Реферат "Координатная плоскость"

ЗАДАЧИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

Исследовательская работа

г. Белогорск 2016 г.

Оглавление

Введение­­­­­­­­­­­­­­­­----------------------------------------------------------------------------------------3

1.     Координатная плоскость----------------------------------------------------------------5

1.1.           Понятие координатной плоскости----------------------------------------------5

1.2.           Примеры координатной плоскости --------------------------------------------6

1.2.1.    Зарождение координат. Система координат в географии---------------6

1.2.2.    Система координат в астрономии. Миф о созвездии Большой и Малой медведицах.---------------------------------------------------------------7

1.2.3.   Использование идеи прямоугольных координат в живописи-----------8

1.3.           Легенды об изобретении системы координат--------------------------------8

2.     Практическая часть----------------------------------------------------------------------11

2.1.          Анкетирование---------------------------------------------------------------------11

2.2.          Задачи на координатной плоскости--------------------------------------------12

2.2.1.   Фигуры на координатной плоскости ---------------------------------------12

2.2.2.    Прямые на координатной плоскости---------------------------------------12

2.2.3.   Парабола на координатной плоскости--------------------------------------13

2.2.4.    Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами------13

2.2.5.    Площадь фигур на координатной плоскости-----------------------------13

Заключение------------------------------------------------------------------------------------14

Библиографический список----------------------------------------------------------------15

Приложение 1

Приложение 2

Введение

Математика – наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней нас учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Я решил разобраться, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, узнать ее основные характеристики и особенности, а самое главное подобрать блок задач, решаемых благодаря этой системе.

В роли объекта исследования выступают задачи, решаемые графическим путем.

Предмет исследования – координатная плоскость.

Как оказалось, решение задач, используя координаты,  широко используется в практической жизни. Правильно выполненные рисунки, чертежи способны понять люди разных национальностей, здесь не существует языковых барьеров. Они могут заменить долгие разъяснения. И значит, данная тема продолжает оставаться актуальной с древнейших времен.

Цель работы: подобрать блок задач, решаемых на координатной плоскости.

Задачи:

·        Изучить литературу о системе координат;

·        Исследовать, какие задачи решают школьники с помощью системы координат;

·        Проанализировать применение задач в жизни человека;

·        Обобщить собранную информацию и познакомить с ней своих одноклассников.

   В своей поисковой деятельности я задался вопросом: “Какие задачи решаются на координатной плоскости и зачем?”. Для решения проблемы гипотезой исследования стало следующее предположение: координаты и координатная плоскость тесно связаны с нашей повседневной жизнью и необходимо использовать опыт наших предков.

 В работе использовались следующие методы исследования:

•изучение литературы

•использование интернет-ресурса при изучении вопроса;

•анализ;

•эксперимент;

•обобщение собранного материала;

•защита исследовательской работы.

Практическая значимость: обобщённый материал данного исследования можно применять как на уроках математики, так и во внеурочное время для привития интереса к математике.  Данный материал способствует формированию представления о прикладных возможностях математики. Такая работа в прямоугольной системе координат позволяет не только лучше понять тему, но и дает возможность проявить творческие способности каждого из нас. Трудно устоять перед соблазном и не нарисовать свои рисунки.

1.     Координатная плоскость.

1.1.   Понятие координатной плоскости.

Координатная плоскость - это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. Первая ось - абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как (Ox). Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy). Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти,  при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки. Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината - положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината. Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Каждая из осей имеет свое направление. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат. Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy. Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка. Необходимо отметить ее и подписать.

1.2.   Примеры координатной плоскости.

1.2.1. Зарождение координат. Система координат в географии.

За 200 лет до нашей эры греческий ученый Гиппарх ввёл географические координаты. Он предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу. С помощью этих двух чисел можно точно определить положение острова, поселка или горы и нанести их на карту или глобус, Научившись определять в открытом мире широту и долготу местонахождения корабля, моряки получили возможность выбирать нужное им направление.

Восточную долготу и северную широту обозначают числами со знаком «плюс», а западную долготу и южную широту — со знаком «минус». Таким образом, пара чисел со знаками однозначно определяет точку на земном шаре.

Чтобы найти некоторый объект в городе, в большинстве случаев достаточно знать его адрес. Трудности возникают, если нужно объяснить, где находится, например, дачный участок, место в лесу. Универсальным средством указания местоположения служат географические координаты.

При попадании в аварийную ситуацию, человек первым делом должен уметь ориентироваться на местности. Иногда необходимо определить географические координаты своего местоположения, например, чтобы передать спасательной службе или для других целей.

 В современной навигации стандартно используется всемирная система координат WGS-84. В этой системе координат работают все GPS навигаторы и основные картографические проекты в Интернете. Общедоступная точность при работе с географическими координатами составляет 5 - 10 метров на местности.

1.2.2. Система координат в астрономии. Миф о созвездии Большой и Малой медведицах.

Чтобы сде­лать звездную карту, изображаю­щую созвездия на плоскости, надо знать координаты звезд. Коор­динаты звезд относительно гори­зонта, например высота, хотя и наглядны, но непригодны для со­ставления карт, так как всё вре­мя меняются. Надо использовать такую систему координат, которая вращалась бы вместе со звезд­ным небом. Она называется эква­ториальной системой.

Людям нужно было считать время, предсказывать сезонные явления (приливы, отливы, сезонные дожди, затопления), нужно было ориентироваться на местности во время путешествий. Прошли тысячи лет, наука шагнула далеко вперёд, а человек по-прежнему не может оторвать восхищённого взгляда от красоты ночного неба.

Созвездия – участки звёздного неба, характерные фигуры, образуемые яркими звёздами. Всё небо разделено на 88 созвездий, которые облегчают ориентирование среди звёзд. Большинство названий созвездий пришло из древности.

Самое известное созвездие – Большая Медведица. В Древнем Египте его называли “Гиппопотам”, а казахи называли “Конь на привязи”, хотя внешне созвездие не напоминает ни одного, ни другого животного.

У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой Медведиц. Всемогущий бог Зевс решил взять себе в жены прекрасную нимфу Каллисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Каллисто от преследований богини, Зевс обратил Каллисто в Большую медведицу, ее любимую собаку – в Малую Медведицу и взял их на небо. Перенесли  созвездия  Большой и Малой Медведиц  со  звездного  неба  на  координатную  плоскость.  Каждая из звёзд “ Ковша большой медведицы” имеет свое название.

1.2.3. Использование идеи прямоугольных координат в живописи.

Все мы очень индивидуальны. И по складу характера и по внешности. Но когда художник портретист начинает свою работу и делает первые наброски, то я думаю, что все начинается с каких-то общих закономерностей – с овала лица, места расположения глаз, носа, рта и т. д. Ведь это нас с вами всех объединяет. А уж потом какие-то своеобразные штрихи.

Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. В погребальной камере пирамиды отца Рамсеса на стене имеется сеть квадратиков.  С  их помощью перенесено изображение в увеличенном виде. Наружность каждой рыбы, каждой птицы передана с такой правдивостью, что современные зоологи без труда определяют их виды. Прямоугольной сеткой пользовались и художники Возрождения.

На одной из гравюр Дюрера изображён способ рисования с натуры через стекло с нанесённой на него квадратной сеткой. Этот процесс можно описать так: если встать перед окном и, не изменяя точки зрения, обвести на стекле всё, что видно за ним, то полученный рисунок и будет перспективным изображением пространства.

Тот же метод использовался и Леонардо да Винчи.

1.3.   Легенды об изобретении системы координат.

В 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь великого математика "декартовой".

После опубликования труда «Геометрия» система координат Рене Декарта завоевала признание в научных кругах. Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то, что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Прежде чем говорить о теории, приведу несколько наглядных примеров координатной плоскости. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты – одну координату буквенную, вторую – цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске. Вторым наиболее ярким примером может служить игра «Морской бой». Расставляя корабли, мы задаем точки на координатной плоскости.

Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта.

Легенда 1. Посещая парижские театры, Декарт не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Легенда 2. Однажды  Рене Декарт весь день пролежал  в кровати,  думая о чем-то,  а муха  жужжала  вокруг  и не давала  ему сосредоточиться. Он  стал  размышлять, как  бы  описать   положение мухи  в  любой момент времени математически, чтобы  иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И ... придумал,  декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества.

Марковцев Ю.

Однажды в незнакомый город

 Приехал молодой Декарт.

Его ужасно мучил голод.

 Стоял промозглый месяц март.

 Решил к прохожей обратиться

 Декарт, пытаясь, дрожь унять:

 Где тут гостиница, скажите?

 И дама стала объяснять:

 – Идите до молочной лавки,

 Потом до булочной, за ней

 Цыганка продает булавки

 И яд для крыс и для мышей,

 А дальше будут магазины,

 Найдете в них наверняка

Сыры, бисквиты, фрукты

 И разноцветные шелка…

 Все объяснения эти слушал

 Декарт, от холода дрожа.

 Ему хотелось очень кушать,

 Но звонкий голос продолжал:

 – За магазинами – аптека

 (аптекарь там – усатый швед),

 И церковь, где в начале века

 Венчался, кажется, мой дед…

 Когда на миг умолкла дама,

 Вдруг произнес ее слуга:

 – Идите три квартала прямо

 И два направо. Вход с угла.

Это - третья небылица о случае, который подсказал Декарту идею координат.

2.     Практическая часть.

2.1. Анкетирование.

Своё исследование я начал с анкетирования. В анкетирование приняло участие 40 человек из разных классов, им были предложены следующие вопросы:

1.        Какие задачи можно решить, используя координатную плоскость?

Ответы: 4 ч. – нахождение точек пересечения фигур, линий; 17ч. – поиск решений систем линейных уравнений; 15ч. – нахождение площади геометрических фигур.

2.        Какие задания вызвали больший интерес?

Ответы: построение фигур по координатам – 38 ч.

1.        Где мы в реальной жизни используем данные знания?

Ответы были разнообразные: при игре в шахматы, «Морской бой», на уроках географии, при выборе места отдыха, на парковке, в кино и театре, в вагонах, при подготовке к ОГЭ.

2.        Хотели бы вы поработать со сборником задач на координатной плоскости?

        Ответы: Да - 28 ч, нет – 3 ч, не уверенны – 9 ч.

   После проведенного опроса, я сделал вывод, что ребята знают о пользе полученных знаний о координатах и координатной плоскости на уроках, применяют в жизни. Так как многие из них хотели бы поработать со сборником задач на координатной плоскости,  я решил более подробно исследовать данный вопрос, подобрать ряд занимательных задач и ознакомить ребят с результатами.

2.2. Задачи на координатной плоскости.

2.2.1.   Фигуры на координатной плоскости.

Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Существует ряд задач, направленных на отработку навыков учащихся. 

1.                 Задачи, в которых точки требуется соединить последовательно с помощью отрезков. Возможно, предлагаемые рисунки помогут некоторым ребятам научиться рисовать. Контур рисунка максимально приближен к действительности.

2.                 Построение симметричных фигур. Карточка крепится скрепками к тетрадному листу так, чтобы совпали клетки карточки с клетками тетради (или перерисовывается), и строится симметричная картинка.

3.                 Решение уравнений и координатная плоскость. В каждой карточке содержится несколько уравнений и пара чисел, одно из которых – буква. Чтобы найти соответствующую координату, нужно решить уравнение, а только потом построить соответствующую точку. Последовательно решая ряд уравнений, выстраивая точки и соединяя их, получаем рисунок.

4.                 Задача «Шифровальщик». Определение координат отмеченных точек, шифровка слова с помощью координат, расшифровка предложения.

2.2.2. Прямые на координатной плоскости.

1. Построение графика линейной функции при любых значениях k и b.

2. Построение графиков системы линейных уравнений для нахождения её решения.

3. Определение возрастания или убывания функции.

4. Построение прямых, параллельных оси ординат или оси абсцисс.

2.2.3. Парабола на координатной плоскости.

1. Построение параболы при любых значениях а.

2. Задачи, на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

3. Построение графика функции на заданном промежутке.

4. Задачи, на нахождение точек пересечения параболы и прямой.

5. Для заданной функции найти область определения, точки разрыва.

6. Решение уравнений.

2.2.4. Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами.   

1. Задачи, на построение геометрических фигур, заданных неравенствами.

2. Пара вертикальных углов.

2.2.5. Площадь фигур на координатной плоскости.

1. Задачи, на нахождение площади треугольника с заданными координатами вершин.

2. Нахождение площади закрашенной фигуры на координатной плоскости.

3. Нахождение площади прямоугольника с заданными координатами вершин на координатной плоскости.

Задачи, подобранные мною, представлены в приложении 1, их решения в приложении 2.

Заключение

 Мною была изучена различного рода литература по теме «Координатная плоскость», проведено исследование, доказывающее необходимость в подборке серий задач на эту тему. Я проанализировал применение задач в жизни человека, обобщил собранную информацию для ознакомления с ней своих одноклассников.

Мои предположения были подтверждены, что координаты и координатная плоскость тесно связаны с нашей повседневной жизнью и необходимо использовать опыт наших предков.

Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости, выраженные с помощью уравнений и формул, строить красивые фигуры. Я планирую добавлять в список решённых задач  другие задания по мере    изучения  новых функций, а так же хочу рассмотреть построение зависимостей в различных предметных областях.

А закончить мне бы хотелось такими словами:

«Представь свою жизнь координатной плоскостью. Ось у — твое положение в обществе. Ось х — продвижение вперед, к цели, к твоей мечте. И как мы знаем, она бесконечна… Мы можем падать вниз, все дальше углубляясь в минус, можем оставаться на нуле и ничего не делать, абсолютно ничего. Можем подниматься вверх, можем падать,  можем идти вперед или возвращаться назад, а все из-за того, что вся наша жизнь это координатная плоскость и самое главное здесь, какая у тебя координата…»

Библиографический список

1.     Глейзер Г.И. История математики в школе: - М.: Просвещение, 1981. – 239 с,ил.

2.     Де­п­ман И.Я., Ви­лен­кин Н.Я. За стра­ни­ца­ми учеб­ни­ка ма­те­ма­ти­ки. – М.: Про­све­ще­ние, 1989.--287 с.

3.     Зигель Ф.Ю. Звёздная азбука: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1981. – 191 с., ил

4.     Матвиевская Г. П. Рене Декарт, 1596–1650. М.: Наука, 1976

5.     Математика – приложение к газете «Первое сентября», №7, №20, №17, 2003г., №11, 2000г

6.     Мордкович А. Г. Алгебра. 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник  для учащихся общеобразоват.  учреждений/. – М.: Мнемозина, 2013.-247с.:ил.

7.     Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990.-96 с.

8.     Рисуем по координатам//Математика. 2000. №46.47. с.12,22.

9.     http://ege-ok.ru/2012/01/30/koordinatyi-ploshhad-figuryi-zadanie-v3

10. http://studopedia.ru/12_135198_istoriya-vozniknoveniya-koordinat.html