Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа с. Становое
Проблемно- реферативный
проект по математике на тему:
«Задача о трисекции угла – одна из знаменитых
задач древности».
Работу выполнил:
Дуб Сергей,
обучающийся 8 «г» класса МБОУ СОШ с. Становое.
Научный руководитель: учитель математики
Дуб Оксана Владимировна.
2 слайд
Цель работы:
-Выяснить, действительно ли невозможно построить квадрат, равновеликий данному кругу.
Задачи:
Более подробно изучить попытки решить задачу о трисекции угла;
Попробовать самому разделить любой угол на три равные части с помощью только циркуля и линейки;
Сделать вывод о возможности решения данной задачи и выяснить, почему задача называется неразрешимой.
Этапы работы:
Сбор информации по данной проблеме;
Обработка полученной информации;
Попытка решить задачу самостоятельно;
Оформление результатов;
Защита работы
3 слайд
«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. «
(В. Произволов)
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: об удвоении угла, о квадратуре круга и о трисекции угла.
4 слайд
Возникновение задачи о трисекции угла (т.е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников.
Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье).
5 слайд
Практическое применение трисекции угла. Исторические факты.
Из истории известно, что еще в каменном веке человек строил себе жилище в виде шалаша конической или полусферической формы. При этом люди фактически решали две конструктивные задачи: построение окружности, ограничивающей круглый пол шалаша, и деление окружности на равные части, чтобы наметить места, в которых будут воткнуты жерди или прутья, образующие остов шалаша.
Возраст колеса, найденного при раскопках в Болгарии 5830±50 лет. Изготовление колес предполагало умение измерять длину обода (окружности) и деление окружности (обода) на равные части (для колес со спицами).
6 слайд
Деление прямого угла на три равные части
Деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.
7 слайд
Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN, откладываем на полупрямой AN произвольный отрезок AC, на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол CAB
равен 60°, то угол BAM равен 30°. Построим биссектрису AD
угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN
на три равных угла: NAD, DAB, BAM.
Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90°/2n, n – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.
Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой.
Решение пифагорейцев
8 слайд
Используя данный способ, можно разделить угол в 450 на три равные части.
Задача о трисекции прямого угла оказывается разрешимой. То, что любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки было доказано лишь в первой половине XIX века.
Делю угол в 450 на три равные части.
9 слайд
Я попытался данным способом разделить два произвольных острых угла на три равные части, но у меня ничего не получилось.
10 слайд
Способы решения задач о трисекции угла:
решение способом «вставок»,
решение с помощью квaдрaтрисы,
решение с помощью теоремы Морлея.
11 слайд
Решение способом «вставок»
Папп Александри́йский (др.-греч. Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς) — математик и механик эпохи позднего эллинизма, живший и работавший в Александрии. Ни год рождения, ни год смерти Паппа не известны.
рис. 2
рис. 3
Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми l1 и l2 сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы.
12 слайд
Решение с помощью квaдрaтрисы
Ги́ппий Эли́дский (жил около 400 года до н. э.) — древнегреческий философ. Гиппий обладал обширными познаниями во многих науках, за что получил прозвище «многознающий» (Полигистор).
Прокл Диадох приписывает Гиппию открытие квадратрисы — кривой, с помощью которой можно было делить произвольный угол в произвольном отношении. (Квадратрисой её назвали позднее.)
13 слайд
Решение с помощью теоремы Морлея
Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично (рис. 6). Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника
рис. 6
14 слайд
ВАС1 +
АВС1 < 60º
1) Построим два произвольных угла ÐBAC1 и ÐАВС1, одна сторона которых является общей.
Построенные углы должны удовлетворять неравенству
2) Пусть луч АС1 – ось симметрии. Отразим Ð ВАС1 относительно оси АС1. Аналогично, отразим относительно оси ВС1 Ð АВС1.
15 слайд
3) Пусть луч АС2 – ось симметрии. Отразим ÐC1АC2 относительно оси АС2. Аналогично, отразим относительно оси ВС2 ÐC1ВC2.
4) Соединим точки пересечения трисектрис С1 и С2 отрезком С1С2.
16 слайд
5) В теореме Морли сказано, что при пересечении трисектрис треугольника получается правильный треугольник, а отрезок С1С2 является перпендикуляром к основанию правильного треугольника и проходит через вершину этого треугольника. Для того, чтобы построить правильный треугольник, зная его высоту, необходимо:
а) построить лучи, исходящие из точки С1 под углом 30º относительно отрезка С1С2;
б) отметить точки пересечения построенных лучей с трисектрисами буквами В1 и А1;
в) соединить точки А1, В1, С1. Получим равносторонний треугольник А1В1С1.
6) Проведем лучи из точки С, проходящие через вершины правильного треугольника В1 и А1.
Оставим на рисунке отрезки трисектрис треугольника.
17 слайд
Сравнительный анализ способов построения трисектрисы угла
18 слайд
Применение
Трисекция угла необходима при построении правильных многоугольников. Я рассмотрел процесс построения на примере правильного девятиугольника, вписанного в окружность
19 слайд
Трисектор и схема его применения
Часы-трисектор
(инструкция по применению в приложении)
Оборудование: циркуль, линейка, часы со стрелками, карандаш, прозрачная бумага.
20 слайд
Работая по данной теме, я сделал следующие выводы:
возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);
подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий (способ «вставок», появление квадратрисы, теорема Морлея);
неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам: найти решение или доказать невозможность – большой почёт.
А также я узнал:
о математиках, изучавших данную задачу;
новые понятия, термины (трисекция, трисектор, квадратриса) и теоремы (Морлея)
и научился:
эффективно находить и отбирать необходимый материал;
систематизировать полученные знания.
21 слайд
Список литературы
1.Прасолов В. В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. — 80 с. (Популярные лекции по математике; Вып. 62).
2.История математики с древнейших времён до начала ХIХ столетия. В трёх томах. Том I. Под редакцией А.П.Юшкевича.– М.: Наука. – 353 с.
3.Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности (История и современность). Издательство Ростовского университета, 1975.
4.Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики /В. Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 488 с.
5.Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. Кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков, А.П.Ершов, Л.Д.Кудрявцев, А.Л.Онищик, А.П.Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988.- С. 596
6.Краткий справочник школьника. 5 – 11 кл. / Авт.-сост. П.И.Алтынов, П.А.Андреев, А.Б.Балжи и др. – М.: Дрофа, 1997. – 624 с.
7.Чекмарев Евгений, Халилов Фахри. Проектная работа «Трисекция угла». Москва, 2007.
8.http://ru.wikipedia.org
9.http://school-collection.edu.ru/
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
· Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)
Древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга
6 663 987 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дуб Оксана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
7 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.