«Лучше усваиваются те знания,
которые
поглощаются с аппетитом»
Анатоль
Франс, французский писатель
Приемы
быстрых вычислений
В
самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много
интересного, необычного и чудесного.
Математика
– это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто
«сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок,
симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».
Вряд
ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного
человека.
Не
потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем
уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.
С
приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали
использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя
заменить никакими калькуляторами.
Необходимо
находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда
школьники не будут пользоваться калькуляторами.
В
предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые
могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.
Способы
быстрого сложения чисел
Способы
быстрого сложения чисел:
порядковое
сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.
Прибавление
к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:
76+59=(76+50)+9=126+9=135
Сложение
с использованием свойств действий с числами
23+65+17=(23+17)+65=40+65=105
При
выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является
прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с
высших
76+59=(76+50)+9=126+9=135
Способы быстрого вычитания чисел
Способы
быстрого вычитания:
порядковое
вычитание
875-342=(800-300)+(70-40+(5-2)=500+30+3=533
Вычитание
с использованием свойств действий с числами
757-366=758-300-60-6=458-60-6=392
Ученики
чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.
Способы быстрого вычитания чисел
Вычитание
путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
83-14=(83+1)-14-1=84-14-1=69
Вычитание
путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.
Если
уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между
круглым числом и дополнением:
574-296=574-(300-4)=(574-300)+4=278
Удобно
выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или
одновременно обоих:
675-286=(675+14)-300=689-300=389
Способы быстрого умножения чисел
Чтобы
умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем
единицы и оба результата складывают:
36х8=30х8+6х8=240+48=288
Умножение
на двухзначное число.
Если
оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы.
Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими
числами:
37х17=37х10+37х7=370+30х7+77=370+259=629.
13х59=59х10+59х3=590+50х3+9х3=590+177=767
Индийская тайна быстрого умножения
Необходимо
умножить два числа близкие к 100: 98х96
Найдем
дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.
Вычтем
из 1-го множителя дополнения второго:
98-4=94
(или наоборот)
96-2=94
Это
первые цифры произведения
Перемножим
дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.
986х994=(986-6)(986+14)+14х6=980084
Умножение на 2 слева направо
При
умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило
следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на
единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу
результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем
полностью значение результата.
4286х2=8572,
потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.
Далее:
2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу,
и записываем 5.
Затем
8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.
Действительно,
5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому
пишем
11.
Далее,
6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.
Далее,
1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.
И
наконец, 9х2=18, пишем 8.
Примечание.
Чтобы
ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но
несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани,
записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры
следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного
результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа
цифр грани:
329645х2=659290
Разбиваем
первый множитель на грани:
32
96 45.
Далее,
32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192
(количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра
следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.
Способы быстрого умножения чисел.
Умножение на 4 и на 8
Чтобы
число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:
124х4=(124х2)х2=248х2=496
325х8=(325х2)х4=(650х2)х2=1300х2=2600.
Умножение на 5
Так
как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и
разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:
334х5=334х10/2=1670.
Умножение на 0,5
Так
как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:
248х0,5=124.
634х0,5=634/2=317.
Умножение на 1,5 и 15
Чтобы
умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:
54х1,5=54+27=61
Чтобы
число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину
полученного произведения:
35х15=350+175=525.
Часто
в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.
Это
легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;
48х15=480+240=720.
Умножение на 15
Можно
использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.
Предварительно
представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и
единицы:
37х15=(36+1)х15=18х30+15=540+15=555
69х15=(70-1)х15=35х30-15=1050-15=1035
Умножение на 11
Прием
умножения на 11 поражает своей красотой.
36х11,
для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед,
вот так 36
36
А
затем выполнить сложение в столбик.
Эту
операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или
четырехзначное число.
Умножить
на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на
11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма
больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
27х11=2(2+7)7=297
68х11=6(6+8)8=748
На
11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить
его:
43х11=430+43=473.
Умножение
на 25, 50, 75, 125
Принимая
во внимание, что
25х4=100;
50х2=100;
75х4=300;
125х4=1000.
Соответствующим
образом преобразовываем второй множитель:
25х37=25(9х4+1)=925;
73х50=(36х2+1)х50=3650;
125х55=125(8х6+7)=6875;
125х55=125(7х8-1)=7000-125=6875;
63х75=(4х15+3)х75=300х15+225=4725.
Приемы
сокращенного умножения
На
5: 46х5=46/2х10=230;
На
25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;
34х25=32/4х100+2х25=850;
44х25=44/4х100=1100;
На
125: 48х125=48/8х1000=6000;
66х125=64/8х1000+2х125=8250;
На
155: ах155=100а+50а+5а
36,8х155=3680+1840+184=5704;
232х155=23200+11600+1160=35960.
Умножение
двух чисел, «близких» к 100
Когда
каждый из множителей меньше 100, тогда:
(100-а)(100-b)=100х100-100а-100b+аb=(100-а-b)х100+ab.
Аналогично:
(100+а)(100+b)=100(100+a+b)+аb
97х92,
а=3, b=8
Подсчитаем
число сотен произведения 100-(а+b)=100-11=89
И
аb=3х8=24
Следовательно,
97х92=8924;
107х112=(100+7+12)х100+7х12=11984;
97х108=(100+8-3)х100-3х8=10500-24=10476
Возведение
в квадрат чисел,
цифра
единиц которых равна пять
а5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а2+2х10х5а+25=100(а2+а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.
Получаем
правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя,
необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному
произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.
Аналогичным
образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков
одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.
35х35=1225,
так как 3х4=12;
125х125=15625,
так как 12х13=156;
42х48=2016,
так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно
воспользоваться свойством:
а2=а2-b2+b2=(а-b)(а+b)+b2
Обычно
в качестве b выбираем
такое число, чтобы а+b и a-b было круглым
числом.
762=(76+4)(76-4)+42=80х72+42=5760+16=5760
(b=4);
762=(76+6)(76-6)+62=82х70+36=5740+36=5776
(b=6).
342=(34+6)(34-6)+62=40х28+36=1156;
9872=(987+13)(987-13)+132=1000х974+169=974169.
Способы
быстрого деления чисел.
Последовательное
деление
Если
делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число
множителей, а потом выполняем последовательное деление:
240/15=(240/3)/5=80/5=16
750/15=(750/5)/3=150/3=50.
Деление
на 15
Нахождение
частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:
а/15=ах2/30;
567/15=567х2/30=1134/30=113,4/3=37,8
576/15=576х2/30=1152/30=115,2/3=38,4.
Устный
счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных
навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.
Устное
вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых,
увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.
Школьники,
развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих
одноклассников, полагающихся на калькуляторы.
Гибкость
ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые
вычисления в уме вызывают удивление.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.