Выбранный для просмотра документ урок по теме теорема Пифагора.docx
Урок по теме «Теорема Пифагора» 8 класс
«Единственный путь, ведущий к знанию – деятельность»
Бернард Шоу
Урок открытия новых знаний
Цель урока: Организовать деятельность учащихся для выведения, доказательства и первичного закрепления теоремы Пифагора
Задачи урока:
Ход урока
Урок хочу начать со слов Бернарда Шоу. Единственный путь, ведущий к знанию – деятельность.
Я надеюсь, что наша сегодня с вами деятельность приведет к определенному результату.
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это , а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, …”
Иоганн Кеплер
Так, что в геометрии можно сравнить с мерой золота?
Да, это – теорема Пифагора.
Как вы думаете, какая тема нашего урока?
Откройте тетради, запишите дату и тему урока.
Пифагор в своей жизни очень много путешествовал. И мы отправляемся в путешествие для открытия новых знаний.
Я вам предлагаю разделиться на две группы: 1 – решает задачи,
2 – отвечает на вопросы (слайд 3-9)
1 –группа:
2-группа 
1.Какой треугольник вы видите на рисунке?
2.Какой треугольник называется прямоугольным?
3. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
4.Что называется гипотенузой?
5.Что называется катетами?
6.Назовите свойства прямоугольного треугольника.
7. Сформулируйте свойство смежных углов.
8.Сформулируйте свойства равенства прямоугольных треугольников.
9.Вспомните свойства площадей многоугольников.
10.Найдите площадь квадрата со стороной 6, 7 ,с, а, а+в
11. А как найти площадь прямоугольного треугольника?
12. Найдите сторону треугольника АС, если АВ = 12 см, а угол В = 300,
13.Найти АВ, если АС = 4см, а угол А =600,
14.Найти АВ, если ВС = 4 см, АС = 3 см.(слайд 18)
А
С В
3. Создание проблемной ситуации для определения цели урока
4. Вы смогли выполнить последнее задание?
Что не получается?
Чем это задание не похоже на предыдущее?
Какой возникает вопрос?
Проблема: Невозможно найти сторону АВ. Почему?
Как вы думаете, какая цель нашего урока?
Цель: научиться находить третью сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие. (запишите в тетрадь)
Практическое задание:
Начертите в тетрадях прямоугольный треугольник с катетами а и в: 1ряд - 3 и 4;
2ряд - 6 и 8;
3ряд – 5 и 12
измерьте его гипотенузу и заполните таблицу
|
а |
в |
с |
с2 |
а2 +в2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
5 |
12 |
|
|
|
сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.
Сделайте вывод: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это утверждение и есть теорема Пифагора (гипотеза).
Информация о древнегреческом математике (слайд10) прочтите.
Треугольник со сторонами 3,4 и 5 называется египетским. Для построения прямого угла использовали веревку длиной 12ед измерения, которая узлами была разделена на 3,4и 5частей (слайд1,веревка )
Считалось, что при закладке пирамид, процедуру определения прямых углов выполнял сам фараон.
Первоначальная формулировка теоремы Пифагора: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах (слайд11)
Современная формулировка теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
5 Докажем теорему(слайд14)
А
Дано:
∆АВС;
С=90
;
АВ=с;
ВС=а;
АС=в;
Док-ть:
Доказательство: Постройте прямоугольный треугольник с катетами а и в, гипотенузой с. Достроим его до квадрата со стороной а+в.
- площадь квадрата
- теорема доказана.
Чтобы лучше запомнить теорему послушайте стихотворение И.Дырченко «Теорема Пифагора» (слайд15)
Мы достигли цель, которую ставили в начале урока?
Вернемся к задаче (слайд18) и к карточке В, найдем сторону АВ
6. Зачем нам нужна теорема Пифагора? Для того чтобы находить стороны прямоугольного треугольника.
Цель: научиться применять теорему Пифагора в различных задачах.
Решение задач
С помощью теоремы Пифагора можно решать два вида задач: (слайд16)
1.Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты.
2. Найти катет, если известна гипотенуза и другой катет
Решение задач из учебника: № 483(а, б), 484(а, б); для сильных учащихся слайд(19-21)
7. Д/з п.54, вопр 8, №483(в), 484(в), 485, 486(а), ( не менее двух № из четырех);
исследование «Почему теорема Пифагора называется теоремой невесты, нимфы»,
найти другие способы доказательства теоремы Пифагора.
Кто желает получить дополнительную отметку может взять решить старинные задачи.
8. Рефлексия
С какой проблемой столкнулись на уроке?
Какую цель поставили вначале урока?
Достигли мы цели?
Каким образом, мы достигли цель?
Разрешили проблему?
Как вы думаете, какая цель будет на следующем уроке?
Оцените свою деятельность на уроке, заполните таблицу, поставьте метку в определенную ячейку
|
Активность |
высокая |
средняя |
низкая |
|
Тему усвоил |
Усвоил хорошо |
Усвоил частично |
Усвоил слабо |
|
Объяснить товарищу |
Могу сам |
Могу, но с подсказками |
затрудняюсь |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ pril1.ppt
Скачать материал "Презентация, технологическая карта урока геометрии в 8 классе по теме"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это , а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, …”
Иоганн Кеплер
2 слайд
среднем и крайнем отношении.
“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, …”
Иоганн Кеплер
3 слайд
Прямоугольный треугольник и его элементы
Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов прямой.
2. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами.
Гипотенуза
Катет
Катет
1. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.
4 слайд
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
5 слайд
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
30°
3.Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
30°
6 слайд
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Докажите, что ABC = ABD
35°
55°
A
C
B
D
A
B
M
D
C
Докажите, что ABM = CDM
A
B
D
C
Докажите, что ABD = ACD
A
B
C
D
Докажите, что ABC = ACD
O
Докажите, что BMC = 90º
7 слайд
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3. Площадь квадрата
равна квадрату его
стороны.
1. Равные многоугольники имеют равные площади.
S1
=
S2
S1 = S2
S
=
S1
S2
S3
S = S1 + S2 + S3
S□ = a2
a
a
a
a
Свойства площадей
8 слайд
Площадь прямоугольного треугольника
A
B
C
a
b
c
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
9 слайд
5 км
17 км
12 км
12 + 5 = 17 км
Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населённого пункта в противоположных направлениях. Пешеход пошёл на восток со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на запад со скоростью 12 км/ч.
Какое расстояние будет между ними через час?
? км
Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населённого пункта в разных направлениях. Пешеход пошёл на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на запад со скоростью 12 км/ч.
Какое расстояние будет между ними через час?
5 км
? км
10 слайд
(ок. 580 –500 г. до н. э.)
Пифагор Самосский
Большим достижением пифагорейцев было открытие несоизмеримых отрезков. Несоизмеримость получила громкую известность, привлекла внимание лучших умов.
Важным открытием Пифагора является также теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
Пифагору и его ученикам приписывают создание учения о числах: чётных и нечётных, простых и составных, совершенных и фигурных; нахождение способов построения некоторых правильных многоугольников и многогранников; разработку учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях. Пифагор заложил основы учения о подобии, ввёл систематические доказательства в геометрию и доказал теорему, носящую его имя.
Пифагор – легендарная фигура в истории математики и философии древнего мира. Величайшая заслуга Пифагора перед наукой состоит в том, что он создал научную школу.
11 слайд
Теорема Пифагора
Теорема
Пифагора
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
A
B
C
a
b
c
c2 = a2 + b2
c2 = a2 + b2
b
C
B
A
a
c
b2
c2
a2
12 слайд
Доказательство теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника. «Пифагоровы» штаны
b
a
c
13 слайд
Смотри!
=
b
a
a
a
b
b
a
b
c
c
c
c
c2
a2
b2
b
a
a
a
b
b
a
b
=
+
14 слайд
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
b
a
c
a
a + b
a
b
b
a + b
a
b
c
c
c
Доказательство теоремы Пифагора
15 слайд
И. Дырченко «Теорема Пифагора»
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путём
К результату мы придём.
c
a
b
c2
a2
b2
+
=
16 слайд
c
c
c
b
a
a
a
b
b
17 слайд
Решение задач по готовым чертежам
Решение задач по готовым чертежам
Найдите гипотенузу с прямоугольного треугольника по данным катетам а и b, если: а = 6, b = 8
В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Найдите b, если с = 13, а = 12.
8
6
?
13
12
?
18 слайд
5 км
17 км
12 км
12 + 5 = 17 км
5 км
? км
Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населённого пункта в противоположных направлениях. Пешеход пошёл на восток со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на запад со скоростью 12 км/ч.
Какое расстояние будет между ними через час?
Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населённого пункта в разных направлениях. Пешеход пошёл на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на запад со скоростью 12 км/ч.
Какое расстояние будет между ними через час?
19 слайд
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
4
3
?
Задача индийского математика XII века Бхаскары
Ответ: 8 футов.
Решение задач по готовым чертежам
!["Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же т...](https://documents.infourok.ru/30f74512-f701-4326-99fc-a65f3c98e857/1/slide_20.jpg ""Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же т...")
20 слайд
"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."
Задача из учебника «Арифметика»
Леонтия Магницкого
117
125
125
?
21 слайд
Задача о лотосе
22 слайд
Пребудет вечной истина,
как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
A. Шамиссо
О теореме Пифагора
23 слайд
Задание на дом
П. 54, №№ 483(,в),484( в), 485, 486(а) (два № из4) или сообщение «Способы доказательства теоремы Пифагора», или «Биография Пифагора» или «Почему теорема невесты,или нимфа»
№
Предмет
Домашнее задание
Геометрия
Оценка
Подпись учителя
1
2
3
4
5
6
24 слайд
Литература
1. Акимова С. Занимательная математика. Спб.: Тригон, 1997.
2. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. М.: Просвещение, 2006.
3. Березин В.Н. Теорема Пифагора, «Квант», №3, 1972 г.
4. Ван-дер-Варден Б.Л. «Пробуждающаяся наука», М.; Наука, 1991.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1981.
6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М.: Детгиз,1961.
5. Журнал «Математика в школе», № 4, 1991.
6. Клово А.Г. Математика. Единственные реальные варианты заданий для
подготовки к ЕГЭ. М., 2008.
7. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
8. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: Просвещение,1990.
9. Халамайзер А. Я. Пифагор. М.; «Высшая школа», 1994.
10. Энциклопедия для детей. Математика / Главный редактор М.Д. Аксенова.
М.: «Аванта+»,1998.
11. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. М., 1997.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Аннотация.docx
Скачать материал "Презентация, технологическая карта урока геометрии в 8 классе по теме"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Технологическая карта урока геометрии в 8 классе.docx
Технологическая карта урока геометрии в 8 классе «Теорема Пифагора»
Предмет: геометрия
Тема: «Теорема Пифагора»
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности
Участники: обучающиеся 8 класса
Цель урока: Организовать деятельность учащихся для выведения, доказательства и первичного закрепления теоремы Пифагора
Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:
Предметные:
Знать теорему Пифагора.
Понимать, как найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы Пифагора.
Познавательные УУД:
умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного; с помощью учителя добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.
Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других;
Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.
Личностные УУД: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
Основные понятия: Теорема Пифагора
Ресурсы: -Учебник для общеобразовательных учреждений : «Геометрия 7-9 класс» Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др
- презентация к уроку
- карточки для рефлексии
-карточки с задачами
-веревка с узелками
|
Этапы урока |
Содержание учебного материала. Деятельность учителя |
Деятельность обучающихся |
Формирование УУД |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Организационный момент |
Приветствие, психологический настрой на урок |
Настраиваются на урок, проверяют готовность своего рабочего места |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Актуализация знаний
|
Задает вопросы по ранее изученному материалу (слайд3-9) 1.Какой треугольник вы видите на рисунке? 2.Какой треугольник называется прямоугольным? 3. Как называются стороны прямоугольного треугольника? 4.Что называется гипотенузой? 5.Что называется катетами? 6.Назовите свойства прямоугольного треугольника. 7.Сформулируйте свойства равенства прямоугольных треугольников. 8.Сформулируйте свойства равенства прямоугольных треугольников 9.Вспомните свойства площадей многоугольников. 10.Найдите площадь квадрата со стороной 6, 7 ,с, а, а+в
11. А как найти площадь прямоугольного треугольника?
12.Найдите сторону треугольника АС, если АВ = 12 см, а угол В = 300
13.Найти АВ, если АС = 4см, а угол А =600.
14.Найти АВ если ВС = 4 см, АС = 3 см.
А С В |
|
Отвечают на вопросы учителя.
|
Решают задачи как на доске , так и в тетрадях. |
Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя (Познавательные УУД).
|
||||||||||||||||||||||||
|
Постановка проблемы |
Создание проблемной ситуации. Предлагает решить последнюю задачу. (слайд 9). Использует побуждающий от проблемы диалог Вы смогли выполнить последнее задание? Что не получается? Чем это задание не похоже на предыдущее? Какой возникает вопрос? Проблема: Невозможно найти сторону АВ. Почему? Как вы думаете, какова цель нашего урока? Цель: научиться находить третью сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие. (запишите в тетрадь) |
Отвечают на вопросы учителя, принимают участие в диалоге. Выявляют место затруднения. Проговаривают причину. -ответы учащихся: научиться находить стороны прямоугольного треугольника Записывают цель в тетрадь |
Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя (Регулятивные УУД). постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера; (познавательные УУД)
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Изучение новых знаний и способов деятельности |
Создание учебной ситуации для разрешения данной проблемы. Практическое задание: Начертите в тетрадях прямоугольный треугольник с катетами, 1ряд -3и 4, 2ряд- 6и 8, 3ряд-5и12, измерьте гипотенузу и заполните таблицу
сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы. Сделайте вывод: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это утверждение и есть теорема. (гипотеза) Но первоначально теорема Пифагора формулировалась так (слайд11) Еще раз сформулируем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Докажем теорему(слайд14) Постройте прямоугольный треугольник с катетами а и в , гипотенузой с. А в а
ВС=а;
Док-ть:
Доказательство: Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной а+в. Достроим его до квадрата со стороной а+в.
Чтобы лучше запомнить теорему послушайте стихотворение И.Дырченко «Теорема Пифагора» (слайд15) Треугольник со сторонами 3,4 и 5 называется египетским. Для построения прямого угла использовали веревку длиной 12ед измерения, которая узлами была разделена на 3,4и 5 частей (слайд1,веревка ) Считалось, что при закладке пирамид, процедуру определения прямых углов выполнял сам фараон.
Мы достигли цель, которую ставили в начале урока?
|
Выполняют задание
Ответы учащихся
Обучающиеся в тетрадях записывают число и тему урока.
Предлагают варианты доказательства
Записывают доказательство в тетрадь
|
планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; — выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; ( коммуникативные УУД)
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Закрепление изученного материала |
Давайте закрепим полученную информацию на практике, решим задачу, предложенную в начале урока Решение задач (слайд16-17); для сильных учащихся слайд(19-21)
№1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам: a= 3 см, b=4 см. №2. Найдите катет прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе: а=12см, с=13см. Зачем нам нужна теорема Пифагора? Для того чтобы находить стороны прямоугольного треугольника. Цель: научиться применять теорему Пифагора в различных задачах. Решение задач С помощью теоремы Пифагора можно решать два вида задач: 1.Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты. 2. Найти катет, если известна гипотенуза и другой катет Решение задач из учебника: № 483(а, б), 484(а, б). |
Работают в парах, записывают решение в тетрадь
Ответы учащихся (устная работа) Формулируют новую цель
Индивидуальная работа учащихся
|
поиск и выделение необходимой информации, в том числе решение рабочих задач с использованием общедоступных инструментов ИКТ и источников информации; структурирование знаний; осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; ((познавательные УУД) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Информация о домашнем задании |
Запишите домашнее задание: п.54, вопр 8, №483(в),484(в),485,486(а) (выберите не менее двух № из четырех); исследование «Почему теорема Пифагора называется теоремой невесты или нимфы», найти другие способы доказательства. Кто желает получить дополнительную отметку может взять решить старинные задачи. |
Записывают домашнее задание |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Подведение итогов учебного занятия |
- Давайте подведём итог нашей работы на уроке. С какой проблемой столкнулись на уроке? Какую цель поставили вначале урока? Достигли мы цели? Каким образом мы достигли цель? Разрешили проблему? Как вы думаете, какая цель будет на следующем уроке?
|
Отвечают на вопросы учителя.
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Рефлексия учебной деятельности
|
Организует рефлексию и самооценку учениками собс2твенной учебной деятельности.
|
Отвечают на вопросы учителя.
Делают самооценку |
Уметь оценивать правильность выполнения действия. (Регулятивные УУД). Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД). |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Урок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора»; преподавание ведется по учебнику «Геометрия 7-9»/ Атанасян Л.С. и другие.
Урок открытия новых знаний нацелен на восприятие учащимися теоремы и формирование навыка ее применения.
Структура урока:
1. Актуализация знаний.
2. Постановка проблемы.
3. Изучение новых знаний и способов деятельности.
4. Закрепление изученного материала.
5. Информация о домашнем задании.
6. Подведение итогов учебного занятия.
7. Рефлексия учебной деятельности.
Работа на уроке построена по принципу путешествия с использованием элементов дифференциального обучения и технологии проблемного обучения. На уроке используется презентация. С ее помощью на различных этапах урока необходимый материал демонстрируется в виде слайдов.
6 663 621 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Бондаренко Елена Федотовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.