Главная / Математика / Реферат на тему: "Тригонометрические функции в школьном курсе математики"

Реферат на тему: "Тригонометрические функции в школьном курсе математики"

ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра математики и методики обучения математике







РЕФЕРАТ

ПО ИЗБРАННЫМ ВОПРОСАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ



Тригонометрические функции в школьном курсе математики



















Реферат выполнила

Студентка 2 курса группы МДМ-214 ______________________________М.В. Краснова



Саранск 2016



Содержание


Введение…………………………………………………………………………...2

Основная часть…………………………………………………………………….4

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале……………………………………………………….4

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов……7

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры……...11

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению………………………………………………………………………….16

Заключение……………………………………………………………………….24

Список использованной литературы…………………………………………...25



















Введение


Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности, а особенно при решении тригонометрических задач.

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес. В настоящее время изучению тригонометрических задач уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Тригонометрические задачи из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ, а именно базовый уровень: найти значение одной тригонометрической функции через другую; профильный уровень: решить тригонометрическое уравнение. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной итоговой аттестационной работы.

Тригонометрические задачи одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях.

Все выше сказанное является актуальностью реферата

Цель реферата – тригонометрические функции в школьном курсе математики

Задачи реферата:

- Дать понятие тригонометрических функций

- Провести анализ тригонометрических функций в школьном курсе математики

Предмет реферата: математика

Объект реферата: тригонометрические функции

Реферат написан из введения, основных глав, заключения и списка использованной литературы



Основная часть

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале


Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия hello_html_mb7116d7.gif, hello_html_265404d2.gif и hello_html_m50c37c1d.gif острых углов треугольника вводится для углов от hello_html_m40a3481b.gif до hello_html_1263cd29.gif, как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.

hello_html_6e47295b.png

Назовите катеты в hello_html_2df03ba9.gifABC, hello_html_2df03ba9.gifAPN. Назовите гипотенузы в hello_html_2df03ba9.gifLKM и hello_html_2df03ba9.gifEFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?

Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.

Первым вводится понятие hello_html_265404d2.gifугла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.

С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin hello_html_25f31b0.gif, tg hello_html_25f31b0.gif

hello_html_78057f77.png

Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.

Для синуса это доказывается так:

hello_html_18f047f8.gif=hello_html_7151a212.gifhello_html_m2bf4afa6.gif,

так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.

Из определений hello_html_mb7116d7.gif, hello_html_265404d2.gif и hello_html_m50c37c1d.gif получаем следующие правила:

  • Катет, противолежащий углу hello_html_25f31b0.gif, равен произведению гипотенузы на синус hello_html_25f31b0.gif;

  • Катет, прилежащий к углу hello_html_25f31b0.gif, равен произведению гипотенузы на косинус hello_html_25f31b0.gif;

  • Катет, противолежащий углу hello_html_25f31b0.gif, равен произведению второго катета на тангенс hello_html_25f31b0.gif.

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=hello_html_1263cd29.gif, LM=hello_html_25f31b0.gif, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий hello_html_mb7116d7.gif, hello_html_265404d2.gif и hello_html_m50c37c1d.gif рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти hello_html_3c05c0f4.gifA, hello_html_3c05c0f4.gifB, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти hello_html_3c05c0f4.gifA, hello_html_3c05c0f4.gifB, b.

Задача №3. Дано: a, hello_html_3c05c0f4.gifA. Требуется найти hello_html_3c05c0f4.gifA, b, c.

Задача №4. Дано: a, hello_html_3c05c0f4.gifB. Требуется найти hello_html_3c05c0f4.gifA, b, c.

Задача №5. Дано: a, hello_html_3c05c0f4.gifA. Требуется найти hello_html_3c05c0f4.gifB, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол hello_html_25f31b0.gif. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:

hello_html_m58815932.gif, hello_html_4c418faf.gif, hello_html_eecf920.gif, hello_html_m3172516.gif.

В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:

hello_html_6b7cf265.gif, hello_html_6993791d.gif.

Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла hello_html_18f047f8.gif и hello_html_4b3c9f4b.gif возрастают, а hello_html_m6babcfb8.gif- убывает; 2) для любого острого угла hello_html_25f31b0.gif: hello_html_62cc97fc.gif, hello_html_m2831420c.gif; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:

hello_html_m28fef04d.png

hello_html_146327b5.gif, hello_html_3576c2af.gif, тогда hello_html_m31e0454.gif, hello_html_m6736384d.gif.

hello_html_2a95c0b8.gif,

тогда из равенства правых частей получаем:

hello_html_62cc97fc.gif.

hello_html_3374f733.gif, тогда hello_html_m2831420c.gif.

Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:

hello_html_4831fdbf.png

Пусть hello_html_m292eb165.gif и hello_html_b7b6aa7.gif- острые углы, hello_html_m4114b633.gif и hello_html_m463083c6.gif, и она пересекает стороны угловhello_html_25f31b0.gif и hello_html_33daad06.gif в точках hello_html_m6e1cd1ae.gif и hello_html_m6eaf85f7.gif соответственно.

Так как hello_html_m4114b633.gif, то точка hello_html_m6e1cd1ae.gif лежит между точками hello_html_m6eaf85f7.gif и hello_html_7d15846.gif, тогда hello_html_12245307.gif. А значит, по свойству наклонных, hello_html_m1a599de4.gif(через сравнение их проекций). Так как hello_html_m72f588b7.gif, hello_html_41ce62c2.gif, то косинус убывает. А так как hello_html_m1f25c209.gif, то синус возрастает.


2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от hello_html_m40a3481b.gif до hello_html_m5009f5a1.gif



Расширение области определения тригонометрических функций от hello_html_m40a3481b.gif до hello_html_m5009f5a1.gif происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".

hello_html_m7e26eaaf.png

Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость hello_html_m60c594bc.gif угол hello_html_6e251a5.gif. Пусть точка hello_html_259e6cc9.gif имеет координаты hello_html_m71713bdb.gif и hello_html_2a6c59c8.gif. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m374891b8.gif, hello_html_m42c2c669.gif, то из треугольника hello_html_m3cb1353b.gif: hello_html_m4f0bc868.gif, hello_html_681b2e53.gif.

hello_html_md93b866.gifОпределяются значения hello_html_46a8ad18.gif и hello_html_4b3c9f4b.gif этими формулами для любого угла α (для hello_html_6fd7998b.gif0-исключается).

hello_html_m3c1ca3bb.png

Можно найти значения этих функций для углов 900, 00, 1800. Доказывается, что для любого угла α , 00<α<1800, hello_html_1af21022.gif hello_html_m2573f641.gif.

y

hello_html_6f29d21c.gifповернем подвижный радиус на угол 1800-α=hello_html_2f36c38e.gif

1800-α

А1(x1, y1)

hello_html_6576c8fd.gifпо гипотенузе и острому углу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=>

O

B1

α

R

hello_html_ma87ab46.gifhello_html_3686416b.gif

Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".

Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:

  1. построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;

  2. обозначить величину острого угла А буквой α;

  3. измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;

  4. вычислить отношение hello_html_m1ce61875.gif

  5. записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);

  6. измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:

hello_html_m573e5a5c.gifhello_html_4d8b0409.gifhello_html_253b2935.gif

hello_html_m4c776d8e.gifhello_html_2e5a93f4.gifhello_html_m71ef14a2.gif

hello_html_m74d36cb0.gifhello_html_660ac15b.gifhello_html_m7b7e0a7b.gif

Определение cos, sin, tg углов от 00 до 1800 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.

В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 00 до 1800. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"

Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: hello_html_42696b0b.gif для острых углов и для углов от 00 до 1800:

00<α<900

00α≤1800

1 hello_html_m730c039a.gif

1 hello_html_537cd095.gif hello_html_3cd4b8d4.gif

2 hello_html_3c530977.gif

2 hello_html_453a0fef.gif

3 hello_html_m76ded95d.gif

3 hello_html_51baaefe.gif

В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.

Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.


3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры



Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

  • в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

  • затем введенные понятия обобщаются для углов от hello_html_m3d0f94b4.gif до hello_html_m31b97e5c.gif;

  • тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

  1. Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

  2. Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей hello_html_e763c1a.gif; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

  3. Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

  4. Утверждение функциональной точки зрения на hello_html_m534efb2f.gif, hello_html_3de445b1.gif, и hello_html_4b3c9f4b.gif (трактовка hello_html_m534efb2f.gif, hello_html_3de445b1.gif, и hello_html_4b3c9f4b.gif как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

  5. Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество hello_html_750ceb85.gif;

  6. Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

  1. область значения hello_html_265404d2.gif и hello_html_mb7116d7.gif- hello_html_m3f0bce9d.gif, для hello_html_m50c37c1d.gif и hello_html_m6a86cd7c.gif- множество всех действительных чисел

  2. промежутки знакопостоянства: hello_html_m3b256c6c.gif, то значит hello_html_mb7116d7.gif зависит от знака hello_html_2a6c59c8.gif и т.д.

  3. hello_html_mb7116d7.gif, hello_html_m50c37c1d.gif и hello_html_m6a86cd7c.gif являются нечетными функциями, а hello_html_265404d2.gif является четной функцией

  4. при изменении угла на целое число оборотов значение hello_html_265404d2.gif, hello_html_mb7116d7.gif, hello_html_m50c37c1d.gif, hello_html_m6a86cd7c.gif не изменится (под обратным понимаем поворот на hello_html_e763c1a.gif).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом hello_html_25fc5df3.gif. Если hello_html_7868fec0.gif положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. hello_html_m33aa88de.gif.

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: hello_html_59606a82.gif, где hello_html_m2ce322a6.gif.

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что hello_html_m6bdd72be.gif. Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:

1 четверть: hello_html_6fb00d9b.gif, hello_html_3155ca53.gif; hello_html_m7f7dcf65.gif

2 четверть: hello_html_14e14971.gif, hello_html_65c0a4be.gif; hello_html_m52bbb761.gif и т.д.

Определение тригонометрической функции hello_html_mb7116d7.gif выглядит так:

Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:

hello_html_79174e25.gif; hello_html_786c0786.gif.

Построим график функции hello_html_67263e90.gifна hello_html_3ff98421.gif.

hello_html_mcbf8422.png

Делим единичную окружность и отрезок hello_html_3ff98421.gif на 16 равных частей.

Через точку hello_html_589ffc3a.gif проводим прямую, параллельную hello_html_7d36d2d8.gif. Проводим прямую hello_html_54f25f8a.gif до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции hello_html_67263e90.gif, называемого синусоидой.

Отрезок оси hello_html_m459bbdb.gifhello_html_m3f0bce9d.gif, с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.

Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что hello_html_36e0de52.gif. Поэтому во всех точках вида hello_html_6e7a69eb.gif, где hello_html_676150a8.gif, значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси hello_html_7d36d2d8.gif.

Для построения графика косинуса следует вспомнить, что hello_html_m13221963.gif. Следовательно, значение косинуса в произвольной точке hello_html_m3397591.gif равно значению синуса в точке hello_html_6aa05ecd.gif. Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние hello_html_3084c53d.gif в отрицательном направлении оси hello_html_7d36d2d8.gif. Поэтому график функции hello_html_58b2519f.gif также является синусоидой.

Для функций hello_html_m50c37c1d.gif и hello_html_m6a86cd7c.gif определяется аналогично. Область определения hello_html_m50c37c1d.gif- множество всех чисел, где hello_html_6e6f504f.gif.

Построение графика: проведем касательную hello_html_d195a9e.gif к единичной окружности в точке hello_html_74cb54e.gif.

hello_html_m3aeb695c.png

Пусть hello_html_1165c0b.gif произвольное число, для которого hello_html_6e6f504f.gif. Тогда точка hello_html_19fa4a95.gif не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая hello_html_m3e4314d2.gif пересекает hello_html_d195a9e.gif в некоторой точке hello_html_2f1c8006.gif с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая hello_html_m3e4314d2.gif проходит через точки hello_html_m2c8716af.gif и hello_html_m433cd498.gif. Поэтому она имеет уравнение hello_html_m3120c1f1.gif.

Абсцисса точки hello_html_m25d40146.gif, лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой hello_html_7df68041.gifнаходим, что ордината точки hello_html_m25d40146.gifравна hello_html_4b3c9f4b.gif. Итак, ордината точки пересечения прямых hello_html_m684100a1.gifи hello_html_m6db49268.gif равна hello_html_4b3c9f4b.gif. Поэтому прямую hello_html_m6db49268.gif называют линией тангенсов.

hello_html_42f597df.gif

hello_html_2c9ad365.gif

hello_html_m1e4db306.gif

hello_html_6767f2a6.gif

hello_html_m3c868717.gif

hello_html_71dbdc1f.gif

hello_html_5f48c496.gif

Нетрудно доказать, что абсцисса точки hello_html_m1a54cc9b.gif пересечения прямой hello_html_7df68041.gifс касательной m к единичной окружности, проведённой через точку hello_html_4bcd2886.gif, равна hello_html_m1390a7e0.gif при hello_html_m5b2acdc5.gif.

hello_html_5546e173.png

Поэтому прямую m называют линией котангенсов.

Область значений hello_html_m33aec27e.gif - вся числовая прямая. Докажем это для функции hello_html_642e450f.gif. Пусть hello_html_43d329c4.gif - произвольное действительное число. Рассмотрим точку hello_html_48fee00.gif. Как только что было показано, hello_html_51fb47d8.gif равен hello_html_43d329c4.gif. Следовательно, функция hello_html_642e450f.gif принимает любое действительное значение hello_html_43d329c4.gif, ч.т.д.

Построение графика аналогично построению hello_html_m9865f2e.gif.

Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:

  1. Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси hello_html_m5be0fb91.gif. Разделить её на равные части (например,16).

  2. Для функции hello_html_m9865f2e.gifвыбираем отрезок hello_html_m1e9c0d51.gif, для функции hello_html_642e450f.gif- hello_html_m43f7d94a.gifи делим их на то же равное число частей.

  3. По окружности находим соответствующее число значений этих функций.

  4. Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.


4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению


Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.

  1. Функции тригонометрических функций для углов от hello_html_mb56852f.gifдо hello_html_5c176a8c.gif

(прямоугольный треугольник, планиметрия);

  1. Тригонометрические функции для углов от hello_html_mb56852f.gifдо hello_html_4966ac7a.gif (тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");

  2. Тригонометрические функции для любого действительного числа.

Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.

К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.

Например:

  1. В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен hello_html_m306bc31f.gif.

  2. В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен hello_html_mf993a7d.gif. Найдите другой катет и гипотенузу.

hello_html_5f48c496.gif

hello_html_77d61125.gif

В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, hello_html_61f8ee3e.gif. Определите hello_html_m36ffa510.gif.
  1. В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.

hello_html_6a12ef71.gif

Найдите угол B.

hello_html_m3648156e.png

Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.

hello_html_521297ee.gif

Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:
  1. hello_html_m428987b.gif;

  2. hello_html_7f5ce744.gif;

  3. hello_html_6e64aa41.gif;

  4. hello_html_79045400.gif;

  5. hello_html_m29695f18.gif.

  6. hello_html_m68dd6b90.gif;

hello_html_7d3e2b27.gif, ч.т.д.

hello_html_4ec4d094.gif; hello_html_325695ef.gifhello_html_m1111ebb3.gif.

hello_html_m459f4240.png

hello_html_5f48c496.gif

С другой стороны:


hello_html_m384f7c7d.gif

hello_html_7e0ffba8.gif

hello_html_71dbdc1f.gif

hello_html_749a9d28.gifhello_html_m123ec551.gif

hello_html_80516b2.gif- теорема сложения.

hello_html_7600db45.gif

и по доказанной формуле.

Для доказательства hello_html_m11e13eee.gif суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:

hello_html_7fcd0627.png

hello_html_m3384d67a.gif, hello_html_m4c86278b.gif, hello_html_m2b5908e0.gif, hello_html_38c40ebd.gif.

Проведём радиус hello_html_cf05a94.gif, длина которого равна hello_html_m47f6dafb.gif, на угол hello_html_74006ad2.gif: и получили радиус hello_html_m3d3749c1.gif, где hello_html_m1322ab04.gif и на угол hello_html_3a22ecfb.gif и получим радиус hello_html_m306cbc95.gif, где hello_html_cac00ab.gif.

hello_html_m1ab65015.gif, hello_html_m50296bec.gif: hello_html_mdac04d5.gif, hello_html_m27417c95.gif.

hello_html_567f2d8.gif- прямоугольник. Повернём его на угол hello_html_7089ebc4.gif вокруг точки hello_html_m1d70248a.gif:

hello_html_m4b72bb93.gif; hello_html_4de5c922.gif; hello_html_m563f8240.gif, т.е.

hello_html_79563ad7.gif; hello_html_m7ce7fa66.gif, т.е:

hello_html_a0ef5cc.gif; hello_html_6668908f.gif, по hello_html_m67dae550.gif hello_html_f9e5318.gif

Аналогично:

hello_html_6307d9cd.gifhello_html_m7dc8dc7c.gif

Тогда:

hello_html_m564bcf4b.gif

hello_html_ma2d5740.gif

hello_html_2af7ce64.gif

и т.д.

hello_html_26b7bec8.png

К функциям от углов hello_html_49d47475.gif можно прийти и из геометрических соображений.

Формулы приведения для hello_html_m468ed587.gifи hello_html_m3332ef1d.gifвыводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:

hello_html_558d3214.gif{определяем четность, в которой оканчивается угол hello_html_3f672583.gif - II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти – " - ". Изменяется ли название функции – нет, поэтому:} hello_html_m4f35caab.gif = - cos hello_html_m676f555e.gif.

Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.

hello_html_16db622b.gif,

а затем применяется уже известная формула.

Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив hello_html_39ea9fd1.gif.

Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:

hello_html_m42c38934.gif={ hello_html_m3c93e56c.gif, hello_html_4291377f.gif}=

=hello_html_2cc403f.gif,

но:

hello_html_115e427c.gif

Таким образом:

hello_html_m56f4320f.gif

Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):

1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;

2) основные тригонометрические тождества:

hello_html_6901d15b.gif

Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;

3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;

4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество:

hello_html_2c1d078a.gif

Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:

hello_html_6a8fb4ea.gif8hello_html_1165c0b.gifcos4hello_html_1165c0b.gif+sin8hello_html_1165c0b.gif=2sin8hello_html_1165c0b.gifcos4hello_html_1165c0b.gif+2sin4hello_html_1165c0b.gifcos4hello_html_1165c0b.gif=2cos4hello_html_1165c0b.gif(sin8hello_html_1165c0b.gif+sin4hello_html_1165c0b.gif)=4cos4hello_html_1165c0b.gifsin6hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gif, и т.д.

Задачи №2.

Упростить выражение

а) hello_html_m16cdedf1.gif

Можно применить формулы понижения степени:

hello_html_m16cdedf1.gif=hello_html_4a9278f9.gif

hello_html_304f8e15.gif{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: hello_html_m37f1476c.gif} =

hello_html_6b17296b.gif

б)hello_html_m843bd87.gif

hello_html_5f3cdfdb.gif

Задача №3

Преобразовать в произведение:


а) cos5hello_html_1165c0b.gif+sin8hello_html_1165c0b.gif+cos9hello_html_1165c0b.gif+cos12hello_html_1165c0b.gif=(cos5hello_html_1165c0b.gif+cos12hello_html_1165c0b.gif)+(cos8hello_html_1165c0b.gif+cos9hello_html_1165c0b.gif)=

=2cos17/2hello_html_1165c0b.gifcos7/2hello_html_1165c0b.gif+2cos17/2hello_html_1165c0b.gifcoshello_html_1165c0b.gif/2=2cos17/2hello_html_1165c0b.gif(cos7/2hello_html_1165c0b.gif+coshello_html_1165c0b.gif/2)=

=4cos17/2hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gifcos3/2hello_html_1165c0b.gif=4cos3/2hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gifcos17/2hello_html_1165c0b.gif

б) 3+4cos4hello_html_1165c0b.gif+cos8hello_html_1165c0b.gif=3(1+cos4hello_html_1165c0b.gif)+(cos4hello_html_1165c0b.gif+cos8hello_html_1165c0b.gif)=6cos22hello_html_1165c0b.gif+

+2cos6hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gif=2 cos2hello_html_1165c0b.gif(3cos2hello_html_1165c0b.gif+cos6hello_html_1165c0b.gif)=2cos2hello_html_1165c0b.gif((cos2hello_html_1165c0b.gif+|cos6hello_html_1165c0b.gif)+

+2cos2hello_html_1165c0b.gif)=2cos2hello_html_1165c0b.gif(2cos4hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gif+2cos2hello_html_1165c0b.gif)=4cos22hello_html_1165c0b.gif(cos4hello_html_1165c0b.gif+cos2hello_html_46121861.gif)=

=4cos22hello_html_1165c0b.gifcos22hello_html_1165c0b.gif=8cos42hello_html_1165c0b.gif

Задача №4

Найти sin4hello_html_1165c0b.gif+cos4hello_html_1165c0b.gif, если известно, что:


sinhello_html_1165c0b.gif-coshello_html_1165c0b.gif=1/2

sin4hello_html_1165c0b.gif+cos4hello_html_1165c0b.gif=(sin2 hello_html_1165c0b.gif+cos2hello_html_1165c0b.gif)2-2sin2hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gif=1-2sin2hello_html_1165c0b.gifcos2hello_html_1165c0b.gif=

=1-1/2sin22hello_html_1165c0b.gif={sin4hello_html_1165c0b.gif-coshello_html_1165c0b.gif=1/2hello_html_m74014ead.gif(sinhello_html_1165c0b.gif-coshello_html_1165c0b.gif)2=

=1-2sinhello_html_1165c0b.gifcoshello_html_1165c0b.gif=1/4hello_html_m74014ead.gifsin2hello_html_1165c0b.gif=3/4}=hello_html_4c0fdf8.gif

Задача №5

Вычислить:

hello_html_m1fd4267.gif

sinhello_html_m2e3dbc73.gif=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу hello_html_7aabfe2f.gif и получим}= hello_html_1c12a90.gif



Заключение


Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.


Список использованной литературы


1.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15 изд. –  М.: Инфа, 2013

2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов,     Ю. П. Дудницын  и др.; под редакцией А. Н. Колмогорова. – 17-е изд. – М.: Инфа, 2014

3.   Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин–М.: Инфа, 2014

4. ЕГЭ 2015 Математика .Материалы для подготовки ЕГЭ. alexlarin.net

5. Единый государственный экзамен: математика М.: Инфа, 2014

6. Единый государственный экзамен: математика: Контрольные измерительные материалы: 2015. – М.:Просвещение, 2015.

7. Математика: реальные варианты: ЕГЭ 2014 /В.В.Кочагин и др. – М.:АСТ: Астрель, 2014

8. В.Б.Некрасов Школьная математика. Пособие для базового и профильного обучения «Авалон» М.: Инфа, 2014

9. А.Л.Семёнов, И.В.Ященко Математика. Типовые тестовые задания. М.: Олган 2013

10. А.Г.Сухарев Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2014

11. Э.Н.Шамсудинова Практикум по решению задач. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы. М.: Инфа, 2014


Реферат на тему: "Тригонометрические функции в школьном курсе математики"
  • Математика
Описание:

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

Автор Краснова Марина Владимировна
Дата добавления 15.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 973
Номер материала MA-066451
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓