Проект по математике "Координатная плоскость" (6 класс)

I.Перемещение изображений на координатной плоскости

1. Перемещение по вертикали

       

 На рис. 1  изображена веточка дуба с тремя желудями. Причем два  желудя совершенно одинаковы и расположены так, что если переместить верхний желудь строго по вертикали на 9 ед. вниз, то он в точности совпадёт с нижним желудем и, наоборот, верхнее изображение может быть получено посредством перемещения нижнего на 9 ед. по вертикали вверх.

          Мы попытались ответить на вопросы:

• Как взаимосвязаны координаты точек изображений верхнего и нижнего желудей?

• Вообще, как изменятся координаты точек фигуры, если переместить эту фигуру на некоторое число единиц вверх (вниз) по вертикали?

      

 • Пронумеруем узловые точки  изображений обоих желудей одинаковыми числами от 1 до 9.                                                                                                      

• Опре­делим координаты всех точек верхнего желудя и

записали их в первой строке таблицы, приведенной ниже.    

                                Рис1.                                                            • Найдём координаты точек нижнего желудя и запишем их                                

                                                                                           во второй строке таблицы.

          • Сравним координаты соответствую­щих точек изображений и сделаем вывод.

ВЫВОД: Если переместить изображение фигуры вертикально вниз (вверх) по координатной плоскости, то абсциссы его точек совпадут, а орди­наты изменятся на одно и то же число, равное 9 единицам, на которое выполнено перемещение.

 

 

 

 

 

4

 

Номера узловых точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Координаты Узловых точек верхней фигуры	(-9;14)	(-8;13)	(-8;12)	(-8;9)	(-10;8)	(-12;9)	(-12;12)	(-12;13)	(-11;14)
Координаты узловых точек нижней фигуры	(-9;5)	(-8;4)	(-8;3)	(-8;0)	(-10;-1)	(-12;0)	(-12;3)	(-12;4)	(-11;5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

2. Перемещение по горизонтали

         На рис. 2 изображён игрушечный состав, состоящий из локомотива и трех вагонов. Первый и третий ва­гоны совершенно одинаковы и рас­положены так, что если изображение третьего вагона пе­реместить строго по горизонтали вправо на 18 ед., то оно в точности совпадет с изображением первого вагона и, наоборот,   

                                     Рис 2.                                                                                           перемещая фигурку первого вагона на 18 ед.  влево  по горизонтали, можно совместить ее с фигуркой третьего вагона.

 • Как взаимосвязаны координаты точек изображений первого и последнего вагонов?

• Вообще, как из­менятся координаты точек фигуры, если переместить эту фигуру на некоторое число единиц вправо (влево) по гори­зонтали?

• Пронумеруем узловые  точки  изображений первого и третьего вагонов одинаковыми числами от 1 до 20.

• Определим координаты всех точек изображения третьего вагона и запишем их в первой строке таблицы, приведенной ниже.

• Найдём координаты всех точек изоб­ражения первого вагона и запишем их во второй строке таблицы. Сравним координаты соответствующих точек двух изображений и сделаем вывод.

ВЫВОД: Если переместить изображение фигуры на координатной плоскости влево (вправо) по горизонтали, то ординаты его точек совпадут,    а абсциссы изменятся на одно и то же число, равное 18 единицам, на которое выполнено перемещение.

 

 

 

 

6

Номера узловых точек

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Координаты узловых точек 3 вагона

-5; 7

-5; 3

-7; 3

-6; 2

-6; 1

-7; 0

-8; 0

-9; 1

-9; 2

-8; 3

-11; 3

-10; 2

-10; 1

-11; 0

-12; 0

-13; 1

-13; 2

-12; 3

-14; 3

-14; 7

Координаты узловых точек 1 вагона

13; 7

13; 3

11; 3

12; 2

12; 1

11; 0

10; 0

9; 1

9; 2

10; 3

7; 3

8; 2

8; 1

7; 0

6; 0

5; 1

5; 2

6; 3

4; 3

4; 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

3. Перемещение в произвольном направлении

На рис. 3 изображен ландыш, у которого четыре цветка. Изображения второго и четвертого цветков со­вершенно одинаковы, и если второй цветок переместить на 10 ед. вниз строго по вертикали и на 6 ед. влево строго по горизонтали, то он в точности совпадет с четвертым цветком и наоборот, если изображе­ние четвертого цветка переместить на 10 ед. вправо стро­го по горизонтали и вверх на 6 ед. строго по вертикали, то оно полностью совпадет с изображением второго цветка.

 • Как взаимосвязаны координаты изображений второго и четвертого цветков ландыша?

• Вообще, как изменятся координаты точек фигуры, если перемес­тить эту фигуру по координатной плоскости в произволь­ном направлении, не изменяя ее ориентации относитель­но горизонтали или вертикали?

 

 • Пронумеруем узловые точки изображений обоих цветков одинаковыми числами от 1 до 8.

 • Опреде­лим координаты всех точек второго цветка и запишем их в первой строке таблицы, приведенной ниже.

 • Найдём коор­динаты всех точек четвертого цветка и запиши их во вто­рой строке

таблицы.         

Рис 3.                                          

                                                         • Сравним координаты соответствую­щих точек изображений и сделаем вывод.

ВЫВОД: Если переместить фигуру по координатной плоскости в произвольном направлении, не изменяя ее ориентации относительно вертикали или горизонтали, то абсциссы  всех ее точек изменятся на 6 единиц, и орди­наты всех ее точек изменятся на 10 единиц.

 

 

 

 

 

 

                                                                       8

Номера узловых точек	1	2	3	4	5	6	7	8
Координаты второго цветка	(11; 20)	(12; 19)	(13; 16)	(11,5; 17)	(11; 15)	(10,5; 17)	(9; 16)	(10; 19)
Координаты четвёртого цветка	(5; 10)	(6; 9)	(7; 6)	(5,5; 7)	(5; 5)	(4,5; 7)	(3; 6)	(4; 9)

 

 

Выводы, сформулированные в примерах 1-3, позволяют запи­сывать координаты перемешенных фигур, не прибегая к их изоб­ражениям на координатной плоскости.

При этом надо знать:

1) координаты исходной фигуры;

2) направление перемещения: вправо, влево, вниз, вправо и вверх, вправо и вниз, влево и вверх, влево и вниз;

3) число единиц, на которое это перемещение вы­полнено,

4) характер изменения координат (выводы 1-3).

На пер­вых порах полезно запись вести в таблице, аналогичной тем, ко­торые использовались выше. Узловые точки исходной фигуры мож­но нумеровать в произвольном порядке, но лучше это делать в той последовательности, которая быстрее позволит восстановить кон­тур перемешенной фигуры.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           9

II. Симметричное отображение изображений от осей координат

 

1. Симметричное отображение от оси ординат

 

На рис 4.  изображены бодающиеся козлики. Их фигурки совершенно одинаковы, но расположены по-разному: они ориентированы навстречу друг другу, а, если перегнуть лист по оси ординат, то их изображения пол­ностью совпадут. В этом случае говорят, что фигуры сим­метричны относительны оси ординат.                                   

• Как взаимосвязаны координаты узловых точек фигурок бодающихся козликов?

• Вообще, как изменятся координаты точек фигуры при симметричном        

                       Рис 4.                                  отображении этой фигуры от оси ординат?

 

• Пронумеруем 10 узловых точек обеих изображений козликов.

• Определим координаты точек изображения правого козлика и запишем их в первой строке таблицы, приведен­ной ниже.

 • Найдём координаты 10 точек изображения левого козлика и запишем их во второй строке таблицы.

           • Сравним координаты соответствующих точек двух изоб­ражений и сделаем вывод.

 

ВЫВОД: Ординаты точек фигур симметричных относительно оси ОУ, не изменятся, а их абсциссы изменятся на противоположные числа.

 

 

             

 

 

 

 

10

Номера узловых точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Координаты правой фигуры	(3; 10)	(8; 11)	(14; 11)	(18; 10)	(20; 10)	(19; 9)	(18; 7)	(17,5; 5)	(18; 1)	(18; 0)
Координаты левой фигуры	(-3; 10)	(-8; 11)	(-14; 11)	(-18; 10)	(-20; 10)	(-19; 9)	(-18; 7)	(-17,5; 5)	(-18; 1)	(-18; 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                   11

2. Симметричное отображение от оси абсцисс

       На рис. 5 изображена бабочка, верхняя и нижняя половины которой совершенно одинаковы и распо­ложены так, что если перегнуть лист по оси абсцисс, то они полностью совпадут. В этом случае говорят, что пря­мая ОХ является осью симметрии фигуры, а верхняя и нижняя половины фигуры симметричны относительно оси абсцисс.

• Как взаимосвязаны координаты узловых точек верхней и нижней части изображения бабочки?

• Вообще, как изменятся координаты точек фигуры при симметричном отображении этой фигуры от оси абсцисс?

         • Пронумеруем 9 узловых точек верхней и нижней части бабочки одинаковыми числами от 1 до 9.

• Опре­делим координаты точек верхней части изображения и запишем их в первой строке таблицы, приведенной ниже.

• Найдём координаты точек нижней части изображе­ния и запишем их во второй строке таблицы.

                       Рис 5.                                 • Сравним ко­ординаты соответствующих точек и сформулируем вывод.

 

ВЫВОД: Абсциссы точек, симметричных относительно оси ОХ, не изменятся, а их ординаты изменятся на противоположные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

Номера узловых точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Координаты верхней части фигуры	(-10; 5)	(-8; 10)	(-3; 13)	(-1; 10)	(0; 13)	(3; 13)	(7; 12)	(8; 8)	(5; 3)
Координаты нижней части фигуры	(-10; -5)	(-8; -10)	(-3; -13)	(-1; -10)	(0; -13)	(3; -13)	(7; -12)	(8; -8)	(5; -3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

3. Симметричное отображение от обеих осей координат

 На рис. 6 изображены три стрелы летящих в разных направлениях. Первая стрела летит на северо-восток, вторая - на северо-запад, а третья — на юго-за­пад. Поскольку первая и вторая фигуры симметричны относительно оси ординат, а вторая и третья - симмет­ричны относительно оси абсцисс, можно сказать, что тре­тья фигура получается путем последовательного отобра­жения фигуры 1от оси ординат и оси абсцисс. При этом ориентация фигуры (направления полета стрелы) смени­лось на обратное: было северо-восточным, а стало юго-западным.

 • Как взаимосвязаны координаты узловых точек первой и третьей фигур?

 • Вообще, как изменятся ко­ординаты точек фигуры при симметричном отображении этой фигуры сначала от оси ординат, а затем от оси абс­цисс?

• Пронумеруем узловые точки первой и третьей стрелы одинаковыми числами от 1 до 10.

• Определим координаты всех точек изображения 1 и запишем их в пер­вой                   Рис 6.                                                                  строке таблицы, приведенной ниже.

                                                                          • Найдём коорди­наты всех точек изображения 3 и запишем их во второй строке таблицы. Сравним координаты соответствующих точек и сформулируем вывод.

 

ВЫВОД: Если симметрично отобразить изображение фигуры сначала от одной оси коорди­нат, а затем от другой, то абс­циссы его точек  изменятся на противоположные числа, и ординаты его точек изменятся на противоположные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

Номера узловых точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Координаты изображения 1 фигуры	(4; 2)	(3; 2)	(6; 5)	(7; 5)	(7; 4)	(4; 1)	(9; 8)	(11; 9)	(10; 7)	(10; 8)
Координаты изображения 3 фигуры	(-4; -2)	(-3; -2)	(-6; -5)	(-7; -5)	(-7; -4)	(-4; -1)	(-9; -8)	(-11; -9)	(-10; -7)	(-10; -8)

 

Сформулированные в заданиях выводы 1-3 позволяют выпол­нять симметричное отображение изображений от осей координат сразу в координатах без построения самих изображений на коор­динатной плоскости. А для этого необходимо знать: а) координаты узловых точек исходного изображения; б) вид симметрии; в) ха­рактер изменения координат (выводы 1-3).

 

 

 

 

 

 

 

15

         

Министерство образования и науки Республики Казахстан

 

 

 

Исследовательская работа

по математике:

 

 

 

«Координатная плоскость»

 

 

 

 

                                                             Выполнили:         Демьяненко Екатерина,

                                                                                           Данилова Екатерина

                                                                                           ученицы 6 класса

                                                             Руководитель:     Позднякова О.А.                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Абстракт:

 

    Научно – практическая работа написана на тему: «Координатная  плоскость».

 

Объектом исследования данной работы является координатная плоскость и координаты точек.

Целью работы является попытка выявить различные способы перемещений изображений на координатной плоскости и симметричное отображение изображений от осей координат.

 

 

Гипотеза: как можно с помощью красивых фигурок разнообразить изучения тем: «Координатная плоскость», «Симметрия».

 

 

Этапы исследования:

1.     Работа с литературой.

2.     Нахождение способов поставленной цели.

3.     Обработка результатов.

 

Работа носила исследовательско - практический характер. Все виды перемещений и симметрии рассматривались самостоятельно.

 

 

 

Работа состоит из введения, двух глав (1глава – перемещение изображений на координатной плоскости, 2 глава – симметричное отображение изображений от осей координат), заключения, списка используемой литературы.

 

 

 

 

1

Аннотация научного проекта, написанного на тему:

 

«Координатная плоскость».

 

 

Целью исследования стала попытка выявить различные способы перемещений изображений на координатной плоскости и симметричное отображение изображений от осей координат.

Новизна исследования в том, что в данной работе рассматриваются способы перемещений изображений на координатной плоскости и симметричное отображение изображений от осей координат.

 Рассматривая данные способы, были использованы умения изображать точки по заданным координатам (находить координаты соответствующих точек, симметричных точек).

Ученицы, рассмотрели способы перемещений изображений на координатной плоскости и симметричное отображение изображений от осей координат, проделав предварительную работу по их отбору, классификации и построению.

Проведенные исследования помогают авторам приобрести новые знания и умения. Отмечаются хорошие знание авторами учебного материала, умение делать выводы.

Работа выполнена грамотно с соблюдением всех необходимых требований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Введение.

Когда красота притягивает,

а исследование увлекает.

 

Красота всегда притягательна, в образовательном процессе она не оставляет равнодушным никого. Поэтому она так важна в учебном процессе, с её помощью усиливается интерес к математической деятельности, создаются условия для единения эмоционального и рационального и тем самым усиливается развивающий эффект обучения.

Изучая тему «Координатная плоскость» учились отмечать координаты точек, рисовать занимательные фигурки по координатам.

 

 

  Когда стали изучать симметрию, мы задумались, а можно ли перемещать изображений на координатной плоскости и существуют ли фигуры, которые имеют симметричное отображение изображений от осей координат.

 

3

 

Заключение.

При выполнении работы были сформулированы выводы, которые позволяют выпол­нять симметричное отображение изображений от осей координат сразу в координатах без построения самих изображений на коор­динатной плоскости, и  позволяют запи­сывать координаты перемешенных фигур, не прибегая к их изоб­ражениям на координатной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

Список литературы:

 

1.     Я.И.Перельман «Занимательная математика» М. «Наука», 1978г., 200стр.

 

2.     Приложение к газете «1 сентября» «Математика в школе» 2000 г №4, №5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

Содержание:

 

1.     Абстракт………………………………………………….1

2.     Этапы исследования……………………………………..1

3.     Аннотация………………………………………………..2

4.     Введение………………………………………………….3

5.     Глава 1…………....………………………………………4

6.     Глава 2……………………………………………………10

7.     Заключение ……………………………………………...16

8.     Список литературы……………………………………...17