Главная / Математика / презентация урока по теме "Арифметическая прогрессия"

презентация урока по теме "Арифметическая прогрессия"

Название документа 24522473.ppt

1 из 5

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

Название документа 49007398.pptx

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прог...
1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начин...
   
     
   1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;
     
    =15,8
     
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему ари...
   
   
   
   
1 из 13

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрес
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

№ слайда 2 1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная
Описание слайда:

1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 5; 9; 13; 17; …

№ слайда 3    
Описание слайда:

   

№ слайда 4      
Описание слайда:

     

№ слайда 5    1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;
Описание слайда:

  1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;

№ слайда 6      
Описание слайда:

     

№ слайда 7     =15,8
Описание слайда:

    =15,8

№ слайда 8      
Описание слайда:

     

№ слайда 9 Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифме
Описание слайда:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.  

№ слайда 10    
Описание слайда:

   

№ слайда 11    
Описание слайда:

   

№ слайда 12    
Описание слайда:

   

№ слайда 13    
Описание слайда:

   

Название документа Историческая_справка.doc



Историческая справка

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Что же касается геометрической прогрессии, то напомним: геометрической прогрессией называется последовательность, у которой любой член, кроме первого, является средним геометрическим двух соседних: Частное двух соседних членов геометрической прогрессии постоянно: q = bn + 1/bn. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии, т. е. каждый член отличается от предыдущего в q раз. (Будем считать, что q ≠ 1, иначе все уж слишком тривиально). Нетрудно видеть, что общая формула n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn – 1; члены с номерами bn и bm отличаются в qn – m раз.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Задача Древнего Египта

Задача из папируса Райнда

hello_html_4f0508a5.jpg

hello_html_713c63ec.png


«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»





Решение задачи

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

Задача о шахматах

hello_html_m6c3dade4.jpg


Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель
шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью –четыре, за четвертую – восемь и так далее до 64-го поля. Нетрудно сосчитать, используя формулу

hello_html_m4aeb56cf.jpg

hello_html_713c63ec.png


, что количество зерна, нужное для расплаты, составляет примерно 18,5*1018.

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря , и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.









Старинные русские задачи

Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого

hello_html_m34ab0076.jpg

hello_html_713c63ec.png

Проторговался ли купец?


Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь
полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше,чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Решение задачи

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

hello_html_48e66625.jpg

копеек. Сумма эта равна

hello_html_m3e2597e5.jpg

копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу hello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gif

Название документа Формуллы.docx

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага, или разности прогрессии):

a_n=a_{n-1} + d \quad

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1 + (n-1)d

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью . При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения a_{n+1}-a_n=d для членов арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле

a_n=a_1+(n-1)d, где a_1 — первый член прогрессии, d — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a_1, a_2, a_3, \ldots есть арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для ее элементов выполняется условие a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n может быть найдена по формулам

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, a_n — член с номером nn — количество суммируемых членов.

S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество суммируемых членов.

Название документа 1.pptx

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прог...
1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начин...
   
     
   1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;
     
    =15,8
     
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему ари...
   
   
   
   
1 из 13

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрес
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

№ слайда 2 1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная
Описание слайда:

1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 5; 9; 13; 17; …

№ слайда 3    
Описание слайда:

   

№ слайда 4      
Описание слайда:

     

№ слайда 5    1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;
Описание слайда:

  1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;

№ слайда 6      
Описание слайда:

     

№ слайда 7     =15,8
Описание слайда:

    =15,8

№ слайда 8      
Описание слайда:

     

№ слайда 9 Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифме
Описание слайда:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.  

№ слайда 10    
Описание слайда:

   

№ слайда 11    
Описание слайда:

   

№ слайда 12    
Описание слайда:

   

№ слайда 13    
Описание слайда:

   

Название документа 1.ppt

1 из 5

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

Название документа Задачи.docx

Карточка №1

Решите задачу: Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Дано: арифметическая прогрессия, http://festival.1september.ru/articles/213638/img9.gifмин, http://festival.1september.ru/articles/213638/img10.gifмин, http://festival.1september.ru/articles/213638/img11.gif

Найти: http://festival.1september.ru/articles/213638/img12.gif

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/213638/img13.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img14.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img15.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img16.gif

Ответ: 10 дней следует принимать ванны.



Карточка №2

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

http://festival.1september.ru/articles/213638/img17.gif

Дано: арифметическая прогрессия: http://festival.1september.ru/articles/213638/img18.gif,http://festival.1september.ru/articles/213638/img19.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img20.gif

Найти: http://festival.1september.ru/articles/213638/img21.gif

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/213638/img22.gif, где http://festival.1september.ru/articles/213638/img23.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img24.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img25.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img26.gif

2) Найдем http://festival.1september.ru/articles/213638/img27.gif.

http://festival.1september.ru/articles/213638/img28.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img29.gif

Ответ: 78 бревен в одной кладке.

Карточка №3.

Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/213638/img30.gifм, http://festival.1september.ru/articles/213638/img31.gifм, http://festival.1september.ru/articles/213638/img32.gifс. http://festival.1september.ru/articles/213638/img33.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img34.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img35.gif

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Карточка №4.

Решите задачу:

Величины углов выпуклого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 42°. Найдите эти углы.

Дано: арифметическая прогрессия http://festival.1september.ru/articles/213638/img36.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img37.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img38.gif

Найти: http://festival.1september.ru/articles/213638/img39.gif,http://festival.1september.ru/articles/213638/img40.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img41.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img42.gif

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/213638/img34.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img43.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img44.gif, т. к. http://festival.1september.ru/articles/213638/img45.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img46.gif http://festival.1september.ru/articles/213638/img47.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img48.gif http://festival.1september.ru/articles/213638/img49.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img50.gif http://festival.1september.ru/articles/213638/img51.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/213638/img52.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img53.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img54.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img55.gif.

Карточка №5.

Решите задачу:

Студенты должны выложить плиткой 288 м2. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на
2 м
2 больше, чем в предыдущий. И запасов плитки им хватит ровно на 11 дней. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько м2 плитки уложили в первый день?

Дано: арифметическая прогрессия, http://festival.1september.ru/articles/213638/img56.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img57.gif.

Найти: http://festival.1september.ru/articles/213638/img58.gif

Решение:

Пусть http://festival.1september.ru/articles/213638/img59.gif – выложили в первый день,

http://festival.1september.ru/articles/213638/img60.gif – выложили во второй день.

Всего дней 11 + 5 = 16

http://festival.1september.ru/articles/213638/img61.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img62.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img63.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img64.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img65.gif

Ответ: в первый день выложили http://festival.1september.ru/articles/213638/img66.gif.

Карточка №6.

Решите задачу:

Найдите:

а) сумму 2 + 4 + 6 + … + 2n, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до 2n;

б) сумму 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), слагаемыми которой являются все не четные числа от 1 до 2n – 1.

Дано: арифметическая прогрессия, а)http://festival.1september.ru/articles/213638/img67.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img68.gif,

б) http://festival.1september.ru/articles/213638/img69.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img70.gif.

Найти: http://festival.1september.ru/articles/213638/img71.gif

Решение:

а) http://festival.1september.ru/articles/213638/img72.gif

http://festival.1september.ru/articles/213638/img73.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img74.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/213638/img78.gif (для четных чисел)

б)

http://festival.1september.ru/articles/213638/img75.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img76.gifhttp://festival.1september.ru/articles/213638/img77.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/213638/img79.gif(для нечетных чисел).



Название документа Историческая_справка.doc



Историческая справка

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Что же касается геометрической прогрессии, то напомним: геометрической прогрессией называется последовательность, у которой любой член, кроме первого, является средним геометрическим двух соседних: Частное двух соседних членов геометрической прогрессии постоянно: q = bn + 1/bn. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии, т. е. каждый член отличается от предыдущего в q раз. (Будем считать, что q ≠ 1, иначе все уж слишком тривиально). Нетрудно видеть, что общая формула n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn – 1; члены с номерами bn и bm отличаются в qn – m раз.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Задача Древнего Египта

Задача из папируса Райнда

hello_html_4f0508a5.jpg

hello_html_713c63ec.png


«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»





Решение задачи

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

Задача о шахматах

hello_html_m6c3dade4.jpg


Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель
шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью –четыре, за четвертую – восемь и так далее до 64-го поля. Нетрудно сосчитать, используя формулу

hello_html_m4aeb56cf.jpg

hello_html_713c63ec.png


, что количество зерна, нужное для расплаты, составляет примерно 18,5*1018.

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря , и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.









Старинные русские задачи

Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого

hello_html_m34ab0076.jpg

hello_html_713c63ec.png

Проторговался ли купец?


Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь
полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше,чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Решение задачи

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

hello_html_48e66625.jpg

копеек. Сумма эта равна

hello_html_m3e2597e5.jpg

копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу hello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gif

Название документа Лекция.docx

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию, рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия – это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность – это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер. Элементы этого множества называются членами последовательности.  Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:



a_1 – первый элемент последовательности;

a_5 – пятый элемент последовательности;

a_n – «энный» элемент последовательности, т.е. элемент, «стоящий в очереди» под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность – это функция от натурального аргумента:

a(n)=a_n

Последовательность можно задать тремя способами:

1Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он  проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar9.jpg

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй – время в минутах. Мы видим, что a_1=125, то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут,  a_4=248, то есть в четверг  -  248 минут, а a_5=15, то есть в пятницу всего 15.

2Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если a_n=n^2-4n, то

a_1=1^2-4*1=-3

a_5=5^2-4*5=20

a_{k+1}=(k+1)^2-4*(k+1)=k^2-2k-3

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо x в уравнение функции:

Если, например,  f(x)=x^2-4x, то f(1,2)=(1,2)^2-4*1,2=-3,36

Еще раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность b_n=2b_{n-1}+b_{n-2},  b_1=2,~b_2=4

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим, начиная с третьего:

b_3=2b_2+b_1=8+2=10

b_4=2b_3+b_2=20+4=24

b_5=2b_4+b_3=48+10=58

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным, от латинского слова recurro – возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия – это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar13.jpg

Число d=a_k-a_{k-1} называется разностью арифметической прогрессии.  Разность арифметической прогрессии может быть  положительной,  отрицательной, или равной нулю.

Если d>0″ title=»d>0″/><img src=, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей.

Например, 2; 5; 8; 11;… d=3

Если d<0http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png, то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей.

Например, 2; -1; -4; -7;… d=-3

Если d=0, то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной.

Например, 2;2;2;2;…

 

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

a_k=a_{k-1}+d,  и в то же время

a_k=a_{k+1}-d

Сложив эти два равенства, получим:

2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}.

Разделим обе части равенства на 2:

a_k={a_{k-1}+a_{k+1}}/2

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar12.jpg

Больше того, так как

a_k=a_{k-l}+ld,  и в то же время

a_k=a_{k+l}-ld, то

2a_k=a_{k-l}+a_{k+l}, и, следовательно,

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar14.jpgКаждый член арифметической прогрессии, начиная с k>l» title=»k>l»/><img src=, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула n-го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

a_2=a_1+d

a_3=a_2+d=a_1+2d

a_4=a_3+d=a_1+3d

и, наконец, a_n=a_{n-1}+d=a_1+d(n-1)

Мы получили формулу n-го члена.

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar16.jpg

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через a_1 и d. Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой ее член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

a_1+a_n=a_1+(a_1+d(n-1))=2a_1+d(n-1)

a_2+a_{n-1}=a_1+d+(a_1+d(n-2))=2a_1+d(n-1)

a_3+a_{n-2}=a_1+2d+(a_1+d(n-3))=2a_1+d(n-1)

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна S_n.

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar20.jpg

Сложим попарно:(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+...+(a_n+a_1)=2S_n

Сумма в каждой скобке равна a_1+a_n, число пар равно n.

Получаем:

2S_n=(a_1+a_n)n

S_n={a_1+a_n}/2n={2a_1+d(n-1)}/2n

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar18.jpg

Название документа Презентация к уроку.pptx

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прог...
1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начин...
   
     
   1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;
     
    =15,8
     
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему ари...
   
   
   
   
1 из 13

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрес
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

№ слайда 2 1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная
Описание слайда:

1; Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 5; 9; 13; 17; …

№ слайда 3    
Описание слайда:

   

№ слайда 4      
Описание слайда:

     

№ слайда 5    1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;
Описание слайда:

  1; 3; 5; 7; 9;   2; 4; 6; 8; … …             5; 5; 5; … 5;

№ слайда 6      
Описание слайда:

     

№ слайда 7     =15,8
Описание слайда:

    =15,8

№ слайда 8      
Описание слайда:

     

№ слайда 9 Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифме
Описание слайда:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.  

№ слайда 10    
Описание слайда:

   

№ слайда 11    
Описание слайда:

   

№ слайда 12    
Описание слайда:

   

№ слайда 13    
Описание слайда:

   

Название документа Самостоятельная работа.doc


Самостоятельная работа

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия

Вариант 1


А1. Рассматривается последовательность натуральных чисел, делящихся на 3: 3, 6, 9, ... .

а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности.

б) Запишите шестой член последовательности.

в) Определите, содержаться ли в этой последовательности числа 19 и 27.

А2. В арифметической прогрессии n) известен первый член х1 = -5 и разность d = 2. Найдите х6 и х11.

A3. Последовательность n) – арифметическая прогрессия. Найдите а1, если а10 = 13, d = 5

_________________________________________

В1. Начиная с какого номера члены арифметической прогрессии

-14, -6, 2, ... будут больше 800?


Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.


_____________________________________________________________________________


Самостоятельная работа

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия

Вариант 2


А1. Последовательность n) задана формулой n -го члена

хn=n2 -5n

а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности.

б) Запишите седьмой член последовательности.

в) Определите, содержаться ли в этой последовательности число -4.

А2. В арифметической прогрессии n) известен первый член х1 = 1 и разность d = -10. Найдите х6 и х11.

A3. Последовательность n) – арифметическая прогрессия. Найдите а1, если а12 = 16, d = 3

_______________________________________________________________

В1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии

-318, -314, -310, ... .


Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.


Название документа Творческое задание.docx

Сценка «Мужик и купец»


Действующие лица:

ведущий-старшеклассник

купец, жена, мужик – роли исполняют ученики

На сцене стол, на столе самовар, лавка, у окна сидят купчиха и её дочь, входит купец

Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.

Жена. Какую?

Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100000 рублей, а я ему в 1-ый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100000 рублей! Во 2-ой день – 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить по каждый день по 100000 рублей.

Жена. Откуда у этого глупца столько денег?

Купец. Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на один месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.

раздаётся стук в дверь. Жена выглядывает в окно.

Жена. Там кто-то пришёл.

Купец. (Выглядывает в окно) Это он!

Входит мужик.

Мужик. Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку!

Взяв свою копейку уходит.

Купец. Как я боялся, что он не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?

Жена. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что поймёт завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго»

Купец. Так-то оно так, да всё равно боязно.

Ведущий. Каждый день мужик приносил по 100000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался  и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24-ый день он отдал 83000, а на 25-ый 166000, а на 27-й день 671000 рублей.

Купец. О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп. Ведь он отдал мне всего 3 миллиона, а получил от меня 10 миллионов рублей! Какой я глупец! разве можно было заключать сделки на базаре!

Как неожиданны бывают результаты, когда не знаешь математику.



Название документа физминутка.ppt

1 из 5

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

презентация урока по теме "Арифметическая прогрессия"
  • Математика
Описание:

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию, рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия – это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность – это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер. Элементы этого множества называются членами последовательности.  Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:



 – первый элемент последовательности;

 – пятый элемент последовательности;

 – «энный» элемент последовательности, т.е. элемент, «стоящий в очереди» под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность – это функция от натурального аргумента:

Последовательность можно задать тремя способами:

1. Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он  проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй – время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут,  , то есть в четверг  -  248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.

2. Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если , то

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо  в уравнение функции:

Если, например,  , то 

Еще раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3. Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность ,  

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим, начиная с третьего:

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным, от латинского слова recurro – возвращаться.

 

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия – это простой частный случай числовой последовательности.

Автор Аубакирова Калампыр Ермековна
Дата добавления 08.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 650
Номер материала 44631
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓