Разработка урока алгебры в 10 классе

Урок по алгебре в 10 «Б» классе на заседании РМО

 

Учитель математики Москалева Г.В.

 

Слайд 1.

Тема урока:  Рациональные уравнения.

 

Цель урока:  Познакомить учащихся с историей развития рациональных

                        уравнений и обобщить основные методы их решения.

 

                                                  Три пути ведут к знанию:

                                                  Путь размышления – самый благородный,

                                                  Путь подражания – самый легкий

                                                  И путь опыта – это путь самый горький…

                                                                                        Конфуций

 

 

                                          

Если спросить у вас, ребята, чему вас учат на уроках алгебры, то в ответ наверняка мы услышим: «Решать уравнения». Несомненно, алгебра- раздел математики, основой которой является уравнения. Решение линейных и квадратных уравнений не вызывает особого труда у любого школьника. Решения уравнений высших степеней интересно тем, что существуют различные методы и способы их решения. Сегодня на уроке мы с вами совершим небольшой экскурс в историю, посмотрим, как зарождалось учение об уравнениях и какими методами они решались.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида    a₀xⁿ + a₁x^{n –1} + … + a_n = 0    – ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что  а₀ ¹ 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах.

       История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные  с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Итак, мы отправляемся в Древний Египет.

Слайд 2.                                                    

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. К ним относятся:

Слайд 3.

1. Папирус Ринда, который содержит 84 задачи.

2. Куаханские папирусы.

3. Берлинский папирус.

4. Московский папирус, который содержит 25 задач.

5. Математические надписи на стенах храма Гора в Эдфу.

В области уравнений египтяне владели следующим:

1. При помощи особого исчисления, называющегося Хау, египтяне умели разрешать задачи, выражающиеся на нашем теперешнем математическом языке уравнениями первой степени с одним неизвестным: ax + bx + cx + …d, где a, b, c, …, d представляют целые числа или же дроби, составленные из долей единицы. Вот пример такого уравнения:

Слайд 4а.

Иероглифическая запись уравнения

     или    X + 2/3 X – 1/3 X = 10

                               Решаем устно данное уравнение.

 

         2. При решении уравнений первой степени пользовались «способом ложного положения», или «фальшивым правилом».

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неиз­вестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизве­стное количество» единиц). Теперь читают немного ме­нее неточно: «ага».

bqt задача № 24 сборника Ахмеса:

Слайд 4б.

«Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».

Запись задачи нашими знаками:

Решаем устно данное уравнение.

 

        3. В Куаханских и Берлинском папирусе встречаются задачи на квадратные уравнения. Вот дна из этих задач:

Слайд 4в.

 « Отношение двух чисел 2 : 3/2. Сумма квадратрв этих чисел 400 Каковы эти числа?»

С современной точки зрения задача сводится к решению системы:

X : Y = 2 : 3/2

X² + Y² = 400

                              Как бы мы решали данную систему?

 

                                А теперь наш путь лежит в Вавилон.

Слайд 5.

       Вавилонскими памятниками математических знаний являются глиняные таблички, 150 из которых  содержат тексты математических задач.

Слайд 6а.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. Вавилоняне. Применяя совершенную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Слайд 6б.

x ² + x =,     x ² – x = 14  .

Решите данные уравнения.

Задачи формулировались словесно, например:

Слайд 6в.

 «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». На современном языке это уравнение: X² – X = 870.

                                        Решите это уравнение.

Правило решения этих уравнений, изложенное  в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако не известно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции.

Слайд 7.  

Древние греки были удивительно талантливым народом, у которого есть чему поучиться даже сейчас. В те времена Греция состояла из многих мелких государств. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площади, обсуждали его, спорили, а потом голосовали. Они были хорошими "спорщиками". По преданию, в то время сложилось утверждение: " В споре рождается истина!" Греки отличались трудолюбием и смелостью. Среди них были отличные строители, мореплаватели, купцы и художники. Они внесли большой вклад в развитие культуры и науки, особенно математики.  У них вся математика приобрела геометрическую форму. Так кто же они, знаменитые древнегреческие ученные?

Слайд 8а.

1. Пифагор Самосский – великий греческий ученный, человек – символ, философ и пророк. Он организовал школу, которую назвали пифагорейской.

      А теперь решим задачу о школе Пифагора:

Слайд 8б.

Задача о школе Пифагора

Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. "Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор, – половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины". Сколько учеников было у Пифагора?

½ X + 1/4X + 1/7 X + 3 = X

2.      Почти все математики древности занимались уравнениями. Много внимания им уделял, а главное, много нового внес в способы их решения древнегреческий ученый Диофант.

Слайд 9а.

О Диофанте известно очень мало. Есть основание полагать, что он жил около III в. н.э. Одна группа уравнений, так называемые неопределенные уравнения, до сих пор называются диофантовыми уравнениями. Именно для них он нашел способ решения.

Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача в стихах:

Слайд 9б.

Здесь погребен Диофант, в камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни,
В двенадцатой части прошла его юность.
Седьмую часть жизни прибавим – пред нами очаг Гименея,
Пять лет протекло и прислал Гименей ему сына
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты той тяжкой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

1/6 X + 1/12X + 1/7X + 5 + 1/2X + 4 = X

Слайд 10.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд за­дач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи со­ставления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому, найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.

Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадраты (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в такой ситуации должны быть положительными числами.

Алгебраические методы решения уравнений в Древней Греи не получили развития, хотя  греческий математик Герон

Слайд 11а.

 (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax² + bx = c умножением всех членов на а и

прибавлением к обеим половинам уравнения  ^:

^{Слайд 11б.}

 

Как мы видим, это формула для нахождения одного корня приведенного квадратного уравнения.

     Далее наш путь лежит в Индию.

Слайд 12.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттианам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax 2 + bx = c ,  a> 0.

(1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

Слайд 13а.

В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Слайд 13б.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стай?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 13 уравнение

Слайд 13в

² + 12 = x

Бхаскара пишет под видом

x² – 64x = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

x² – 64x + 32² = -768 + 1024,

(x -32) ² = 256,

x – 32 =16,

x₁ = 16, x₂ = 48.

 

В своем трактате «Венец системы» Бхаскара  дает решение уравнения четвертой степени

Слайд 13г.

X⁴ – 2X² – 400X = 9999.

Он решает его методом «Тараса Бульбы»:

X⁴ – 11X³ + 11X³ -121X² + 119X² – 1309X + 909X – 9999 = 0

(X – 11)(X³ + 11X² + 119X + 909) = 0

X = 11  или    X³ + 9X² + 2X² + 18X + 101X + 909 = 0

                        (X + 9)(X² + 2X + 101) = 0

                         X = -9   или   X² + 2X + 101 = 0

                                                 Нет корней 

     Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах,

Слайд 14.

куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности.

Узбекский ученый ал – Хорезми

Слайд 15а.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

Слайд 15б.

1) «Квадраты равны корням», т. е. ax² = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ax² = c.

3) «Корни равны числу», т. е. ax = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax² + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax² + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = ax².

Для решения этих уравнений он предлагает метод восполнения (ал – джебр) –перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть – и противопоставления (ал – мукабала) – приведение подобных членов.

          Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Вслед за ал – Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые.

 

Ал – Бируни (973 – 1048)

Слайд 16а.

 – геометрически построил решение уравнения

Слайд 16б.

                         X³ + 13 1/2X + 5 = 10X² 

 Омар Хайям (1040 – 1123)

Слайд 17а.

– в своем крупнейшем сочинении «Алгебра» подробно рассматривает решение линейных и квадратных уравнений, а также дает геометрическое построение корней кубического уравнения.

Слайд 17б.

 Все кубические уравнения разбивает на 25 классов и рассматривает каждый класс в отдельности, но дает только положительный корень.

Слайд 17в.

 Так Хайям прошел мимо открытия трех корней кубического уравнения, которые обнаружил лишь Дж. Кардано в середине XVI в.

 

Кубические уравнения.

 

Слайд 18а.

Формула Кардано для кубических уравнений.

Джероламо Кардано (родился 24 сентября 1501 года в  Павии, умер 21 сентября 1576 года в Риме) — итальянский математик, механик, астролог, философ и медик, побочный сын Фацио Кардано.

С юности Джероламо обуревала жажда славы. "Цель, к которой я стремился, - писал он на склоне лет в автобиографии, - заключалась  в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти..."

Учился в университетах Павии и Падуи. Занимался сначала исключительно медициной, а с 1534 был профессором математики в Милане и Болонье; однако для увеличения скромных доходов профессоров того времени продолжал заниматься врачеванием, a также составлял альманахи.

Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения вида x³ + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. Кардано также занимался механикой: изобретенные им карданный подвес и карданная передача до сих пор широко применяются в технике.

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75-летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545. Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535 г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значения, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были).

Формула Кардано - формула для отыскания корней кубического уравнения вида

Слайд 18б.

 x³ + px + q = 0. К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение ay³ + by² + cy + d = 0

при помощи следующей замены:

y = x 

p = +

q = −  +

Формула Кардано имеет следующий вид:

Слайд 18в.

Решим уравнение

Слайд 18г.

 9х³ – 13х – 6 = 0, используя формулу Кордано.

Решение высших степеней решаются в основном методом разложения на множители или заменой переменной. При решении методом разложения на множители часто используют теорему Безу.

Слайд 19а.

Этьен   Безу– французский математик, член Парижской Академии Наук

( с 1758 года ). Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года в Бас-Лож, близ Фонтенбло.

 С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

 Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре,  они  посвящены  созданию  теории  решения  алгебраических  уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения  неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал  теорему  (впервые  сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка  m  и  n   пересекаются не более чем в   mn   точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный «Курс математики», написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

 

Как же звучит эта теорема?

Слайд 19б.

Эта теорема имеет ряд свойств, которые нам также помогают при разложении на множители.

Слайд 19в.

Слайд 19г.

Слайд 19д.

И еще, если уравнение имеет рациональный корень, то как его найти?

Рассмотрим пример применения теоремы Безу в кубических уравнениях:

Слайд 19е.

1) x³ – 2x² – 9 = 0

Слайд 19ж.

 

2) 6х³  - х² – 20х + 12 = 0

 

3)  x³  – 2x² – 5x + 6 = 0

Уравнения четвертой степени.

Слайд 20а.

Метод решения уравнений четвертой степени человечество отыскало лишь в XVI веке. Давайте рассмотрим основные методы решения этих уравнений.

1. Биквадратное уравнение.

Слайд 20б.

х⁴ – 10х² + 9 = 0

2. Разложение на множители.

Слайд 20в.

х⁴ + 2х³ – х = 2

3. Симметрическое уравнение.

Слайд 20г.

х⁴ – 2х³ – х² – 2х + 1 = 0

4. Использование теоремы Безу и схемы Горнера.

Слайд 20д.

Горнер Вильямс Джордж (1786-22.9.1837)-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре. В 1819г. опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII в.). Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен х-а.

Схема Горнера- простой алгоритм для деления многочлена на бином вида x − c. Например, используется при нахождении корней многочленов.

 

х⁴ + 4x³  – 25x²  – 16x + 84=0      

Слайд 20е.

х⁴ + 4х³ - 2х² - 4х + 1 = 0

 

На этом наш урок окончен. Дома повторить способы решения дробно – рациональных уравнений и выполнить домашнюю самостоятельную работу.