Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования Московской области
«Академия социального управления»
ПРОЕКТ
Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся __8_ класса
теме: «Площадь»
Выполнил
слушатель учебного курса
«Актуальные проблемы развития профессиональной компетентности учителя математики (в условиях реализации ФГОС)»
учитель математики МАОУ Добрыниховской СОШ
г. Домодедово
Киселёва Вера Николаевна
Научный руководитель
Боженкова Л.И., профессор, доктор
педагогических наук
Москва 2013
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Площадь» - стр.4-11
§ 1. ФГОС ООО - стр.4
§ 2. Логико-математический анализ содержания темы - стр.5-7
§ 3. Цели обучения теме « Площадь» - стр.8-11
3.1. Познавательные УУД и их развитие - стр.8-10
3.2. Регулятивные УУД и их развитие - стр.11
3.3. Коммуникативные УУД и их развитие - стр.11
3.4. Личностные УУД и их развитие - стр.11
ГЛАВА 2. Методические рекомендации для обучения теме « Площадь»
- стр.12-26
§ 4. Карта изучения темы и её использование - стр.12-17
4.1. Диагностируемые цели обучения теме - стр.12
4.2. Логическая структура и содержание темы - стр.13-15
4.3. Средства обучения теме (в том числе ИТ) - стр.16
§ 5. Учебный план темы - стр.18-20
§ 6. Примеры реализации целей обучения теме - стр.21-26
6.1 Урок №1 «Площадь» - стр.21-22
6.2. Урок № 6 « Площадь трапеции» (открытия новых знаний) - стр. 22-24
6.3. Урок № 12 « Обобщение и систематизация знаний пот теме площадь » - стр.24-27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ - стр.28
Список литературы - стр.29-31
Приложение - стр.32-43
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы проекта
Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России определяет в качестве важнейшей цели современного отечественного образования и одной из приоритетных задач общества и государства - воспитание и социально-педагогическую поддержку становления и развития высоконравственного, ответственного, творческого, инициативного, компетентного гражданина России. Концепция также является методологической основой ФГОС ООО. В соответствии с требованиями ФГОС рабочие программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) и другие материалы призваны обеспечивать духовно-нравственное развитие, воспитание и качество подготовки обучающихся.
Изучение
математики в основной школе направлено на достижение целей в направлении
личностного развития, метапредметном направлении и предметном направлении.
Изучение темы «Площадь» в курсе геометрии основной школы является традиционным
разделом и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе
геометрии данная тема является актуальной, т.к. имеет огромную практическую
значимость с исторических времён.
Однако при изучении темы «Площадь» возникают определённые трудности: при применении формул, свойства площади, при решении задач требующих дополнительных построений для выявления части фигур, доказательства равновеликости.
Поэтому возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы и с теоретическим материалом, и с задачным материалом по данной теме.
Цель проекта: Разработка рекомендаций обучения теме «Площадь», направленных на достижение требований ФГОС ООО.
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.
Задачи исследования.
1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.
2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ
3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.
4. Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой).
5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов двух – трёх уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики).
Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями.
Практическая значимость:
Методические рекомендации проекта могут быть использованы учителями при составлении рабочих программ по геометрии и при подготовке и проведению уроков по теме «Площадь».
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Площадь»
§ 1. ФГОС ООО
В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает:
формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию;
проектирование и конструирование социальной среды развития обучающихся в системе образования;
активную учебно-познавательную деятельность обучающихся;
построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся.
Стандарт ориентирован на становление личностных характеристик выпускника («портрет выпускника основной школы») в том числе:
умения учиться, осознания важности образования и самообразования для жизни и деятельности, способности применить полученные знания на практике.
Стандарт должен быть положен в основу деятельности школьного учителя при разработке им рабочей программы по предмету.
Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования: личностным, метапредметным, предметным.
Изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить:
осознание значения математики и информатики в повседневной жизни человека;
формирование представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математической науки;
понимание роли информационных процессов в современном мире;
формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях.
ФГОС ООО устанавливает предметные результаты изучения предметной области «Математика и информатика».
§ 2. Логико-математический анализ содержания темы «Площадь»
Логико-математический анализ определений понятий по теме «Площадь»
|
Название понятия |
Вид определения понятия |
Название способа представления определения понятия |
|
Площадь фигуры - это число, получившееся в результате измерения и показывающее, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре. Единичный квадрат – это квадрат со стороной равной единице измерения длины. Единичный квадрат принимается за единицу измерения площади. |
Генетическое определение(конструктивное) определение, т.е. такое определение, в котором описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия.
|
Аксиоматический способ .Площадь фигуры - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в)площадь квадрата со стороной равной единице измерения равна единице. |
Логико-дидактический анализ определения понятия «Площадь»
|
Набор объектов для подведения под понятие |
Родословная понятия |
Классификация |
|
Отрезок Длина отрезка Единицы измерения длин отрезков Единичный отрезок Квадрат Единичный квадрат |
Единичный квадрат |
Не существует |
Логико-математический анализ теорем по теме «Площадь»
|
Теорема |
Вид формулировки теоремы |
Метод доказательства |
Пошаговая запись доказательства теоремы |
Вcе виды утверждений, связанных с теоремой (Следствия теоремы, их истинность) |
|
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. |
Категорическая |
Алгебраический метод (составление уравнения, использование формулы (a+b)2 =a2 +b2 +2ab. |
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a,b и площадью S (рис. 2, а). Докажем, что S=ab. Силлогизм 1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b , как показано на рисунке 1. По свойству 3 площадь этого квадрата (a+b)2. Силлогизм 2. Если фигура составлена из простых фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1 площадей) и двух квадратов с площадями a2 и b2 (свойство 3 площадей). По свойству 2 имеем: (a+b)2=S+S+a2+b2 или a2+2ab+b2=2s+a2+b2. Отсюда получаем S=ab. Теорема доказана.
|
|
Логико-дидактический анализ (ЛДА) теоремы о площади трапеции и логико-математический анализ остальных теорем смотри в приложении 1
§ 3. Цели обучения теме « Площадь»
3.1. Познавательные УУД и их развитие
Перечень познавательных УУД. Общепознавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблем.
К общеучебным УУД относятся: самостоятельное выделение и формулирование учебной цели; информационный поиск; знаково-символические действия; структурирование учебной информации и знаний; произвольное и осознанное построение устного и письменного речевого высказывания; смысловое чтение текстов различных жанров; извлечение информации в соответствии с целью чтения; рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий;
К логическим общепознавательным действиям относятся: анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков; синтез, как составление целого из частей, в том числе с восполнением недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, классификации, сериации объектов; подведение под понятие, выведение следствий; установление причинно-следственных связей; построение логической цепи рассуждения; выдвижение гипотез, их обоснование; доказательство.
Постановка и решение проблем включает: формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
|
|
Познавательные УУД при обучении теме «Площадь» |
||
|
Структурные элементы темы |
Познавательные логические УУД |
Познавательные общеучебные УУД |
Постановка и решение проблем (составление задачи) |
|
Понятие площади |
Сравнение Раскрытие термина понятия Подведение под понятие Дополнение поисковых областей, таблиц метрических соотношений |
Составление набора объектов для подведения под понятие |
|
|
Теорема о площади прямоугольника |
Анализ формулировки теоремы Выведение следствий из условия Синтез Доказательство Пошаговая запись доказательства Формулирование всех видов утверждений |
Знако-символическая запись заключения теоремы |
Формулирование проблемы Самостоятельное создание способов нахождения площади прямоугольника |
|
Теорема о площади параллелограмма |
Анализ формулировки теоремы Формулирование всех видов утверждений Сравнение Синтез Доказательство Пошаговая запись доказательства |
Знако-символическая запись заключения теоремы Преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих площади фигур |
Формулирование проблемы Самостоятельное создание способов нахождения площади прямоугольника |
|
Теорема о площади треугольника |
Анализ формулировки теоремы Формулирование всех видов утверждений Сравнение Синтез Пошаговая запись доказательства |
Знако-символическая запись заключения теоремы Преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих площади фигур |
Формулирование проблемы Самостоятельное создание способов нахождения площади треугольника |
|
Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы |
Анализ формулировки теоремы Формулирование всех видов утверждений Сравнение Пошаговая запись доказательства |
Знако-символическая запись заключения теоремы Преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих площади фигур |
Формулирование проблемы Самостоятельное создание способов наложения треугольников |
|
Теорема о площади трапеции |
Анализ формулировки теоремы Формулирование всех видов утверждений Сравнение Синтез Пошаговая запись доказательства |
Знако-символическая запись заключения теоремы Преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих площади фигур |
Формулирование проблемы Самостоятельное создание способов нахождения площади трапеции |
3.2. Регулятивные УУД и их развитие
К регулятивным УУД относятся: 1) целеполагание (постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно); 2) планирование (определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий); 3) прогнозирование (предвосхищение результата и уровня усвоения, его временных характеристик); 4) контроль (сличение способа действия и его результата с заданным эталоном, с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона); 5) коррекция (внесение необходимых дополнений и корректив в план, и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта); 6) оценка (выделение и осознание учащимся того что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения); 7) волевая саморегуляция, как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолению препятствий, эмоциональная устойчивость к стрессам, эффективные стратегии совладания с трудными жизненными ситуациями).
3.3. Коммуникативные УУД и их развитие
Группа коммуникативных УУД включает: планирование учебного сотрудничества; постановку вопросов; построение
речевых высказываний; лидерство и согласование действий с партнером.
3.4. Личностные УУД и их развитие
Личностные универсальные учебные действия включают: смысло-образование, нравственно-этическое оценивание, самопознание и самоопределение. Владение этими действиями позволяет ученику построить образ своего «Я», способствует личностному, профессиональному, жизненному самоопределению и построению жизненных планов во временной перспективе. Эта группа УУД направлена на установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов; установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом - определение того, «какое значение, смысл имеет для меня учение».
Выделение морально-этического содержания событий и действий; построение системы нравственных ценностей как основания морального выбора; нравственно-этическое оценивание событий и действий с точки зрения моральных норм; ориентировка в моральной дилемме и осуществление личностного морального
выбора – составляющие личностных УУД.
ГЛАВА 2. Методические рекомендации для обучения теме « Площадь»
§ 4. Карта изучения темы и её использование
|
|
|
Формулировки обобщённых целей |
Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель; цель считается достигнутой, если ученик на уровнях: |
Опознаваемость целей |
||
|
первом |
втором |
третьем |
||
|
Ц 1: приобретение учебной информации и становление интеллектуальных умений при изучении: а) понятий; б) теорем; в) типов задач Ц 2: контроль усвоения теоретических знаний при работе: а) с геометрическими понятиями; б) с теоремами; в) с типами и классами задач Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении геометрических и учебных задач Ц 4: формирование коммуникативных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД Ц 5: формирование организационных умений (целеполага-ние, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД) |
Ц 1: а) самостоятельно заполняет систематизационную таблицу определения понятия; б) создаёт знаковую модель теоремы (площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции), теоремы Пифагора и обратной теоремы использованием учебника, карточек с пропусками; в) сравнивает решение однотипных задач 1-го уровня сложности, классифицирует эти задачи, используя помощь. Ц2:а) воспроизводит систематизационную таблицу определения понятия и формулирует определение; приводит примеры; ; вставляет пропущенные в определении слова; раскрывает термин понятия; б) формулирует теорему (площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции), теорему Пифагора и обратную теорему; заполняет пропуски в доказательстве, используя готовую схему; переходит от одной модели теоремы к другой; в) использует предписания для решения классов задач уровня 1 |
Ц 1: а); самостоятельно заполняет систематизационную таблицу определения понятия б) ищет доказательство с помощью схемы поиска; составляет план доказательства; выделяет базис доказательства; в) обобщает решение задач одного типа, составляет приёмы их решения с помощью подсказки; Ц 2: а) формулирует определение понятия; воспроизводит схему взаимосвязи формул площадей геометрических фигур; б) выполняет доказательство на своей модели; заполняет пустую готовую схему доказательства; называет базис доказательства; воспроизводит план доказательства; в) использует предписания для решения типов задач уровня 2 |
Ц 1: а) исследует расположение указанных объектов, самостоятельно составляет схему определения понятия; б) ищет доказательство теоремы, самостоятельно или с помощью неполной схемы поиска; составляет блок-схему доказательства теоремы; в) составляет приемы решения типов задач самостоятельно или по плану Ц 2: а) формулирует определение понятия; устанавливает связи данного понятия с ранее изученными; различает свойства и признаки понятия; указывает область применения даного понятия; б) описывает основную идею доказательства; указывает область применения теоремы; описывает способы рассуждений на этапах «открытия», поиска доказательства теоремы; в) решает задачи рассмотренных классов уровня 3 |
1: а) систематизация определения площади фигуры; б) общие приёмы поиска доказательства утверждений; в) карточки – информаторы различного уровня Ц 2: схемы решения задач всех типов, рассматриваемых в теме Ц 3: а) содержание учебника; записи в словаре: схема понятия, алгоритм распознавания, классификации; б) схема доказательства теоремы; образец записи доказательства теоремы; в) образцы записей решений задач в учебнике и тетради Ц 4: приемы контроля усвоения понятия, доказательства теоремы, решения задачи; приём рецензирования; Ц 5: приёмы выбора целей; рефлексии достижения целей УПД; диагностики и коррекции собственной УПД |
|
Ц 3: решает задачи своего уровня сложности, составляет задачи: по готовому чертежу и требованию, по неполному условию и требованию, по условию без требования; аналогичные, обратные задачи и решает, используя помощь |
||||
|
Ц 4: рецензирует ответы товарищей по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; Ц 5: а) формулирует цели своей учебной деятельности; б) выбирает задачи и решает их, в) осуществляет самопроверку с использованием образцов, приёмов; г) составляет контрольную работу для своего уровня усвоения; д) оценивает свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы о дальнейших действиях, планирует коррекцию учебной познавательной деятельности (УПД) |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
Ц1,3,5 |
Ц1,2,3,5 |
Ц1,2,3,4,5 |
Ц1,2,3,4,5 |
Ц 3,4,5 |
Ц1,2,3,5 |
Ц2,3,5 |
Ц2,3,4,5 |
Ц 1,2,5 |
Ц1,2,5 |
Ц2,3,5 |
Ц2,3,4,5 |
Ц2,3,5 |
Ц2,3,5 |
|
П.48,49 |
П.50 |
П. 51 |
П. 52 |
П. 52 |
П. 53 |
П. 50-53 |
П. 50-53 |
П.54 |
П. 55 |
П. 54 |
П.50-54 |
Контрольная работа |
Урок коррекции |
|
II. Блок актуализации знаний учащихся |
|
Знать: понятие площади многоугольника, формулы площади треугольника и четырёхугольников, теорему Пифагора и обратную теорем, теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу ,единицы измерения площадей. Уметь: использовать свойства площадей при решении задач на нахождение площади; • вычислять площади треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций; • вычислять длины линейных элементов фигур , используя формулы площадей фигур; • решать задачи на доказательство с использованием формул площадей фигур; • решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства). А также получить возможность научиться: • вычислять площади фигур, составленных из двух или более прямоугольников, параллелограммов, треугольников; • вычислять площади многоугольников, используя отношения равновеликости и равносоставленности; |
|
III Основные понятия, теоремы, типы задач, методы, изучаемы в теме «Площадь» (Ц 1,2) П.48.49 Понятия: площадь многоугольника. Основные задачи: нахождение площади фигуры методом равновеликости и равносоставленности; нахождение площади квадрата и стороны квадрата. П.50 Теорема: площадь прямоугольника Основные задачи: нахождение площади прямоугольника и его сторон; зависимость площади от длин сторон; практические задачи П.51 Понятия: основание и высота параллелограмма Теорема: площадь параллелограмма Основные задачи: нахождение площади параллелограмма и его элементов по формуле; использование свойства прямоугольного треугольника с острым углом в 30 градусов. Метод решения задач: метод площадей. П.52 Понятия: основание треугольника Теорема: площадь треугольника, следствия, теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу Основные задачи: нахождение площади треугольника и его элементов по формуле; нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле; нахождение площади ромба по формуле и методом разбиения на прямоугольные треугольники; задачи на равновеликость и равносоставленность; задачи на доказательство. Методы: применение алгебраического метода решения задач. П.53 Понятия: высота трапеции Теорема: площадь трапеции Основные задачи: нахождение площади трапеции по формуле; нахождение площади равнобедренной и прямоугольной трапеции. П.54 Теорема Пифагора Основные задачи: нахождение гипотенузы, катетов прямоугольного треугольника; нахождение сторон, высоты равнобедренного или равностороннего треугольника; задачи на нахождение площади треугольника, трапеции, ромба и параллелограмма; задачи на доказательство. П.55 Понятия: египетский треугольник Теорема, обратная теореме Пифагора Основные задачи: применение теоремы для выяснения того, является треугольник прямоугольным или нет; нахождение меньшей высоты треугольника. |
IY. Образцы заданий контрольной работы (Ц 5)
1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
2.
Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см2,
а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований
больше другого на 6 см.
3. На стороне АС данного
3. треугольника ABC постройте точку D так, чтобы площадь треугольника ABD составила одну треть площади треугольника ABC
2 уровень
1.
Одна из диагоналей параллелограмма является его
высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь
равна 108 см2.
2. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если AВ
= 12 см, ВС = 14 см, AD =
30 см, ∠В = 150°.
3. На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы
площадь треугольника NMP была в два раза меньше
площади треугольника KMN.
3 уровень
1.
Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между высотами, проведенными
из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Середина М боковой стороны CD
трапеции ABCD соединена отрезками с вершинами А и В. Докажите, что площадь
треугольника АВМ в два раза меньше площади данной
трапеции.
3. Точки A1, В1,
C1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ
треугольника ABC, причем АВ1
= 1/3АС, СА1 =
1/3СВ, ВС1 = 1/3BA. Найдите площадь треугольника А1В1С1 если
площадь треугольника ABC равна 27 см2
|
YIII. Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы (Ц 1 - 5) |
|||
|
Познавательные УУД |
Регулятивные УУД |
Коммуникативные УУД |
Личностные УУД |
|
|
|
|
|
|
Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ; составление схемы определения понятия, подведение под понятие. |
Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить; приёмы саморегуляции |
Взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений |
Рефлексия собственной деятельности |
§ 5. Учебный план темы
|
№ уро- ков |
Раздел, тема урока |
Форма урока; форма обучения |
Предметные и метапредметные результаты Ц 1 (ПЛ УУД), Ц 2 (ПО УУД, РУУД), Ц 3 , Ц 4 (КсУУД, КРУУД), Ц 5 (ПОУУД, РУУД) |
|
|
1-14 |
Раздел «Площадь»: Площадь многоугольника, прямоугольника и квадрата, параллелограмма, треугольника и трапеции, теорема Пифагора и обратная теорема. |
Уроки: «открытия» нового знания, комбинированный, практикум, др. Фронтальная, индивидуальная групповая формы обучения |
Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении: а) понятий; б) типов задач Ц 2: контроль усвоения теоретических знаний: а) геометрических понятий, определений, алгоритмов Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении геометрических и учебных задач Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД Ц 5: развитие организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД)
|
|
|
|
||||
|
1 |
Площадь многоугольника
|
Урок «открытия» нового знания Фронтально-индивидуальная работа |
Ц1, Ц3,Ц5 |
|
|
2 |
Площадь прямоугольника
|
Практикум: Фронтальная индивидуальная формы работы |
Ц1, Ц2, Ц3,Ц5
|
|
|
3 |
Площадь параллелограмма
|
Урок ознакомления с новым материалом. Практикум: Фронтальная работа, работа в парах |
Ц1,Ц 2, Ц3, Ц4,Ц5 |
|
|
4 |
Площадь треугольника
|
Урок ознакомления с новым материалом. Практикум: Фронтальная и групповая формы работы
|
Ц 1, Ц2 Ц 3, Ц 4,Ц5 |
|
|
5 |
Площадь треугольника
|
Практикум: Фронтальная и индивидуальная формы работы |
Ц 3, Ц 4,Ц5
|
|
|
6 |
Площадь трапеции
|
Урок ознакомления с новым материалом. Практикум: Фронтальная и групповая формы работы |
Ц 1,Ц 2, Ц 3, Ц5
|
|
|
7 |
Решение задач на вычисление площадей фигур
|
Практикум: Фронтальная и индивидуальная формы работы |
Ц 2, Ц 3, Ц 5 |
|
|
8 |
Решение задач на нахождение площади
|
Практикум: Фронтальная и парная формы работы |
Ц 2, Ц3, Ц 4, Ц 5
|
|
|
9 |
Теорема Пифагора
|
Урок ознакомления с новым материалом. Практикум: Фронтальная и индивидуальная формы работы |
Ц 1, Ц 2, Ц 5
|
|
|
10. |
Теорема обратная теореме Пифагора
|
Урок ознакомления с новым материалом. Практикум: Фронтальная и групповая формы работы |
Ц 1, Ц 2, Ц 5 |
|
|
11. |
Решение задач по теме «Теорема, Пифагора»
|
Практикум: Фронтальная и индивидуальная формы работы |
Ц 2, Ц 3, Ц 5 |
|
|
12 |
Решение задач
|
Практикум: Фронтальная и парная формы работы |
Ц 2,Ц 3, Ц 4, Ц 5 |
|
|
13.
|
Контрольная работа по теме «Площадь»
|
Индивидуальная форма работы |
Ц 2, Ц3, Ц 5 |
|
|
14 |
Урок коррекции |
Практикум. Индивидуальная форма работы. |
Ц 2, Ц 3, Ц5: |
|
|
Внеурочная самостоятельная деятельность: |
||||
I. Тематика для подготовки рефератов, выступлений на конференцию, математический вечер, декаду математики и др. (по итогам изучения темы, курса за четверть, за 1-е полугодие, за год 1) Другие доказательства теоремы Пифагора;2) Подборка задач на равновеликость и равносоставленность; 3) Самостоятельно выбранная тема.
|
||||
§ 6. Примеры реализации целей обучения теме
6.1. Урок № 1 « Площадь (урок открытия новых знаний с элементами исследования)
|
Предмет, класс |
Геометрия, 8 класс |
Автор УМК |
Л.С.Атанасян |
|
ФИО учителя, школа |
Киселёва Вера Николаевна, МАОУ Добрыниховская СОШ городского округа Домодедово |
||
|
Тема урока |
Площадь |
||
|
Тип урока |
Урок открытия новых знаний с элементами исследования |
||
|
1.Деятельность учителя |
2.Деятельность учащихся (осуществляется через действия) |
3. УУД (название, вид) |
|
|
Этап 1. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока. |
|||
|
Цель учителя: организовать продуктивную деятельность учащихся по открытию формулы для нахождения площади трапеции |
Цель учащихся: создать образовательный продукт: площадь многоугольника |
Познавательные общеучебные действия: принятие и сохранение познавательной цели, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели 1.1.0,1.1.1 Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками 2.1.1
|
|
|
Этап 2. Повторение и актуализация необходимых знаний. |
|||
|
Задание. Принимая площадь клетки за 1 ед2, используя формулу площади, вычислите площадь каждой фигуры. Обучающиеся поочередно с места называют фигуру, вычисляют значение площади каждой фигуры. Выявить аналогию с определением длины отрезка.
|
Приближенно вычисляют площадь фигуры, подсчитав количество квадратов. Называют тему урока, формулируют проблему (задачу) урока. Записывают в тетради тему урока.
|
1.1.8 Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности 1.1.4 Выпролнение знакосимволических действий 1.2.8 Построение логической цепи рассуждения 2.2.6 Взаимоконтроль, взаимооценка УПД 1.2.3 Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов 2.2.1 Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
|
|
Этап 3. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы. |
|||
|
Типовое задание 3: составить схему взаимосвязи понятий длины отрезка и площади четырёхугольника.
|
Ученики предлагают различные варианты нахождения площади четырёхугольника. Решения переносят на инт.доску. Обсуждение решений.
|
1.3.1 Формулирование проблемы 1.1.2 Поиск необходимой информации и её понимание (смысловое чтение, определение основной и второстепенной информации) 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
|
6.2. Урок № 6 « Площадь трапеции (урок открытия новых знаний с элементами исследования)
|
Предмет, класс |
Геометрия, 8 класс |
Автор УМК |
Л.С.Атанасян |
|
ФИО учителя, школа |
Киселёва Вера Николаевна, МАОУ Добрыниховская СОШ городского округа Домодедово |
||
|
Тема урока |
Площадь трапеции |
||
|
Тип урока |
Урок открытия новых знаний с элементами исследования |
||
|
1.Деятельность учителя |
2.Деятельность учащихся (осуществляется через действия) |
3. УУД (название, вид) |
|
Этап 1. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока. |
||
|
Цель учителя: организовать продуктивную деятельность учащихся по открытию формулы для нахождения площади трапеции |
Цель учащихся: создать образовательный продукт: формула площади трапеции |
Познавательные общеучебные действия: принятие и сохранение познавательной цели, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели 1.1.0,1.1.1 Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками 2.1.1
|
|
Этап 2. Повторение и актуализация необходимых знаний. |
||
|
Задание. Принимая площадь клетки за 1 ед2, используя формулу площади, вычислите площадь каждой фигуры. Обучающиеся поочередно с места называют фигуру, формулируют теорему площади и вычисляют значение площади каждой фигуры. (фигуры из презентации, см. приложение 3) |
Приближенно вычисляют площадь трапеции, подсчитав количество квадратов. Называют тему урока, формулируют проблему (задачу) урока. Записывают в тетради тему урока, чертят трапецию. Поочередно рассказывают все о трапеции: определение, виды, свойства равнобедренной трапеции. Замечают, что в формулах используются основание и высота. Отмечают в тетрадях (один ученик на интерактивной доске) основания и высоту, дают определение высоты |
1.1.8 Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности 1.1.4 Выпролнение знакосимволических действий 1.2.8 Построение логической цепи рассуждения 2.2.6 Взаимоконтроль, взаимооценка УПД 1.2.3 Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов 2.2.1 Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
|
Этап 3. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы. |
||
|
Типовое задание 3: составить схему взаимосвязи понятий Проводя аналогию с тем, что нам уже известно, как вы думаете, через какие элементы можно выразить площадь трапеции? Попытайтесь найти эту закономерность, используя приём «достраивания» и «разбиения». Как можно проводить дополнительные построения, чтобы к нахождению площади трапеции модно было подойти через площади известных многоугольников?
|
Ученики предлагают различные варианты нахождения площади трапеции. Решения переносят на инт.доску. Обсуждение решений.
|
1.3.1 Формулирование проблемы 1.1.2 Поиск необходимой информации и её понимание (смысловое чтение, определение основной и второстепенной информации) 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
6.3. Урок № 12 « Обобщение и систематизация знаний по теме Площадь» (решения задач)
Технологическая карта урока по геометрии в 8 классе Тема: Обобщение и систематизация сведений по теме «Площадь»
|
Предмет, класс |
Геометрия, 8 класс |
Автор УМК |
Л.С.Атанасян |
|
ФИО учителя, школа |
Киселёва Вера Николаевна, МАОУ Добрыниховская СОШ городского округа Домодедово |
||
|
Тема урока |
Обобщение и систематизация знаний по теме «Площадь» |
||
|
Тип урока |
Повторительно-обобщающий |
||
|
1.Деятельность учителя |
2.Деятельность учащихся (осуществляется через действия) |
3. УУД (название, вид) |
|
Этап 1. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока. |
||
|
Цель учителя: организовать продуктивную деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний по теме «Площадь» |
Цель учащихся: создать образовательный продукт: нахождение площадей фигур не имеющих конкретных формул. |
Познавательные общеучебные действия: принятие и сохранение познавательной цели, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели 1.1.0,1.1.1 Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками 2.1.1
|
|
Этап 2. Повторение и актуализация необходимых знаний. |
||
|
Актуализировать и фиксировать индивидуальные затруднения в пробном учебном действии 1. Повторение формул на нахождение площадей фигур . 2.решение задач на нахождение площади заштрихованной фигуры. Каким правилом пользовались?(использование ЦОР) 3.Организовать работу с учебником по повторению формул и свойства площади. |
1. Двое учащихся готовят теоретические вопросы у доски. 2. Проговаривают формулы на нахождение площадей фигур. 3. Устно решают задачи по готовым чертежам. 4. Проговаривают свойства площади. 5. Находят свойства и формулы в учебнике, зачитывают их. |
1.1.8 Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности 1.1.4 Выполнение знакосимволических действий 1.2.8 Построение логической цепи рассуждения 2.2.6 Взаимоконтроль, взаимооценка УПД 1.2.3 Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов 2.2.1 Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
|
Этап 3. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы. |
||
|
Проблема: как найти площадь фигуры, не имеющей конкретной формулы. Предлагается несколько фигур (раздаточный материал по материалам ЕГЭ) (смотри приложение)
|
Осознание проблемы, поиск пути решения |
1.3.1 Формулирование проблемы 1.1.2 Поиск необходимой информации и её понимание (смысловое чтение, определение основной и второстепенной информации) 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
|
Этап 4. Выдвижение гипотез, составление плана действий для решения проблемы, её решение (создание эталона) |
||
|
Организует поддержку обучающихся на пути к самостоятельным выводам. |
Подсчитывают квадратные сантиметры. Делают вывод: Можно комбинировать фигуру из известных фигур и пользоваться известными формулами
|
1.1.1 Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели 1.3.2 Выдвижение гипотез и их обоснование 1.3.3 Самостоятельное создание способов решения проблемы 1.1.8 Самоконтроль и самооценка способов и результатов деятельности 2.2.6 Взаимоконтроль и взаимооценка УПД 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) 1.1.6 Построение речевых высказываний в устной и письменной форме 1.1.4 Выполнение знаково-символических действий 1.2.1 Сравнение
|
|
Этап 5. Первичное закрепление (действие в форме громкой, внешней речи) |
||
|
Составить информационную схему (смотри приложение 2) |
Выполнение типового задания: составление информационной схемы формул площадей фигур |
1.1.3 Структурирование информации и знаний 1.2.4 Синтез 1.1.6 Поиск необходимой информации и её понимание (смысловое чтение, определение основной и второстепенной информации) 1.1.8 Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности 2.2.6 Взаимоконтроль и взаимооценка УПД
|
|
Этап 6. Самостоятельная работа (действие в форме внутренней речи) |
||
|
Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых |
Выполнение заданий с использованием информационной схемы |
1.2.4 Синтез (самостоятельное достраивание) 1.1.8 Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности 1.1.5 Выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. |
|
Этап 7. Включение изученной учебной информации в систему известных знаний |
||
|
Предлагается перечень задач на готовых чертежах (смотри презентация из приложения 3) |
Решение задач |
1.2.6 Сериация и классификация 1.2.7 Установление причинно-следственных связей 1.1.3 Структурирование информации и знаний 1.1.6 Построение речевых высказываний в устной форме 2.2.2 Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказывания в устной и письменной форме) |
|
Этап 8. Рефлексия деятельности ( соотнесение результатов с поставленными целями урока) |
||
|
Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков: самостоятельная работа в парах (приложение 4) |
Выполнение самостоятельной работы, взаимооценка. |
1.1.6 Построение речевых высказываний в письменной форме 1.1.7 Рефлексия способов и условий действия 1.1.8 Самоконтроль и самооценка процесса и результатов действия |
Заключение
Таким образом, цель проекта реализация требований ФГОС ООО при разработке методики обучения теме «Площадь» учащихся 8 класса общеобразовательной школы выполнена.
Задачи проекта решены, выполнен отбор средств обучения теме, разработана таблица целей и карта обучения теме, разработаны методические рекомендации обучения теме и показано их применение при обучении учащихся.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по геометрии.
1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования /Министерство образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. 48 с.
2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2010. – 159 с.
3. Атанасян Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2012. – 384с.
4. Боженкова Л.И. Планиметрия. Схемы, таблицы, УУД. Учебные материалы. – М., Калуга: КПГУ им. К.Э. Циолковского, 2012. – 62 с.
5. Гаврилова Н.Ф. Геометрия 8. Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход. М.: Вако, 2009 – 366 с.
6. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. - М.: Просвещение, 2009. – 24 с.
7. Ершова А.П., Голобородько В.В. Ершова А.С. Алгебра. Геометрия 8. Самостоятельные и контрольные работы. М.: Илекса, 2009. – 207 с.
8. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Геометрия 8. Самостоятельные работы. Тематические тесты. Тесты для промежуточной аттестации. М.: Легион, 2012. – с.142.
9. Савченко Е.М. Уроки геометрии с применением информационных технологий. 7–9 классы. Методическое пособие с электронным приложением. М.: Планета. 2011. – 256 с.
10. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. –67с.
Каталог электронных ресурсов по теме проекта
1.Сеть творческих учителей. Сообщество учителей математики
http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com
2.Газета "Математика" Издательского дома "Первое сентября"
http://mat.lseptember.ru
3.Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
http://school-collection.edu.ru
4.Сайт УМК Смирновых по геометрии для 7-11 классов
http://geometry2006.narod.ru
5.Проект «Математика»
http://mathematics.ru/index.php.
6.Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО)
http://www.mccme.ru
7.AIlmath.ru - вся математика в одном месте
http://www.allmath.ru
8.Exponenta.ru: образовательный математический сайт
http://www.exponenta.ru
9.Геометрический портал
http://www.neive.by.ru
10.ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию
http://www.uztest.ru
11.Задачи по геометрии: информационно-поисковая система
http://zadachi.mccme.ru
12.Математические этюды
http://www.etudes.ru
13.Методика преподавания математики
http://methmath.chat.ru
14.ЭОР к учебнику Атанасяна Л.С.
http://school-collection.edu.ru
15. Автоматизированное рабочее место учителя
http://arm-math.rkc-74.ru
16. Каталог образовательных ресурсов сети Интернет
17. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов
Приложение 1
Логико-математический анализ теорем по теме «Площадь»
|
Теорема |
Вид формулировки теоремы |
Метод доказательства |
Пошаговая запись доказательства теоремы |
Вcе виды утверждений, связанных с теоремой (Следствия теоремы, их истинность) |
||
|
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. |
Категорическая |
Синтетический |
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый (рис. 2).
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB и перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Силлогизм 1.Если фигура составлена из простых фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. С другой стороны площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Силлогизм 2. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны Силлогизм 3. Равные фигуры имеют равные площади Площади прямоугольных треугольников AEB и DFC равны Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD Силлогизм 4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Площадь прямоугольника AEFD равна AE · AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a · h. Теорема доказана. |
|
||
|
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. |
категорическая |
синтетический |
Рисунок 3 Дополнительное построение: параллелограмм Пусть ABC – данный треугольник (рис.3 ). Дополним его до параллелограмма ABCD (рис. 4)
Силлогизм 1.Если фигура составлена из простых фигур, то его площадь равна сумме их площадей. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Силлогизм 2. В параллелограмме противоположные стороны равны CD=AB Силлогизм3. Третий признак равенства треугольников Треугольник ACD равен треугольнику ABC Силлогизм 4. Равные фигуры имеют равные площади. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует
утверждение теоремы, и |
1.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов 2.Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. |
||
|
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. |
Условная |
Метод геометрических преобразований и алгебраический метод |
Силлогизм 1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту |
|
||
|
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. |
Категорическая |
Синтетический и алгебраический |
Силлогизм 1.Площадь
фигуры равна сумме площадей простых фигур на которые она разбита. |
|
||
|
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Категорическая |
Синтетический и алгебраический |
Рисунок 6
Силлогизм 1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны Силлогизм 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов Силлогизм 3. Если фигура составлена из простых фигур, то его площадь равна сумме их площадей.
|
|
Логико-дидактический анализ (ЛДА) теоремы о площади трапеции.
1. Другой метод доказательства теоремы о площади трапеции существует, это алгебраический метод применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции, применить его в 8 классе невозможно.
2. Другие способы доказательства теоремы о площади трапеции:
Рисунок 7
Док-во:
S=S1+S2+S3 (по 2-у свойству площадей)
S1=ah
S2=1/2ch; S3=1/2h*(b-c-a)
S3=1/2hb-1/2hc-1/2ah
S1+S2+S3=ah+1/2ch+1/2hb-1/2ch-1/2ah=1/2ah+1/2bh=1/2h(a+b),
ч.т.д.
Рисунок 8
Док – во:
3. Родословная теоремы:
1) свойство аддитивности площади фигуры: если фигура состоит из двух неперекрывающихся фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
2 )площадь треугольника
3) площадь параллелограмма
4) площадь прямоугольника
4.Схема поиска доказательства теоремы:
1) рассмотрим определение площади фигуры и свойства, которым оно подчиняется: Площадь фигуры - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в )площадь квадрата со стороной равной единице измерения равна единице. Какие выводы можно сделать? Трапецию нужно разбить на части.
2) Площади каких фигур мы умеем находить? Называем прямоугольник, треугольник и параллелограмм.
3)Как связать данные фигуры с трапецией? Приходим к различным способам разбиения трапеции на части.
4)Как провести алгебраические выкладки вычисления площади трапеции? Преобразуем сумму площадей в выражение.
5. Важность теоремы состоит в её практическом применении.
Приложение 2
Приложение 3
Презентация по теме Площадь
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В проекте представлены теоретические основы изучения темы "Площадь", методические рекомендации для обучения по теме "Площадь", фрагменты технологических карт уроков, карта изучения темы и её использование, диагностируемые цили изучения темы и примеры их реализации.
Материал проекта поможет учителю реализовать требования ФГОС ООО при обучении теме учащихся 8 класса.
Проект может быть интересен начинающим учителям математики.
6 663 776 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Киселева Вера Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.