Главная / Математика / Проект по геометрии в 10 классе

Проект по геометрии в 10 классе

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_68c4cefc.gifМуниципальное общеобразовательное учреждение

«Сокольская средняя общеобразовательная школа»





Проект по геометрии



«Этот удивительный тетраэдр…»











выполнили учащиеся

10 класса

Руководитель проекта

Учитель математики

Ефимова Р.А.









Методическое представление.

  • Введение

  • Методический паспорт учебного проекта

  • Работа над проектом

  • Заключение



  1. Введение.

Во всем мире не найдется двух абсолютно одинаковых людей. Каждый человек уникален характером, мыслями, взглядами, вкусами …

В тоже время каждый из нас является неотъемлемой частью нашего реального мира, его единственной и неповторимой гранью, без которой мир будет уже не тот. Когда мы хотим подчеркнуть богатство внутреннего мира человека, мы говорим «многогранный…» и первая из этих граней – увлечения, затем идут приоритеты своих симпатий, интересов, ум и другие качества.

Каждый из учащихся освоив материалы проекта, проявив себя в самостоятельной деятельности, может открыться для своих друзей, учителей с новой, невидимой доселе, грани…

Найти, узнать и понять отдельные грани нашего мира поможет нам многогранный мир ИНТЕРНЕТА!

Материально-техническое и учебно-методическое оснащение:

    • Учебник Атанасян «Геометрия 10-11 класс».

    • Н.П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников. — М.: МЦНМО, 2000.

    • Н.П. Долбилин. Три теоремы о выпуклых многогранниках.

    • Часть 1 // Квант. 2001. N 5. С. 7-12.

    • Часть 2 // Квант. 2001. N 6. С. 3-10.

    • И.Х. Сабитов. Объёмы многогранников. — М.: МЦНМО, 2002.

    • В. Залгаллер. Непрерывно изгибаемый многогранник // Квант. 1978. N 9. С. 13–19.

    • Щепин О.Н. Тетраэдр из треугольника и квадрата // математика в школе.-1998 г.№4, с.24-27.

    • Доступ к сети интернет.

    • Проекционная система.

  1. Работа над проектом.

Проект был задуман с целью ответить на основополагающий вопрос:

О чем расскажет многогранник?

Тип проекта: межпредметный, поисково-аналитический, долгосрочный.

Цели:

В процессе работы над проектом учащиеся познакомятся с тетраэдром и его свойствами, будет сформирован системный подход к изучению геометрии на основе аналогий, сравнений, классификаций геометрических объектов.

Проект поможет в реализации понимания того, что источник возникновения геометрии - реальный мир и все прекрасное вокруг, созданное руками человека – это воплощение идей, основанных на геометрических формах и представлениях.

Задачи:

Получить тетраэдр путём перегибания плоской модели: сначала треугольного листа бумаги, затем квадратного.

Оформляя результаты исследовательской деятельности учащиеся, используя ИКТ, научатся:

Искать информацию в различных источниках

Использовать для поиска информации и общения социальные сервисы Интернет

Размещать свои материалы в сети.

Какие компетентности формирует проект?

    • В сфере самостоятельной деятельности.

    • Основанные на усвоении способов приобретения знаний из различных источников информации.

    • В сфере гражданско-общественной деятельности.





Тетраэдр из треугольника и квадрата.

Широкое поле для исследования открывается с переходом к теме «Многогранники». Здесь можно экспериментально установить ряд интересных фактов.

Сначала естественно рассмотреть выход из плоскости в пространство, задавшись вопросом:

«Из какого треугольника можно свернуть тетраэдр, а из какого нельзя?»

Цели:

  • В ходе выполняемых механических упражнений дать правильное представление о тетраэдре, его положении в пространстве

  • Способствовать выработке критического отношения к поставленной задаче

Задачи данного этапа:

  1. Получить тетраэдр из различных моделей треугольников – остроугольных, тупоугольных и прямоугольных

  2. Получить тетраэдр из квадратного листа бумаги

  3. Вычислить и сравнить объёмы полученных тетраэдров

Задача 1. Сложите двумя способами тетраэдр из бумажного равнобедренного треугольника, не разрезая его.

1 способ – с помощью трех сгибов.

2 способ – с помощью пяти сгибов.

Решение. 1 способ. Найдем середины сторон и, соединив их отрезками (на рис 1, а они показаны пунктиром) перегнем по этим отрезкам бумагу, совместив точки А123 (рис 1, б).

2 способ. Разобьем основание А1А3 равнобедренного треугольника А1DA3 на четыре равных отрезка точками В, А2 и С. Соединим эти точки отрезками с вершиной D. Опустим из точки В перпендикуляр ВЕ1 на сторону A1D, а из точки C перпендикуляр CE2 на сторону DA3 (рис.2,а). Делая сгибы по отрезкам, начерченным на треугольнике, и совмещая точки А12 и А3 в одной точке, а точки Е1 и Е2 в другой, получаем модель искомого тетраэдра (рис. 2, б).

Замечание. Первый способ решения возможен для любых остроугольных треугольников, в том числе и равносторонних, а второй – только для равнобедренных.



1

Задача 1 может быть переформулирована, а точнее, дополнена с целью повторения отдельных вопросов планиметрии и стереометрии.

Задача 1.1. из бумажного равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна а, а основание –b, сложите тетраэдр двумя способами: 1 способ – с помощью трех сгибов, 2 способ – с помощью пяти сгибов. В каждом случае найдите:

  1. длины ребер и площади граней полученных фигур;

  2. объем тетраэдра.

Решение. 1 способ. На рис. 3, а, б показаны развертка А1ВА2СА3D и сложенный из нее тетраэдр ABCD.

    1. Поскольку треугольник А1А2А3 равнобедренный и по условию А1А3 = b, А1А2 = А2А3 = a, то AD = BC = b/2, AB = AC = BD = CD = a/2. Тогда все грани тетраэдра ABCD на рис. 3, б – равнобедренные треугольники с основаниями b/2 и боковыми сторонами a/2. Их площади равны hello_html_1d0782d0.gif части площади треугольника A1A2A3 , т.е.

hello_html_2f7ab71c.gif.

    1. Объем искомого тетраэдра можно найти различными приемами:

      1. Вычислить высоту AP и площадь основания CBD;

      2. Найти сумму объемов двух равных тетраэдров ACDE и ADBE, которые составляют искомую фигуру; объем каждого из них можно найти, вычислив площадь треугольника AED и половину стороны CB.

2

Подробно остановимся на 1 приеме. Отметим, что по построению

EDhello_html_m4815f94.gif BC и CB = b/2.

Тогда hello_html_5ed04a82.gif

Высоту AP можно найти из треугольника ADE со сторонами AD = hello_html_5f9a7ff1.gif, DE = EA =hello_html_35eb711.gif, вычислив его площадь по формуле Герона: hello_html_m4421d3b4.gif

Тогда hello_html_53ce02ae.gif, где 0<b<hello_html_133d7fc6.gif.

Интерпретируя полученный результат, заметим, что данным способом возможно сконструировать тетраэдр не из любого равнобедренного треугольника, а только из остроугольного. Строгого доказательства этого факта можно не проводить, а продемонстрировать его ученикам при наглядной иллюстрации на модели.

2 способ. На рис.2, а, б изображены развертка A1E1DE2A3CA2B и тетраэдр ABCD.

  1. Найдем длины ребер тетраэдра ABCD: AC = AB = b/4, BC = b/2,

AD =hello_html_m37508f7e.gif

Вычислим площади граней тетраэдра на рис. 2, б. сначала заметим, что две грани – ADC и ADB – равные прямоугольные треугольники: hello_html_16205cb6.gif Далее hello_html_78e32d35.gif

Из прямоугольного треугольника A1E1B (или CE2A3 ) найдем

A1E3 = A3E3 = hello_html_32ca03fa.gif

Теперь можно найти площади остальных граней: площадь грани DBC равна сумме площадей равных треугольников DBE1 и DCE2 (см. рис. 2, а):

hello_html_m2615876f.gif

Площадь треугольника ABC также равна сумме площадей равных треугольников A1E1B и A3E2C, т.е. hello_html_7d108adb.gif

  1. Найдем теперь объем тетраэдра.

Из двух возможных приемов вычисления объема, упомянутых выше, воспользуемся приемом 2): найдем объем тетраэдра ABCD как сумму объемов двух равных тетраэдров DAEB и DACE. Каждый из них можно найти, вычислив площадь треугольника ADE и половину стороны BC.

В треугольнике ADE все стороны найдены: hello_html_me2c64ac.gif

Значит площадь треугольника ADE можно найти с помощью формулы Герона:

hello_html_m312f45f3.gif

Итак, мы получили две различные формулы при двух различных способах конструирования тетраэдра из треугольника.

Перейдем теперь ко второй базовой задаче. Она имеет бесконечное множество решений и тем самым заслуживает особого внимания.

Задача 2. Из бумажного квадрата, не разрезая его, сложите тетраэдр как минимум двумя способами.

Решение. 1 способ показан на рис. 4. На двух смежных сторонах квадрата отметим их середины – точки B и D. Соединим их и проведем диагональ A1C квадрата (рис. 4, а). Согнув квадрат по начерченным отрезкам и соединив точки A1, A2, A3 в одну точку A, получим тетраэдр ABCD (рис. 4, б).

3

4

2 способ. Разделим точками С, К2 ,D сторону К1К3 квадрата К1В1В2К3 на четыре равных отрезка и отметим точку А – середину стороны В1В2 (рис. 5, а). Перегнем квадрат по ломаной BCADB2 и сложим из согнутого листа пространственную фигуру так, чтобы совпали отрезки AB1 и AB2 и точки К123 . Получим тетраэдр ABCD (рис. 5, б).

Второй способ решения можно обобщить, если сместить точки C и D на одно и то же расстояние влево или вправо от исходных позиций (рис. 6).



B1

A

B2









K2 O D

K1

K3



C





Рис. 6.

Необходимо заметить, что длина отрезка смещения может колебаться от нуля до четверти длины стороны квадрата в обе стороны. В предельных случаях тетраэдр вырождается в плоскую фигуру (в одном случае в прямоугольник, а в другом – в параллелограмм).

Первый способ подходит не только для квадрата, но и для любого ромбоида, а второй способ – для любого прямоугольника.

Задача 2.1. На рис. 4 и 5 представлены два вида развертки тетраэдра. Вычислите объемы получаемых фигур и найдите из них наибольший, если длина стороны квадрата равна 1.

Решение. 1 случай. Объем тетраэдра на рис. 4, б можно вычислить двумя способами:

  1. Вычислить площадь основания BCD и длину высоты AL,

  2. Найти сумму объемов двух равных тетраэдров, на которые данный тетраэдр разбит плоскостью ACP.

Будем действовать по способу 2). Сторона квадрата равна 1, поэтому BP = DP = hello_html_577675b8.gif (рис. 4, а). Сечение APC разбивает тетраэдр ABCD на два равных тетраэдра с общим основанием APC. Площадь основания APC можно вычислить по формуле Герона:

hello_html_m1a11566d.gif

Подставляя известные значения, находим, что VABCD =hello_html_m7ac9680c.gif

Второй случай. Разобьём тетраэдр на рис.5,б на два равных тетраэдра, как мы уже делали раньше. В результате получим

hello_html_m3d1b6cb4.gif

Зная стороны треугольника ABK: AB=0,5; BK=1; KA=1, нетрудно найти его площадь:

hello_html_48e0755f.gif



Сравнивая значения объёмов в первом и втором случаях, приходим к выводу, что фигура, получаемая первым способом, имеет больший объём.

Сечения тетраэдра.

Раздел стереометрии, изучающий сечения геометрических тел, позволяет «заглянуть внутрь» предметов, познакомиться с их свойствами; значительно облегчает выполнение ряда заданий. Решение задач на построение сечений многогранников способствует развитию у человека пространственных представлений и пространственного мышления.

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах черчения, физики, теоретической механики, сопротивления материалов, гидравлике и других естественных науках и технических дисциплинах. Построение сечений используют в строительном деле, машиностроении. В качестве диагностики заболеваний в медицине широко применяют метод компьютерной томографии, основанный на получении при помощи рентгеновских аппарата снимков – сечений человеческого тела. Этим же методом пользуются историки и археологи для исследования некоторых объектов. Например, чтобы не испортить саркофаг и при этом посмотреть его содержимое. Для этого при помощи томографа делают множество снимков – поперечных сечений саркофагов, суммируя которые получают необходимую информацию.

Широко применяют сечения и в ювелирном деле. Чтобы придать камню нужную форму, мастер подвергает бесформенный драгоценный камень рассечению различными плоскостями. Эти плоскости выбираются не спонтанно, а таким образом, чтобы луч, падающий на камень, создавал его сияние, многократно отразившись от его граней. Изменяя угол наклона «секущих плоскостей» и их положения, мастер добивается неповторимой игры света и радужных переливов на гранях камня.

Таким образом, интерес к задачам на построение сечений обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и их практической ценностью.

Цель:

  • Исследовать построение сечений тетраэдра через решение задач.

Задачами данного исследования следующие:

1. Выяснить, какие многоугольники получатся в результате сечения тетраэдра.

2. Найти площади полученных сечений, при заданных параметрах тетраэдра в зависимости от положения третьей точки на боковом ребре.

3. Рассмотреть зависимость формы и площади сечения правильного тетраэдра от выбора трех точек на серединах ребер.

Примерное содержание основной части работы:

1. Методы построения сечений многогранников:

- метод следов;

- метод соответствия (внутреннего проектирования);

- комбинированный метод.

2. Решение задач на построение сечений многогранников. Сравнительный анализ различных методов построений.

3. Решение метрических задач на нахождение площадей сечений многогранников.

























Этапы работы над проектом

Содержание работы

на этапе

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Подготовительный, или вводный, этап

1. Выбор темы, формулирование целей

проекта (через проблемную ситуацию,

беседу, анкетирование и т.д.).

2. Определение количества участников

проекта, формирование состава группы.

3. Выдача письменных рекомендаций

участникам проектных групп (требования, сроки, график, консультации и т.д.)

Обсуждают тему проекта с учителем и получают необходимую дополнительную информацию.

Формулируют цели проекта. Формулируют гипотезу. Распределяют обязанности в проектной группе

Знакомится с сутью проектной технологии и мотивирует учащихся. Осуществляет помощь в формулировании цели проекта и определении гипотезы. Продумывает собственные педагогические цели, с учетом

специфики проекта и педагогического процесса

Плановые работы

1.Определение источников информации, планирование способов сбора и анализа информации.

2.Планирование итогового продукта (формы представления результата).

3.Установление процедур и критериев оценки процесса работы, результатов.

4.Распределение обязанностей среди членов команды.

Вырабатывают план действий. Определяют условия, необходимые для реализации проекта. Ставят промежуточные задачи. Определяют сроки.


Предлагает идеи, высказывает предположения, определяет сроки работы (поэтапно). Помогает составить поэтапный план, сформулировать гипотезу, поставить промежуточные задачи

Исследовательская деятельность

Сбор информации, решение промежуточных задач Основные формы работы: интервью, опросы, наблюдения, эксперимент, изучение литературных

источников.

Собирают нужную информацию, знакомятся с методами исследования и проводят их, решают промежуточные задачи

Наблюдает, советует, косвенно руководит деятельностью, организует и координирует в случае необходимости отдельные этапы проекта

Результаты и выводы

Анализ информации. Формулировка выводов. Оформление результата.

Анализируют информацию. Оформляют результаты

Наблюдает, предлагает, рекомендует

Представление готового продукта

Представление разнообразных форм результата работы

Отчитываются, отстаивая свою точку зрения, делают окончательные выводы

Слушает, задает вопросы в роли рядового участника

Оценка процессов и результатов работы


Участвуют в оценке путем коллективного обсуждения и самооценок

Оценивает вклад каждого учащегося, качество использования источников и проведенного эксперимента. Определяет возможность продолжения работы по выбранному направлению и качество отчета.



















Алгоритм проектной работы на уроке математики.

Этапы

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

определение темы

отбирает возможные подтемы и предлагает их учащимся, проводит организационную работу по объединению школьников

каждый ученик выбирает себе подтему, после выбора темы комплектуются в соответствии с ними в малые группы

сбор информации

организация работы в группах, выбор источников информации и консультирование учащихся

знакомятся с информацией;

в ходе дискуссии отбирают

главное, основное содержание проекта


обмен информацией, структурирование информации

направляет учебную деятельность учащихся, помогает выбрать оптимальный вариант решения проблемы

выполняют исследование: анализируют информацию, структурируют содержание

оформление результатов работы

координирует результаты самостоятельной познавательной деятельности школьников, оказывает педагогическую поддержку в защите проекта

разрабатывают форму творческого проекта, каждая группа составляет краткие тезисы выступления, работает с наглядными пособиями

экспертиза

помогает анализировать

результаты в проектной

деятельности, консультирует по вопросам рецензирования, организует личное выступление учащихся, помогает оценить работу в ходе защиты

участвуют в работе,

выступают с отчётами, отвечают на вопросы

отвечают на вопросы, оформляют краткие записи, рецензируют содержание и форму изложения работы друг друга

рефлексия

организует подведение итогов работы над проектом

подводят итоги работы

Рейтинговая оценка проекта

(повышенный уровень - для учащихся 8-11 классов)

Этапы

Критерии оценки

Уровни:

0; 5; 10; 20

ученик

учитель

Выполнение, оформление


1. Актуальность темы, цели и задачи




2. Объём и полнота разработок; законченность; самостоятельность; практическая направленность




3. Уровень творчества; оригинальность раскрытия темы, подходов, предлагаемых решений




4. Аргументированность предлагаемых решений, выводов




5. Качество записи: оформление; соответствие стандартным требованиям



Защита работы

1. Качество доклада: композиция, полнота представления работы, подходов, результатов; аргументированность и убеждённость



2. Объём и глубина знаний по теме, эрудиция; наличие межпредметных связей



3. Представление проекта: культура речи; использование наглядных средств; чувство времени; удержание внимания аудитории



4. Ответы на вопросы: убеждённость, полнота, аргументированность



5. Деловые и волевые качества докладчика: умение принять ответственное решение; готовность к дискуссии; доброжелательность, контактность





Итоговая оценка (балл):200 - 155 — «отлично»; 154- 100 — «хорошо»; менее 100 баллов — «удовлетворительно»

Проект по геометрии в 10 классе
  • Математика
Описание:

Проект поможет в реализации понимания того, что источник возникновения геометрии - реальный мир и все прекрасное вокруг, созданное руками человека – это воплощение идей, основанных на геометрических формах и представлениях. 

Широкое поле для исследования открывается с переходом к теме «Многогранники». Здесь можно установить ряд интересных фактов.

Сначала естественно рассмотреть выход из плоскости в пространство, задавшись вопросами:

«Из какого треугольника можно свернуть тетраэдр, а из какого нельзя. Как из квадрата сложить тетраэдр?»

 

Учащиеся ищут ответ на различных моделях треугольников – остроугольных, тупоугольных и прямоугольных. Из предложенных моделей они пытаются опытным путём сконструировать тетраэдр и тем самым убеждаются, что это возможно сделать лишь в случае остроугольного треугольника.

Каждый из учащихся освоив материалы проекта, проявив себя в самостоятельной деятельности, может открыться для своих друзей, учителей с новой, невидимой доселе, грани…

 

 

Автор Ефимова Раиса Алексеевна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1308
Номер материала 35423
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓