Реферат по математике на тему "Уравнения высших степеней"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Перевозская средняя общеобразовательная школа

 

 

 

 

 

Реферат по математике

 

«Уравнения высших степеней»

 

 

                                                        Выполнил: ученик 9»а» класса

                               Страхов Антон

          

                                                               Руководитель: учитель математики

                                                        Чиркова Альбина Николаевна

 

 

 

 

Перевоз

2012 год

Аннотация

к реферату на тему «Уравнения высших степеней».

         Реферат подготовлен обучающимся 9 «а» класса Страховым Антоном. Состоит из трёх глав. В первой главе помещены исторические сведения: уравнения в Древнем Вавилоне, уравнения арабов, уравнения в Древней Индии.

Во второй главе рассматривается теория квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным. Кроме изучаемых в школе способов решения рассматриваются решения квадратных уравнений частного характера.

В третьей главе раскрыта основная часть работы. Здесь рассматриваются методы решения некоторых уравнений высших степеней: двучленные, возвратные, симметрические и кососимметрические уравнения, решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, теорема Безу, Схема Горнера, теорема Виета для уравнений высших степеней, формулы Кардано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление.

Введение

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших степеней.

1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Уравнения арабов

1.3 Уравнения в Индии

Глава 2. Теория квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.

2.1  Основные понятия

2.2  Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

2.3  Приведенные квадратные уравнения

2.4  Теорема Виета

2.5 Квадратные уравнения частного характера

2.6  Биквадратные уравнения

Глава 3. Уравнения высших степеней.

3.1  Двучленные уравнения

3.2 Возвратные уравнения

3.3 Симметрические и кососимметрические уравнения

3.4  Решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами

3.4.1 Теорема Безу

3.4.2 Схема Горнера

3.5 Теорема Виета для уравнений высших степеней

3.6 Формулы Кардано

Заключение

Список используемой литературы

 

Введение.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений.

В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней.

Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, гимназий. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Также решение различных видов уравнений встречается в вопросах единого государственного экзамена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.

История квадратных уравнений и уравнений высших степеней.

1.1. Уравнения в Древнем Вавилоне.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

1.2. Уравнения арабов.

Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.

1.3. Уравнения в Индии.

         Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

 

Глава 2.

Теория квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.

2.1.  Основные понятия

Уравнение вида  ax²+bx+c=0, где a,b,c — некоторые числа, причем a≠0, а x — переменная, называется квадратным.

Если хотя бы один из коэффициентов b или c квадратного уравнения равен 0, то такое квадратное уравнение называют неполным. Например,

x²-5x=0;    4x²-9=0;  9x²=0 — неполные квадратные уравнения.

Выражение  b²-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения. Обозначают D=b²-4ac.

В зависимости от знака дискриминанта возможны 3 случая:

Если D>0, то уравнение имеет 2 корня;

Если D=0, то уравнение имеет 1 корень;

Если D<0, то уравнение действительных корней не имеет.

При D≥0 корни уравнения ax²+bx+c=0, где a≠0, могут быть найдены по формуле  , где D=b²-4ac.

2.2. Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом.

Если в уравнении коэффициент b— четное число, то корни можно найти по формуле

Пример 1:

7x²-10x-8=0

a=7, b=-10

Ответ: 2;.

Пример 2:

4x²-4x+5=0

a=4; b=-4; c=5

Ответ: уравнение не имеет корней.

2.3. Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение вида  x²+px+q=0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен 1. Всякое квадратное уравнение может быть приведенным.

Для этого разделим каждый член уравнения на a≠0. Получим

.

Найдем корни приведенного квадратного уравнения по общей формуле.

a=1; b=p; c=q

Тогда   или  . Это формула корней приведенного квадратного уравнения. Ей удобно пользоваться, когда p—четное число.

Пример 3:

x²-14x-15=0

p=-14; q=-15

x₁=15; x₂=-1.

 

2.4. Теорема Виета.

Если x₁  и  x₂  приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0, то верны равенства

x₁ +x₂=-p

x₁*x₂=q

Для уравнения  ax²+bx+c=0 теорема имеет вид

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения:

1.Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.

2.Если b<0, c>0 то оба корня положительны.

3.Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4.Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.5. Квадратные уравнения частного характера.

1.Если a + b + c = 0 в уравнении  ax² + bx + c = 0, то

x₁=1; .

Пример 4:

2х² - 3х + 1 = 0

a = 2; b = -3; c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

x₁=1; .

2. Если a + c = b, в уравнении ax² + bx + c = 0, то:

x₁=-1; .

Пример 5:

2х² + 3х + 1 = 0

a = 2; b = 3; c = 1.

a + c = b, следовательно

x₁=-1; .

2.6. Биквадратные уравнения.

Уравнение вида  ax⁴+bx²+c=0 называют биквадратным. Заменой  x²=y уравнение приводится к квадратному уравнению вида  ay²+by+c=0. Решая это уравнение, получаем:

1. Если y₁≥0 и y₂≥0, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

, .

2.Если y₁≥, y₂<0, то биквадратное уравнение имеет два действительных корня:

.

3. Если y₁<0, y₂<0, то биквадратное уравнение действительных корней не имеет.

 

Глава 3.

Уравнения высших степеней.

3.1. Двучленные уравнения.

Уравнение n-й степени  называется двучленным уравнением.

Двучленными уравнениями четвертой степени называются уравнения вида:  

 или

При решении двучленного уравнения вида необходимо придерживаться следующей схемы:

1)      Вынести за скобки общий множитель , преобразовав тем самым заданное уравнение к виду

2)      Решить полученное уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

 

Пример 6: Решить уравнение

Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.

Вынесем за скобки общий множитель :

Поэтому либо , либо

Ответ:

 

 

 

 3.2. Возвратные уравнения.

Уравнение вида  ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0, где  a≠0 и e≠0, называется возвратным, если имеет место равенство  .

Разделим уравнение на x², получим  . Сгруппируем члены, равноудаленные от концов, получим уравнение:  .                                                         (1)

Обозначим  , тогда  . Тогда   (дробь   заменим дробью ).

Уравнение  (1) примет вид

.                                                                            (2)

Найдем корни уравнения (2)

Пример 7:

2x⁴-21x³+74x²-105x+50=0

a=2; b=-21; c=74; d=-105; e=50

Разделим уравнение на  x².

Обозначим  . Тогда

2(t²-10)-21t+74=0

2t²-20-21t+74=0

2t²-21t+54=0

D=21²-4*2*54=441-432=9

При  t=6 

x²-6x+5=0

x₁=1

x₂=5

При  t=9/2 

2x²-9x+10=0

D=81-80=1

Ответ: x₁=1; x₂=5; x₃=2,5; x₄=2.

3.3. Симметрические и кососимметрические уравнения.

Частным случаем возвратных уравнений являются симметрические уравнения

ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0

и кососимметрические уравнения

ax⁴+bx³+cx²-bx+a=0.

Заменой для симметрического и для кососимметрического уравнений эти уравнения сводятся к квадратным уравнениям.

Пример 8:

x⁴-2x³-x²-2x+1=0

Разделим данное уравнение на x²

Пусть . Тогда

t²-2-2t-1 =0

t²-2t-3=0

t₁=3; t₂=-1

При  t=3

x²-3x+1=0

D=9-4=5

При  t=-1

x²+x+1=0

D=1-4=-3<0 — корней нет

Ответ: .

3.4. Решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Рациональные корни алгебраического уравнения n-й степени

,

где — целые числа, можно найти, используя следующие правила:

 

 

 

3.4.1. Теорема Безу

«Если уравнение  , в котором все коэффициенты — целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена».

Решим уравнение

.

Если это уравнение имеет целый корень, то в силу теорему Безу он является делителем числа -2, т.е. равен одному из чисел . Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 2.Значит, многочлен x³-8x²+13x-2 можно представить в виде , где — многочлен второй степени.

Для того чтобы найти многочлен , разделим многочлен x³-8x²+13x-2 на двучлен х-2. Получим, что .Значит, исходное уравнение можно представить в виде

.

Отсюда х-2=0 или x²-6x+1=0.

Первое уравнение имеет единственный корень — число 2. Второе уравнение имеет два корня: .

Значит, исходное уравнение имеет три корня: 2, .

3.4.2. Схема Горнера

Для деления многочлена на двучлен  можно использовать специальный прием, который обычно называют схемой Горнера.

Пусть р(х)=bx. Разделим  p(x) на  (x-a), получим  p(x)=(x-a)g(x)+r,

Где g(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны:   g(x)=kx. Итак,

Раскрыв скобки в правой части, получаем

Воспользовавшись теоремой о тождественности двух многочленов, приходим к следующей системе равенств:  b=k, c=m-ka, d=n-ma, e=s-na, f=r-sa.

Это значит, что неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями:

k=b;   m=ka+с;   n=ma+в;   s=na+e;   r=sa+f.

Эти соотношения удобно записывать в виде следующей таблицы.

	b	c	d	e	f
a	k=b	m=ka+c	n=ma+d	s=na+e	r=sa+f

 

3.5. Теорема Виета для уравнений высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n

Имеет n различных корней x₁ , x₂ …, x_n.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀( x – x₁)( x – x₂)…(x – x_n)

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

xⁿ + ()x^n-1 + … + () = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1 + ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2 + … +(-1)ⁿ x₁x₂ … x_n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство:

x₁ + x₂ + … + x_n = -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n =

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ .

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

3.6. Формулы Кардано

Формулы Кардано применяются для определения корней общего уравнения третьей степени  ax³ + bx² + cx + d = 0.

При подстановке  x=y+h, где  , получим  y³+py+q=0.

Эта формула очень громоздкая и сложная, так как содержит несколько радикалов. Применяется она крайне редко.

Заключение.

В первой главе была рассмотрена история возникновения квадратных уравнений и уравнений высших порядков. Различные уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет.

Во второй и третьей  главах приведены различные способы решения квадратных уравнений и уравнений высших степеней. В основном это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими-либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Этот способ (подбор к каждому уравнению собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант.

В этом реферате достигнуты все цели и выполнены основные задачи, показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Я рассмотрел много примеров, прежде чем занести их в реферат, поэтому уже представляю, как решать некоторые уравнения. Каждое решение пригодится нам в дальнейшей учебе. Этот реферат помог мне классифицировать старые знания и узнать много нового.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

1.Макарычев Ю.Н. «Алгебра для 9 класса»,М., 2010г.

2. Макарычев Ю.Н. «Алгебра для 8 класса»,М., 2010г.

3.Цыпкин «Справочник по математике для средней школы».

4.Математическая энциклопедия , том 5 .

5.Тумаркин Л.А. “ История математики “, М., 1975.

6.Кизнер Ф.И. “Основные понятия математики”, М., 1987.

7.Смонов А.Я. “Конкурсные задачи по математике”, М., 1991.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рецензия

на реферат по теме

«Уравнения высших степеней»,

подготовленный обучающимся 9 «а» класса

Страховым Антоном.

В данной работе рассматривается одна из актуальных проблем в математике о разрешимости различного рода уравнений. Здесь приведены решения некоторых  уравнений высших степеней. Таким уравнениям мало уделяется внимания в школьном курсе математике. Однако они встречаются при решении многих задач в физике, химии, биологии, а также на ЕГЭ по математике.

В реферате дано обоснование актуальности исследуемой темы, поставлена цель.  В первой главе содержатся исторические сведения о квадратных уравнениях и уравнениях высших степеней. Во второй главе рассмотрена теория квадратных уравнений. Кроме рассматриваемых в школе методов решения квадратных уравнений приведены решения квадратных уравнений частного характера. Основную часть работы составляет третья глава, в которой отражены способы решения некоторых основных видов уравнений высших степеней. Это двучленные, возвратные, симметрические и кососимметрические уравнения, алгебраические уравнения с целыми коэффициентами. Приведены теорема Безу, схема Горнера, теорема Виета для уравнений высших степеней, формулы Кардано. Вся теория подкреплена примерами.

Обучающимся обработано большое количество теоретического материала, на достаточно высоком уровне проведено исследование методов решения основных видов уравнений высших степеней. Материал в работе изложен с соблюдением внутренней логики, между главами существует логическая взаимосвязь. Прослеживается тщательная работа по каждому разделу рассматриваемой темы. Полностью раскрыта тема работы, достигнута поставленная цель.

Данная работа имеет теоретическое значение и практическое значение.

Работа выполнена в соответствии с требованиями. Она актуальна, полна, качественна. Существенных недостатков работа не имеет.

В связи с этим, реферат заслуживает оценки «отлично».