Главная / Математика / Производная функции. Экономический смысл производной. Применение производной в экономике

Производная функции. Экономический смысл производной. Применение производной в экономике


Міністерство освіти і науки України

Дзержинський гірничий технікум











МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА

відкритого практичного заняття

з дисципліни “Вища математика

для студентів спеціальності 5.03050901 “Бухгалтерський облік ”



















2009

Методична розробка відкритого практичного заняття з дисципліни “Вища математика” для студентів спеціальності 5.03050901 “Бухгалтерський облік ”


Підготувала: Козлова Галина Василівна – викладач Дзержинського гірничого технікуму – Дзержинськ, 2009







Методичну розробку створено на основі наказу № 161 „Про затвердження Положення про організацію навчального процесу у вищих навчальних закладах”







Для викладачів математики, студентів спеціальності“Бухгалтерський облік ”







Рецензенти:

_______________________ А.В.Арчаков Голова методичного об’єднання

викладачів математики,викладач вищої категорії

Єнакіївський металургійний технікум

_______________________ Н.М.Фірманюк, викладач вищої категорії

Дзержинського гірничого технікуму





Розглянуто та ухвалено на засіданні

циклової комісії природничо-математичних

дисциплін Дзержинського гірничого технікуму

Протокол № 2 від 17 вересня 2009 р.

Голова циклової комісії Г.В. Козлова





Зміст


Вступ

3


Зміст заняття

4


План заняття

7

1.

Організація заняття

7

2.

Ознайомлення студентів із темою та планом заняття

7

3.

Мотивація навчання

7

4.

Актуалізація опорних знань

7

4.1.

Узагальнення та систематизація знань та вмінь студентів

8

4.2.

Тестування

9

5.

Розв’язання задач прикладної направленості в групі

10

6.

Індивідуальна самостійна робота

13

7.

Висновки та підсумки заняття

14

8.

Домашнє завдання

14

Додаток А. Тести

15

Додаток В. Таблиця узагальнення і систематизації знань

19

Додаток С. Слайди творчої групи

20

Додаток D. Опорний конспект з теми

23




























ПЛАН ЗАНЯТТЯ


Дисципліна : “Вища математика ”


Дата : 30.10.09


Група : БО-08


Кількість студентів за списком: 25

Спеціальність: 5.0530103 “Бухгалтерський облік ”


Місце проведення: кабінет математики


Тема заняття : “ Похідна функції. Економічний зміст похідної. Застосування похідної в економіці ”


Мета заняття:

Методична удосконалення методики впровадження інтегральної технології у викладання математики;

Дидактичнасистематизація і узагальнення знань, вмінь студентів про похідну, її економічний зміст, формування умінь застосування похідної до розв’язання економічних задач; розвиток умінь застосування здобутих знань в нестандартних умовах;

Виховна – виховання потреби у студентів у фінансово-економічній обізнаності,

формування у студентів навичок виступу перед аудиторією, розвивати

волю (прагнення переборювати труднощі), память, вмінь працювати

в групі, почуття відповідальності за спільну справу


Вид заняття : практичне заняття (міні-тренінг)


Тип заняття : практичне заняття з виконанням індивідуальних, фронтальних

завдань, робота в групах з розв’язанням економічних задач,

диференційована самостійна робота



Методичне забезпечення:

  • Таблиці «Похідна», «Застосування похідної», «Економічний зміст похідної»;

  • Картки групової роботи, індивідуальної самостійної роботи, картки для самооцінки;

  • Опорний конспект с узагальненням теми;

  • Картки для тестової перевірки знань, ключ до їх перевірки;

  • МS Office PowerPoint, презентації в економіці


Технічні засоби навчання:

  • Персональний комп’ютер


Міжпредметні зв’язки:


Забезпечуючі: “Ділова українська мова”, “Математика”


Забезпечуємі: “Інформатика та комп’ютерна техніка”, “Бухгалтерський облік ”, “Економіка підприємства”, «Інформаційні системи»


Література

Основна:

1. Лейфура В.М. та ін. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ.навч.закладів І-ІІ рівнів акредитації/В.М.Лейфура, Г.Г. Голодницький, Й.І.Файст; За ред. В.М.Лейфури. - К.Техніка, 2003

2. Овчинников П.П. та інш. Вища математика: Підручник. Ч.1: Лінійна і вікторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення. - Техніка, 2003

3. Бугір М.К. Математика для економістів. - Навчальний посібник. Тернопіль: підручники і посібники, 1998

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. – М.: ИНФРА – М, 2000


Додаткова :

1. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К. Математика. Підручник. К., Вища школа, 2001.

2. Богомолов II.В. Практические занятия по математике. М,: Высш. шк., 1979, 1983, 1990.

3. Высшая математика для экономистов:/ Н.Ш.Кремер и др. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007

4. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. Учеб. пособие. – М.: Наука. Гл.ред.физ. - мат.лит., 1990



















Хід заняття


  1. Організаційний момент. 2 хв.

Привітання студентів. Бесіда з черговими щодо відсутніх студентів і готовності до заняття.


2. Ознайомлення студентів з темою та навчальними цілями заняття 2 хв.


    1. Тема: “ Похідна функції. Економічний зміст похідної. Застосування похідної в економіці

Мета: систематизація і узагальнення знань, вмінь студентів про похідну, її економічний зміст, формування умінь застосування похідної до розв’язання економічних задач


3. Мотивація навчання 6 хв.

Сучасне життя своєрідна економічна школа. Кожна людина повин­на вміти аналізувати життєві фінансові проблеми та ситуації, знаходити спосіб їх розв'язання. Ми часто чуємо про інвестиції, кредити, фонди. Для того щоб бути економічно грамотною людиною, необхідно бути обізна­ним у цих поняттях.

Їх опанування допоможе вам, шановні студенти, стати свідомим учасни­ком економічних відносин, діяти раціонально і мати з того максимальну вигоду. Розуміння змісту економічних явищ потрібне кожній людині не менше ніж знання з хімії чи фізики, географії чи біології. Людина живе у світі економічних явищ, вона купує і продає, отримує доходи і сплачує податки, керує і підпорядковується управлінським рішенням, споживає і заощаджує, наймається на роботу, а може, й розпочинає свою справу. Зрозуміло, що ліпше, коли людина чинить ці дії свідомо, раціонально ви­користовуючи власні сили та інші ресурси (землю, устаткування тощо), обирає із багатьох можливих рішень найдоцільніше.

Ці задачі можна вирішити за допомогою математики. І сьогодні ви застосуєте свої знання до розв’язку деяких економічних задач.


4. Актуалізація опорних знань 20 хв.


Здійснюється у два етапи. Студенти об’єднуються у групи.


І етап. Систематизація та узагальнення теоретичних знань студентів.

Фронтально. Студенти систематизують знання з теми «Похідна та її застосування» (Додаток В), які були отримані на першому курсі: теоретично – у вигляді повторення означень, правил, ознак застосування похідної, і практично – при розв’язанні вправ з теми:

  1. Знайти похідну функції: а) у = (7х3); б) hello_html_3b21ba4.gif; в) hello_html_6e49b790.gif; г) у = 3хtgx.

  2. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної к графіку функції у = сtgx в точці hello_html_1f24c626.gif.

  3. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 3хх2.

  4. Знайдіть точки екстремуму функції у = х2 – 2х3.

Розповідь:

Похідною функції hello_html_3202e639.gif у точці х називається границя відношення hello_html_cd8db85.gif приросту Dу функції у = f(x) до приросту hello_html_184bfd28.gif незалежної змінної х, коли приріст аргументу дорівнює нулю:

hello_html_m78f8e428.gif.


Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох: hello_html_m152907bf.gif


Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t:

hello_html_m6d64a38.gif.

Продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу:

hello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gif

hello_html_5667df57.pnghello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gif

Ознака сталості функції: якщо на деякому проміжку похідна тотожно дорівнює нулю, то функція стала на цьому проміжку.

Якщо в деякій точці проміжку похідна дорівнює нулю, або не існує, то ця точка називається критичною.

Необхідна ознака екстремуму: якщо точка х0точка екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю, або не існує.

Ознака монотонності функції: якщо на деякому проміжку похідна додатна, то функція на цьому проміжку зростає, а якщо похідна від’ємна, то функція на цьому проміжку спадає.

Достатні ознаки екстремуму:

Перша ознака: якщо точка х0 – критична точка і при переході через нею похідна міняє знак з плюса на мінус (з мінуса на плюс), то точку х0 називають точкою максимуму (мінімуму).

Друга ознака: якщо в деякій точці х0 перша похідна дорівнює нулю, а друга – більше від нуля, то точка х0 - точка максимуму, якщо в деякій точці х0 перша похідна дорівнює нулю, а друга – менше від нуля, то точка х0 - точка мінімуму функції.


ІІ етап. Виконання індивідуального тестового завдання у 4 варіантах на застосування таблиці похідних, правил диференціювання, ознак. ( Додаток А)


Кожен студент отримує лист с завданням і варіанти відповідей, які зашифровані словами, і розв’язує свій блок задач. Номер виконання вказує викладач. За розв’язками своїх завдань студент отримує у результаті вислів.



Бланк відповідей на тестові завдання.


Номер завдання

А

Б

В

Г

1

єдиний

недостатньо

математика

найважливіше

2

призначення

шлях,

мати

3

математики –

наука

що

добрий

4

велика,

розум,

веде

наводити

5

порядок

головне

чудовий

до

6

знання,

продукт

у хаосі

7

здібностей

правильно

який

8

його

людського

це

нас

9

оточує

застосовувати

розуму

діяльність


Бланк відповідей по варіантам:

І – червоний, ІІ – синій, ІІІ – зелений, IV – жовтий


Номер завдання

А

Б

В

Г

1

єдиний

недостатньо

математика

найважливіше

2

призначення

шлях,

мати

3

математики –

наука

що

добрий

4

велика,

розум,

веде

наводити

5

порядок

головне

чудовий

до

6

знання,

продукт

у хаосі,

7

здібностей

правильно

який

8

його

людського

це

нас

9

оточує

застосовувати

розуму

діяльність


Вислів І варіанту:

Недостатньо мати добрий розум, головне – правильно його застосовувати

Рене Декарт

Вислів ІІ варіанту:

Математика – наука велика, чудовий продукт здібностей людського розуму.

Д.Писарєв

Вислів ІІІ варіанту:

Єдиний шлях, що веде до знання, - це діяльність.

Бернард Шоу

Вислів ІV варіанту:

Найважливіше призначення математики – наводити порядок у хаосі, який нас оточує. Норберт Вінер





5. Розв’язання задач прикладної направленості 30 хв.


5.1. Виступ творчої групи з проектом «Математика в економіці»: (Додаток С)

Мета роботи:

  • з’ясувати застосування похідної в економіці.

  • Скласти алгоритм розв'язування задач за допомогою похідної.

  • Підібрати або скласти задачі з теми та запропонувати їх для розв'язування одногрупникам.

  • Побачити цінність похідної на практиці під час вирішення певних економічних задач.


5.2. Постановка задач групам:

Групи обирають консультанта, який очолює групу та несе відповідальність за прийняті рішення. Кожна група отримує задачі практичного напрямку, які необхідно розв’язати з використанням похідної, а потім одну з них захистити у дошки.


Робота в групах.

Картка групової роботи.

1. Залежність між витратами виробництва у та об'ємом продук­ції, що випускається х, виражається функцією у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції 10 од.

2. Обсяг продукції u, вироблений бригадою робітників, може бути описаний рівнянням hello_html_23b22696.gif(од.) , 1< t <8, де tробочий час у годинах. Обчислити продуктивність праці, швидкість її зміни через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.

3. Потреба ринку у продукції фірми залежить від ціни. Було визначено, що тижневий дохід R є функцією ціни р: R= f(p) = - 50 p2 + 500p. Визначити ціну, яку потрібно встановити, щоб максимізувати загальний дохід.

4. Розрахувати і проаналізувати еластичність функції, заданої формулою

у = 6х - 3.


5.3. Захист отриманих результатів: з кожної групи відповідає 1 студент. Конкуруюча група задає питання промовцю.

Розв’язання задач групової роботи

1. Залежність між витратами виробництва у та об'ємом продук­ції, що випускається х, виражається функцією у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції 10 од.

Розв'язання.

Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається співвідношенням

усер = hello_html_m632d2954.gif= 50 - 0,05х2;

при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють

усер(10) = 50 - 0,05 × 102 = 45 (грош. од.).

Функція граничних витрат виражається похідною у¢ (х) = 50 - 0,15х2;

при х = 10 граничні витрати складають у¢ (10) = 50 - 0,15 × 102 =35 (грош. од.).

Та­ким чином, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції за даного рівня виробництва (обсяг продукції, що випускається, 10 од.) складає 35 грош. од.

Відповідь:45 грош.од., 35 грош. од.


2. Обсяг продукції u, вироблений бригадою робітників, може бути описаний рівнянням hello_html_23b22696.gif(од.) , 1< t <8, де tробочий час у годинах. Обчислити продуктивність праці, швидкість її зміни через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.

Розв'язання. Продуктивність праці це похідна hello_html_633c5dc4.gif (од./год),

а швидкість зміни продуктивності відповідно задаються похідною z¢(t): z¢(t)=-5t+15 (од./год2).

У задані моменти часу t1 =1та t2 = 8 -1 = 7 відповідно маємо:

z(1) = 112,5 (од./год), z'(1) = 10 (од./год2) та z(7) = 82,5 (од./год), z'(7)=-20 (од./год2).

Тобто до кінця роботи продуктивність праці суттєво знижується; при цьому зміна знака z'(t) з плюса на мінус свідчить про те, що збільшення продуктивності праці в перші години робочого дня змінюється її знижен­ням в останні години.

Відповідь: Продуктивність праці була відповідно 112,5 од./год та 82,5 од./год; її швидкість 10 од/год2 та 20 од/год2.


3. Потреба ринку у продукції фірми залежить від ціни. Було визначено, що тижневий дохід R є функцією ціни р: R= f(p) = - 50 p2 + 500p. Визначити ціну, яку потрібно встановити, щоб максимізувати загальний дохід.

Розв'язання.

f(p) = - 50 p2 + 500p;

f ¢(p) = - 2 ∙ 50р + 500 ∙ 1= - 100 р + 500 = 0;

- 100 р = - 500 ;

р = 5.

hello_html_m2a4e0f06.giff ¢(p)

f(p)

f(5) = - 50 ∙ 52 + 500 ∙ 5 = - 1250 + 2500 = 1250

Відповідний максимум R = 1250 досягається функцією при ціні 5 грн.

Відповідь:1250 грн.


4. Розрахувати і проаналізувати еластичність функції, заданої формулою

у = 6х - 3.

Розв'язання. За визначенням еластичності маємо:

hello_html_5d54fbe2.gif

Якщо, наприклад, х = 2, то еластичність функції дорівнює hello_html_6cb59819.gif. Це означає: якщо х зростає на 1%, то у зростає на hello_html_6cb59819.gif%. Відповідь:на hello_html_6cb59819.gif%.

6. Індивідуальна самостійна робота 10 хв.

Кожен студент отримує варіант самостійної роботи, виконує її і перевіряє за запропонованим зразком


Варіант 1.

Залежність між витратами виробництва у та об'ємом продук­ції, що випускається х, виражається функцією у = 25х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції 10 од. Чи буде функція мати максимальне чи мінімальне значення?


Варіант 2.

Витрати виробництва К залежать від обсягу продукції х за формулою

К=100х - hello_html_m3469e855.gifх3.Визначити граничні витрати, якщо обсяг ви­робництва складає:

а) 5 од., б) 10 од. Чи буде функція мати максимальне чи мінімальне значення?


Варіант 3.

Обсяг продукції u (у.о.) цеху протягом робочого дня являє собою функцію u = - t 3 – 5t2 + 75t + 425, де t час роботи (год). Знайти продуктивність праці через 2 годин після початку роботи. Чи буде функція мати максимальне чи мінімальне значення?


Варіант 4.

Залежність між витратами виробництва у(грош. од.) та обсягом продук­ції х(од.), що випускається, виражена функцією у = 10х - 0,04х3 . Визначити середні та граничні витрати за обсягу продукції, що дорівнює 5 од. Чи буде функція мати максимальне чи мінімальне значення?


Розв’язання задач варіантів

1 варіант.

Залежність між витратами виробництва у та об'ємом продук­ції, що випускається х, виражається функцією у = 25х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції 10 од.

Розв'язання.

Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається співвідношенням

усер = hello_html_m632d2954.gif= 25 - 0,05х2;

при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють

усер(10) = 25 - 0,05 102 = 25 – 5 = 20 (грош. од.).

Функція граничних витрат виражається похідною у (х) = 25 - 0,15х2;

при х = 10 граничні витрати складають у (10) = 25 - 0,15 102 =10 (грош. од.).

Та­ким чином, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 20 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції за даного рівня виробництва (обсяг продукції, що випускається, 10 од.) складає 10 грош. од.


2 варіант.

Розв'язання.

Оскільки К' =100 - 0,1х2, то К ' (5) = 100 – 0,1 × 25 = 97,5; а К ' (10) = 100 - 0,1× 100 = 90.

Це означає, що за обсягу продукції 5 умовних одиниць витрати на ви­готовлення наступної (шостої) одиниці продукції складають 97,5; за обся­гу виробництва 10 умовних одиниць вони складають 90.

Відповідь. 97,5; 90.


3 варіант.

Розв'язання.

Продуктивність праці це похідна hello_html_402fa2df.gif (од./год),

У задані моменти часу t =2:

z(2) = -3×4 - 10×2 + 75= 43 (од./год),

Відповідь. Продуктивність праці була 43 од./год.


4 варіант.

Розв'язання.

Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається співвідношенням

усер = hello_html_m5ead82a5.gif= 10 - 0,04х2;

при х = 5 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють

усер(5) = 10 - 0,04 × 52 = 9 (грош. од.).

Функція граничних витрат виражається похідною у¢ (х) = 10 - 0,12х2;

при х = 5 граничні витрати складають у¢ (5) = 10 - 0,12 × 52 =7 (грош. од.).

Та­ким чином, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 9 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції за даного рівня виробництва (обсяг продукції, що випускається, 5 од.) складає 7 грош. од.


7. Узагальнення та систематизація знань 5 хв.

Здійснюється за допомогою опорного конспекту (Додаток С)










8. Аналіз роботи студентів та підведення підсумків заняття 3 хв.

Бланк аналізу роботи кожного студента в групі





п/п




Прізвище


Актуалізація знань.

Тестування

Практична задача Розв’язок задачі за допомогою похідної

Індивідуальна самостійна робота.

Самооцінка

Всього

Оцінка

1 задача

2 задача

1








2








3








4









  1. Актуалізація знань. Тестування. За кожне завдання – 1 бал. Всього 9 б.

  2. Робота в групі. Виконання економічних задач. Розв’язок задачі за допомогою похідної – 5 балів за кожну задачу.

  3. Індивідуальна самостійна робота. Самооцінка – 5 балів

Всього: 24 б.

Таблиця перекладу балів в оцінку:

Менше 11 балів – «2»

12 – 17 балів – «3»

18 – 22 бали – «4»

23-24 бали – «5»


8. Домашнє завдання 2 хв.

Бугір М.К., Розділ 6, § 6.9, с. 87, впр. № 1 (1-8), № 5 (ІІ) с. 92



























Дhello_html_m2655df79.gifодаток А

Робота в групі. Кожен студент виконує індивідуальні вправи

Прізвище _________________

І варіант.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x)= 2sinx при заданому значенні аргументу х0 = 2p.

А) 0; Б) 2; В) -2; Г) -1.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) = хsinx при заданому значенні аргументу х0 =hello_html_m7a909234.gif. А) 1 +hello_html_m7a909234.gif; Б) -1; В) 1; Г) hello_html_m7a909234.gif.

3. Знайдіть похідну функції у = hello_html_m7542c723.gif.

А) hello_html_m6718bf7b.gif; Б) hello_html_49fe1c9d.gif; В) hello_html_m7cfb8985.gif; Г) hello_html_m426b38f6.gif.

4. Відомо, що похідна функції у = f(x) на проміжку [0; 4] дорівнює 2х + 1. Тоді функція f(x) на цьому проміжку:

А) спадає; Б) зростає; В) не спадає; Г) не зростає.

5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = sinx + соsx в точці х0 =hello_html_m7a909234.gif.

А) 1; Б) -1; В) 0; Г) інша відповідь.

6. Знайдіть похідну функції hello_html_457ab146.gif

А) hello_html_mcebb4e3.gif; Б) hello_html_m20f32bae.gif;

В) hello_html_m6710868a.gif; Г) hello_html_17d86668.gif.


7hello_html_m217c098f.gif. hello_html_m7d78e68.gif визначена на проміжку hello_html_7862f8b4.gif. На рисунку зображено графік її похідної. Знайдіть кількість дотичних к графіку функції hello_html_m7d78e68.gif, які нахилені під кутом hello_html_5c2456b8.gif к додатному напрямку вісі абсцис.

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.





8hello_html_m2fc1794e.gif. Функція hello_html_m7d78e68.gif визначена на проміжку

(– 3;  7). На рисунку зображено графік її похідної. Знайдіть точку hello_html_345f9bc1.gif, в якій функція hello_html_m7d78e68.gif приймає найбільше значення.

А) 1; Б) 2; В) -3; Г) 7.

9. Знайдіть точки екстремуму функції у = х3 – 6х2.


А) xmax = 4, xmin = 0; Б) xmax = 0, xmin = 4; В) xmax = - 4, xmin = 0; Г) xmax = 1, xmin = 6.

Відповідь:

Буква










Слово










Прізвище _________________

ІІ варіант.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) =hello_html_6bbdfac4.gif при заданому значенні аргументу х0 = 9.

А) 9; Б) 2; В) hello_html_m4bf21f14.gif; Г) 1.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) = xcosx при заданому значенні аргументу х0 = 2.

А) 1 + 2; Б) -1 - 2; В) - 1; Г) 1.

3. Знайдіть похідну функції у = hello_html_67b8c333.gif.

А) hello_html_m3e57a668.gif; Б) hello_html_m767baa28.gif; В)hello_html_1cf0d9a3.gif; Г) hello_html_4cd78bd9.gif.

4. Відомо, що похідна функції у = f(x) на проміжку [2; 5] дорівнює -2х. Тоді функція f(x) на цьому проміжку:

А) спадає; Б) зростає; В) не спадає; Г) не зростає.

5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = соsx -2sinx в точці х0 =p.

Аhello_html_73fef96d.png) -2; Б) 0; В) 2; Г) -1.








6. На рисунку зображено графік функції у = f(x) і дотична до нього в точці з абсцисою х0. Знайдіть значення похідної функції в точці х0.

А) 1; Б) -1; В) -5; Г) 5.

7hello_html_m217c098f.gif. hello_html_m7d78e68.gif визначена на проміжку hello_html_7862f8b4.gif. На рисунку зображено графік її похідної. Знайдіть кількість дотичних к графіку функції hello_html_m7d78e68.gif, які нахилені під кутом 135 к додатному напрямку вісі абсцис.

А) 4; Б) 2; В) 3; Г) 1.






8. Знайдіть проміжки спадання функції у = - х2 + 6х

А) (-; 3]; Б) [3; + ); В) [-3; + ); Г) [-6; + ¥);

9. Знайдіть точки екстремуму функції у =2 х3 – 3х2.

А) xmax = 0, xmin = 1; Б) xmax = -1, xmin = 0; В) xmax = 0, xmin = 1; Г) xmax = 6, xmin = 1.



Відповідь:


Буква










Слово
















Прізвище _________________


ІІІ варіант.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x)= 3cosx при заданому значенні аргументу х0 = p.

А) 0; Б) 2; В) -2; Г) -1.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) = 2х2sinx при заданому значенні аргументу х0 =hello_html_m7a909234.gif.

А) 1 +hello_html_m7a909234.gif; Б) hello_html_m7a909234.gif; В) 1; Г) -1.

3. Знайдіть похідну функції у = hello_html_575b0dca.gif.

А) hello_html_m23eac2.gif; Б) hello_html_1f02285c.gif; В) hello_html_3d8f4cc4.gif; Г) hello_html_72a3d288.gif.

4. Відомо, що похідна функції у = f(x) на проміжку [2; 5] дорівнює х - 1. Тоді функція f(x) на цьому проміжку:

А) спадає; Б) не спадає; В) зростає; Г) не зростає.

5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = ctgx в точці х0 =hello_html_m7a909234.gif.

А) 1; Б) визначити не можливо; В) 0; Г) -1.

6. Знайдіть похідну функції hello_html_3378db8a.gif

А)hello_html_m4ecd516d.gif; Б) hello_html_3be9140d.gif;

В) hello_html_6e3ab643.gif; Г) hello_html_m2c4cc100.gif.


7hello_html_m217c098f.gif. hello_html_m7d78e68.gif визначена на проміжку hello_html_7862f8b4.gif. На рисунку зображено графік її похідної. Знайдіть кількість проміжків зростання функції hello_html_m7d78e68.gif.

А) 1; Б) 3; В) 2; Г) 4.

hello_html_76c8c959.png





8. Функція hello_html_m7d78e68.gif визначена на проміжку

(– 3;  7). На рисунку зображено графік її похідної. Знайдіть точку hello_html_345f9bc1.gif, в якій функція hello_html_m7d78e68.gif приймає найменше значення.

А) -1; Б) 1; В) 6,5; Г) 7,5.

9. Знайдіть точки екстремуму функції у = 2х33х2.


А) xmax = 6, xmin = 0; Б) xmax = 2/3, xmin = 3; В) xmax = - 2, xmin = 3; Г) xmax = 0, xmin = 1.


Відповідь:

Буква










Слово











Прізвище _________________


ІV варіант.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) =hello_html_m46094439.gif при заданому значенні аргументу х0 = -1.

А) 1; Б) 2; В) hello_html_m4bf21f14.gif; Г) -2.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) = x2cosx при заданому значенні аргументу х0 = 2.

А) 4; Б) -1 - 2; В) 1 - 2; Г) - 4.

3. Знайдіть похідну функції у = hello_html_m612fe87a.gif.

А)hello_html_10198ddd.gif; Б) hello_html_m7e1f924f.gif; В)hello_html_3b0d44b3.gif; Г) hello_html_m396c0bff.gif.

4. Відомо, що похідна функції у = f(x) на проміжку [3; 8] дорівнює 1 - х. Тоді функція f(x) на цьому проміжку:

А) не зростає; Б) зростає; В) не спадає; Г) спадає.

5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = 2соsx + sinx в точці х0 =0.

А) 1; Б) 0; В) 2; Г) -1.

6. Знайдіть похідну функції hello_html_ma437a27.gif

А) hello_html_627fc817.gif; Б) hello_html_754a4a14.gif;

В) hello_html_4506213b.gif; Г) hello_html_m3a4e085d.gif.

7hello_html_m217c098f.gif. hello_html_m7d78e68.gif визначена на проміжку hello_html_7862f8b4.gif. На рисунку зображено графік її похідної. Знайдіть кількість проміжків спадання функції hello_html_m7d78e68.gif.

А) 4; Б) 1; В) 3; Г) 2.



8. Знайдіть проміжки зростання функції у = - х2 + 2х

А) (-; -2]; Б) [1; + ); В) [-2; + ); Г) ( - ¥; 1];

9. Знайдіть точки екстремуму функції у =х3 – 3х2.

А) xmax = 0, xmin = 2; Б) xmax = -1, xmin = 3; В) xmax = 2, xmin = 0; Г) xmax = 3, xmin = 1.


Відповідь:


Буква










Слово



















Дhello_html_506bbe53.gifодаток В

















































ДодатокC

Презентація творчої групи.

hello_html_m7db9d8f5.png


hello_html_5ae355e1.png




hello_html_53b4a6ec.png





hello_html_m69a2c665.png


hello_html_c327c8b.gif

Додаток D

Оhello_html_m389b1ce4.gifпорний конспект з теми «Похідна»








Значення границі при цьому називається похідною функції у = f(x) у точці х0 і позначається

hello_html_73a349fd.gifhello_html_239d70cb.gifhello_html_m3b6ecc17.gif= hello_html_m78862485.gif




Означення. Функція називається диференційованою на інтервалі І, якщо вона диференційована в кожній точці х цього інтервалу.

hello_html_m3e6f158b.gifhello_html_m180aa576.gifhello_html_2f861d9d.png

hello_html_m7476bb5b.gif

hello_html_m58e672d0.gifhello_html_m495494df.gif

hello_html_mc631fe9.gif



hello_html_4c2bc0b1.gif

hello_html_m38a40e6f.gif
hello_html_36be01ef.gif



hello_html_24a5fafe.pnghello_html_m154a32b2.gif











hello_html_m6853be00.gifhello_html_603cfdc9.gif





Тhello_html_m2655df79.gifhello_html_m7a817600.gifаблиця похідних функцій

1. hello_html_73698287.gif 11. hello_html_34967de7.gif

2. hello_html_415b40b2.gif 12. hello_html_50e24827.gif

3. hello_html_m5ac2d0d5.gif 13. hello_html_6514cbd6.gif

4. hello_html_151c96c1.gif 14. hello_html_5ac757f1.gif

5. hello_html_2cd722e1.gif 15. hello_html_m476109b6.gif

6. hello_html_113f0e1c.gif 16. hello_html_m72588136.gif

7. hello_html_m2d31be31.gif 17. hello_html_m41979cc8.gif

8. hello_html_7efde551.gif 18. hello_html_74ceabe2.gif

9. hello_html_e024859.gif

10. hello_html_79e120e8.gif

hello_html_m2655df79.gifhello_html_m2655df79.gifhello_html_5963a349.gif

















hello_html_m2655df79.gif


Производная функции. Экономический смысл производной. Применение производной в экономике
  • Математика
Описание:

Превращение науки в непосредственную производительную силу ведет к тому, что знания по предметам естественно-математического цикла становятся не только базой для овладения специальными знаниями: они выступают как квалифицированная требование к рабочим многих современных профессий. Вот почему профессиональная направленность становится необходимым условием преподавания высшей математики в учебных заведениях І-ІІ уровня аккредитации.

Данная методическая разработка дает возможность показать, как математика находит применение в практику: использование производной применяются изображение экономических закономерностей, моделирование процессов, которые изучаются специальными предметами. 

Система разноуровневых заданий: тестовых заданий, практических задач, проектов, - дает возможность распределить студентов на группы и организовать работу по расширению объема знаний и умений учащихся, которые работают преимущественно в самостоятельном режиме. Группы, что выполнили свою задачу, представляют результаты работы всему коллективу, обмениваются информацией с другими группами, выбирают другие задачи. 

Следовательно, применение интегральной технологии способствует успешному использованию возможностей дифференцированного подхода для повышения качества математической подготовки студентов, создает условия для становления личности студента, помогает выбора собственного пути развития на основе его индивидуальных особенностей.

Автор Козлова Галина Васильевна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 845
Номер материала 28996
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓