Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Методы решения
геометрических задач
группы С2
Учитель математики:
Павлова Алевтина Михайловна
2 слайд
Расстояние между двумя точками
Расстояние между точками А и В можно вычислить:
как длину отрезка АВ, если отрезок АВ удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;
2) по формуле
3) по формуле
3 слайд
Задача 1. В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 на диагоналях граней AD1 и D1B1 взяты точки Е и F так, что D1E = 1/3AD1 , D1F = 2/3 D1B1 . Найдите длину отрезка ЕF.
Решение: Длину отрезка EF найдем по теореме косинусов из треугольника D1EF, в котором
(треугольник AB1D1 является равносторонним).
Ответ:
4 слайд
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить:
как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;
2) используя векторный метод;
3) используя координатно-векторный метод.
5 слайд
Задача 2. В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 на диагоналях граней AD1 и D1B1 взяты точки Е и F так, что D1E = 1/3AD1 , D1F = 2/3 D1B1 . Найдите расстояние от точки D1 до прямой EF
Решение: Пусть h – длина высоты треугольника
D1EF, опущенной из точки D1 . Найдем h, используя метод площадей.
C другой стороны:
Замечание. Можно заметить, что выполняется равенство
FE2 + D1E2 = D1F2 , то есть треугольник D1EF2 прямоугольный и длина отрезка
D1E является искомым расстоянием
Ответ:
6 слайд
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние от точки до плоскости
7 слайд
Задача 3. Ребро АD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если AD=2√5, АВ=АС=10, ВС=4√5.
Ответ: 2
Решение:
Плоскость В1С1D1 параллельна грани BCD, и искомое расстояние в 2 раза меньше высоты АМ пирамиды DABC, проведенной из вершины А. Основание М этой высоты лежит на высоте DH равнобедренного треугольника BDC.
Произведение катетов треугольника DAH равно произведению высоты АМ на гипотенузу DH. Отсюда
.
Искомое расстояние равно 4:2=2
8 слайд
Угол между двумя прямыми
• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. 0° < ∠(a;b) ≤ 90° .
• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным
скрещивающимся.
• Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° .
• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
При нахождении угла между прямыми используют:
1) формулу для нахождения угла ϕ между прямыми m и l , если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;
2) формулу
или в координатной форме
для нахождения угла ϕ между прямыми m и l , если векторы p и q параллельны соответственно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
или
9 слайд
Задача 4. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 , все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1.
Ответ:
Решение:
Угол между указанными прямыми равен углу между прямой АВ1 и прямой, проходящей через точку А параллельно ВD1
10 слайд
Задача 5. Все ребра правильной шестиугольной призмы АВСDEFA1B1C1D1E1F1 равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
Векторы АВ1 и ВС1 легко выражаются через векторы
длины которых и углы между которыми легко указать.
Искомый угол находим из формулы скалярного произведения
Длины векторов АВ1 и ВС1 как диагонали квадратов со сторонами 1 равны √2.
Ответ: 0,75
11 слайд
Угол между прямой и плоскостью
• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
0°< ∠(a;α ) < 90° .
• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°.
• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0°.
12 слайд
Задача 6. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1, все ребра которой равны 1. Найдите косинус угла между прямой АВ1 и плоскостью АА1С1С.
Решение:
Пусть D – середина А1С1, тогда B1D - перпендикуляр к плоскости АА1С1С, а D – проекция точки В1 на эту плоскость
Если ϕ - искомый угол, то
Ответ:
13 слайд
Угол между плоскостями
• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0°;180°).
• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0°;90°].
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0°.
14 слайд
Задача 7. Основание прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 – треугольник, в котором АВ=АС=8, а один из углов равен 60°. На ребре АА1 отмечена точка Р так, что АР:РА1=2:1. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и СВР, если расстояние между прямыми АВ и С1В1 равно 18√3.
Решение: Из условия следует, что:
1. в основании призмы лежит равносторонний треугольник, т.к. у равнобедренного треугольника есть угол в 60°;
2. прямые АВ и С1В1 лежат в параллельных плоскостях оснований, а значит, расстояние между этими прямыми равно расстоянию между основаниями, т.е. длине бокового ребра призмы;
3. перпендикуляры из точек Р и А к прямой СВ проходят через точку М – середину ребра СВ;
4. тангенс угла РМА – линейного угла двугранного угла РВСА – равен отношению АР к АМ.
Ответ: 3
15 слайд
Задача 8. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение: Рассмотрим два случая.
Расстояние от центров окружностей до соответствующих хорд равны соответственно
Ответ: 3 или 21/17
Хорды параллельны, поэтому расстояние между одной из них и проекцией другой может быть либо 17, либо 7. Из соответствующих прямоугольных треугольников:
16 слайд
Координатно-векторный метод
Задача 9. В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так, что DE = 1/3 DC, C1F = 1/3 C1D1
Решение: Введем прямоугольную систему координат. Тогда:
Ответ:
17 слайд
Спасибо за внимание!!!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Презентация "Методы решения геометрических задач группы С-2".Помогает учителю повторить материал для решения задач:
-расстояние между точками;
-расстояние отточки до прямой;
-расстояние от точки до плоскости;
- угол между двумя прямыми;
-угол между прямой и плоскостью;
- угол между двумя плоскостями.
Здесь задан краткий теоретический материал ( в форме опорного конспекта)
Рассмотрены девять основных задаг из ЕГЭ разных лет.Также рассмотрен координатно векторный способ решения задач.
Презентацию удобно использовать при подготовке к ЕГЭ, на уроках при закреплении материала.
6 655 763 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Павлова Алевтина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.