Главная / Математика / Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Фигурные числа- это интересно! ».

Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Фигурные числа- это интересно! ».


МБОУ СОШ с. Становое




Открытая школьная научно-практическая конференция

«Юность. Наука. Культура – 2012»






Проблемно- реферативный

проект по математике на тему:

«Фигурные числа- это интересно! ».





Работу выполнил:

Дуб Сергей,

обучающийся 6«г» класса

филиала МБОУ СОШ с. Становое

в с. Становое.

Научный руководитель:

учитель математики

Дуб Оксана Владимировна.


2012 год



Содержание:

  1. Паспорт проекта ……………………. 3

  2. Введение………………………………4

  3. Собранная информация по теме…….5-11

  4. «Выкладывание» фигурных чисел….12-13

  5. Выводы……………………………….13

  6. Список литературы………………….14



































Паспорт проекта: (слайд 1)

Актуальность:

  Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Оказывается, что существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических тел. Это – телесные числа (пространственные фигурные числа).

Цель работы: (слайд 2)

Выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно с помощью камешков выкладывать в виде плоских геометрических фигур, геометрических тел.

Задачи:

  • Узнать, какие числа называются фигурными, телесными;

  • Изучить историю возникновения фигурных и телесных чисел;

  • Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных и телесных чисел чисел;

  • Научиться самому «выкладывать» фигурные числа;

  • Познакомить своих одноклассников с фигурными и телесными числами.

Этапы работы: (слайд 3)

  • Сбор информации по данной проблеме;

  • Обработка полученной информации;

  • «Пробы» выкладывания чисел;

  • Оформление результатов;

  • Защита работы.



Введение

У истоков греческой математики, вероятно, начиная еще с VI века до н. э., обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический. Он состоит в использовании камешков одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладывались фигуры.

O. Becker

   Давным-давно, начиная ещё с 6 века до н.э., греческие математики обнаружили интересный способ рассмотрения чисел, который можно назвать как полуарифметический-полугеометрический. Способ состоял в том, что, используя камешки одинаковой величины и формы, можно выкладывать числа с помощью фигур. Я заинтересовался этим и решил выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических фигур и тел?

Я поставил перед собой следующие задачи:

  • Узнать, какие числа называются фигурными;

  • Изучить историю возникновения фигурных чисел;

  • Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных чисел (плоских и пространственных);

  • Научиться самому «выкладывать» фигурные числа;

  • Познакомить своих одноклассников с фигурными числами.















Собранная информация по теме

(слайд 4)

Начал я свою работу по данной проблеме со сбора информации из разных источников, в том числе из Интернета. Изучив найденную информацию, я выяснил, что фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в VI веке до нашей эры – в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем.

           hello_html_56a5c083.pngПифагор

 

(слайд 5)

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа.

(слайд 6)

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Итак, фигу́рные чи́сла — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел: (слайд 7)

Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):

hello_html_44ea199e.png

(линейное число 5)

(слайд 8)

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):

hello_html_532c4f8e.png

(плоское число 6)

 (слайд 9)

Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):

hello_html_16e0c336.png

(телесное число 8)

(hello_html_m3250c1c7.pngслайд 10)

Треугольные числа:

hello_html_5251d602.png

(треугольные числа 3,6,10)

(слайд 11)

Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n2,...)выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами.

hello_html_m3db83f67.png

(квадратные числа 4,9,16)

(hello_html_m5fdad34c.pngслайд 12)

Пятиугольные числа:

hello_html_68187ae5.gifhello_html_6d020f3e.gif

(пятиугольные числа 12, 5)

(слайд 13)

Кубические числа.

hello_html_511b72c9.png

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000

и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят:

"два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?

(слайд 14)

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

hello_html_m1e0149fd.png

(слайд 15)

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:

5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

hello_html_m17ff182c.png



(слайд 16)

В том же числе 10:

hello_html_m49584fd3.png

(2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительный закон сложения относительно умножения: (a+b)c=ac+bc.

(слайд 17)

Наконец, если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab:  автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.























(слайд 18)

Пьер Ферма обнаружил, например, что
   а) всякое натуральное число есть треугольное или сумма двух или трех треугольных чисел;
   б) всякое натуральное число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел;
   в) всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел;
   г) вообще всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем k k-угольных чисел.

(слайд 19)

Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возведение в квадрат или куб». Посмотрите:

hello_html_m463cb3d0.gif

1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д.

(слайд 20)

Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это- развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.

(слайд 21)

Даже в XVII веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей- бытовых расчетов, вспомогательных вычислений , - но никак не для благородных научных трудов.

hello_html_m6cdb8aed.jpg

Один из крупнейших математиков того времени, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами.
















«Выкладывание» фигурных чисел

(слайд 22)

Кhello_html_6096a26.gifhello_html_6096a26.gifhello_html_m4f5f609a.gifроме изучения теоретического материала я выполнил ряд «проб» выкладывания фигурных чисел с помощью обыкновенных ватных дисков. hello_html_m3a8c7cd.jpghello_html_5692aec1.jpghello_html_m4daeb94f.jpg

Треугольное число 3 Треугольное число 6 Треугольное число 10

(слайд 23)

hello_html_m4238799f.jpghello_html_m3d58c7b9.gifhello_html_m25ba406f.jpg

Кhello_html_m3d58c7b9.gifвадратное число 4 Квадратное число 16

hello_html_m5135aac3.jpghello_html_4fcb51ab.gifhello_html_m19680e53.jpg

Пhello_html_m3d58c7b9.gifятиугольное число 5 Пятиугольное число 12

(слайд 24)

Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной: куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков



Интересно? Конечно! Каждый из вас тоже может попробовать выложить фигурные числа в домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, пуговицы или, например, камешки, как древние греки. А можно просто рисовать на бумаге.











Выводы

(слайд 25)

Итак, работая по данной теме, я пришёл к следующим выводам:

  • Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;

  • Выделяются несколько видов данных чисел;

  • Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов

  • Фигурные числа – это интересно!











Список использованной литературы:

 Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.

Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.

Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова

Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005


14


Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Фигурные числа- это интересно! ».
  • Математика
Описание:

Актуальность:

            Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Оказывается, что существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических тел. Это – телесные числа (пространственные фигурные числа).

Цель работы: 

Выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно с помощью камешков выкладывать в виде плоских геометрических фигур, геометрических тел.

Задачи:

l  Узнать, какие числа называются фигурными, телесными;

l  Изучить историю возникновения фигурных и телесных чисел;

l  Выяснить, на какие виды эти числа делятся,  узнать  применение фигурных  и телесных чисел чисел;

l  Научиться самому  «выкладывать» фигурные числа;

l  Познакомить своих одноклассников с фигурными  и телесными числами.

Этапы работы:   

l  Сбор информации по данной проблеме;

l  Обработка полученной информации;

l  «Пробы» выкладывания чисел;

l  Оформление результатов;

 

l  Защита работы.

Автор Дуб Оксана Владимировна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1557
Номер материала 35091
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓