Главная / Математика / Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Задача о трисекции угла – одна из знаменитых задач древности».

Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Задача о трисекции угла – одна из знаменитых задач древности».

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Становое







Проблемно- реферативный

проект по математике на тему:

«Задача о трисекции угла – одна из знаменитых

задач древности».









Работу выполнил:

Дуб Сергей,

обучающийся 8 «г» класса

МБОУ СОШ с. Становое.

Научный руководитель:

учитель математики

Дуб Оксана Владимировна.









2014 год




Сл1

Актуальность:

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки


Цель работы: сл2

  • Выяснить, действительно ли задача о трисекции угла неразрешима.

Задачи:

  • Более подробно изучить попытки решить задачу о трисекции угла;

  • Попробовать самому разделить любой угол на три равные части с помощью только циркуля и линейки;

  • Сделать вывод о возможности решения данной задачи и выяснить, почему задача называется неразрешимой (с приведением доказательства).

Этапы работы:

  • Сбор информации по данной проблеме;

  • Обработка полученной информации;

  • Попытка решить задачу самостоятельно;

  • Оформление результатов;

  • Защита работы

Сл 3

Введение



  • Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)



Древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга.

Задачу о квадратуре круга я уже рассматривал. Теперь меня заинтересовала задача о трисекции угла.

Проблема задачи о трисекции угла – требуется данный, но произвольный угол разделить на три равные части.

Сл4 История возникновения задачи о трисекции угла

Возникновение задачи о трисекции угла (т.е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Сл 5

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью. В частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии

(Приложение 1 к проекту).

Я начал собирать информацию о возможности разделить любой угол на три равные части с помощью только циркуля и линейки. Изучив найденную информацию, я выяснил, что в некоторых частных случаях легко удается выполнить деление угла.

Сл 6

Деление прямого угла на три равные части

Деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой MAN (рис.1)

hello_html_m19cc91d8.gif

Рис. 1

















Откладываем на луче AN произвольный отрезок АС, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как САВ равен 60º, то ВАМ равен 30º. Построим биссектрису АD угла САВ, получаем искомое деление прямого МАN на три равные угла: NAD,  DAB,  ВАМ.

Сл 7

Используя данный способ, можно разделить угол в 450 на три равные части.

Сл 8

Задача о трисекции прямого угла оказывается разрешимой. То, что любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки было доказано лишь в первой половине XIX века.

Сл 9

Я попытался данным способом разделить два произвольных острых угла на три равные части, но у меня ничего не получилось.

Тогда я начал искать материал о других способах решения этой задачи. Я выяснил, что существуют еще такие способы: сл 10

- решение способом «вставок»,

- решение с помощью квaдрaтрисы,

- решение с помощью теоремы Морлея,

Сл 11

Решение способом «вставок»

Некоторые способы трисекции угла, рассматриваемые греками, использовали так называемый метод вставки. Он заключался в том, чтобы найти положение прямой, проходящей через данную точку O, на которой две заданные прямые (или прямая и окружность) высекали бы отрезок данной длины a. Такое построение можно осуществить с помощью циркуля и линейки с двумя делениями, расстояние между которыми равно a. Рис 2

hello_html_m7bef908b.png



hello_html_m7bef908b.png









С помощью «вставок» разделить угол на три равные части очень легко.

Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми l1 и l2 сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. (Рис 3). Ход построения я изучил этот способ.

Решение с помощью квaдрaтрисы

Сл 12



К «грaммическим» зaдaчaм относится зaдaчa о делении углa в любом отношении. Первую кривую для решения тaкой зaдaчи изобрел Гиппий Элидский (Приложение 2). B дальнейшем (нaчинaя с Динострaтa) эту кривую тaкже использовaли и для решения квaдрaтуры кругa. Лейбниц (см. Приложение 2) нaзвaл эту кривую квaдрaтрисой.



Сhello_html_65e105e6.pngл 13

Решение с помощью теоремы Морлея



Так как любой угол нельзя разделить на три равные части, то мы можем решить задачу о трисекции угла в обратном порядке, используя теорему Морлея (см. Приложение 2).

Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично (рис. 6). Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника.









Решим следующую задачу: построим треугольник, из всех углов которого проведены трисектрисы.

План построения. Представлен на слайдах .

Сл 14 Сл 15 сл 16



Сл. 17

Сравнительный анализ способов построения трисектрисы угла

hello_html_m5fa8c885.png

Из приведенной таблицы видно, что задача трисекций угла в 900 решается всеми четырьмя способами. Любой острый угол можно разделить на 3равные части только при использовании вспомогательных средств, а углы hello_html_1469c35e.gifможно разделить на 3 равные части при помощи циркуля и линейки.









Сл 18

Применение

Трисекция угла необходима при построении правильных многоугольников. Я рассмотрел процесс построения на примере правильного девятиугольника, вписанного в окружность (рис. 7).

hello_html_mfdf030c.png

Рис. 7







Трисектор

Задача о трисекции угла в общем случае не разрешима при помощи циркуля и линейки, но это вовсе не значит, что данную задачу нельзя решить другими вспомогательными средствами.

Для достижения указанной цели придумано много механических приборов, которые называются трисекторами. Простейший трисектор легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он послужит подсобным чертёжным инструментом.

Трисектор и схема его применения. В приложении.







Выводы

Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка

Работая по данной теме, я сделал следующие выводы:

  • возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);

  • подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий (способ «вставок», появление квадратрисы, теорема Морлея);

  • неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам: найти решение или доказать невозможность – большой почёт.

А также я узнал:

  • о математиках, изучавших данную задачу;

  • новые понятия, термины (трисекция, трисектор, квадратриса) и теоремы (Морлея)

и научился:

  • эффективно находить и отбирать необходимый материал;

  • систематизировать полученные знания.















10



Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Задача о трисекции угла – одна из знаменитых задач древности».
  • Математика
Описание:

 

 

Актуальность:

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки

 

Цель работы:               

·            Выяснить,  действительно ли  задача о трисекции угла неразрешима.

Задачи:

·          Более подробно изучить попытки решить  задачу о трисекции угла;

·          Попробовать самому разделить любой угол на три равные части с помощью только циркуля и линейки;

·          Сделать вывод о возможности решения данной задачи и выяснить, почему задача называется неразрешимой (с приведением доказательства).

Этапы работы:

·                         Сбор информации по данной проблеме;

·                         Обработка полученной информации;

·                         Попытка решить задачу самостоятельно;

·                         Оформление результатов;

 

·                         Защита работы

Автор Дуб Оксана Владимировна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 540
Номер материала 35005
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓