Решение задач по геометрии
Пояснительная записка
Курс «Решение задач по геометрии»
разработан врамках Концепции профильного обучения на старшей ступени
общегообразования и соответствует федеральному компоненту государственногостандарта
среднего (полного) общего образования по математике. При разработке данного курса
учитывалось, что курс должен быть направлен на удовлетворение интересов и
потребностей обучающихся, наформирование у них новых видов познавательной и
практической деятельности. Математические знания, представления о роли
математики всовременном мире стали необходимыми компонентами общей культуры.
Также математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменахв
ВУЗы по широкому спектру специальностей.
Научиться решать задачи по
геометрии значительносложнее, чем по алгебре. Это связано с тем, что для
успешного решенияпространственных задач требуется не только знание основных
определений итеорем, но и развитое пространственное воображение, умения
выполнять
необходимые
построения, эффективно использовать алгебру и тригонометрию. Практика
проведения ЕГЭ показывает, что многие учащиеся вообще неприступают к выполнению
заданий по геометрии, входящих вэкзаменационную работу, а наибольшие затруднения
вызывают задачи постереометрии (С2) и планиметрии (С4).
Умение
решать задачи – один из основных показателей математическогоразвития учащихся,
глубины усвоения ими учебного материала, четкости врассуждениях, понимании
логических аспектов различных вопросов. Приизучении стереометрии в старших
классах необходимы систематизациязнаний, полученных учащимися в основной школе,
выделение общих методов иприемов решения, демонстрация техники решения и
закрепление навыковрешения геометрических задач.Дополнительные занятия
углубляют знания учащихся по основному курсу,предоставляют возможность
интересующимся учащимся удовлетворить своипознавательные потребности и получить
дополнительную подготовку,приобрести умения решать более трудные и
разнообразные задачи. В старшихклассах углубление основного курса выполняет
функции подготовки кпродолжению образования и к сдаче экзамена по математике в
форме ЕГЭ.Поэтому был разработан данный курс, который является пополнением
иуглублением базового курса геометрии.
Данный курс
предназначен для обучающихся 10-11 классов и рассчитан помочь имразвить
систему ранее приобретённых знаний, набраться достаточного опытадля решения
стереометрическихзадач на нахождение расстояний и углов и планиметрических,лучше
ориентироваться в них, подготовиться к сдаче ЕГЭ.Данный курс построен таким
образом, что изучение нового опирается наматериал, пройденный на уроках,
первостепенная роль отводится рисунку,помогающему «развернуть задачу», сделать
её зримой и доступной.Пространственные представления обучающихся развиваются в
процессерешения большого числа задач группы С из вариантов ЕГЭ. Впрограмму
курса входят некоторые теоремы, не входящие в программушкольного
общеобразовательного курса, но, главное, приводятсяразнообразные методы решения
нестандартных задач стереометрии, какправило, не рассматриваемые на
традиционных уроках.
Цель курса - эффективная
подготовка выпускников к сдачеЕГЭ по математике и повышение уровня
ихматематической культуры.
Задачи
курса:
·
развить
пространственное воображения, математические и интеллектуальные способности,
творческую активность обучающихся;
·
обобщить,
углубить и расширить знанияобучающихся;
·
познакомить
с разнообразными методами и приёмами решения задач;
·
развить
умение правильного построения чертежа и использования его для решения задачи;
·
формировать
навыков исследовательской деятельности;
·
приобщитьобучающихся
к работе с различными источниками информации, развить умения обрабатывать и
обобщать полученнуюинформацию.
Данный курс рассчитан на 68 часов (34 часа в 10 классе
и 34 часа – в 11 классе), предполагает компактное и чёткое изложение теории
вопроса, решение задач, самостоятельную работу.
Основные
методы обучения:
·
объяснительно-иллюстрированное;
·
постановка проблемных вопросов;
·
решение задач;
·
организация
математического исследования учащимися;
·
эвристические
методы.
Формы
обучения: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Формы
организации учебных занятий: лекция, практикум.
Формы
контроля: самостоятельная работа, проект.
Предполагаемыми
результатами освоения обучающимися данного курса, могут стать:
·
овладение
обучающимися математическими знаниями и умениями,необходимыми для успешного
освоения программы по геометрии;
·
развитие
логического мышления, пространственного воображения,интуиции, творческой
активности;
·
умение
выполнять правильное построение чертежа, развитие«геометрического видения»;
·
сформированные
навыки исследовательской деятельности;
·
умение
находить информацию в разнообразных источниках, обобщатьи систематизировать её;
·
умение
работать в группе.
Освоение учащимися программы курса проверяется в ходе
выполненияими самостоятельных работ по каждой теме, также в ходе изучения
курсаобучающимся предлагается подготовить групповой проект по данной теме
изащитить его. Это и будет итоговой качественной оценкой
самостоятельнопроделанной работы.
Учебно-тематический план
|
№
п/п
|
Наименование тем курса
|
Всего
часов
|
лекция
|
практика
|
Форма
Контроля
|
|
1
|
Треугольники
|
12
|
|
|
|
|
1.1
|
Решение
задач на свойства биссектрисы треугольника
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
1.2
|
Решение
задач на свойства медианы треугольника
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
1.3
|
Решение
задач на свойства высот треугольника
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
1.4
|
Решение
задач на свойства описанной около треугольника окружности
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
1.5
|
Решение
задач на свойства вписанной в треугольник окружности
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
1.6
|
Решение
задач на площадь треугольника
|
2
|
0,5
|
1,5
|
Самостоятельная работа
|
|
2
|
Четырёхугольники
|
10
|
|
|
|
|
2.1
|
Решение
задач на свойства параллелограмма
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
2.2
|
Решение
задач на площадь параллелограмма
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
2.3
|
Решение
задач на свойства ромба
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
2.4
|
Решение
задач на свойства трапеции
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
2.5
|
Решение
задач на площади ромба и трапеции
|
2
|
0,5
|
1,5
|
Самостоятельная работа
|
|
3
|
Окружности
|
5
|
|
|
|
|
3.1
|
Окружности
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
3.2
|
Окружности
и четырёхугольники
|
3
|
1
|
2
|
Самостоятельная работа
|
|
4
|
Расстояния в пространстве
|
11
|
|
|
|
|
4.1
|
Расстояние
между двумяточками.
Расстояние
от точки допрямой.
|
3
|
0,5
|
2,5
|
|
|
4.2
|
Расстояние
между прямыми.
Общий
перпендикуляр.
Расстояние
междупараллельными плоскостямискрещивающихся прямых.
|
4
|
0,5
|
3,5
|
|
|
4.3
|
Расстояние
от точки доплоскости.
Длина
перпендикуляра.
Длина
высоты пирамиды.
|
4
|
0,5
|
3,5
|
Самостоятельная работа
|
|
5
|
Углы в пространстве
|
12
|
|
|
|
|
5.1
|
Угол
между прямыми.
|
4
|
0,5
|
3,5
|
|
|
5.2
|
Угол
между прямой иплоскостью.
|
4
|
0,5
|
3,5
|
|
|
5.3
|
Угол
между плоскостями.
|
4
|
0,5
|
3,5
|
Самостоятельная работа
|
|
6
|
Координатный метод
|
16
|
|
|
|
|
6.1
|
Прямоугольная система координат в пространстве
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
6.2
|
Расстояние
между двумяточками.
Расстояние
от точки допрямой.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
6.3
|
Расстояние
между прямыми.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
6.4
|
Расстояние
от точки доплоскости.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
Самостоятельная работа
|
|
6.5
|
Угол
между прямыми.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
6.6
|
Угол
между прямой иплоскостью.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
6.7
|
Угол
между плоскостями.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
Самостоятельная работа
|
|
6.8
|
Периметр
и площадь сечения. Объём пирамиды.
|
2
|
0,5
|
1,5
|
|
|
7
|
Защита
проектов.
Подведение итогов
|
2
|
|
|
|
|
|
итого
|
68
|
|
|
|
Содержание курса
1. Треугольники (12 часов).
Метрические
соотношения в прямоугольном треугольнике. Свойства проекций катетов.
Метрические соотношения в произвольном треугольнике. Свойства медиан, биссектрис,
высот.
Теоремы
о площадях треугольника.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: проверка задач для самостоятельного решения, самостоятельная работа.
2. Четырёхугольники (10 часов).
Метрические
соотношения в четырёхугольниках. Свойство произвольного четырёхугольника,
связанное с параллелограммом. Теоремы о площадях четырёхугольников. Свойство
биссектрисы параллелограмма и трапеции.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: проверка задач для самостоятельного решения, самостоятельная работа.
3. Окружности (5 часов).
Метрические
соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих. Свойства дуг и
хорд. Свойства вписанных углов. Углы между хордами, касательными и секущими.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: проверка задач для самостоятельного решения.
Окружности и треугольники (2 часа).
Окружности,
вписанные и описанные около треугольников. Окружности, вписанные и описанные
около прямоугольных треугольников.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: проверка задач для самостоятельного решения.
Окружности и четырёхугольники (3 часа)
Четырёхугольники,
вписанные и описанные около окружности. Площади четырёхугольников, вписанных и
описанных около окружностей.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: проверка задач для самостоятельного решения, самостоятельная работа.
4.Расстояния в пространстве (11 часов).
Тема
4.1 Расстояние между двумя точками, расстояние от точки допрямой в пространстве
(3часа).
Пропедевтический
материал (теорема Пифагора, свойстваравнобедренного треугольника, подобие
треугольников, тригонометрическиефункции углов треугольника и др.)
Введение
в тему.Определения расстояния между точками, расстояния от точки до прямой.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: опрос, проверка задач самостоятельного решения.
Тема
4.2 Расстояние между прямыми в пространстве (общийперпендикуляр, расстояние
между параллельными плоскостямискрещивающихся прямых) (4 часа).
Определения
расстояния между двумя непересекающимися прямыми впространстве как длины общего
перпендикуляра.Решение задач на нахождение расстояния между параллельными и
скрещивающимися
прямыми по определению и как расстояние междупараллельными плоскостями
скрещивающихся прямых.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: опрос, самостоятельная работа.
Тема
4.3 Расстояние от точки до плоскости в пространстве (длинаперпендикуляра, длина
высоты пирамиды) (4 часа).
Определение
расстояния от точки до плоскости как длиныперпендикуляра.Решение задач на
нахождение расстояния от точки до плоскости поопределению и как длина высоты
пирамиды.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: опрос, самостоятельная работа.
5. Углы в пространстве (12 часов).
Тема
5.1 Угол между прямыми в пространстве (4 часа).
Пропедевтический
материал (теорема о трёх перпендикулярах, признакперпендикулярности прямой и
плоскости, тригонометрические функции угловтреугольника, теорема косинусов и
др.)
Определения
угла между пересекающимися прямыми, угла междускрещивающимися прямыми,
перпендикулярных прямых. Теорема о том, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярнаортогональной
проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна
и
самой наклонной.Теорема о том, что если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся
прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой,лежащей в плоскости.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: опрос, самостоятельная работа.
Тема
5.2 Угол между прямой и плоскостью в пространстве (4 часа).
Пропедевтический
материал (методы нахождения углов междупересекающимися прямыми, тригонометрические
функции углов треугольника, теорема косинусов и др.) Определение угла между
наклонной и плоскостью. Теорема трёх синусов.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: опрос, самостоятельная работа.
Тема
5.3 Угол между плоскостями в пространстве (4 часа).
Пропедевтический
материал (методы нахождения углов междупересекающимися прямыми,
тригонометрические функции углов треугольника, теорема косинусов и др.). Определения
двугранного угла в пространстве, линейного угладвугранного угла, угла между
двумя пересекающимися плоскостями.
Методы
обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочныхупражнений.
Формы
контроля: опрос, самостоятельная работа.
6. Координатный метод (16 часов)
Прямоугольная система координат в пространстве. Применение
метода координат к решению задач на вычисление расстояния между точками, расстояние
между прямыми, расстояния от точки
до плоскости, угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью,
угла между плоскостями. Периметр и площадь сечения. Объём пирамиды.
Методы обучения:
лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Формы контроля:
опрос, самостоятельная работа.
7. Защита проектов. Подведение итогов (2 часа).
Цель:
углубить знания учащихся по основным вопросам стереометрии,формирование навыков
самообразования, критического мышления,самоорганизации и самоконтроля, работы в
группе; формирование уменияставить, формулировать и решать проблемы.
Примерные
темы проектов: «Различные способы нахождения расстояниямежду скрещивающимися
прямыми», «Различные способы нахождениярасстояние от точки до плоскости в
пространстве», «Применение векторного икоординатного метода при нахождении
расстояний в пространстве», «Применение векторного и координатного метода при
нахождении углов впространстве» или решение одной сложной задачи.
Литература для учителя
1.
Геометрия, Стереометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ. По ред.А.Л Семёнова,
И.В. Ященко. – М.: МЦНМО,2009.
2.
Единый государственный экзамен 2011. Математика. Учебно-тренировочные материалы
для подготовки учащихся / ФИПИ авторы-составители: Ященко И.В., Семенов А.Л.,
Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., ЗахаровП.И., Панферов В.С., Посицельский С.Е.,
Семенов А.В., Семенова М.А.,
Сергеев
И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Шноль Д.Э. – М.: Интеллект-Центр, 2010.
3.
ЕГЭ-2011: Математика / ФИПИ авторы-составители: Ященко И.В.,Семенов А.Л.,
Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И., Панферов В.С.,Посицельский С.Е.,
Семенов А.В., Семенова М.А., Сергеев И.Н., Смирнов В.А.,Шестаков С.А., Шноль
Д.Э.– М.: Астрель, 2010.
4.
Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач / ФИПИавторы- составители:
Панферов В.С., Сергеев И.Н. – М.: Интеллект-Центр,2010.
5.
Практическая геометрия. Комбинации геометрических тел. 10-11классы:
методическое пособие с электронным приложением / Л.С. Сагателова,В.Н.
Студенецкая. – М.: Планета,2011.
6.
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ. 2011. Математика/
ФИПИ авторы-составители: Ященко И.В., Семенов А.Л.- М.:Астрель, 2010.
7.
Геометрия. Решаем задачи по планиметрии. Практикум./ авт.-сост.Л.С. Сагателова.–
Волгоград: Учитель, 2009.
8.Задачи
по стереометрии (координатный метод). Пособие./ авт.-сост. Н.А. Бунеева, А.М.
Каргаполов.- Новосибирск, 2008
Литература для ученика
1.
Геометрия, 10-11:учебник для общеобразовательныхучреждений: базовый и
профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. –М.:
Просвещение, 2011.
2.
Геометрия, Стереометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ. По ред.А.Л Семёнова,
И.В. Ященко. – М.: МЦНМО,2010.
3.
Смирнов В. А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия.Стереометрия. Под ред.
А. Л. Семенова , И. В. Ященко. – М.: МЦНМО,2011.
4.
Смирнов В. А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С4. Геометрия.Стереометрия. Под ред.
А. Л. Семенова , И. В. Ященко. – М.: МЦНМО,2011.
5.
Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И Подготовка к ЕГЭ поматематике в 2012
году. – М.: МЦНМО,2011.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.