Главная / Математика / Причины математических трудностей учащихся при изучении учебного материала и построение проекта выхода из создавшихся затруднений.(обобщение опыта)

Причины математических трудностей учащихся при изучении учебного материала и построение проекта выхода из создавшихся затруднений.(обобщение опыта)

Причины математических трудностей учащихся при изучении учебного материала и построение проекта выхода из создавшихся затруднений.

«В сердце каждой трудности кроется возможность»

Альберт Эйнштейн

Вопрос о том, как преодолевать математические трудности учащихся при изучении нового материала постоянно находится в зоне повышенного внимания педагогической общественности.

В методике обучения математике основными являются следующие вопросы: чему обучать, как обучать и зачем обучать? Вопрос, зачем что-то изучается в учебном предмете, соотносится с социальным заказом общества образованию. В недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образовании - передача информации, сегодня главное-обучение, развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию. Проведя анализ методической и психолого-педагогической литературы, используя личный опыт, попробую ответить на вопросы о трудностях, возникающих у учащихся при изучении учебного материала, о том, как эти трудности можно преодолеть.

Преобразования, происходящие в современной школе нацелены, прежде всего, на переход от экстенсивно-информативного к интенсивно-фундаментальному обучению. Это отмечают авторы многих современных исследований. Кваша О.В.(6) с позиции современной тенденции личностно ориентированного обучения отмечает необходимость организовать учебный процесс так, чтобы каждый ученик имел возможность выявить свои успехи и трудности в учебной деятельности, их причины, осуществлять коррекцию возникающих ошибок, преодолеть встретившиеся затруднения, в системе деятельности обогатить собственный опыт. В этих условиях является вполне закономерным переход от традиционного средства управления учебной деятельностью в виде «контроля и учета знаний и умений учащихся», к внедрению в педагогический тезаурус категории «диагностика» как способа перманентного отслеживания всех изменений, которые происходят в учебном процессе. На это указывают многие авторы, в том числе Кваша О.В. (6). В своей работе она отмечает, что при таком понимании диагностики ключевую роль в ее реализации должен играть не только и не столько учитель, сколько сам учащийся как полноправный соучастник учебного процесса.

Существенные исследования по проблеме диагностики знаний и развития учащихся проведены в области психологии и педагогики (Беспалько В.П., Загрекова Л.В., Ингенкамп К., Каган В.И., Карпова Г.А., Климова Т.Е., Кочетов А.И., Подласый И.П., Пидкасистый П.И., Симонов В.П., Сычеников М.А.и др.). Различные аспекты диагностики математических знаний и развития затрагиваются в ряде методических исследований (Ганеев Х.Ж., Груденов Я.И., Епишева О.Б., Иванова Т.А., Кваша О.В., Колягин Ю.М, Крупич В.И., Малова И.Е., Манвелов С.Т., Перевозчикова Е.Н., Родионов М.А., Розанова С.А., Саранцев Г.И., Столяр А.А. и др.), авторы которых в контексте деятельностного подхода ставят и решают проблему управления процессом обучения действиям, адекватным этапам формирования основных элементов математического содержания, в том числе диагностики качества их овладения учащимися. Таким образом, можно говорить о возможности для перехода на принципиально новый для методической науки уровень решения затронутой проблемы, который характеризуется принятием роли субъекта диагностики самим обучаемым.

Актуальность вопроса. Как показывает практика, чаще всего, учащихся испытывают трудности при изучении материала, если материал определяется большим числом реализуемых в процессе его изучения внутрипредметных и межпредметных связей.

Цель работы: выявить учебные затруднения учащихся и определить путь их преодоления.

В соответствии с целью исследования в работе были поставлены следующие задачи:

1)провести анализ учебно-методической литературы по теме исследования;

2)выявить причины учебных затруднений учащихся при изучении темы ;

3)разработать технологические основы преодоления учебных затруднений.

В ходе решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:

- теоретические методы: анализ психологической, педагогической, методической литературы по теме исследования. Общенаучные методы исследования - системный анализ, моделирование, систематизация, классификация, обобщение, сравнение, анализ и обобщение опыта преподавания математики в школе.

- методы эмпирического исследования: наблюдение, анкетирование, тестирование, собеседование, анализ результатов деятельности учащихся.

Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные технологические основы преодоления учебных затруднений, могут быть непосредственно использованы в реальной учебной практике обучения математике в школе с целью повышения качества базовых знаний и развития учащихся.

При рассмотрении вопросов по проблеме исследования были приняты во внимание статьи в различной методической литературе. А также материалы, предложенные в сборниках научных работ, на различных Интернет-сайтах, материалы конференций и периодических печатных изданий.


  1. тике является организованная система работ;

  2. Систематическое проведение самостоятельных работ и повышение их учебно-познавательной роли в учебном процессе содействует значительному улучшению качества математической подготовки школьников;

  3. Связывая изучение теоретических вопросов с практической деятельностью, самостоятельные работы дают возможность учащимся самим ликвидировать пробелы, расширять знания, творчески применять их в решении различных задач;

  4. Контроль за выполнением таких работ содействует организации тематического учета знаний, помогает мобилизовать деятельность, способствует развитию мышления школьников.

































Опыт развития навыков самостоятельной активности на уроках математики


I. Введение

Знание только тогда знание,
когда оно приобретено усилиями
своей мысли, а не памятью

Л.Н.Толстой

Окружающий нас мир настолько сложен и многогранен и не до конца изучен, что никто не вправе считать свое образование завершенным с окончанием средней школы и даже ВУЗа. Скорее, с этого оно только начинается. “Наука – дело не легкое. Наука пригодна лишь для сильных умов”, - сказал французский философ Мишель де Монтень. Это действительно так: как же долог и нелегок путь постановки вопроса до его решения, до получения результатов! Пройти его способен не каждый.

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью”, - сказал Л.Н.Толстой”. И с ним можно только согласиться, так как учащиеся прочно усваивают только то, что прошло через их усилие.

Проблема самостоятельности учащихся при обучении не является новой. Этому вопросу отводили исключительную роль ученые всех времен. Особенно четкие концепции о роли самостоятельности в приобретении знаний имеются в трудах Константина Дмитриевича Ушинского, Николая Григорьевича Чернышевского, Дмитрия Ивановича Писарева.

Эта проблема актуальна и сейчас. Внимание к ней объясняется тем, что самостоятельность играет весомую роль не только при получении среднего образования, но и при продолжении обучения после школы, а так же в дальнейшей трудовой деятельности. Основа любой профессии – это знание.

Но как научить своих учеников учиться, мыслить самостоятельно?

Выход один: нужно дать ребенку возможность самому искать ответ – искать, может быть, мучительно, всю жизнь, но всерьез. Значит нужно научить его думать.

Результат нашей совместной работы обязательно скажется: научившись думать самостоятельно, мои ученики сами смогут овладеть знаниями и анализировать проблемы. Я не смогу быть всегда с ними рядом, они окончат школу и уйдут, но навыки самостоятельной деятельности у них останутся.


II. Основная часть


Одним из инструментов развития мышления, ведущего к формированию творческой деятельности, является самостоятельная работа.

Самостоятельная работа учащихся - это форма организации их учебной деятельности, осуществляемая под прямым или косвенным руководством преподавателя, в ходе которой учащиеся преимущественно или полностью самостоятельно выполняют различного вида здания с целью развития знаний, умений, навыков и личных качеств.

Проводя анализ своих уроков, я пришла к выводу, что самостоятельная работа должна занимать от 15 до 80 процентов времени занятия. Поэтому для управления процессом познания были выделены конкретные задачи:

  • разнообразить методы обучения с широким внедрением элементов самостоятельной работы учащихся на уроке;

  • совершенствовать формы, методы контроля и оценку знаний, умений и навыков учащихся;

  • осуществлять индивидуальный подход к учащимся.

Уверена, что правильная организация учебного труда – самый главный фактор успешного самообразования, а значит и развитие самостоятельности учащихся.

Совершенствование методики преподавания и методов обучения неразрывно связано с вопросами развития самостоятельности у учащихся. Поэтому использую различные приемы работы с учеником. На занятиях ориентируюсь на всех учащихся в целом и на каждого в отдельности, имея в виду общие знания. Считаю, что такой подход побуждает к работе слабого ученика и стимулирует сильного.


Присутствие самостоятельной работы необходимо на уроках, в том числе и на уроках математики, так как они тренируют волю, воспитывают работоспособность, внимание, дисциплинируют учащихся. Учителю на уроках математики необходимо опираться на самостоятельную работу учеников, самостоятельное рассуждение, умозаключение.

Организация самостоятельной работы, руководство ею — это ответственная и сложная работа каждого учителя. Воспитание активности и самостоятельности - составная часть воспитания учащихся.

Говоря о формировании у школьников самостоятельности, необходимо иметь в виду две тесно связанные между собой задачи. Первая их них заключается в том, чтобы развить у учащихся самостоятельность в познавательной деятельности, научить их самостоятельно овладевать знаниями, формировать свое мировоззрение; вторая — в том, чтобы научить их самостоятельно применять имеющиеся знания в учении и практической деятельности.

Эффективность самостоятельной работы достигается, если она является одним их составных, органических элементов учебного процесса, и для нее предусматривается специальное время на каждом уроке, если она проводится планомерно и систематически, а не случайно и эпизодически.

Различают формы и виды самостоятельной работы:


1. По дидактическим целям:

  • обучающие

  • тренировочные

  • закрепляющие

  • повторительные

  • развивающие

  • творческие

  • контролирующие.

2. По источнику и методу приобретения знаний:

  • работа с книгой

  • решение и составление задач

  • лабораторные работы

  • практические работы

  • подготовка докладов, рефератов

3. По уровню самостоятельности:

  • репродуктивные

  • эвристические

  • исследовательские

4. По степени индивидуальности:

  • Общеклассные (вариантовые, дифференцированные)

  • Групповые

  • Индивидуальные

5. По форме выполнения:

  • Устные

  • Письменные

  • Тесты

6. По месту выполнения:

  • Классные

  • Домашние

Каждый из них реализуется в системе приемов, таких как: фронтальный опрос, устные контрольные работы, построение графиков, диаграмм, фигур на плоскости и в пространстве, работа с ними, моделями по алгоритму, практические и лабораторные, работа над проектами, рефератами.

Использую дифференцированные средства обучения: таблицы, учебник, схемы, модели фигур и плоскостей, проекты, описание работ, чертежные и измерительные приборы, карточки для устной и письменной работы, дополнительную и справочную литературу.


1.Обучающие самостоятельные работы.

Их смысл заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ развитие интереса к изучаемому материалу, привлечение каждого ученика к работе на уроке. При выполнении данного вида работ школьник сразу видит, что ему непонятно, и он может попросить дополнительно объяснить эту часть материала. Учитель же составляет схему дальнейшего объяснения материала, в которой прописывает сложные для учеников моменты, на которые в дальнейшем необходимо будет обратить внимание. Также данный вид самостоятельных работ помогает выделить пробелы в знаниях прошлого материала у школьников. Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания, также при непосредственном введении нового содержания, при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснения нового, когда знания учащихся еще не прочны.

Цель этих работ - не контроль, а обучение, поэтому им следует отводить достаточно времени на уроке. К самостоятельным обучающим работам можно также отнести составление примеров на изученные свойства и правила.

Очевидно, что самостоятельная работа, организуемая при подготовке к усвоению новых знаний, для учащихся имеет важное значение. Нужно заметить, что данный вид деятельности можно организовать в следующих случаях:

  1. в процессе установления связи нового материала с ранее усвоенными знаниями, умениями и навыками;

  2. при создании поисковой ситуации и раскрытии перспективы предстоящей учебной работы;

  3. в ходе переноса приобретенных приёмов познавательной деятельности при овладении новыми знаниями, умениями, навыками.

Если ученик в процессе самостоятельной работы продумывает факты, на основании которых излагается новый материал или решается задача, то значительно повышается продуктивность его дальнейшей работы.

Проведение самостоятельной работы надо организовывать так, чтобы она не только обеспечивала восприятие программного материала, но и способствовала бы всестороннему развитию учащихся.

2. Тренировочные самостоятельные работы.

К ним относятся задания на распознавание различных объектов и свойств.

В тренировочных заданиях часто требуется воспроизвести или непосредственно применить теоремы, свойства тех или иных математических объектов и др.

Тренировочные самостоятельные работы в основном состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила. Такая работа позволяет выработать основные умения и навыки, тем самым создать базу для дальнейшего изучения материала. При выполнении тренировочных самостоятельных работ необходима помощь учителя. Также можно разрешить пользоваться учебником и записями в тетрадях, таблицами и т.п. Все это создает благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях они легко включаются в работу и выполняют её. В тренировочные самостоятельные работы можно включить выполнение заданий по разноуровневым карточкам.

Самостоятельная работа оказывает значительное влияние на глубину и прочность знаний учащихся по предмету, на развитие их познавательных способностей, на темп усвоения нового материала.

3. Закрепляющие самостоятельные работы.

К ним можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного типа учитель определяет количество времени, которое нужно посвятить повторению и закреплению данной темы. Примеры таких работ в изобилии встречаются в дидактическом материале.

4. Очень важны так называемые повторительные (обзорные или тематические) работы.

5. Самостоятельные работы развивающего характера.

Это могут быть задания по составлению докладов на определенные темы, подготовка к олимпиадам, научно творческим конференциям, проведение в школе дней математики и др. На уроках это могут быть самостоятельные работы, в которые включены задания исследовательского характера.

6. Большой интерес вызывают у учащихся творческие самостоятельные работы, которые предполагают достаточно высокий уровень самостоятельности. Здесь учащиеся открывают для себя новые стороны уже имеющихся у них знаний, учатся применять эти знания в неожиданных, нестандартных ситуациях. В творческие самостоятельные работы можно включить задания, при выполнении которых необходимо найти несколько способов их решений.

7. Контролирующие самостоятельные работы.

Как понятно из названия, их главной функцией является функция контроля. Необходимо выделить условия, которые нужно учитывать при составлении заданий для самостоятельных контрольных работ. Во-первых, контрольные задания должны быть равноценными по содержанию и объему работы; во-вторых, они должны быть направлены на отработку основных навыков; в-третьих, обеспечивать достоверную проверку уровня знаний; в-четвертых, они должны стимулировать учащихся, позволять им продемонстрировать все их навыки и умения.

Наиболее распространенными являются следующие виды работы с учебником:

Чтение текста вслух

Чтение текста про себя

Воспроизведение содержания прочитанного вслух

Разбиение прочитанного текста на смысловые части; сначала это делает учитель, затем учащимся предлагается выполнить разделение текста на смысловые части и придумывание короткого заголовка к каждой из них - идёт обучение составлению плана.

Работа с рисунками и иллюстрациями.

Работа над понятием, термином.

Разбиение прочитанного текста на смысловые части (в начале с помощью учителя, потом самостоятельно), выделение главного.

Самостоятельное составление плана прочитанного, который может быть использован учеником при подготовке к ответу.

Работа с оглавлением и предметным указателем.

Составление конспекта, схемы, таблицы, графика на основе материала, изученного по учебнику

Одним из способов организации работы учащихся с учебником математики является формирование приемов этой работы.

Общие приемы работы с учебником математики:

1. Найти задание по оглавлению.

2. Обдумать заголовок.

3. Прочитать содержание пункта (параграфа).

4. Выделить все непонятные слова и выражения и выяснить их значение.

5. Задать по ходу чтения вопросы и ответить на них.

6. Выделить (выписать, подчеркнуть) основные понятия.

7. Выделить основные теоремы или правила.

8. Изучить определения понятий.

9. Изучить теоремы (правила).

10.Разобрать иллюстрации (чертеж, схему, рисунок).

11.Разобрать примеры в тексте и придумать свои.

12.Провести самостоятельно доказательство теоремы.

13.Составить схемы, рисунки, таблиц, чертежи, используя свои обозначения.

14.Запомнить материал, используя приемы запоминания (пересказ по плану, чертежу или схеме, мнемонические приемы, повторение трудных мест и т.п.)

15.Ответить на конкретные вопросы в тексте.

16.Придумать и задать себе такие вопросы.

Культура мыслительной деятельности ученика значительно повышается, он успешнее овладевает теоретическими знаниями, более умело применяет их в своей самостоятельной практической работе, которая играет роль своеобразного мостика. Через него должен пройти каждый ученик на пути от понимания к овладению знаниями. Как правило, однообразие снижает интерес учеников к работе. Хотя в курсе математики довольно часто встречаются темы, изучение которых требует решения большого числа однотипных задач. Но без них невозможно выработать устойчивые навыки. Разнообразие самостоятельных работ позволяет поддерживать интерес учащихся к данным темам.

От того, как организован контроль знаний и умений, зависит эффективность учебной работы. Поэтому в учебной практике уделяю серьезное внимание его методам, приемам, формам и видам.


Использую различные формы контроля:

  • по способу предъявления (письменный и устный);

  • по числу проверяемых (индивидуальный, групповой, фронтальный);

  • по месту проведения (в классе или дома);

  • по степени дифференцируемости (дифференцируемый или нет);

  • по объему контролируемого материала (итоговый – экзамен, промежуточный – зачет, контрольная работа);

  • по характеру предъявляемых знаний (вопросы, работа с печатными средствами: карточки, рабочие тетради, тесты, перфокарты; работа над ошибками, схемы, таблицы, диаграммы, графики).


Контроль. Серьёзное внимание нужно уделять контролю результатов самостоятельной работы. Каким бы простым не являлось выполненное задание, его надо проанализировать. Оценке подвергается характер, полнота и содержание выполненной работы. Такой анализ необходим по нескольким причинам. Известно, что даже при умелом руководстве со стороны учителя учащиеся могут допустить ошибки в самостоятельной работе, неправильно понять задание. Если по окончании работы итоги не подводятся, то сделанные ошибки могут закрепиться в сознании учащихся. Следовательно, контроль самостоятельной работы учащихся необходим, прежде всего, для того, чтобы придать уверенность учащимся в правильности выполненной работы, если нет ошибок; помочь разобраться в обнаруженных ошибках и исправить их. Регулярная проверка самостоятельных работ учащихся даёт учителю возможность устранить ошибки и пробелы в знаниях и умениях школьников почти в первый момент овладения ими новыми знаниями и умениями, что является очень важным в целях достижения высокой успеваемости учащихся. Опыт показывает, что проверка знаний и качества выполненных работ имеет важное воспитывающее значение. Она приучает ребят к тщательному выполнению заданий, поддерживает на должном уровне их учебную активность, формирует у них чувство ответственности, дисциплинирует. Лучшим способом анализа самостоятельной работы в форме обсуждения её хода и результатов. Для работы над типичными ошибками отводится специальное время на следующем уроке.

Взаимоконтроль. При выполнении самостоятельной работы её проверку можно осуществить с помощью консультантов, назначенных учителем из числа хорошо успевающих учеников. Каждой группе учеников назначается консультант. Выполнив задание своего варианта, консультанты получают инструктаж от учителя и по мере выполнения работы остальными учащимися проверяют их, разъясняя допущенные ошибки.

Самоконтроль. Самоконтроль является составной частью любого вида деятельности человека и направлен на предупреждение или обнаружение уже совершенных им ошибок. Иначе говоря, с помощью самоконтроля человек всякий раз осознает правильность своих действий, в том числе и в игре, учебе, труде. В практике обучения следует учитывать наличие прямой зависимости между уровнем самостоятельности учащихся при выполнении учебных заданий и степенью владения ими навыками самоконтроля.


В своей работе я использую различные элементы самостоятельной работы учащихся. На занятиях я ориентируюсь на всех учащихся группы, имея в виду общие знания в целом и на каждого учащегося в отдельности. Я считаю, что такой подход побуждает к работе сильного ученика и двигает к работе слабого.

Для большей эффективности самостоятельной работы учащихся в процессе обучения я применяю тесты с выбором ответа и карточки-задания. В таких работах я стараюсь включать вопросы, которые устанавливают связь между новым материалом и ранее изученным.

При изучении математики учащиеся должны знать и понимать математические обозначения, термины, понятия. Для этого использую математические диктанты, позволяющие ученику самостоятельно, правильно, четко давать определения и пользоваться обозначениями.

Учащихся следует обучать умениям и навыкам самостоятельного учебного труда, среди которых одним из основных является умение работать с учебной, справочной и периодической литературой. Для обучения учащихся внимательному и целенаправленному чтению на уроке я вначале излагаю новый материал, а затем предлагаю учащимся самостоятельно прочитать соответствующий параграф, обращая особое внимание на основные положения.

После изучения определенного раздела, темы учащимся предлагается подготовить сообщения, рефераты, презентации для выступления на уроке, или внеклассных мероприятиях. Темы выбираются заранее. К этой работе привлекают всех учащихся с учетом их индивидуальных особенностей и способностей.

Одним из видов самостоятельной работы является работа с тестами.

На первый взгляд кажется, что выбрать из предложенных ответов правильный значительно проще, чем выполнять решения по стандартной схеме, но в реальности оказывается, что, отвечая на вопросы теста, ученик проделывает более объёмную и кропотливую работу, нежели при обычном решении. Интерес же к непривычному для ученика виду деятельности помогает ему продуктивнее заниматься на уроке.

Очень важно, что тесты имеют разноуровневый характер, т.е. список заданий делится на части – обязательную и необязательную. Обязательный уровень обеспечивает базовые знания для любого ученика. Располагая ими, ученик получает отметку “зачёт” по данной теме. Необязательная часть рассчитана на более глубокие знания, она готовит ученика к тому, чтобы заслужить на самостоятельной работе хорошую или отличную оценку.

Такой вид работы очень удобен. Во-первых, предлагая ученикам задания разного уровня, обеспечиваются достаточно интересной и, главное, выполнимой работой как слабый, так и сильный ученик. Во-вторых, у учеников вырабатываются устойчивые умения и знания. В-третьих, можно легко увидеть общую картину: какова подготовленность отдельных учащихся, как усвоена тема в группе, на чём стоит заострить внимание на пути к зачётному уроку по этой теме.

Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений учащихся. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы. Поэтому в учебной практике уделяется серьёзное внимание способам организации контроля, его содержанию.

Основное достоинство тестовой формы контроля – это простота и скорость, с которой делается первая оценка уровня обученности по данной конкретной теме, позволяющая к тому же реально оценить готовность к итоговому контролю в иных, традиционных формах и, в случае необходимости, откорректировать те или иные элементы темы.

В своей работе я применяю тестовые формы опроса при изучении отдельных тем, при организации итогового повторения, при проведении контрольных работ, при проведении итогового полугодового контроля. Такие тесты по своему содержанию носят смешанный, а не тематический характер, что позволяет проверить прочность, осознанность, оперативность и другие качества знаний учащихся за длительный промежуток времени.

Для проведения текущего контроля на уроках математики я применяю различные карточки-задания. При их составлении я использую уровневую дифференциацию. Её основная особенность состоит в дифференциации требований к знаниям и умениям учащихся: явно выделяется уровень обязательной подготовки, который задаёт достаточную нижнюю границу усвоения материала. Этот уровень доступен и посилен всем учащимся. На его основе формируются повышенные уровни овладения курсом. Учащиеся получают право и возможность выбирать тот уровень усвоения, который соответствует их потребностям, интересам, способностям.

Для самостоятельной работы также характерны так называемые творческие задания. Творчество заключается в деятельности, в которой существенным образом перестраивается прошлый опыт, осуществляется определённый не стандартный поиск знаний. Самостоятельные работы творческого характера предполагают высокий уровень самостоятельности учащихся.










III. Заключение.

Регулярное использование разнообразных самостоятельных работ позволяет добиваться успехов по математике.

Исходя из опыта своей работы я могу сказать, что:

  1. Одним из путей развития творческой активности учащихся, совершенствования процесса обучения математике является организованная система работ;

  2. Систематическое проведение самостоятельных работ и повышение их учебно-познавательной роли в учебном процессе содействует значительному улучшению качества математической подготовки школьников;

  3. Связывая изучение теоретических вопросов с практической деятельностью, самостоятельные работы дают возможность учащимся самим ликвидировать пробелы, расширять знания, творчески применять их в решении различных задач;

  4. Контроль за выполнением таких работ содействует организации тематического учета знаний, помогает мобилизовать деятельность, способствует развитию мышления школьников.

Итак, самостоятельность – это качество человека, которое характеризуется сознательным выбором действия и решительностью в его осуществлении. Оно присуще в той или иной степени каждому из нас.

Уроки математики позволяют более правильно воспринимать окружающий мир, постигать истину, укреплять здравый смысл, находить свое место в мире, выбирать стиль поведения.



*Применение различных видов самостоятельной работы в моей практике представлены на примере разработки урока изучения нового материала по теме” Показательная функция, её свойства и график” в 10 классе.

(разработка урока прилагается)


*Пример тестовой формы итогового контроля – это материалы для промежуточной аттестации учащихся 8-х классов (материалы прилагаются).








IV. Список литературы.


  1. Бабанский Ю.К. «Методы обучения в современной общеобразовательной школе», - М.: Просвещение, 1985г.

  2. Грецова Р.Г. «Организация самостоятельной работы с учащимися на уроках математики», - М.: Педагогика, 1987г.

  3. Груденов Я.И. «Совершенствование методики работы учителя математики», - М.: Педагогика, 1990г.

  4. Демидова С.И., Детищева Л.О. «Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике: формирование умений самостоятельной работы», - М.: Просвещение, 1985г.

  5. Кабалевский Ю.Д. «Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике: книга для учителя», - М.: Педагогика, 1988г.

  6. Каплан Б.С. «Методы обучения математике», - Минск: Народная асвета, 1987г.

  7. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Уч. пособие для студ. пед. ин – тов по физ. – мат. спец./ Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987г.

  8. Пидкасистый П.И. «Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении», - М.: Просвещение, 1980г.

  9. Рогановский Н.М. «Методика преподавания математики в средней школе», - Мн.: Высшая школа, 1990г.

  10. Тресин К.К. «Формирование навыков самообразования учащихся с помощью системы самостоятельных работ», - М., 1980г.

Интернет-ресурсы:

1. uchportal.ru ›Педагогические статьи› 15-1-0-1300

2. do.gendocs.ru ›docs/index-233775.html

3. pedsovet.su ›Статьи › 70-1-0-2645




V. Приложения.


  1. Конспект урока по теме «Показательная функция, её график и свойства».

2. Материалы для проведения промежуточной аттестации

по математике за курс 8 класса по новой форме.








































Тема: Показательная функция, её график и свойства.


Цели уроков:

  1. Обеспечить усвоение каждым учащимся знаний о показательной функции (определение, свойства, графическое представление) на основе исследовательской деятельности и анализа ситуации.

  2. Научить применять знания о показательной функции к решению математических задач, а также показать возможности применения математических функций к описанию явлений окружающего мира.

  3. Способствовать развитию коммуникативных умений делового общения сверстников в группе; логики мышления и любознательности.


Тип уроков:


по основной дидактической цели: урок изучения нового материала;

по основному способу проведения: беседа в сочетании с практической деятельностью учащихся;

по основным этапам учебного процесса: комбинированный (первичное ознакомление с материалом; образование понятий; установление связей и закономерностей; применение полученных знаний на практике).


Средства обучения: слайдовая презентация, учебник «Алгебра и начала анализа» под редакцией Алимова Ш.А., рабочая тетрадь, чертёжные инструменты, мм бумага.


Методы обучения: наглядный, словесный, графический, исследовательский.


Формы работы: фронтальная, групповая.


Содержание работы: п. 11; № 195-201, 206-207


План уроков:

  1. Организационный момент--------------------------------------------------2 мин

  2. Мотивационная беседа и актуализация опорных знаний-------------5 мин

  3. Целеполагание-----------------------------------------------------------------2 мин

  4. Изучение нового материала----------------------------------------- 39-42 мин

  5. Первичное закрепление нового материала-------------------------17-20 мин

  6. Подведение итогов------------------------------------------------------------3 мин

  7. Домашнее задание------------------------------------------------------------2 мин

  8. Выполнение теста-------------------------------------------------------------7 мин



Подробный конспект уроков


Деятельность учителя

Деятельность ученика

I.Организационный момент

(2 мин)

II. Мотивационная беседа и актуализация опорных знаний.

(5 мин)


На сегодняшнем занятии речь вновь пойдёт о функции. С этим важнейшим математическим понятием мы встречаемся на протяжении всего курса изучения алгебры. Многое о функции мы уже знаем, и многое нам предстоит ещё узнать.

Готовясь к сегодняшнему занятию, вы повторяли определение функции, виды изученных функций, а также схему исследования функции. Итак, вспоминаем основные моменты темы «Функция»:

  1. Слово «функция» происходит от … и означает в переводе …

  2. Более строгое математическое определение функции звучит так: …


Заметим, что данное определение функции принято в наших учебниках. Но функцию можно определить иначе, используя понятия «отображение» или «соответствие» (на это мы обращали внимание на занятиях элективных курсов).


В определении функции говорится о переменных х и у.

3. Как принято называть переменную х и переменную у? Почему?






4. Какие виды функций вам известны?







5. Зачем же нужно изучать функции?




6. Например?





















Все эти примеры ещё раз показывают, что функция- это основной математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами, характеризующими объекты окружающего мира. И чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания процессов природы и общества.

Сегодня на занятии мы расширим свои знания о математических функциях, а именно, изучим новую функцию, которая называется показательной.


Итак, тема сегодняшнего занятия «Показательная функция».


III. Целеполагание.

(2 мин)


Что же о показательной функции мы должны узнать? На какие вопросы нам хотелось бы получить ответы?


(учащиеся высказывают свои предложения, учитель фиксирует их на доске).




Действительно, вот круг вопросов, на которые нам необходимо найти ответы.





Таким образом, цели нашей познавательной деятельности таковы:

Изучить:

1.Определение показательной функции.

2. График показательной функции.

3. Свойства.

4. Применения.



  1. Изучение нового материала.

( мин)

Приступаем к изучению нового материала. Работаем под девизом: «Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий».


  1. Работа над определением показательной функции.


Ищем ответ на вопрос: «Какую функцию называют показательной?»

Задание 1.

Пользуясь учебником (п. 11, стр.70-71, до свойств…), найдите определение показательной функции, ответы на вопросы: «Откуда произошло данное название?», «Какие особенности содержатся в определении?».


По окончании работы, учитель проводит беседу по вопросам:

  1. Какую функцию называют показательной?


  1. Чем объясняется название функции?




  1. Сравните определение показательной функции с определением раннее изученной степенной функции.

  2. Почему показательную функцию рассматривают только при а>0 и аhello_html_3750bfcb.gif1?


  1. Объясните, что будет в случае, если а=1 и hello_html_3f966cec.gif











Итак, мы обсудили определение показательной функции. Подведём итог (ещё раз проговариваем определение, используя презентацию).

Замечание.

Вместе с функцией у=ах, показательной считают и функцию вида у=Сах, где С-некоторая постоянная.


Дополнительное задание 1. Среди указанных функций, укажите показательную функцию и объясните свой выбор.


  1. График показательной функции.


Переходим к рассмотрению вопроса о графике показательной функции.

Для ответа на вопрос: «Что собой представляет график показательной функции?», выполним исследовательскую работу по построению графика показательной функции с различными основаниями.

Работаем в группах.

Задание 2. На мм бумаге построить график данной показательной функции. Значения аргумента заданы. Необходимо вычислить соответствующие значения функции и по точкам построить график.


По окончании работы построенные графики вывешиваются на доске.

Обращаем внимание на полученные графики (учитель комментирует выполненные задания).

Видим, что каждая группа соединила точки непрерывной кривой линией, несмотря на то, что точек совсем немного. К сожалению, работая «вручную», мы не можем задать много точек (сложность состоит не столько в вычислении, сколько в изображении точек даже на мм бумаге). Для уточнения вида графика показательной функции я попросила ребят заранее, используя программу EXCEL, построить графики функций у=(2/5)х и у=(5/2)х с различным шагом (шаг =1/4 и 1/8).

Посмотрим, что у них получилось (графики вывешиваются на доске).


Сравним графики на мм бумаге и полученные с помощью программы EXCEL.

Видим, что действительно точки располагаются на плавной кривой линии и независимо от выбранного шага вид графика не меняется, а лишь пополняется большим числом точек.

Обратим внимание на особенности графиков.

  1. Могут ли графики пересекать ось х?


  1. Пересекают ли графики ось у?



  1. Имеют ли представленные графики сходство по расположению в системе координат?




Действительно, среди представленных графиков можно выделить только 2 вида.

Объединим графики по группам в соответствии с внешним сходством (учитель перемещает графики на доске в две группы).

у=2х у=(1/2)х

у=3х у=(1/3)х

у=4х у=(1/4)х

у=(5/2)х у=(2/5)х


Подумайте, какой существенный признак объединяет функции и соответственно их графики в представленных группах?


Таким образом, в зависимости от основания а существуют 2 вида графиков показательной функции: первый соответствует основанию а>1, второй- 0<a<1.

Повторим построение графиков показательной функции, используя следующий слайд. На слайде графики функций объединены в две группы в зависимости от основания степени а.


Дополнительное задание 2. Закрепление знаний о графике показательной функции.




  1. Свойства показательной функции.


Переходим к установлению свойств показательной функции с помощью графика.

Сначала вспомним, какие свойства функций нам известны.







Что собой представляет каждое свойство мы подробно обсуждали на предыдущем занятии и вы ещё раз повторяли дома. Поскольку сегодня нам предстоит исследовать свойства показательной функции на основе графика, то мы сейчас обратим внимание на следующий вопрос: «Как по графику мы устанавливаем свойства функции?»

Итак,

  1. Как по графику найти область определения функции и её множество значений?

  2. Где смотрим нули функции?

  3. Как по графику найти промежутки знакопостоянства функции?





  1. Как по графику судим о чётности (нечётности) функции?




  1. Как определяем промежутки возрастания и убывания функции?









  1. Как находим наибольшее и наименьшее значения функции?






Теперь данные знания применим к установлению свойств показательной функции.

Задание 3. Используя построенные графики, проанализируйте свойства показательной функции по схеме (см презентацию).






По окончании работы выслушиваем ответы участников групп.
















Итак, подведём итог (учитель комментирует, используя слайд 10):

о показательной функции нам известно: определение, графики функции в зависимости от а, свойства функции.




Закрепим наши знания о свойствах, выполняя устно следующие задания:



Дополнительное задание 3. Выберите функцию возрастающую на R (задание А4).

Выберите функцию убывающую на R (задание А5).

Укажите область значений функции (задание В1).

Какое из указанных чисел входит в область значений функции? (задание В2)




  1. Применение показательной функции.



Рассмотрим вопрос о применении показательной функции, её свойств.


1*.Показательная функция применяется при описании процессов природы и общества. Приведём несколько примеров таких процессов.

  1. Рост древесины описывается законом…

Графически данная зависимость выглядит следующим образом…


  1. Давление воздуха изменяется с высотой

по закону …


  1. Температура чайника изменяется по закону…


  1. Радиоактивный распад происходит по закону…


Также с помощью показательной функции описываются процессы размножения живых организмов, явления «затухания» и «органического роста».

Данные процессы носят общее название процессов органического изменения величин.

Существенное свойство процессов органического изменения величин состоит в том, что за равные промежутки времени значение величин изменяется в одном и том же отношении.

Если в формулах, описывающих данные процессы, ввести некоторые обобщения, а именно: обозначим коэффициенты, стоящие перед степенью буквой С, в показателе – множитель, стоящий перед х-k, тогда получим показательную функцию у=Саkx.

Если же принять равным С=1 и k=1, то выходим на исключительную формулу показательной функции у=аx.


2*. Ну, и конечно же, свойства показательной функции можно применять при решении математических задач.


Давайте посмотрим, какие задания, предлагаемые в нашем учебнике, мы можем решать, используя свойства показательной функции (работа с учебником).











Разберём примеры выполнения каждого вида данных заданий. Работаем с таблицей «Применение показательной функции».


I вид. Сравнить числа.

Как сравнить числа, используя свойство монотонности показательной функции?

(по таблице разбираем этапы выполнения данного вида заданий).

Обсуждаем примеры выполнения заданий по таблице + слайд 21.


Далее, работая в группах, сравнить числа (задания на слайде 21, одинаково для всех групп).

По окончании времени работы, поочерёдно участники групп озвучивают решения заданий. Другие проверяют решения, высказывают свои замечания.



II вид. Решить графически уравнение.

Переходим к выполнению второго вида заданий, а именно к решению уравнений графическим способом.

Используя таблицу и слайд 22, учитель ведёт беседу с учащимися:

  • как решить уравнение, используя графики функций? (см. таблицу)

  • обратим внимание на пример графического решения уравнения (см. таблицу и слайд 22).


Обсудим решение уравнений, представленных на слайде 23 (поочерёдно по группам).

Затем: каждая группа получает 1 уравнение, решает его, учитель проверяет решение по ходу выполнения. Проверяем ответы (появляются на том же слайде красным цветом).

Время работы: 5 мин.




III вид. Решить графически неравенство.


Рассмотрим решение неравенств, используя графики функций.

Используя таблицу и слайд 24, учитель ведёт беседу с учащимися:

  • как решить неравенство, используя графики функций? (см. таблицу)

  • обратим внимание на пример графического решения неравенства (см. таблицу и слайд 24).



Далее: каждая группа получает 1 неравенство (неравенства на слайде 25), решает его и проверяет своё решение с готовым решением на доске (решения на обороте доски).

Время работы: 5 мин.


На доске - решения заданий (сделанные заранее).







Другие виды заданий с применением свойств показательной функции мы разберём на следующем занятии.



V. Подведение итогов.

(3 мин)


Наше занятие было посвящено изучению показательной функции.

  • Что же о показательной функции мы узнали?



  • Дайте определение показательной функции.

  • Какими свойствами обладает показательная функция?

















  • Где применяются знания о показательной функции?







VI. Домашнее задание.

( 2 мин)

  • п.11, переписать в теоретическую тетрадь и выучить конспект урока, №196, №199, №200, №201.


VII. Выполнение теста.

( 7 мин)

(на два варианта)



































-латинского слова, означает «совершение, выполнение».

-Функция- это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.









-переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, так как её значения выбираются произвольно, а переменную у называют зависимой, так как значения у зависят от х, вычисляются по определенному правилу f при заданном значении х.

-1. Линейная функция и её частные случаи.

2. Обратная пропорциональность.

3. Функция .

4. Квадратичная функция.

5. Степенная функция.

6. Функция .

-с помощью функций люди описывают различные явления, происходящие в природе и обществе.


-* с помощью линейной функции описывается зависимость пройденного пути от времени движения при равномерном движении (s=s(t) при v=const);

* с помощью обратной пропорциональности описывается:

--зависимость плотности вещества от объёма тела, если масса тела не меняется ( при m=const);

-- зависимость давления твёрдого тела от площади поверхности, на которую действует некоторая сила (p=p(S) при F=const);

--зависимость скорости равномерного движения тела от времени (v=v(t) при s=const);

-* степенная функция описывает зависимость объёма куба от длины его ребра (V=a3);

и другое.

















Слайд 1 «Показательная функция»








  1. Узнать определение показательной функции. Почему она так называется?

  2. Как выглядит график показательной функции?

  3. Какими свойствами обладает показательная функция?

  4. Узнать, где применяется показательная функция? Как используются свойства данной функции?




Слайд 2 «Показательная функция (определение, график, свойства, применение)».
















Учащиеся работают с учебником. Время работы: 2-3 мин.








-Показательной функцией называют функцию вида у=ах, где а-заданное число, а>0, а1.


-Роль аргумента выполняет показатель степени, а основание степени - заданное (фиксированное) число.


-Степенная функция представляет собой также степень, но аргументом является основание степени, а показатель - заданное число.

-Это следует из свойств степени с действительным показателем.



-Если а=1, то f(x)=ax=1x=1-линейная функция, график которой параллелен оси х.


Слайд 3 «График функции f(x)=ах при а=1».


Если а=0, то ax=0x=0 только для х>0. В случае 0x не определён.

Если а<0, то ax имеет смысл лишь при , а это очень узкий интервал (не соответствует условию ).



Слайд 4 «Определение».






Слайд 5 «Задание А1».














Учащиеся работают в группах. Время работы: 3-4 мин.






























-нет, так как ax>0 при .


-да, все графики пересекают ось у в точке (0;1).Действительно, если х=0, то ах0=1.


-да, во-первых, все графики расположены выше оси х, во-вторых, внешне схожи между собой графики функций у=2х, у=3х, у=4х, у=(5/2)х,

а также графики функций у=(1/2)х,у=(1/3)х, у=(1/4)х,у=(2/5)х.













- основание степени а. В первой группе а>1, во второй-0<a<1.








Слайд 6 «График показательной функции».




Слайд 7 «Задание А2»,

Слайд8 «Задание А3».








- 1. Область определения.

2. Множество значений функции.

3. Нули функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

5. Чётность, нечётность.

6. Монотонность функции.

7. Периодичность.

8. Наибольшее и наименьшее значения.

9. Ограниченность функции.










- Область определения -это проекция графика на ось х, множество значений функции- проекция на ось у.

-Это абсциссы точек пересечения графика с осью х.

-Нужно найти значения аргумента, при которых соответствующая часть графика расположена выше оси х (в этом случае значения функции >0) и ниже оси х (в этом случае у<0).

-Если функция чётная, то её график симметричен оси у; если функция нечётная, то её график симметричен началу координат.


-Если на некотором интервале оси х с увеличением значений аргумента значения функции также увеличиваются (по графику «поднимаемся в гору» в направлении слева направо), то функция на этом интервале возрастает. Если же на некотором интервале оси х с увеличением значений х значения у уменьшаются («спускаемся с горы»), то функция на этом интервале убывает.

-Наибольшее значение достигается в наивысшей точке графика, наименьшее - в самой нижней точке графика (если таковые точки существуют).







Одновременно:

Слайд 9 «Свойства функции проанализируем по схеме».


Работа в группах: участники групп описывают свойства функции, график которой строили раннее. Время работы: 3 мин.


1) Область определения – множество всех

действительных чисел (D(у)=R).

2) Множество значений – множество всех

положительных чисел (E(y)=R+).

3) Нулей нет.

4) у>0 при х R.

5) Функция ни чётная, ни нечётная.

6) Функция монотонна: возрастает на R при а>1

и убывает на R при 0<a<1.

7) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет.

8) Функция непериодична.

9) Ограничена снизу, не ограничена сверху.


Одновременно:

Слайд 10 «Показательная функция, её свойства и график».

(у учащихся на местах конспект «Показательная функция, её свойства и график»)







Используем презентацию

Слайд 11- Слайд 14


Сначала выслушиваем ответ учащихся, а затем демонстрируем решение на слайде.











Слайд 15








Слайд 16


Слайд 17



Слайд 18


Слайд 19









Одновременно показываем

Слайд 20.


















I вид заданий. Сравнить числа: №№ 195-196.

II вид заданий. Решить графически уравнение:

№ 197-198.

III вид заданий. Решить графически неравенство:

№ 200.

IV вид заданий. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: №№ 203-204.











Слайд 21 «Пример 1 «Сравнить числа…».


Время работы: 5-7 мин.










Слайд 22 «Пример 2 «Решить графически уравнение…».






Слайд 23 «Решите графически уравнения».

  • 1) 2х=1;

  • 2) (1/2)х=х+3;

  • 3) 4х+1=6-х;

  • 4) 31-х=2х-1;

  • 5) 3=-3/х;

  • 6) 2х-1= .






Слайд 24 «Пример 3 «Решить графически неравенство…».







Слайд 25 «Решите графически неравенство».

1) 2х>1;

2) 2х<4;

3) (1/3)х<3;

4) (1/2)xx+3;

5) 5x 6-x;

6) (1/3)xx+1.







Слайд 26 «Подведём итог».









-1. Определение.

2. График.

3. Свойства.

4. Применение.

-Показательная функция-это…


-1) Область определения – множество всех

действительных чисел (D(у)=R).

2) Множество значений – множество всех

положительных чисел (E(y)=R+).

3) Нулей нет.

4) у>0 при х hello_html_m289d78ff.gifR.

5) Функция ни чётная, ни нечётная.

6) Функция монотонна: возрастает на R при а>1

и убывает на R при 0<a<1.

7) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет.

8) Функция непериодична.

9) Ограничена снизу, не ограничена сверху.




- Показательная функция применяется при описании процессов природы и общества, а также свойства показательной функции применяются при решении математических задач.




Слайд 27 «Домашнее задание».





Слайд 28 «Самостоятельная работа (тест)».

1. Укажите показательную функцию:

1) у=х3; 2) у=х5/3; 3) у=3х+1; 4) у=3х+1.


2. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения:

1) у =(2/3); 2) у=2; 3) у =(4/5)х;

4) у =0,9х.


3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:

1) у =(3/11); 2) у=0,4х; 3) у =(10/7)х;

4) у =1,5х.


4. Укажите множество значений функции у=3-2х-8:


5. Укажите наименьшее из данных чисел:

1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3.


6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2х-1/3

1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.


Слайд 29 «Ответы к тесту».


Слайд 30 «Спасибо за внимание».























I вариант II вариант

1. Укажите показательную функцию: 1. Укажите показательную функцию:

1) у=х3; 2) у=х5/3; 3) у=3х+1; 4)у=3х+1.

1) у=х2; 2) у=х-1; 3) у=-4+2х; 4) у=0,32х.

2. Укажите функцию, возрастающую 2. Укажите функцию, возрастающую

на всей области определения: на всей области определения:

1) у =(2/3); 2) у=2; 3) у=(4/5)х; 4)у=0,9х.

1) у =(2/3)х; 2) у=7,5х; 3) у =(3/5)х; 4) у =0,1х.

3. Укажите функцию, убывающую 3. Укажите функцию, убывающую

на всей области определения: на всей области определения:

1) у =(3/11); 2) у=0,4х; 3) у =(10/7)х; 4) у=1,5х.

1) у =(2/17); 2) у=5,4х; 3) у =0,7х; 4) у =3х.

4. Укажите множество значений функции у=3-2х-8:

hello_html_m7eccb9b1.gif

hello_html_m460cb788.gif 4. Укажите множество значений функции у=2х+1+16:


5. Укажите наименьшее из данных чисел:


1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3.

5. Укажите наибольшее из данных чисел:


1) 5-1/2; 2) 25-1/2; 3) (1/5)-1/2; 4) 1-1/2.


6. Выясните графически, сколько 6. Выясните графически, сколько корней

корней имеет уравнение имеет уравнение

2х-1/3 (1/3)х1/2

1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня;4) 4 корня.

1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.



I

В

А

Р

И

Н

Т

задания


1


2


3


4


5


6














ответа


3


1


2


4


2


1















II

В

А

Р

И

Н

Т

задания


1


2


3


4


5


6














ответа


4


2


3


4


3


1





Вариант_________________________


Ф.И. учащегося_____________

Класс ______________

Номер задания

1

2

3

4

5

6

Номер ответа












































Применение свойств показательной функции при решении задач


п/п

Суть задания

Что используется для решения задания (какие приёмы применяются)?

Примеры выполнения задания

№-№

заданий

1.




Сравнить числа, используя свойство монотонности показательной функции.


*Как сравнить числа, используя свойство монотонности показательной функции?

1. Представить числа в виде степени с одинаковым основанием (если это необходимо).

2. Выяснить, возрастающей или убывающей является показательная функция с указанным основанием (а>1; y=ax возрастает при х R; 0<a<1; y=ax убывает при х R).

3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций).

4. Используя свойство монотонности показательной функции, сравнить степени с одинаковым основанием (или значения функций).

5. Сравнить исходные числа.


Пример 1. Сравнить 1,334 и 1,340.

Решение.

а=1,3; а>1, след-но, y=1,3x возрастает при х R.

34<40

1,334 < 1,340.

Пример 2. Сравнить (5/3)-2,5 и 1.

Решение.

1=(5/3)0, поэтому сравним (5/3)-2,5 и (5/3)0.

а=5/3; а>1, след-но, y=(5/3)x возрастает при х R.

-2,5<0

(5/3)-2,5 <(5/3)0

(5/3)-2,5 <1.

Пример 3. Сравнить

Решение.


а=5; а>1, след-но, y=5x возрастает при х R.






195-196


2.



Решить графически уравнение.



*Как решить уравнение, используя графики функций?

1. Преобразовать (при необходимости) уравнение так, чтобы левая и правая части уравнения представляли собой функции.

2. Построить в одной системе координат графики функций.

3. Найти координаты точки пересечения графиков.

4. Абсцисса точки пересечения графиков - это решение уравнения.

5. Проверить найденный корень уравнения.





Пример. Решить графически уравнение 3х=4-х.

Решение.

Построим в одной системе координат графики функций у=3х и у=4-х.


х=1-

абсцисса

точки

пересе-

чения

графиков.

Ответ: 1



-197-198


3.



Решить графически неравенство.



*Как решить неравенство, используя графики функций?

1. Преобразовать (при необходимости) неравенство так, чтобы левая и правая части представляли собой функции.

2. Построить в одной системе координат графики функций.

3. В соответствии со знаком неравенства, выделить необходимую часть одного из графиков.

4. Отметить на оси х промежуток, соответствующий выделенной части графика.

5. Записать ответ в виде интервала.





Пример. Решить графически неравенство 3х>4-х.

Решение.

Построим в одной системе координат графики функций у=3х и у=4-х.



hello_html_m1e98f399.png


Ответ: hello_html_6cafe4ad.gif.




-200















































Материалы

для проведения промежуточной аттестации

по математике за курс 8 класса

по новой форме






Подготовила учитель математики высшей категории

МБОУ «ФСОШ №2» Фетисова Елена Владимировна


















Вариант № 1

Часть 1

А1. Расположите в порядке убывания числа: а=hello_html_48c25411.gif, b=hello_html_78b3e969.gif, с=3,2.

1) а,b,с 2) b,с,а 3) а,с,b 4) с,b

А2. Упростите выражение: (2k+5)2-40k.

1) 4k2-25 2) 2k2+25 3) (2k-5)2 4) 4k2+25

А3. Выразите из формулы hello_html_m525a0650.gif переменную а.

1) a=2b-t5 2) a=t5-2b 3) a=2t5-b 4) hello_html_d416426.gif

А4. Упростите выражение: hello_html_m1180766c.gif

1) 1 2) 2hello_html_1caef8ee.gif 3) hello_html_6d15a6d5.gif 4) 2

А5. Выполните вычитание дробей: hello_html_m60baa72.gif

1) hello_html_6672a2a.gif 2) hello_html_a35aa11.gif 3) hello_html_64f9b93e.gif 4) hello_html_m73b10485.gif

А6. Решите систему уравнений: hello_html_afecd0.gif

1) (-2;1) 2) (2;0) 3) (1;-2) 4) (1;2)

А7. Решите неравенство: hello_html_615fe679.gif

Ответ: ______________

А8. Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

1) x2-7x+12=0 2) 6x2-7x+1=0 3) x2+x-20=0

А) x1=-5; x2=4 Б) x1=1; x2=1/6 В) x1=4; x2=3

А9. Расстояние между пунктами Аи В по реке равно 2км. На путь из А в В и обратно моторная лодка затратила hello_html_5b44b877.gifч. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч? Обозначив собственную скорость лодки за х км/ч, можно составить уравнение:

1) hello_html_m67eb425a.gif 2) hello_html_767ba29b.gif

3) hello_html_m4c237f52.gif 4) hello_html_74fb72b4.gif


Часть 2

В1. Найдите отрицательный корень уравнения 5х+8х2=0.

Ответ: ______________

В2. Найдите значение выражения (х-7)2-2(х-7)(х+7)+(х+7)2 при х=hello_html_31c24674.gif.

Ответ: ______________

В3. В саду растут яблони и сливы в отношении 5:3. Сколько слив в саду, если там всего 320 деревьев?

Ответ: ______________

В4. Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения выражения hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m17b8d588.gif.

Ответ: ______________

Часть 3


С1. Решите уравнение: hello_html_4581c3ec.gif.

С2. Решите систему уравнений: hello_html_1234abd8.gif

Вариант № 2

Часть 1

А1. Укажите наибольшее число из перечисленных чисел: hello_html_536139c6.gifhello_html_630f4ee1.gif, 4,2.

1) hello_html_m1d9b9862.gif 2) hello_html_630f4ee1.gif 3) 4,2 4) нет такого числа

А2. Упростите выражение: (7а+1)2-28а.

1) 7а2+1 2) (7а-1)2 3) 49а2 +1-28а 4) 7а-29а

А3. Из формулы площади круга: S=hello_html_44183ea2.gif; R- радиус круга, выразите радиус R.

1) hello_html_ma885515.gif 2) hello_html_2606d168.gif 3) hello_html_68c402d7.gif 4) hello_html_65659387.gif

А4. Упростите выражение: hello_html_m5b898b3a.gif

1) hello_html_78b3e969.gif 2) 7hello_html_78b3e969.gif 3) 7 4) hello_html_m31095fc2.gif

А5. Выполните вычитание дробей: hello_html_m5af0d9a.gif

1) hello_html_195a2677.gif 2) hello_html_3fe08b8.gif 3) hello_html_6daeb6f0.gif 4) hello_html_60c31659.gif

А6. Решите систему уравнений: hello_html_62ae9874.gif

1) (1;-0,1) 2) (-1;0,1) 3) (0,1;0,1) 4) (-0,1;-0,1)

А7. Решите неравенство: hello_html_m6ceabf94.gif

Ответ: ______________

А8. Соотнесите квадратные уравнения и их меньший корень:

1) 5x2-7x+2=0 2) x2=16 3) 3x2+x=0

А) x=0,4 Б) x=-1/3 В) x=-4

А9. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8 дней. За сколько дней может закончить эту работу каждая бригада, работая отдельно, если вторая бригада может выполнить работу на 3 дня быстрее, чем первая. Пусть первая бригада может закончить работу за х дней. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) hello_html_m45812f7a.gif 2) hello_html_m50f78ac2.gif

3) hello_html_6cbc9157.gif 4) hello_html_20dba910.gif


Часть 2

В1. Найдите меньший корень уравнения 2+6х=0.

Ответ: ______________

В2. Упростите выражение (а+4)(а-4)-(а+4)2 и найдите его значение при а=hello_html_6d29273.gif.

Ответ: ______________

В3. Длины сторон четырёхугольника пропорциональны числам1;3;2;3. Его периметр равен 180 м. Найдите длину меньшей стороны.

Ответ: ______________

В4. Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения выражения

hello_html_mc76e67a.gif

Ответ: ______________

Часть 3


С1. Решите уравнение: hello_html_388fcef9.gif.

С2. Решите систему уравнений: hello_html_m5c78b3b0.gif


Вариант № 3

Часть 1

А1. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите выражение: 2hello_html_m9c05ae.gif

1) hello_html_29f0f418.gif 2) hello_html_m4eca1fe3.gif 3) hello_html_239a779.gif 4) hello_html_m6ba33760.gif

А2. Упростите выражение: 3(x+1)2-6x.

1) 3x2-12x 2) 3x2-12x-3 3) 3x2 +12x+3 4) 3x2+3

А3. Выразите из формулы b2+4a=ba-3 переменную а.

1) hello_html_m5f7e3ef0.gif 2) hello_html_a688c23.gif 3) hello_html_m30a598f1.gif 4) hello_html_m20bc5d14.gif

А4. Упростите выражение: hello_html_29bba5ee.gif

1) hello_html_m202e68eb.gif 2) hello_html_m6bfadf77.gif 3) 720 4) hello_html_m6b00aacc.gif

А5. Выполните вычитание дробей: hello_html_m12fd01cb.gif

1) hello_html_9e8110e.gif 2) hello_html_m6c03000c.gif 3) hello_html_m785e1adf.gif 4) hello_html_7d68b3ce.gif

А6. Решите систему уравнений: hello_html_m20f43b68.gif

1) (1;3) 2) (0;3) 3) (1;2) 4) (2;1)

А7. Решите неравенство: hello_html_m215e6699.gif

Ответ: ______________

А8. Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

1) x2-4x-5=0 2) 7x2+x-8=0 3) x2-12x+32=0

А) x1=4; x2=8 Б) x1= -1; x2=5 В) x1=1; x2= -8/7

А9. Катер прошёл по течению 36 км и против течения 48 км, затратив на весь путь 6ч. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч? Обозначив скорость катера за х км/ч, можно составить уравнение:

1) hello_html_7254f372.gif 2) hello_html_51cd14b9.gif

3) hello_html_348f39ca.gif 4) hello_html_7cd8face.gif


Часть 2


В1. Найдите отрицательный корень уравнения 25х+17х2=0.

Ответ: ______________

В2. Найдите значение выражения (х-4)2-2(х-4)(х+4)+(х+4)2 при х=hello_html_ma87f59.gif.

Ответ: ______________

В3. Свежие грибы содержат 90% влаги. Сколько влаги в 10 кг свежих грибов?

Ответ: ______________

В4. Найдите наибольшее целое число, входящее в область определения выражения hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_47189f44.gif.

Ответ: ______________

Часть 3


С1. Решите уравнение: hello_html_3ddc643b.gif.

С2. Решите систему уравнений: hello_html_m2d61edd9.gif


Вариант № 4

Часть 1

А1. Расположите в порядке возрастания числа: hello_html_735acbdc.gif, hello_html_m60f7e3e3.gifи 0,7.

1) hello_html_735acbdc.gif; 0,7; hello_html_m60f7e3e3.gif 2) 0,7; hello_html_m60f7e3e3.gif; hello_html_735acbdc.gif 3) hello_html_735acbdc.gif;hello_html_m60f7e3e3.gif; 0,7 4) hello_html_m60f7e3e3.gif; 0,7; hello_html_735acbdc.gif

А2. Упростите выражение: (а-3)2-(2-а)2.

1) 2а-5 2) 5-2а 3) 5+2а 4) -5-2а

А3. Выразите из формулы давления газа hello_html_78ab18f6.gifскорость молекул v.

1) hello_html_m7274840b.gif 2) hello_html_m5ef8f46f.gif 3) hello_html_232f8624.gif 4) hello_html_17a7e523.gif

А4. Найдите значение выражения: hello_html_78c3081c.gif

1) 67,4 2) 66,8 3) 28,4 4) 80,6

А5. Выполните умножение дробей: hello_html_361586a2.gif

1) hello_html_5901a5d4.gif 2) hello_html_mb804ba1.gif 3) hello_html_4948ad4b.gif 4) hello_html_m5e6e33a7.gif

А6. Решите систему уравнений: hello_html_m2e1af358.gif

1) (1;-5) 2) (-1;-3) 3) нет решений 4) (-1;3)

А7. Решите неравенство: hello_html_7ed06794.gif

Ответ: ______________

А8. Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

1) x2-4x=0 2) x2=16 3) x2+4x=0 4) х2= -16

А) нет корней Б) 0 и - 4 В) 0 и 4 Г) 4 и - 4

А9. Если номер Васиной квартиры умножить на 4, а затем к результату прибавить 11, то получится 227. Определите номер квартиры, в которой живёт Вася. Обозначив номер Васиной квартиры за х , можно составить уравнение:

1) 4х+11=227 2) 4(х+11)=227

3) х+4*11=227 4) другой ответ


Часть 2

В1. Найдите положительный корень уравнения 2-11=х2-11+9х.

Ответ: ______________

В2. Найдите значение выражения 2+х+1)(х-1)-0,5(2х-1)(2х+1) при х= -0,5.

Ответ: ______________

В3. Разность двух чисел составляет 80% уменьшаемого. На сколько процентов уменьшаемое больше вычитаемого?

Ответ: ______________

В4. Найдите наибольшее целое у из области определения выражения hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_7ff0f767.gif.

Ответ: ______________

Часть 3

С1. Решите уравнение: hello_html_434e65d9.gif.

С2. Решите систему уравнений: hello_html_70041c7f.gif



Вариант № 5

Часть 1

А1. Упростите выражение: hello_html_339b51c5.gif.

1) hello_html_m40ff39aa.gif 2) hello_html_m68ae6541.gif 3) 1 4) -1

А2. Упростите выражение: (d+6c)2-(d-6c)2.

1) 2(d+6c) 2) 24cd 3) 2d2 +72c2 4) 12c

А3. Из формулы площади треугольника hello_html_m6a32b097.gifвыразите его основание а.

1) a=S-2b 2) hello_html_m3015404a.gif 3) hello_html_m4ec8c3e6.gif 4) hello_html_4ec4c488.gif

А4. Упростите выражение: hello_html_m2c5c107c.gif

1) hello_html_m980c3de.gif 2) 3 3) hello_html_7ecfea6b.gif 4) hello_html_1b9e5cff.gif

А5. Выполните действия: hello_html_m51a46fca.gif

1) 5(x+y) 2) x(x-y) 3) hello_html_m4ebdcad1.gif4) hello_html_m6acb4837.gif

А6. Решите систему уравнений: hello_html_542d6555.gif

1) (2;-1) 2) (0;-7) 3) (0,5;0) 4) (1,6;-2,2)

А7. Решите неравенство: hello_html_63556863.gif

Ответ: ______________

А8. Соотнесите квадратные уравнения и их меньший корень:

1) 2x2-x-1=0 2) 5x2+3x-1=0 3) x2-10x+25=0

А) hello_html_m3c56b13.gif Б) 5 В) hello_html_m72bf44c2.gif

А9. Периметр прямоугольника равен 46 см, а его диагональ равна 17 см. Найдите большую сторону прямоугольника. Обозначив длину стороны за х см, можно составить уравнение:

1) х2-23+х2=289 2) х2+(23-х)2=289

3) другой ответ 4) х2+2322=289


Часть 2


В1. Найдите произведение корней квадратного уравнения 2-6=0.

Ответ: ______________

В2. Разложите на множители: 10ax+13by-7(x-y)-10ay-13bx .

Ответ: ______________

В3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите больший угол.

Ответ: ______________

В4. Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения выражения

hello_html_2a3ce63c.gif

Ответ: ______________

Часть 3


С1. Решите уравнение: (х+3)2-(х+3)-30=0.

С2. Решите систему уравнений: hello_html_71ef115b.gif












Причины математических трудностей учащихся при изучении учебного материала и построение проекта выхода из создавшихся затруднений.(обобщение опыта)
  • Математика
Описание:

Вопрос о том, как преодолевать  математические трудности учащихся при изучении нового материала постоянно находится в зоне повышенного внимания педагогической общественности.

   В методике обучения математике основными являются  следующие  вопросы:  чему обучать, как обучать и зачем обучать?  Вопрос, зачем что-то изучается в учебном предмете, соотносится с социальным заказом общества образованию. В недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образовании - передача информации, сегодня главное-обучение, развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию.

Автор Игнатович Елена Николаевна
Дата добавления 27.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1176
Номер материала 12827
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓