Главная / Математика / Приемы быстрых вычислений

Приемы быстрых вычислений

«Лучше усваиваются те знания,

которые поглощаются с аппетитом»

Анатоль Франс, французский писатель



Приемы быстрых вычислений

В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.

Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».

Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.

Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.

С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.

Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.

В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.



Способы быстрого сложения чисел

Способы быстрого сложения чисел:

порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.

Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:

76+59=(76+50)+9=126+9=135

Сложение с использованием свойств действий с числами

23+65+17=(23+17)+65=40+65=105

При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

76+59=(76+50)+9=126+9=135

Способы быстрого вычитания чисел

Способы быстрого вычитания:

порядковое вычитание

875-342=(800-300)+(70-40+(5-2)=500+30+3=533

Вычитание с использованием свойств действий с числами

757-366=758-300-60-6=458-60-6=392

Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.

Способы быстрого вычитания чисел

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

83-14=(83+1)-14-1=84-14-1=69

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.

Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

574-296=574-(300-4)=(574-300)+4=278

Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:

675-286=(675+14)-300=689-300=389

Способы быстрого умножения чисел

Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:

36х8=30х8+6х8=240+48=288

Умножение на двухзначное число.

Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:

37х17=37х10+37х7=370+30х7+77=370+259=629.

13х59=59х10+59х3=590+50х3+9х3=590+177=767

Индийская тайна быстрого умножения

Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98х96

Найдем дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.

Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:

98-4=94 (или наоборот)

96-2=94

Это первые цифры произведения

Перемножим дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.

986х994=(986-6)(986+14)+14х6=980084

Умножение на 2 слева направо

При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.

4286х2=8572, потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.

Далее: 2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.

Затем 8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.

Действительно, 5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому

пишем 11.

Далее, 6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.

Далее, 1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.

И наконец, 9х2=18, пишем 8.

Примечание.

Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:

329645х2=659290

Разбиваем первый множитель на грани:

32 96 45.

Далее, 32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.

Способы быстрого умножения чисел.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:

124х4=(124х2)х2=248х2=496

325х8=(325х2)х4=(650х2)х2=1300х2=2600.

Умножение на 5

Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:

334х5=334х10/2=1670.



Умножение на 0,5

Так как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:

248х0,5=124.

634х0,5=634/2=317.

Умножение на 1,5 и 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

54х1,5=54+27=61

Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

35х15=350+175=525.

Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.

Это легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;

48х15=480+240=720.

Умножение на 15

Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.

Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:

37х15=(36+1)х15=18х30+15=540+15=555

69х15=(70-1)х15=35х30-15=1050-15=1035



Умножение на 11

Прием умножения на 11 поражает своей красотой.

36х11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так 36

36

А затем выполнить сложение в столбик.

Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.

Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

27х11=2(2+7)7=297

68х11=6(6+8)8=748

На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:

43х11=430+43=473.



Умножение на 25, 50, 75, 125

Принимая во внимание, что

25х4=100; 50х2=100;

75х4=300; 125х4=1000.

Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:

25х37=25(9х4+1)=925;

73х50=(36х2+1)х50=3650;

125х55=125(8х6+7)=6875;

125х55=125(7х8-1)=7000-125=6875;

63х75=(4х15+3)х75=300х15+225=4725.



Приемы сокращенного умножения

На 5: 46х5=46/2х10=230;

На 25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;

34х25=32/4х100+2х25=850;

44х25=44/4х100=1100;

На 125: 48х125=48/8х1000=6000;

66х125=64/8х1000+2х125=8250;

На 155: ах155=100а+50а+5а

36,8х155=3680+1840+184=5704;

232х155=23200+11600+1160=35960.



Умножение двух чисел, «близких» к 100

Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:

(100-а)(100-b)=100х100-100а-100bb=(100-а-b)х100+ab.

Аналогично:

(100+а)(100+b)=100(100+a+b)+аb

97х92, а=3, b=8

Подсчитаем число сотен произведения 100-(а+b)=100-11=89

И аb=3х8=24

Следовательно, 97х92=8924;

107х112=(100+7+12)х100+7х12=11984;

97х108=(100+8-3)х100-3х8=10500-24=10476



Возведение в квадрат чисел,

цифра единиц которых равна пять

аПрямая соединительная линия 1Прямая соединительная линия 1Прямая соединительная линия 15ха5=(10а+5)(10а+5)=100а2+2х10х5а+25=100(а2+а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.

Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.

Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.

35х35=1225, так как 3х4=12;

125х125=15625, так как 12х13=156;

42х48=2016, так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:

а22-b2+b2=(а-b)(а+b)+b2

Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+b и a-b было круглым числом.

762=(76+4)(76-4)+42=80х72+42=5760+16=5760 (b=4);

762=(76+6)(76-6)+62=82х70+36=5740+36=5776 (b=6).

342=(34+6)(34-6)+62=40х28+36=1156;

9872=(987+13)(987-13)+132=1000х974+169=974169.



Способы быстрого деления чисел.

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

240/15=(240/3)/5=80/5=16

750/15=(750/5)/3=150/3=50.

Деление на 15

Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:

а/15=ах2/30;

567/15=567х2/30=1134/30=113,4/3=37,8

576/15=576х2/30=1152/30=115,2/3=38,4.





Устный счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.

Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.

Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.

Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.



















Приемы быстрых вычислений
  • Математика
Описание:

В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.

Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».

Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.

Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.

С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.

Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.

В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

Автор Керимова Нина Ивановна
Дата добавления 19.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 1748
Номер материала MA-061445
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓