Главная / Математика / Презентация "Приложения определенного интеграла"

Презентация "Приложения определенного интеграла"

Курс «Алгебра и начала анализа» Рубежанская общеобразовательная школа І-ІІІ с...
Аннотация Данная презентация предназначена для проведения урока обобщения и с...
Историческая справка Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц Архимед Бонавенту...
Неопределенный интеграл Операция, обратная дифференцированию, называется инте...
Три правила интегрирования Техника интегрирования – сложный раздел математики...
Площадь криволинейной трапеции Можно найти площадь криволинейной трапеции и с...
Используемые в рыночной экономике понятия и обозначения Спрос на данный товар...
Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательны...
Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положит...
Рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие ц...
Приложение интегрального анализа для определения потребительского излишка. Из...
Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сра...
Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товар...
В результате получим, что цена n-й партии товара , а затраты потребителей на ...
Так как величина Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что п...
Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) пок...
Далее рассмотрим несколько задач на определение излишка потребителя. Задача 1...
Решение
Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией , а пр...
Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночног...
Задача 3. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией , предлож...
Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Д...
Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS–producer...
Задача 4. Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид , а ра...
Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены . По...
Общий эффект производства и потребления Мы рассмотрели, как определяются изли...
Влияние налогов на благосостояние потребителя Однако абсолютные значения PS и...
Таким образом, получаем, что – уменьшение благосостояния потребителя, оценив...
Задача 5.(пример оценки последствий введения потоварного налогоа) Дана кривая...
Решение. Для определения потребительских потерь при увеличении равновесной це...
Подготовка налоговых реформ Рассмотренный нами способ оценки последствий мер ...
Исследования М.Кинга Исследовав расходы на жилищные услуги по 5895 домохозяйс...
Подведение итогов Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируетс...
1 из 33

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Курс «Алгебра и начала анализа» Рубежанская общеобразовательная школа І-ІІІ ступ
Описание слайда:

Курс «Алгебра и начала анализа» Рубежанская общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней № 8 Тема урока: «Приложения определенного интеграла.» Учитель математики и информатики Мацегора Олег Петрович 111 - null

№ слайда 2 Аннотация Данная презентация предназначена для проведения урока обобщения и сист
Описание слайда:

Аннотация Данная презентация предназначена для проведения урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Приложения определенного интеграла.» Цель урока: рассмотреть возможности применения математического моделирования к решению экономических задач, приложений определенного интеграла в других областях знаний

№ слайда 3 Историческая справка Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц Архимед Бонавентура
Описание слайда:

Историческая справка Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц Архимед Бонавентура Кавальери -Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс Книдский(ок.408-ок.355 до н.э.) и Архимед (ок.287-212 до н.э.)для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (или объем) вычисляли как сумму площадей (или объемов) полученных элементарных кусочков. Кеплер, Галилей, Кавальери, Паскаль, Ферма… Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И.Ньютоном и немецким математиком В.-Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять первообразные.

№ слайда 4 Неопределенный интеграл Операция, обратная дифференцированию, называется интегри
Описание слайда:

Неопределенный интеграл Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Если мы ищем скорость пути, мы дифференцируем функцию s(t) и получаем s’(t)=v(t). Если же функция v(t) нам известная, а требуется найти функцию s(t), то мы будем интегрировать функцию v(t). Чтобы хорошо разобраться в материале этой темы, нужно вспомнить, что такое дифференцирование, геометрический смысл производной, Механический смысл производной и формулы дифференцирования. Дифференцирование - это операция нахождения производной, если функция f(x) имеет производную в точке х0. Сама функция называется дифференцируемой в этой точке. Повторение пройденного материала

№ слайда 5 Три правила интегрирования Техника интегрирования – сложный раздел математики. В
Описание слайда:

Три правила интегрирования Техника интегрирования – сложный раздел математики. В нем сделали свои открытия такие корифеи, как Эйлер, Лобачевский, Коши, Остроградский. Вы ознакомились с тремя самыми простыми правилами интегрирования.

№ слайда 6 Площадь криволинейной трапеции Можно найти площадь криволинейной трапеции и сове
Описание слайда:

Площадь криволинейной трапеции Можно найти площадь криволинейной трапеции и совершенно точно, пользуясь результатом, полученным в конце XVII века независимо друг от друга двумя великими учеными Ньютоном и Лейбницем. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна F(b)-F(a), где F- любая из первообразных функции f, график которой ограничивает криволинейную трапецию Теперь вычисление площади криволинейной трапеции будем записывать так: 1) Найдем любую из первообразных F функции f. 2) Запишем Формула и называется формулой Ньютона –Лейбница.

№ слайда 7 Используемые в рыночной экономике понятия и обозначения Спрос на данный товар (D
Описание слайда:

Используемые в рыночной экономике понятия и обозначения Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки Предложение (S–supply) товара - сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже.

№ слайда 8 Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным н
Описание слайда:

Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

№ слайда 9 Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положитель
Описание слайда:

Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

№ слайда 10 Рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена
Описание слайда:

Рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения, E*(p*; q*) – точка равновесия.

№ слайда 11 Приложение интегрального анализа для определения потребительского излишка. Изобр
Описание слайда:

Приложение интегрального анализа для определения потребительского излишка. Изобразим на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа) Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A

№ слайда 12 Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу,
Описание слайда:

Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2–4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше. Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве (рис. 5), который продается по цене . Так как по предположению величина мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене , при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят , что соответствует площади заштрихованного прямоугольника

№ слайда 13 Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара .
Описание слайда:

Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара . Тогда становится ясно, какой должна быть величина для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке :

№ слайда 14 В результате получим, что цена n-й партии товара , а затраты потребителей на пок
Описание слайда:

В результате получим, что цена n-й партии товара , а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят , или площадь прямоугольника . Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями равны

№ слайда 15 Так как величина Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приб
Описание слайда:

Так как величина Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис. 6), которая, как известно, при малых приращениях аргумента Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что

№ слайда 16 Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показы
Описание слайда:

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7). Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

№ слайда 17 Далее рассмотрим несколько задач на определение излишка потребителя. Задача 1. И
Описание слайда:

Далее рассмотрим несколько задач на определение излишка потребителя. Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией , где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в грн.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка

№ слайда 18 Решение
Описание слайда:

Решение

№ слайда 19 Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией , а предл
Описание слайда:

Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией , а предложение данного товара характеризуется функцией . Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

№ слайда 20 Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного р
Описание слайда:

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия (p*; q*). Для этого решим систему уравнений Таким образом, p* = 2, q* = 1000.   Запишем формулу для вычисления потребительского излишка (1), где f(q) – функция, обратная функции Отсюда

№ слайда 21 Задача 3. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией , предложени
Описание слайда:

Задача 3. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией , предложение – функцией . Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.

№ слайда 22 Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Для
Описание слайда:

Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, определим сначала равновесные значения количества товара и его цены, решив для этого систему Решим первое уравнение системы. Учитывая, что , получим .Следовательно, Тогда

№ слайда 23 Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS–producer su
Описание слайда:

Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS–producer surplus). Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия (рис. 8). Очевидно, что

№ слайда 24 Задача 4. Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид , а равно
Описание слайда:

Задача 4. Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид , а равновесие на рынке данного товара достигается при объеме продаж . Определите добавочную выгоду производителя при продаже такого количества продукции.

№ слайда 25 Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены . Подст
Описание слайда:

Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены . Подставим полученное значение в формулу (2)

№ слайда 26 Общий эффект производства и потребления Мы рассмотрели, как определяются излишки
Описание слайда:

Общий эффект производства и потребления Мы рассмотрели, как определяются излишки потребителя и производителя. Отметим, что сумма этих двух излишков – площадь заштрихованной фигуры на рисунке 9 – характеризует общий эффект производства и потребления на рассматриваемом рынке.

№ слайда 27 Влияние налогов на благосостояние потребителя Однако абсолютные значения PS и CS
Описание слайда:

Влияние налогов на благосостояние потребителя Однако абсолютные значения PS и CS представляют небольшой интерес для экономистов. Экономистов больше волнует ответ на вопрос, как и на сколько изменится излишек потребителя в результате проведения того или иного мероприятия государственной политики, оказывающей влияние на равновесие на рынке, в частности, при установлении налогов, введении субсидий и т. п. Допустим, например, что товар облагается налогом в размере t на единицу товара (такой налог экономисты называют потоварным налогом), тогда его цена увеличится с P1 до P2 (P2 = P1 + t). Влияние данного налога на благосостояние потребителя характеризует ситуация, представленная на рисунке 10.

№ слайда 28 Таким образом, получаем, что – уменьшение благосостояния потребителя, оцениваем
Описание слайда:

Таким образом, получаем, что – уменьшение благосостояния потребителя, оцениваемое с помощью потребительского излишка, есть разница площадей двух фигур, соответствующих CS1 и CS2, и по форме напоминает трапецию, площадь которой, в свою очередь, равна сумме площадей фигур T1 и T2, т. е. D CS =ST1 +ST2 , ST1 где измеряет потери излишка потребителя, вызванные увеличением цены единицы товара на размер налога и равна tQ2, а ST1 измеряет потери благосостояния потребителя, связанные с уменьшением количества потребляемого товара (Q2 < Q1), и равна Таким образом, для случая введения потоварного налога в размере t имеем В общем же случае результат изменения потребительского излишка вследствие увеличения цены на товар может быть записан, например, в следующем виде

№ слайда 29 Задача 5.(пример оценки последствий введения потоварного налогоа) Дана кривая сп
Описание слайда:

Задача 5.(пример оценки последствий введения потоварного налогоа) Дана кривая спроса . Каковы денежные потери потребителя при введении на данный товар налога с единицы продаж в размере 1 грн., если известно, что первоначально рыночное равновесие на данном рынке наблюдалось при цене P* = 2 грн.?

№ слайда 30 Решение. Для определения потребительских потерь при увеличении равновесной цены
Описание слайда:

Решение. Для определения потребительских потерь при увеличении равновесной цены товара с 2 грн. до 3 грн. посмотрим, как при этом меняется объем продаж. Если P1 = 2, то Q1 = 16, при P2 = 3 Q2 = 14. Следовательно,

№ слайда 31 Подготовка налоговых реформ Рассмотренный нами способ оценки последствий мер эко
Описание слайда:

Подготовка налоговых реформ Рассмотренный нами способ оценки последствий мер экономической политики широко применяется на практике. Так, при подготовке налоговых реформ экономисты рассчитывают изменения потребительских излишков в зависимости от различных вариантов налогообложения и, анализируя полученные результаты с учетом необходимого размера налоговых поступлений, останавливаются на тех вариантах, которые вызывают наименьшее сокращение потребительских выгод. Пример практического использования данного анализа приводит в своей работе «Анализ воздействия налоговых реформ на благосостояние с использованием данных по домохозяйствам» современный английский экономист М. Кинг, исследуя последствия проводимой в Великобритании в 1983 г. реформы налогообложения жилищных услуг. Суть данной реформы сводилась к отмене налоговых скидок при уплате налога на проживание для владельцев собственных домов с одновременным увеличением арендной платы за проживание в муниципальных домах. Дополнительные средства, полученные в результате такого мероприятия, подлежали возврату домохозяйствам в форме безвозмездных социальных выплат, пропорциональных доходу домохозяйства.

№ слайда 32 Исследования М.Кинга Исследовав расходы на жилищные услуги по 5895 домохозяйства
Описание слайда:

Исследования М.Кинга Исследовав расходы на жилищные услуги по 5895 домохозяйствам, Кинг вывел функцию спроса на жилищные услуги. В итоге им было установлено, что данная налоговая реформа оказала бы положительное воздействие на благосостояние 4888 из 5895 домохозяйств. Более того, он смог точно идентифицировать те домохозяйства, которые понесли бы наибольшие потери от такой реформы. Он обнаружил, что от реформы выиграли бы 94% домохозяйств, имеющих самые высокие доходы, и лишь 58% лиц с наименьшими доходами. Полученные им результаты оказали огромное влияние на концепцию разрабатываемых реформ. В результате намечавшиеся изменения в реформировании системы налогообложения жилищной сферы были кардинально пересмотрены и изменены для более полного соответствия поставленным целям.

№ слайда 33 Подведение итогов Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется в
Описание слайда:

Подведение итогов Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Зачастую об экономических приложениях интеграла не идет речи. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Презентация "Приложения определенного интеграла"
  • Математика
Описание:

11 класс. Алгебра и начала анализа.

Тема урока: "Приложения определенного интеграла".

Цель урока: рассмотреть возможности применения математического моделирования к решению экономических задач, приложений определенного интеграла в других областях знаний.

Данная презентация предназначена для проведения урока обобщения и систематизации знаний по теме: "Приложения определенного интеграла".

... идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики ЭвдоксКнидский(ок.408-ок.355 до н.э.) и Архимед (ок.287-212 до н.э.)для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно  большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (или объем) вычисляли как сумму площадей (или объемов) полученных элементарных кусочков...

Автор Мацегора Олег Петрович
Дата добавления 10.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 726
Номер материала 50733
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓