сумму по­дроб­нее.

 

hello_html_4d876ab4.png

В каж­дой строч­ке — сумма гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем hello_html_73df8f2d.png

По фор­му­ле для суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

 

hello_html_m6fff8531.png

hello_html_595af587.png

По­лу­ча­ет­ся, что hello_html_m4ef86722.png — ра­ци­о­наль­ное число, и оно пред­став­ля­ет­ся дро­бью со зна­ме­на­те­лем 81, что мень­ше ста. Число hello_html_m4ef86722.png удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и для этого числа hello_html_m6ec6d902.png

Ответ: 3.



Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)
  • Математика
Описание:

Данная работа представляет репетиционный тест в формате ЕГЭ-2015 для 11 класса по математике профильный уровень. Здесь 4 варианта работы. Так как работа проводилась в декабре 2014 года, то в работе отсутствуют задания, содержащие логарифмы, в виду того, что логарифмы по УМК Мордковича изучаются во втором полугодии 11 класса.

Задания собирались с различных сайтов, таких как: решу ЕГЭ, сайт Алекса Ларина и mathege.

В конце работы есть ответы и решения для части С (задания 15-21). В части С задания у первого-третьего и второго-четвертого вариантов дублируются. Тест составлялся для текущего среза готовности учеников, выбравших сдачу ЕГЭ по математике на профильном уровне.

Автор Васильева Рита Леонидовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1517
Номер материала 25206
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓