Главная / Математика / Разработка по теме "Возможности пакета geometry системы Maple для решения геометрических задач на плоскости"

Разработка по теме "Возможности пакета geometry системы Maple для решения геометрических задач на плоскости"

Возможности пакета geometry системы Maple для решения геометрических задач на плоскости.


Задание 1. Определите окружность, проходящую через три заданные точки А(1,3); В(4,0); С(4,6), найдите координаты центра, радиус этой окружности, а также уравнение окружности, заданное в аналитическом виде. Получить детальное описание окружности, а также её графическое изображение.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName := n:

  • Задаем окружность, проходящую через три заданные точки с помощью команды: circle(c1,[point(A,1,3), point(B,4,0), point(C,4,6)],'centername'=O1):

  • Находим координаты центра этой окружности с помощью команды: center(c1), coordinates(center(c1));

  • Находим радиус окружности с помощью команды radius(c1);

  • Получаем уравнение окружности в аналитическом виде с помощью команды Equation(c1);

  • Получаем детальное описание окружности, используя команду detail(c1);

  • Получаем графическое изображение окружности с помощью команды draw(c1);



hello_html_m3984baff.png

Ответ: центр окружности имеет координаты (4,3); радиус окружности равен 3; уравнение в аналитическом виде:hello_html_25b6b8e.gif


Задание 2. В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение прямых hello_html_m5c64951a.gif и hello_html_ma1eae35.gif.

1. hello_html_m5c64951a.gif: 3х-у-2=0; hello_html_ma1eae35.gif: 6х-2у-2=0;

2. hello_html_m5c64951a.gif: 2х+3у+1=0; hello_html_ma1eae35.gif: х=1+3t, у=-2+2t.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем (определяем) прямые hello_html_m5c64951a.gifи hello_html_ma1eae35.gifс помощью команды line(l1,3*x-y-2=0,[x,y]): line(l2,6*x-2*y-2=0,[x,y]):

  • Проверяем условие параллельности для прямых hello_html_m5c64951a.gifи hello_html_ma1eae35.gifс помощью команды AreParallel(l1,l2); Если результат: true, то прямые параллельны, если false, то прямые не параллельны;

  • В случае, когда прямые не параллельны, проверяем условие перпендикулярности, используя команду ArePerpendicular(l1,l2); Если результат: true, то прямые перпендикулярны, если false, то прямые не перпендикулярны;


hello_html_m1febf9f5.png

Ответ: 1. прямые параллельны; 2. прямые пересекаются.


Задание 3. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х-у=0, 5х-у=0 и уравнение 3х-у=0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка с координатами (3,9).


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем прямые, задающие стороны треугольника с помощью команды line(a,2*x-y=0,[x,y]): line(b,5*x-y=0,[x,y]):

  • Определяем прямую, задающую медиану треугольника с помощью команды line(m,3*x-y=0,[x,y]):

  • Задаем точку Т(3,9) с помощью команды point(T,[3,9]):

  • Строим изображение определенных выше прямых и точки с помощью команды draw([T,a,b,m(color=blue)]);

  • По графику видно, что медиана опущена из точки пересечения заданных сторон треугольника (вершина А). Определим координаты вершин В(х1,у1), принадлежащей прямой а, и вершины С(х2,у2), принадлежащей прямой b. Точка Т(3,9) принадлежит прямой m (медиане), и точка Т принадлежит третьей стороне треугольника с, следовательно, Т – середина ВС.

  • С помощью команды solve({x1+x2=2*3,y1+y2=2*9,2*x1-y1=0,5*x2-y2=0},{x1,x2,y1,y2}); определяем х1, х2, у1, у2.

  • Задаем уравнение третьей стороны по двум точкам: line(l3,[point(B,4,8),point(C,2,10)]):

  • Получаем уравнение в аналитическом виде с помощью команды Equation(l3,[x,y]);


hello_html_m2ae965dd.png

Ответ: х+у-12=0.


Задание 4. Дана прямая x-2y+1=0, содержащая основание ВС треугольника АВС, и вершина А(3,-4), противолежащая этому основанию. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из А на сторону ВС.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем точку А(3,-4) и прямую, содержащую основание ВС треугольника АВС с помощью соответствующих команд point(A,3,-4): line(bc,x-2*y+1=0,[x,y]):

  • Вектор (1,-2) – нормальный вектор для (ВС), вектор (2,1) – направляющий для высоты (АН) и Аhello_html_m289d78ff.gif(АН): line(AH,2*(x-3)+(y+4)=0,[x,y]):

  • Находим уравнение в аналитическом виде АН: Equation(AH,[x,y]);

  • Находим координаты точки пересечения высоты с основанием (ВС), используя команду intersection(H,AH,bc): coordinates(H);

  • Затем расстояние от точки А до точки Н: distance(A,H);


hello_html_3cca7d10.png

Ответ: уравнение высоты 2х-2+у=0, длина высоты hello_html_m5661ead9.gif.

Задание 5. Дано уравнение стороны ромба hello_html_m5c64951a.gif: х+3у-8=0 и уравнение его диагонали hello_html_47fcdc1c.gif: 2х+у+4=0. Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка К(-9,-1) лежит на стороне, параллельной данной.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

  • Задаем уравнения стороны и диагонали ромба с помощью соответствующих команд: line(l1,x+3*y-8=0): line(d1,2*x+y+4=0):

  • Определяем точку К(-9,-1) командой point(K,-9,-1):

  • Пусть hello_html_ma1eae35.gif - сторона ромба, параллельная данной hello_html_m5c64951a.gif, тогда Кhello_html_m289d78ff.gifhello_html_ma1eae35.gif

  • Составляем уравнение прямой hello_html_ma1eae35.gif с помощью команды line(l2,(x+9)+3*(y+1)=0):

  • Находим вершину ромба А, как точку пересечения диагонали hello_html_47fcdc1c.gif и стороны hello_html_m5c64951a.gif. Для этого используем команду intersection(A,l1,d1):

  • Координаты точки А можно узнать и с помощью следующей команды: detail(A);

  • Находим вершину ромба С, как точку пересечения диагонали hello_html_47fcdc1c.gif и стороны hello_html_ma1eae35.gif с помощью команды intersection(C,l2,d1):

  • Находим точку пересечения диагоналей, как середину отрезка АС: midpoint(O,A,C):

  • detail(O);

  • так как вторая диагональ hello_html_361f639f.gif и hello_html_m42d38883.gif, то можно составить уравнение прямой hello_html_431c6427.gif с помощью команды line(d2,-1*(x+2)+2*(y+0)=0):

  • Находим вершину ромба, как точку пересечения диагонали hello_html_431c6427.gif и стороны hello_html_m5c64951a.gif, intersection(B,l1,d2):

  • получаем уравнение стороны hello_html_6d30771e.gif: line(l3,[B,C]):

  • Находим вершину ромба D, как точку пересечения диагонали hello_html_431c6427.gif и стороны hello_html_ma1eae35.gif: intersection(D,l2,d2):

  • Получаем уравнение стороны hello_html_m5c3cc73b.gif: line(l4,[D,A]): Equation(l4);

  • Получаем уравнения прямых hello_html_m514a86e6.gif и hello_html_m594b936f.gif в аналитическом виде: Equation(l3);

  • Equation(l2);


hello_html_m1eed2e48.png

Ответ: х+12+3у=0; -8+6х-2у=0; -32-6х+2у=0.


Задание 6. Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми hello_html_m5c64951a.gif: х+у-1=0, hello_html_ma1eae35.gif: х+2у-1=0, hello_html_m33d8f597.gif: 2х-5у+2=0.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем заданные прямые с помощью команд

  • line(l1,x-1+y=0,[x,y]):

  • line(l2,x-1+2*y=0,[x,y]):

  • line(l3,2*x-5*y+2=0,[x,y]):

  • Определяем угол между прямыми hello_html_m5c64951a.gif и hello_html_ma1eae35.gif командой FindAngle(l1,l2);

  • Определяем угол между прямыми hello_html_m33d8f597.gif и hello_html_m5c64951a.gif командой FindAngle(l3,l1);

  • Определяем угол между прямыми hello_html_m33d8f597.gif и hello_html_ma1eae35.gif командой FindAngle(l3,l2);


hello_html_6ad60935.png

Ответ: hello_html_7aa86c12.gif.


Задание 7. На прямой hello_html_m5c64951a.gif: 2х-3у+6=0 найти точки, находящиеся на расстоянии 2/5 от прямой hello_html_ma1eae35.gif: 3х-4у+11=0.


Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Искомая точка Р(х1,у1)hello_html_m289d78ff.gifhello_html_ma1eae35.gif. Определяем эту точку с помощью команды point(P,x1,y1):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

  • Задаем одну из прямых с помощью команды: line(l1,3*x-4*y+11=0):

  • Находим расстояние между этой прямой и точкой Р: d:=distance(P,l1);

  • Находим координаты точек на второй прямой, удовлетворяющих заданным условиям: solve({2*x1-3*y1+6=0,d=2/5},{x1,y1});


hello_html_1587e548.png

Ответ: hello_html_m62b5a86f.gifhello_html_m234dfd05.gif.


Задание 8. Пусть прямая задана уравнением x=2, и даны две окружности, также заданные соответствующими уравнениями: hello_html_2b2bb393.gif. Выяснить к какой окружности прямая линия является касательной.

Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Определяем оси координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:

  • Задаем окружности с1 и с2 с помощью команды: circle(c1,(x+1)^2 + (y-2)^2 =4), circle(c2,x^2 + y^2 =4):

  • Прямую задаем с помощью команды: line(l, x =2):

  • Проверяем является ли прямая касательной к окружности с2: AreTangent(l, c2);

  • Проверяем является ли прямая касательной к окружности с1: AreTangent(l, c1);



hello_html_524b410b.png

Ответ: hello_html_25991c61.gif


Задание 9. Пусть вершины треугольника заданны своими координатами А(7,7); В(11,2); С(7,2). Проверить, является ли треугольник равносторонним или прямоугольным. В случае если треугольник прямоугольный, найти его площадь.

Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем треугольник координатами его вершин с помощью команды: triangle(ABC, [point(A,7,7), point(B,11,2), point(C,7,2)]);

  • Проверяем условие, является ли треугольник равносторонним с помощью команды: IsEquilateral(ABC);

  • Проверяем условие, является ли треугольник прямоугольным с помощью команды: IsRightTriangle(ABC);

  • Находим площадь треугольника: area(ABC);


hello_html_39d50735.png

Ответ: треугольник прямоугольный, площадь треугольника равна 10.


Задание 10. Вычислить и изобразить графически вписанную и описанную окружности треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(5,1); С(3,6).

Последовательность выполнения задания:

  • Подключаем пакет geometry с помощью команды: with(geometry):

  • Задаем треугольник координатами своих вершин: triangle(T, [point(A,0,0), point(B,5,1), point(C,3,6)]):

  • Вычисляем описанную окружность и получаем ее детальное описание:

    • circumcircle(Elc, T, 'centername' = OO);

  • hello_html_7e74960b.png

    • detail(Elc);

  • Получаем графическое изображение окружности, описанной около треугольника: draw({Elc,T},printtext=true);


  • Вычисляем вписанную окружность и получаем ее детальное описание:

> incircle(inc,T,'centername'=o);

hello_html_74438917.png

> detail(inc);

Получаем графическое изображение окружности, вписанной в треугольник: draw({inc,T},printtext=true);





hello_html_m78cddee.png

hello_html_7f8197d8.png

10


Разработка по теме "Возможности пакета geometry системы Maple для решения геометрических задач на плоскости"
  • Математика
Описание:

Данная разработка включает в себя геометрические задачи на плоскости, подробный алгоритм их решения с использованием пакета geometry системы Maple. Данная разработка поможет преподавателям математики и информатики проводить интегрированные практические занятия, а учащимся показать как геометрические задачи, которые они считали сложными возможно решить с помощью компьютерных программ. Всего рассмотрено 10 заданий

Автор Туголукова Екатерина Александровна
Дата добавления 11.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 466
Номер материала MA-061193
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓