Главная / Математика / Различные способы решения квадратных уравнений

Различные способы решения квадратных уравнений

Документы в архиве:

695.5 КБ _Презентация.ppt
3.03 МБ Бобылькова.doc
21 КБ Решение квадратного уравнения.xls

Название документа _Презентация.ppt

Различные способы решения квадратных уравнений
Цель :найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений. Гипотез...
Разложение левой части уравнения на множители х2 + 10х - 24 = 0 х2 + 12х - 2х...
Метод выделения полного квадрата х2 + 6х - 7 = 0 х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 ...
Решение квадратных уравнений по формуле Умножим обе части уравнения ах2 + bх ...
Решение квадратных уравнений по формуле Причем, D>0 2 корня D=0 1 корень D< 0...
Решение уравнений с помощью теоремы Виета Как известно, приведенное квадратно...
Решение уравнений с помощью теоремы Виета а) Если свободный член q приведенно...
Решение уравнений с помощью теоремы Виета б) Если свободный член q приведенно...
Способ «Переброски» y2-11y +30=0, По теореме Виета: Решим уравнение: 2x2 -11x...
Свойства коэффициентов Решим уравнение: 2008x2-2009x+1=0, I. Если a+b+c=0, то...
Свойства коэффициентов III. Если , Решим уравнение: Здесь а=с=6 = 3·2, b=13 =...
Свойства коэффициентов IV Если а = - с = m·n, в = m2 – n2 , то корни имеют ра...
С помощью номограммы Номограмма для решения квадратного уравнения z2+pz+q=0 Н...
С помощью номограммы Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выход...
С помощью номограммы Для уравнения z2 + 5 z – 6 = 0 номограмма дает положител...
Решение квадратных уравнений с помощью Excel
1 из 18

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Различные способы решения квадратных уравнений
Описание слайда:

Различные способы решения квадратных уравнений

№ слайда 2 Цель :найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений. Гипотеза:
Описание слайда:

Цель :найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений. Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.

№ слайда 3 Разложение левой части уравнения на множители х2 + 10х - 24 = 0 х2 + 12х - 2х -
Описание слайда:

Разложение левой части уравнения на множители х2 + 10х - 24 = 0 х2 + 12х - 2х - 24 =0 х(х + 12) - 2(х + 12) =0 (х + 12)(х - 2) = 0 Х+12=0 или х-2=0 Ответ: -12; 2

№ слайда 4 Метод выделения полного квадрата х2 + 6х - 7 = 0 х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 =0
Описание слайда:

Метод выделения полного квадрата х2 + 6х - 7 = 0 х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 =0 (х + 3)2 - 9 - 7 =0 (х + 3)2 - 16 =0 (х + 3)2 = 16 х + 3 = 4 или х + 3 = -4 х1 = 1 х2 = -7 Ответ: -7; 2

№ слайда 5 Решение квадратных уравнений по формуле Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений по формуле Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

№ слайда 6 Решение квадратных уравнений по формуле Причем, D&gt;0 2 корня D=0 1 корень D&lt; 0 де
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений по формуле Причем, D>0 2 корня D=0 1 корень D< 0 действительных корней нет

№ слайда 7 Решение уравнений с помощью теоремы Виета Как известно, приведенное квадратное у
Описание слайда:

Решение уравнений с помощью теоремы Виета Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид x1+х2=-p x1x2=q Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

№ слайда 8 Решение уравнений с помощью теоремы Виета а) Если свободный член q приведенного
Описание слайда:

Решение уравнений с помощью теоремы Виета а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны. Например, х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;  х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

№ слайда 9 Решение уравнений с помощью теоремы Виета б) Если свободный член q приведенного
Описание слайда:

Решение уравнений с помощью теоремы Виета б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0. Например, х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0; х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

№ слайда 10 Способ «Переброски» y2-11y +30=0, По теореме Виета: Решим уравнение: 2x2 -11x +1
Описание слайда:

Способ «Переброски» y2-11y +30=0, По теореме Виета: Решим уравнение: 2x2 -11x +15=0, *

№ слайда 11 Свойства коэффициентов Решим уравнение: 2008x2-2009x+1=0, I. Если a+b+c=0, то x1
Описание слайда:

Свойства коэффициентов Решим уравнение: 2008x2-2009x+1=0, I. Если a+b+c=0, то x1=1, x2=с/а. 2008+(-2009)+1=0, следовательно, Решим уравнение: 132x2 + 247x+115=0, II. Если а-в+с=0 или b=a+c, то x1= -1, x2= -с/а. Т.к. 247=132+115, то x1= - 1, x2= - 115/132.

№ слайда 12 Свойства коэффициентов III. Если , Решим уравнение: Здесь а=с=6 = 3·2, b=13 = 32
Описание слайда:

Свойства коэффициентов III. Если , Решим уравнение: Здесь а=с=6 = 3·2, b=13 = 32 + 22 Корни этого уравнения: Ответ:

№ слайда 13 Свойства коэффициентов IV Если а = - с = m·n, в = m2 – n2 , то корни имеют разны
Описание слайда:

Свойства коэффициентов IV Если а = - с = m·n, в = m2 – n2 , то корни имеют разные знаки, а именно: Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента Решим уравнение: Здесь а= - с= 6 = 3·2, b= 5 = 32 - 22 Корни этого уравнения: Ответ:

№ слайда 14 С помощью номограммы Номограмма для решения квадратного уравнения z2+pz+q=0 Напр
Описание слайда:

С помощью номограммы Номограмма для решения квадратного уравнения z2+pz+q=0 Например: z2-9z+8=0 на шкале p находим отметку -9, на шкале q отметку 8. -9 8 Z1=1 Z2=8 проводим через эти метки прямую, которая пересекает криволинейную шкалу номограммы в отметках 1 и 8. следовательно, корни уравнения 1 и 8.

№ слайда 15 С помощью номограммы Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят
Описание слайда:

С помощью номограммы Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0 -5 2,64 Z1=0,6 Z2=4,4

№ слайда 16 С помощью номограммы Для уравнения z2 + 5 z – 6 = 0 номограмма дает положительны
Описание слайда:

С помощью номограммы Для уравнения z2 + 5 z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из – р, т.е. z2 = – р – 1 = – 5 – 1 = – 6(рис. 2.) Для уравнения z2 – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 4, отрицательный равен z2 = – р – z1 = 2 – 4 = – 2.

№ слайда 17 Решение квадратных уравнений с помощью Excel
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений с помощью Excel

№ слайда 18
Описание слайда:

Название документа Бобылькова.doc


I Ашинский районный конкурс реферативно-исследовательских работ

для учащихся 5-8 классов







РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

(Математика. Информатика.)






Автор: Бобылькова Ксения,

8А кл, МОУ СОШ№2, г. Сим

Научный руководитель:

Козлова Юлия Евгеньевна,

учитель математики

первой категории








Аша 2011

Содержание





Введение стр. 3

Различные способы решения квадратных уравнений:

1) Разложение левой части уравнения на множители стр. 4

2) Метод выделения полного квадрата стр. 4

3) Решение квадратных уравнений по формуле стр. 4

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета стр. 5

5) Решение уравнений способом переброски стр. 6 6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения стр. 7

7) Графическое решение квадратного уравнения стр. 8

8) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы стр. 10

Заключение стр. 11

Литература стр. 12















В этом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Сначала я узнала, что некоторые квадратные уравнения можно решить способом разложения левой части на множители, потом оказалось, что выделение полного квадрата двучлена тоже поможет решить квадратное уравнение. Затем я научилась решать любое квадратное уравнение с помощью специальных формул. И здесь я задумалась: наверняка, существуют еще и другие способы решения квадратных уравнений. И я поставила перед собой цель: повысить уровень знаний в области решения квадратных уравнений. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

  • найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений;

  • научиться выбирать рациональный способ;

  • научиться самостоятельно приобретать и применять знания, использовать различные источники информации и современные информационные технологии.

Актуальность этой темы для меня состоит в том, что квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии. Овладев многими способами решения квадратного уравнения, я научусь выбирать наиболее рациональный метод для каждого уравнения и не буду тратить лишнее время, например, на экзамене в 9 классе, на ЕГЭ, в различных других жизненных ситуациях.

Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.

В своей работе способы буду излагать в той последовательности, в которой я с ними знакомилась.





1. Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что числа 2 и - 12 являются корнями уравнения

х2 + 10х - 24 = 0.

2. Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 =, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

hello_html_c7718c4.png(1)

Если второй коэффициент в = 2k – четное число, то формулу корней можно записать

hello_html_68732b54.gif

4.Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

А. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5ef473e7.gif

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qhello_html_m53d4ecad.gifможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член qhello_html_m53d4ecad.gifприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.


Например,

х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;


х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.


б) Если свободный член qhello_html_m53d4ecad.gifприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;

х2 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

Б. Теорема Виета для квадратного уравнения ах2 +вх +с = 0

имеет вид

hello_html_m6b50cea.gif

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х1 и х2 таковы, что х12 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения

х2 +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Примеры

1. Решить уравнение

х2 – 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х12 = 9

х1х2 = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение

х2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х12 = - 3

х1х2 = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х1 = у1и х2 = у2.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

уhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_m3fb1bc2d.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_m3fb1bc2d.gif1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение hello_html_m56b90c7f.gifhello_html_m55948180.gifhello_html_m6d85d9ec.gif

1. Если а + в + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

hello_html_2ea15b9d.gif

Доказательство: Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение hello_html_6e2471f9.gif

Согласно теореме Виета hello_html_m3095f016.gif

По условию а + в + с = 0, откуда в = - а – с. Значит, hello_html_76f31f84.gif

Получаем hello_html_55e910ae.gif что и требовалось доказать.

2. Если а – в + с = 0, или в = а + с, то hello_html_7700c410.gif

Доказательство: По теореме Виета hello_html_m3095f016.gif

По условию а – в + с = 0, откуда в = а + с. Таким образом,

hello_html_m611376e6.gif

т.е. hello_html_1219c8d3.gif что и требовалось доказать.

3. Если в уравнении hello_html_m56b90c7f.gifhello_html_m52187524.gifhello_html_m1d9ba03b.gif

hello_html_562e14b9.gif

Доказательство: Действительно, приведем это уравнение к приведенному hello_html_32b3d9d5.gif

Запишем уравнение в виде hello_html_6019fb40.gif

Уравнение, записанное в таком виде, позволяет сразу получить корни

hello_html_562e14b9.gif

4. Если а = - с = m·n, в = m2n2 , то корни имеют разные знаки, а именно:

hello_html_4b6a77ba.gif

Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента.

Часто эти свойства используются, если коэффициентами являются большие числа.

Примеры:

1. 2008х2 - 2009х+1=0

Решение: т. к. а + в + с = 0 (2008 – 2009 +15 =0), то hello_html_m47e0436b.gif Ответ: 1; hello_html_m162c401e.gif.

2. hello_html_53ed534.gif

Решение: так как 7 – 5 – 2 = 0, то hello_html_141752f1.gif Ответ: hello_html_3ae5b8b2.gif

3. 132х2+247х+115=0

Решение: т. к. а – в + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то hello_html_m4a71d927.gif Ответ: hello_html_732a8090.gif

4. hello_html_m690d5609.gif

Решение: так как 5 – (-2) + 7 = 0, то hello_html_m3a189aff.gif Ответ: hello_html_8b6b5bb.gif

5. hello_html_7f400fb3.gif

Решение: здесь 6 = 3·2, 13 = 32 + 22. Корни этого уравнения hello_html_m714d26d1.gif

Ответ: -hello_html_6f27e7f.gif

6. hello_html_m797fb69f.gif

Решение: здесь 6 = 3·2, но 5 = 32 – 22 и hello_html_m33e0e134.gif Ответ: hello_html_m1f461f72.gif

7.Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении hello_html_m36416f44.gif перенести второй и третий члены в правую часть, то получим hello_html_471cf4e2.gif

Построим графики зависимостей hello_html_5b3ca6d4.gif и hello_html_7cbc7b55.gif

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая (рис.1).

Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка ), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

y=-рх-q

hello_html_ma2e5446.png

у=х2


Примеры:

1.Решить графически

уравнение hello_html_m60592602.gif

Решение: см. рис.2.

Запишем уравнение в виде hello_html_195964df.gif

Построим параболу hello_html_5b3ca6d4.gif и прямую hello_html_7d3de93f.gif Прямую hello_html_7d3de93f.gif можно построить по двум точкам М(0;4) и N(3;13). Прямая и парабола

пересекаются в двух точках А и В

с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.

Ответ: -1; 4.

hello_html_m2864486e.pnghello_html_2be969c9.gif

2. Решить графически уравнение hello_html_3ee4d213.gif

Решение: см. рис. 3. Запишем уравнение в виде hello_html_c22a652.gif

Построим параболу hello_html_5b3ca6d4.gif и прямую hello_html_3ba4b2c5.gif Прямую hello_html_3ba4b2c5.gifпостроим по двум точкам М(0;-1) и Nhello_html_1354c959.gif.

Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х =1. Ответ: 1.

3.Решить графически уравнение hello_html_m3fa1f088.gif Решение: см. рис. 4.

Запишем уравнение в виде hello_html_7a5d91c7.gif

Построим параболу hello_html_5b3ca6d4.gif и прямуюhello_html_m4aea6585.gif. Прямую hello_html_m4aea6585.gif построим по двум точкам М(0;-5)и N(2,5;0). Прямая и парабола не имеют общих точек пересечения,

т.е. данное уравнение не имеет корней Ответ: нет решений.








hello_html_31e18ede.gif






hello_html_m579f171d.gif








8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

hello_html_m596319b7.png

Рис.5

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.5):

hello_html_m24ea5147.png

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

hello_html_6f56ef27.png

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0

hello_html_m56c2f846.png

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда

z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0


Изучая дополнительную литературу, я узнала, что можно решить квадратное уравнение еще и с помощью циркуля и линейки, а также геометрическим способом. Но в своей работе я их не осветила, т. к. они не приводят к более рациональному решению. Я изучила десять способов решения квадратных уравнений: от всеми известного с помощью вычисления дискриминанта и корней по формулам до очень интересного с помощью номограммы. Я пришла к выводу, что приступая к решению любого квадратного уравнения, не следует спешить прибегать к традиционному способу решения. Используя теорему Виета и свойства коэффициентов, можно гораздо быстрее найти корни уравнения и не тратить лишнее время. Я очень рада, что их изучила и буду использовать. Гипотеза, поставленная в начале работы, подтвердилась.

В то время, когда я углублялась в эту тему, я провела исследование: узнала, сколько старшеклассников нашей школы используют те или иные способы решения квадратных уравнений (результаты см. в приложении 1).

Кроме того, меня посетила идея: воспользоваться электронной таблицей EXCEL. Я сумела привлечь информационные технологии для решения квадратных уравнений. Достаточно только ввести коэффициенты и программа выдает корни уравнения.

На этом моя работа не закончится, я продолжу искать другие способы решения квадратных уравнений. А далее меня ждут еще уравнения с модулем и уравнения с параметрами. Я думаю, погружаясь в различные способы решения этих уравнений, я найду для себя тоже много нового и познавательного. Но это уже темы других работ.

Литература:

1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990.

2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982.

4. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. «Просвещение» 1990 .

5. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/1996, 10/1997, 24/1997, 40/2000.

6. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

7. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

8. Энциклопедический словарь юного математика. - М., Педагогика, 1985.

















Приложение.

hello_html_m7f2feda7.png


Проанализировав исследования, я сделала вывод, что из 120 учащихся 9-11 классов 100% используют формулы для решения квадратных уравнений, от 38% до 73% учащихся используют другие способы, изучаемые в школьном курсе алгебры, а свойства коэффициентов и способ «переброски», которые могут ускорить решение уравнения используют всего 9% и 1% учащихся соответственно.




Различные способы решения квадратных уравнений
  • Математика
Описание:

Реферативно- исследовательская работа ученицы  8 класса представляет десять способов решения квадратных уравнений: от всеми известного с помощью вычисления дискриминанта и корней по формулам  до очень интересного с помощью номограммы.

В работе приведены данные исследования: сколько старшеклассников школы используют те или иные способы решения квадратных уравнений.

Также в работе демонстрируются возможности электронной таблицы EXCEL  при решении квадратных уравнений. Достаточно ввести коэффициенты и программа выдает корни уравнения.

Работа заняла первое место в районном конкурсе реферативно-исследовательских работ.

Автор Козлова Юлия Евгеньевна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1414
Номер материала 32953
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓