Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Правильные и
полуправильные
многогранники
Выполнили:
Иванов Д.В.
Черняк Р.И.
Руководитель: Вологжанина Е.И.
г. Томск 2012 г.
2 слайд
Многогранник - геометрическое тело,
ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами
многогранника, а концы ребер — вершинами
многогранника. По числу граней различают
четырехгранники, пятигранники и т. д.
3 слайд
Тетраэдр (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.
Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь. Обозначим длину ребра тетраэдра а и получим следующие формулы:
4 слайд
Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4 .
Такая молекула имеет вид тетраэдра.
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты
также являются тетраэдрами.
Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.
Метан горит бесцветным пламенем.
С воздухом образует взрывоопасные смеси.
Используется как топливо.
Сфалерит - сульфид цинка (ZnS).
Кристаллы этого минерала имеют форму тетраэдров, реже – ромбододекаэдров.
5 слайд
Куб или гексаэдр
Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов.
У куба 12 ребер, имеющих равную длину. Если принять длину ребра за а, то у куба сумма длин всех ребер - 12а,
6 слайд
Куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl.
Форму куба имеют кристаллические решётки
многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие)
Интересно сравнить этот рисунок Леонардо с похожей работой Маурица Эшера,
относящейся к 1952 г., «Ячейки кубического пространства».
Леонардо да Винчи – метод жестких ребер
7 слайд
Октаэдр
(от греческого okto – восемь
и hedra – грань) –
правильный многогранник,
составленный из
8 равносторонних треугольников
Если длину ребра принять равной а, то
8 слайд
Форму октаэдра имеет монокристалл алюмокалиевых кварцев,
формула которого K(AL(SO4)2) * 12H2O.
Они применяются для протравливания тканей, выделки кожи.
Одним из состояний полимерной молекулы углерода, наряду с графитом, является алмаз Алмазы обычно имеют октаэдр в качестве формы огранки.
Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму огранки октаэдра, ромбододекаэдра, реже — куба или тетраэдра.
9 слайд
Додекаэдр (от греческого dodeka
– двенадцать и hedra – грань)
это правильный многогранник,
составленный из двенадцати
равносторонних пятиугольников
Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер
Пусть а - длина ребра додекаэдра, тогда сумма длин всех ребер 30а,
10 слайд
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.
11 слайд
Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.
У икосаэдра 30 ребер.
Если принять длину каждого ребра за а, то сумма длин всех ребер составит 30а.
12 слайд
Теорема о единстве правильных многогранников
После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду
(p-2)(q-2)<4
13 слайд
Из предыдущей формулы можно вывести следую систему:
Тогда единственными допустимыми вариантами p и q будут:
14 слайд
Теорема Эйлера
В-Р+Г=2.
В – число вершин выпуклого многогранника
Р – число ребер выпуклого многогранника
Г – число граней выпуклого многогранника
15 слайд
Предположим что
1,2,3 – грани произвольного
многогранника. Тогда:
Грань №2 имеет только одно ребро не
являющееся так же ребром другой грани.
А следовательно для этой грани: В=0, Р=1, Г=1. В-Р+Г=0. Поэтому каждая промежуточная грань не несет ни чего в
Эйлеровую характеристику. А первая и
последняя грань несет по 1: В=3, Р=3, Г=1. В-Р+Г=1.
16 слайд
Архимедовы тела
17 слайд
Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны , а грани - правильные многогранники нескольких типов
18 слайд
Призмы и антипризмы
19 слайд
Самые простые фигуры получаются из правильных многогранников путём
«усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника.
Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины, то получим усечённы тетраэдр, имеющий восемь граней. Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.
Обратим внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усечённого икосаэдра.
20 слайд
Второй способ получения полуправильных многогранников заключается в отсекании плоскости в кубе через середины его рёбер, выходящих из одной вершины. В результате получаем полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра.
21 слайд
Третий способ заключается в совмещение первого и второго метода. Отсекающие плоскости провести через середины рёбер, выходящих из одной вершины и операция «усечения».
Этим способом мы получаем фигуры, называемые усечённый кубооктаэдр и усечённый икосододекаэдр.
Фигуры находящиеся внизу, называются курносый куб и курносый додекаэдр.
Он они имеют сложное построение и поэтому мы их рассматривать не будем.
22 слайд
Псевдоромбокубооктаэдр
Псевдоромбокубоктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены ещё 12 квадратов. Если повернуть верхнюю восьмиугольную чашу этого многогранника на 45°
23 слайд
Иоганн Кеплер
24 слайд
Звёздчатые многогранники
25 слайд
Звёздчатый октаэдр
26 слайд
Звёздчатый додекаэдр
27 слайд
Звёздчатый икосаэдр
28 слайд
Звёздчатый икосододекаэдр
Икосододекаэдр имеет 32 грани из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники.
29 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Правильные и полуправильные многогранники
В своей деятельности человек повсюду сталкивается с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Важный класс тел образуют многогранники – тела, граница которых состоит из многоугольников. В необъятном океане многогранных форм выделяются своим совершенством пять правильных многогранников, или Платоновых тел.
Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д.
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.
Тетраэдр (от греческого tetra – четыре и hedra– грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.
Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4, Такая молекула имеет вид тетраэдра. Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами. Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо.
Сфалерит - сульфид цинка (ZnS). Кристаллы этого минерала имеют форму тетраэдров, реже – ромбододекаэдров
Куб (гексаэдр)Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов.
У куба 12 ребер, имеющих равную длину.
Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней.
Куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl.
Форму куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие)
Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) – правильный многогранник, составленный из 8равносторонних треугольников.
Форму октаэдра имеет монокристалл алюмокалиевых кварцев, формула которого K(AL(SO4)2) * 12H2O. Они применяются для протравливания тканей, выделки кожи.
Одним из состояний полимерной молекулы углерода, наряду с графитом,является алмаз Алмазы обычно имеют октаэдр в качестве формы огранки.
Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму огранки октаэдра, ромбододекаэдра, реже — куба или тетраэдра.
Додекаэдр(от греческого dodeka – двенадцать и hedra– грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.
На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.
Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. У икосаэдра 30 ребер.
В одном из своих диалогов Платон связал правильные многогранники с 4я стихиями. Тетраэдру соответствовал огонь, кубу – земля, октаэдру - воздух, икосаэдру – вода. Додекаэдру соответствовала пятая стихия – эфир.
Правильных многоугольников бесконечно много: при каждом n =>3 имеется правильный n – угольник(причем только один, с точностью до подобия). Правильных многогранников всего пять.
Пожалуй, важнейшее свойство выпуклых многогранников было обнаружено Рене Декартом около 1620г. ту же формулу переоткрыл Леонард Эйлер, когда занимался описанием типов выпуклых многогранников в зависимости от числа их вершин.
Пусть В -- число вершин выпуклого многогранника, Р -- число его рёбер и Г -- число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.
Эточисло называется эйлеровой характеристикой многогранника.
Но на пяти правильных телах история многогранников не остановилась. Вслед за правильными телами Платона были открыты полуправильные тела Архимеда.
Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны , а грани - правильные многогранники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел, грани которых - правильные многоугольники одного типа). Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду. Теорией этих тел занимался также Иоган Кеплер.
Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призма, т. е. правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями.
Другой пример — так называемая п-угольная архимедова антипризма. Она может быть получена, если одно из оснований правильной n-угольной призмы (n>4) повернуть вокруг оси призмы на угол - и затем соединить отрезками каждую вершину этого основания с ближайшими вершинами другого основания; при этом высота призмы должна быть подобрана так, чтобы эти отрезки оказались равными стороне основания (иначе говоря, боковые грани антипризмы должны быть правильными треугольниками). Меняя n, мы получим две бесконечные серии архимедовых многогранников-призм и антипризм.
Самые простые фигуры получаются из правильных многогранников путём «усечения», состоящим в отсечении плоскостями углов многогранника.
Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины, то получим усечённы тетраэдр, имеющий восемь граней. Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.
Обратим внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усечённого икосаэдра
Второй способ получения полуправильных многогранников заключается в отсекании частей куба плоскостью проходящей через середины его рёбер, выходящих из одной вершины. В результате получаем полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра.
Третий способ заключается в совмещение первого и второго метода. Отсекающие плоскости провести через середины рёбер, выходящих из одной вершины и операция «усечения».
Любопытно, что во второй половине XX в. было обнаружено еще одно тело Архимеда — псевдоромбокубооктаэдр, которое не может быть получено путем однотипных усечений тела Платона и поэтому в течение 2000 лет оставалось незамеченным.
В конце 50-х - начале 60-х годов XX века несколько математиков практически одновременно, независимо друг от друга указали на существование псевдоромбокубооктаэдра. Псевдоромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены ещё 12 квадратов.
Весьма оригинальна космологическая гипотеза немецкого астронома Иоганна Кеплера, в которой он связал некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников. Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.
Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. На данный момент эта теория полностью отвергнута.
Звёздчатый октаэдр. Он был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им "Stella octangula" – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название "stella octangula Кеплера". У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров.Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.
Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется «большой додекаэдр» - построил французский геометр Луи Пуансон спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.
Звёздчатый икосаэдр. Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Икосододекаэдр имеет 32 грани из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники.
Правильные многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать пытливые умы симметрией, мудростью и совершенством своих форм.
6 655 078 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Вологжанина Елена Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.