Проект "Треугольники" ( 6 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проект

Тема «Треугольники»

 

 

 

 

                                                                    Выполнили ученики 7 В класса

                                                                         проект представляет

                                                                        Зозуля Светлана

 

 

                                                         

                                                                        Руководитель:                                                                        

                                                                    Кулакова В.С. – учитель математики

 

г. Хабаровск

2013г.

Содержание

1.     Введение…………………………………………………………………..3

1.1.  Немного истории …………………………………………………...4

2. Проектные задания ……………………………………………………….5

2.1.  Треугольник. Основные понятия и элементы…………………....5

2.2.  Признаки равенства треугольников……………………………....8

2.3.  Равнобедренный треугольник…………………………………….11

2.4. Прямоугольный треугольник……………………………………...13

3. Заключение………………………………………………………………..15

Список литературы ……………………………………………………….16

Приложения…………………………………………………………………17 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  «Легче найти доказательство, приобретая

 сначала некоторое понятие о том, что мы

ищем, чем искать такие доказательства

без всякого предварительного знания»

 Архимед

 

 Мы занялись подробным изучением темы  «Треугольники» на занятиях математического кружка в 6-ом классе. Наш учитель предложила нам исследовательский проект по теме «Треугольники». Вера Самуиловна объяснила суть проектной деятельности, идея нам понравилась, и мы решили работать над этой темой. Прежде чем приступить к исследованию, мы определили следующие цели:

1) воспользовавшись различной литературой по геометрии, различными справочными материалами для более подробного изучения темы

«треугольники», сетью Internet, дать наиболее полное представление                 по данной теме;

2) научиться вести исследования с опорой на алгоритм действий, анализировать полученные данные и делать выводы.

Задачи проекта поставили такие:

1)    Ввести понятие «треугольник» (немного истории…);

2)    Рассмотреть виды треугольников и изучить их свойства;

3)    Уметь применять полученные знания о треугольниках.

Для достижения целей и осуществления задач мы использовали следующие методы: поиск, отбор, анализ нужной литературы, обобщение полученной информации, выдвижение гипотез и оценивание их правдоподобности, подведение итогов.

 

 

 

Итоговый отчёт мы провели в апреле 2013г., но уже в 7 классе, когда мы уже стали изучать геометрию, тогда к своим выполненным работам добавили дидактические материалы, математический диктант и тесты.

 

Немного истории

Треугольник – это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника. 2000 лет назад в Древней Греции изучение свойств велось очень активно. Пифагор открыл свою теорему. Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV – XVI веках. Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенные в XV – XIX веках, что создало впечатление, что о треугольнике все известно. Но открытия уже продолжались.

Инженеры любят треугольник за его «жесткость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличии от четырехугольников и многоугольников с большим числом сторон, где такое соединение допускает изменение формы многоугольника.

    Актуальность нашей темы исследования очевидна и по сей день, потому что уже сейчас геометрическая форма треугольника находит различное применение в сферах деятельности человека: в инженерии (металлические фермы мостов – составляющие их балки образуют треугольники), в армии (воинские звания), в медицине, в музыке   и т.д.

 

 

 

 

 

 

Проектные задания

I блок

Треугольник. Основные понятия и элементы

 

1.       (Проблемный вопрос.) Какому условию должны удовлетворять три точки, чтобы быть вершинами треугольника?

Вывод: для построения нужного треугольника надо, чтобы три точки не лежали на одной прямой.

2.       (Практическое задание.) С помощью линейки и транспортира постройте треугольник по двум заданным углам и определите его вид:

Во всех ли случаях треугольник с указанными углами существует? Сколько треугольников  можно построить в каждом случае?

Вывод: треугольник с углами 100˚ и 100˚ нельзя построить! Сумма всех углов треугольника = 180°.

3.  (Практическая задача.) Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Сколько и каких мерок он должен снять, чтобы изготовить подходящую латку, если отверстие имеет форму:

а) прямоугольного треугольника;

б) равностороннего треугольника;

в) равнобедренного треугольника;

г) разностороннего треугольника.

Обоснуйте ответы.

Вывод: а) три стороны и угол;

               б) одну сторону и угол;

               в) две стороны и угол;

               г) три стороны и два угла.

 

4.   (Практическое задание.) Вырежьте из цветной бумаги треугольник. Отрежьте у него два угла и приложите их вершинами к вершине третьего угла так, чтобы одна из сторон каждого отрезанного угла совпала с одной 

из сторон третьего угла. Какой вывод о сумме углов исходного треугольника можно сделать? Выполните задание для треугольников разного вида. Обобщите результаты.

5.   (Проблемный вопрос.) Почему сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам?

Вывод: сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу, то есть 180°.

6. (Практическая задача.) В школьной мастерской из проволоки изготовили 4 стержня длинами: а) 3 см;    б) 7 см;     в) 9 см;     г) 10 см.

Выясните, из каких трёх стержней можно составить треугольник, а из каких нельзя. Сделайте общий вывод о соотношении длин сторон треугольника.

Подсказка. Сравните длину каждой стороны треугольника с суммой и разностью длин двух других его сторон.

Ответ: можно: 10-7-9; 7-9-3; 10-9-3. Нельзя: 10-3-7.

Вывод: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

 

7. ( Практическое задание.) Приведите примеры троек чисел, которые могут быть длинами сторон:

•          равностороннего треугольника,

•          равнобедренного треугольника,

•          остроугольного треугольника,

•          тупоугольного треугольника.

 

8. (Теоретическое задание обобщающего характера.)             

 Составьте классификационную схему видов треугольников.

 

9. (Теоретическое задание.) Найдите определение медианы, высоты, биссектрисы треугольника и запишите в рабочую тетрадь.

10. (Практическое задание.) Вырежьте из бумаги треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний. Для каждого сгибанием постройте по три медианы. Линии сгиба выделите разными цветами.

11. (Практические задание.) Вырежьте из бумаги треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний. Для каждого сгибанием постройте по три биссектрисы. Линии сгиба выделите разными цветами.

12. (Практические задание.) Вырежьте из бумаги треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний. Для каждого сгибанием постройте по три высоты. Линии сгиба выделите разными цветами. Во всех ли случаях можно построить высоты путем сгибания  треугольника?

13.   (Проблемные вопросы.)

1.     Сколько высот, медиан, биссектрис имеет любой треугольник?

2.     Сколько общих точек имеют медианы (высоты, биссектрисы) треугольника?

3.     Как расположена относительно треугольника точка пересечения его медиан (высот, биссектрис) в треугольниках разного вида? Постройте соответствующие чертежи.

14. (Теоретическое задание.) Найдите определение внутреннего и внешнего углов треугольника и запишите в рабочую тетрадь.

15. (Проблемные вопросы.)

1.     Могут ли всякие три плоских угла (отличные от нулевого),сумма которых равна 180°,быть углами треугольника?

2.     Какой вид (по углам) имеет треугольник, в котором один из внутренних углов больше смежного с ним внешнего угла?

3.     Какой вид (по углам) имеет треугольник, в котором один из внутренних углов равен смежному с ним внешнему углу?

4.     Какой вид (по углам) может иметь треугольник, в котором один из внутренних углов меньше смежного с ним внешнего угла?

5.     Чему равны внешние углы треугольника с углами ?

6.     Может ли внешний угол треугольника быть равным 190°?

 

II блок

Признаки равенства треугольников

1. (Практическое задание.) Вырежьте из бумаги разного цвета по   2-3 равных треугольника разного вида: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равнобедренные, равносторонние. Как  можно практически определить, что треугольники равны?

2. (Проблемные вопросы.)

1.     Верно ли, что все равносторонние треугольники равны между собой?

2.     При наложении у треугольников совпали одна сторона и один угол. Можно ли утверждать, что треугольники равны?

3.     При наложении у треугольников совпали две стороны и один угол. Можно ли утверждать, что треугольники равны?

4.     При наложении у треугольников совпали два угла и одна сторона. Можно ли утверждать, что треугольники равны?

5.     Имеются два треугольника:

а) произвольного вида;

б) равнобедренные;

в) прямоугольные.

Какие их соответствующие элементы  должны быть равны между собой и каково должно быть наименьшее число, чтобы можно было сделать вывод о равенстве треугольников в каждом случае?

3. (Теоретическое задание обобщающего характера.) Выпишите в рабочую тетрадь все признаки равенства  треугольников вместе с доказательствами. Как вы думаете, можно ли доказательство всех этих теорем провести только с помощью наложения?

4. (Задачи.) Найдите на рис.4 равные треугольники и определите, по какому признаку они равны.

5. (Задача.) Докажите равенство треугольников KAC и NBC.

6. (Практическая задача.) Мама купила кусок ткани размером 1 м х 1 м на платки двум дочерям. Помогите ей разделить этот кусок на две равные части с помощью одного прямолинейного разреза. Укажите все возможные способы разрезания и обоснуйте правильность своих действий. Решите задачу для случая, когда кусок ткани имеет форму прямоугольника, ромба.

7. (Практическое задание.) Чтобы измерить на местности недоступное расстояние между двумя точками A и B, выбирают такую точку C, из которой можно пройти и  к точке A, и к точке B и из которой видны обе эти точки, затем провешивают (отмечают направление шестами-вехами) отрезки AC и BC и на их продолжениях за точку C откладывают отрезки CD = AC и EC = CB. Тогда длина отрезка ED равна искомому расстоянию.

1.     Докажите, что это правильный способ построения.

2.     Вооружившись веревками и колышками, измерьте ширину лужи или ямы во дворе. Опишите процесс измерения.

3.     Найдите в учебнике геометрии описание способа измерения                              на местности расстояния между двумя точками, одна из которых недоступна, и докажите его правильность. Измерьте этим способом ширину канавы (оврага, ямы, дороги) вблизи вашего двора. Опишите процесс измерения.

 

III блок

Равнобедренный треугольник

1. (Теоретическое задание обобщающего характера.) Найдите в учебнике определение равнобедренного треугольника. Попробуйте предложить свое определение.

2.  (Задачи.) Определите вид (по сторонам и по углам) каждого из изображенных на рис.1-5 треугольников. Расскажите об их элементах все, что сможете.

3. (Практическое задание.) Из всех изготовленных ранее треугольников найдите равнобедренные. Вырежьте из бумаги по 2-3 новых равнобедренных и равносторонних треугольника разного размера и используйте их в дальнейшей работе.

4. (Проблемные вопросы.)

1.     Верно ли, что у равнобедренного треугольника только две стороны равны?

2.     Верно ли, что у равнобедренного треугольника только два угла равны?

3.     Как вырезать равнобедренный треугольник из прямоугольного листа бумаги, если можно сделать только один разрез ножницами? (Бумагу можно предварительно сгибать)

4.     Как вырезать равносторонний треугольник из прямоугольного листа бумаги, если можно сделать только один разрез ножницами? (Бумагу можно предварительно сгибать.)

5.(Проблемный вопрос.) Согните один равнобедренный треугольник по высоте, проведенный к основанию. Какими свойствами она обладает?

Согните треугольник по высоте, проведенной к боковой стороне. Обладает ли она таким же свойством, что и высота, проведенная к основанию?

Выполните задание еще для одного равнобедренного треугольника.

6. (Теоретическое задание обобщающего характера.) Запишите в рабочую тетрадь теорему о свойстве высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, и докажите ее.

7. (Проблемные вопросы.)

1.     В каком треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, причем любой, совпадают?

2.     Что можно сказать о медианах, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника.

3.     Что можно сказать о высотах, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника?

4.     Что можно сказать о высотах, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника?

 

 

 

 

 

 

 

8.(Задачи.)

1.     Найдите все внутренние и внешние углы всех треугольников, изображенных на рис.1.

2.     Вычислите все внутренние углы треугольников, изображенных на рис.2.

IV блок

Прямоугольный треугольник

 

1. (Практическое задание.) Из всех изготовленных ранее треугольников найдите прямоугольные. Вырежьте из бумаги несколько новых прямоугольных треугольников: равнобедренный; с острым углом 30°;                       с острым углом 45°. Проведите измерения сторон и углов в новых треугольниках. Сделайте выводы.

2. (Практическое задание.) Любой бумажный прямоугольный треугольник согните по медиане, проведенной к гипотенузе. Проведите всевозможные измерения отрезков. Что вы можете сказать о длине медианы? Докажите это свойство.

Подсказка. Сравните длины отрезков, получающихся в результате построения медианы.

 

3. (Задачи.) Определите вид (по сторонам) каждого из изображенных                         на рис.1-7 треугольников. Расскажите об их элементах все, что сможете.

4.(Задача.) Обозначьте буквами изображенный на рисунке прямоугольник и все проведенные отрезки. Найдите на рисунке все прямоугольные треугольники и укажите среди них равные между собой.

 

Обобщающее практическое задание

Нарисуйте картину, все элементы которой – треугольники.

Заключение

Значение геометрии непрерывно возрастает. В геометрии возрождаются новые идеи и методы, всё это расширяет сферу и её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области, деятельности людей, где геометрия не играла бы существенной роли. Даже юристы и историки берут на своё вооружение геометрические методы. В жизни на каждом шагу мы встречаемся                               с геометрическими телами. В нашем проекте представлены лишь азы начала               геометрии. Работа над проектом существенно поменяла наше отношение                    к выполнению домашних заданий, мы не боимся совершать ошибки                          при решении задач и знаем, что любую задачу можно решить различными способами.

Мы думаем, что наша работа является мини пособием для изучения темы «Треугольник».

Возможно, не всё подробно, но в проекте затронуты все       опорно–  полагающие аспекты. В нашем проекте вы найдёте дидактические материалы, математические диктанты и задачи на готовых чертежах для устной работы.

Мы не будем останавливаться над достигнутом и планируем в дальнейшем расширить нашу работу, пополняя её новыми знаниями надеясь, что наша работа стоит наших усилий! 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.             Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений. – 12-е изд. – М.;Просвещение,2002.

2.             Виленкин Н.Я. и др. « Математика » учебник для 5 класса, общеобразовательное учреждение Мнемозина, 2008г.

3.             Волович М.Б. Математика. Дидактический материал для уч-ся 5 класса, общеобразовательного учреждения « Вента-Граф », 2006г.

4.              «Все обо всем». Популярная энциклопедия для детей. М. Компании Ключ-С, Филолог. Общество «Слово» 1996г.

5.             Даширабданова Ц. Творческие задания на легком материале // Математика в школе. -2003. - №2.

6.             Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах. М. Ветрум. 2000г.

7.             Земель С.И. Новый геометрический треугольник. 1962г.

8.             Крымова Л. Применение признаков равенства треугольников                                     к решению практических задач // Математика. – 2004. - №19.

9.             Мищенко Т.М. Признаки равенства треугольников по учебнику Л.С.Атанасяна и др.// Математика в школе.- 2004.- №10.

10.         Погорелов А.В.Геометрия: Учеб.для 7-9 кл. общеобразов.учреждений.-         2-е изд. – М.;Просвещение,2001.

11.         Равен Дж. Педагогическое тестирование : проблемы, заблуждения, перспективы. – Изд. 2-е, испр. – М.;Когито-Центр,2001.

12.         Смирнова И.М., Смирнов В.А. Дидактические материалы по геометрии 7-9 класс. М.;Просвещение,2007.

13.         Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. – 1993.- № 4.

 

 

 

 

 

Приложения

Дидактические материалы

1)Определите равенство треугольников

 

 

 

 

 

 

2) найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Лабораторные работы

1) Равнобедренный треугольник

Цель работы: сформулировать свойство углов при его основании.

Указания к работе:

1. Постройте три равнобедренных треугольника ABC с основанием AC.

2. Измерьте  градусные меры углов А и С .

3. Результаты измерений занесите в таблицу.

4. Сравните углы А и С .

5. Сформулируйте гипотезу.

2)Сумма углов треугольника

Цель работы: сформулировать гипотезу о сумме углов треугольника.

Указание к работе:

1.     Постройте три треугольника.

2.     Измерьте градусные меры углов этих треугольников.

3.     Результаты измерений занесите в таблицу.

4.     Найдите сумму внутренних углов каждого треугольника.

5.     Сформулируйте гипотезу.

Тесты

Стихи о треугольниках

 

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник.

А уж вам-то как не знать…

Но совсем другое дело –

Очень быстро и умело

Треугольники считать.

Например, в фигуре этой

Сколько разных? Рассмотри!

Все внимательно исследуй

И «по краю», и «внутри».

 

Ты на меня, ты  на него, на всех нас посмотри.

У нас всего, у нас всего, у нас всего по три.

Три стороны и три угла, и столько же вершин.

И трижды труднее дело мы трижды совершим.

Все в нашем городе друзья, дружнее не сыскать,

Мы – треугольников семья, нас каждый должен знать.

 

Математические диктанты

 

 

 

Применение треугольников

В тибетской медицине

 

В армии

 

Наши фотографии

Зозуля Света 7В класс

Бушина Вика 7В класс

Лошкарева Вика 7В класс

Наш руководитель-Кулакова Вера Самуиловна