Главная / Математика / Презентация по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений"

Презентация по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений"

Название документа Методические рекомендации к использованию пособия.docx

Методические рекомендации

по использованию электронного пособия «Методы решения тригонометрических уравнений».

Данное пособие рекомендуется применять в качестве уроков объяснения нового материала и в качестве уроков закрепления или обобщения. Можно использовать полную демонстрацию всех слайдов, или рассмотреть только часть презентации. В презентации использованы эффекты гиперссылки на ее содержание, что позволит учителю рассмотреть именно то, что ему требуется на уроке.

Вся презентация построена на примерах решения задач и описании их способов. Существует много электронных пособий по данной теме, но «изюминкой» данной презентации является многообразие методов и их закрепление на примере одного уравнения, которое, конечно, имеет не 5 способов, а больше. В пособии рассмотрены не все, а лишь наиболее интересные. Буду рада, если моя презентация поможет учителям провести урок интересно.

Название документа утова О.Н..pptx

Простейшие тригонометрические уравнения arcsin(-a) = -arcsina sinx = a x=(-1)...
Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алг...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Ш...
Простейшие тригонометрические уравнения arccos(-a) = π – arccos a cosx = a x=...
Простейшие тригонометрические уравнения arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) =π -ar...
Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно реши...
Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – ...
Метод введения новой переменной Таким образом: sinx=1/2 и sin x = –1 Находим ...
Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x ...
Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобн...
Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в ...
Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. р...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделит...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg ...
Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: c...
Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставл...
Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin ...
Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения...
1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспол...
2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения...
3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую ча...
3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородн...
4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin² ...
5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (...
5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin...
 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
1 из 32

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Простейшие тригонометрические уравнения arcsin(-a) = -arcsina sinx = a x=(-1)n a
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения arcsin(-a) = -arcsina sinx = a x=(-1)n arcsina +πn, nϵZ sinx = 0 x= πn, nϵZ sinx = 1 x= , nϵZ sinx = - 1 x= - , nϵZ

№ слайда 2 Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебр
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

№ слайда 3 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Шаг
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

№ слайда 4 Простейшие тригонометрические уравнения arccos(-a) = π – arccos a cosx = a x= ±
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения arccos(-a) = π – arccos a cosx = a x= ± arccosa +2πn, nϵZ cosx = 1 x=2πn, nϵZ cosx = 0 x= , nϵZ cosx = - 1 x=π+2πn, nϵZ

№ слайда 5 Простейшие тригонометрические уравнения arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) =π -arcct
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) =π -arcctga tgx = a x= ± arctga +πn, nϵZ ctgx = a x= ± arcctga +πn, nϵZ

№ слайда 6 Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно решить
Описание слайда:

Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно решить несколькими способами, предложим 5 способов.

№ слайда 7 Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 =
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 Решение. Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем квадратное уравнение: 2y2 + y – 1 = 0, из которого у1=1\2 и у2 = -1

№ слайда 8 Метод введения новой переменной Таким образом: sinx=1/2 и sin x = –1 Находим зна
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Таким образом: sinx=1/2 и sin x = –1 Находим значения x: 1) x =  (–1)n π/6 + πk 2) x =  –π/2 + 2πn Ответ:  x = (–1)n π/6 + πk,  k ∈ Z x = –π/2 + 2πn,  n ∈ Z

№ слайда 9 Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x – 2
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0. Решение: Мы знаем, что sin2 x + cos2 x = 1. Отсюда выводим значение sin2 x: sin2 x = 1 – cos2 x. Вводим это значение sin2 x в наш пример: 6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0. Раскрываем скобки:

№ слайда 10 Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобные
Описание слайда:

Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобные члены: 4 – 6 cos2 x + 5 cos x  = 0. Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило): – 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0.

№ слайда 11 Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в рез
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в результате получим квадратное уравнение:  – 6у2 + 5у + 4 = 0. Решив его, находим корни:   у = – 1/2 или у =4/3 Обратная замена: Рассмотрим вариант cosx= 4\3

№ слайда 12 Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. реше
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса:                 1       2π arccos( – —) = ——                 2        3 Осталось найти x:                                        2π x = ± —  +  2πk,  k ∈ Z 3

№ слайда 13 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделить о
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg2 x + b arctg x + c = 0. Пример 1: Решите уравнение 3 cosx - 2 sinx = 0. Решение:

№ слайда 14 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx =
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx = 0/: cosx, 3 – 2 tgx= 0, tgx= 1,5, x = arctg1,5 +πn, nϵZ Ответ: x = arctg1,5 +πn, nϵZ

№ слайда 15 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2 x
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0; 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0; sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0 /cos2 x ≠ 0.

№ слайда 16 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg x –
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0. 3) Пусть tg x = t, тогда t2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z. Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

№ слайда 17 Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: cos2
Описание слайда:

Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: cos2πx=x2−8x+17 cos2πx= (x−4)2+1 . Оценим левую и правую части уравнения:  −1 ≤cos2πx≤ 1  и  (x−4)2+1≥1  . Следовательно, равенство достигается, если  cos2πx=1 и  (x−4)2+1 =1.

№ слайда 18 Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем
Описание слайда:

Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем это значение в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно, x = 4 корень исходного уравнения. Ответ: x = 4

№ слайда 19 Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin 2x
Описание слайда:

Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение: 1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. 2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

№ слайда 20 Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения 2x
Описание слайда:

Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n ϵZ; из второго уравнения: cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z. Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.

№ слайда 21 1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспользу
Описание слайда:

1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспользуемся формулой суммы косинусов: 2cos((π/2 +2x)\2)cos π/4=1, тогда √2 cos (π/4 +x)=1, π/4 +x=±arccos(1/√2) +2πn, nϵZ x1=2πn, nϵZ; x2= - π/2 +2πn, nϵZ

№ слайда 22 2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения на
Описание слайда:

2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения на √2 , получим: (1/√2) sinx + (1/√2) cosx = (1/√2), тогда sinx cosπ/4 +sinπ/4 cosx= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), π/4 +x1= π/4 + 2πn, nϵZ, π/4 +x2= 3π/4 + 2πn, nϵZ, x1=2πn, nϵZ, x2= π/2 + 2πn, nϵZ.

№ слайда 23 3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую часть
Описание слайда:

3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 + cos² x/2 -sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 => sin x/2 = 0 или cos x/2 - sin x/2 = 0 sin x/2 = 0; x/2 = πk; x = 2πk; k Є Z;

№ слайда 24 3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное
Описание слайда:

3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn; x = π/2 + 2πn; n Є Z. Ответ: x = 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z.

№ слайда 25 4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin² x+2
Описание слайда:

4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin² x+2sin x cos x + cos² x = 1; 1 + sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2x = πk; x = πk/2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2πk, k Є Z, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x = π + 2πm, m Є Z, x = - π/2 + 2πl, l Є Z. Проверка показывает, что второе и третье решения – посторонние. Ответ: x = 2πn, n Є Z, или x = - π/2 + 2πl, l Є Z.

№ слайда 26 5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (1 +
Описание слайда:

5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (1 + tg² x/2); cos x = (1 – tg² x/2) / (1 + tg² x/2); tg x = 2tg x/2 / (1 – tg² x/2).

№ слайда 27 5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin x
Описание слайда:

5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin x + cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / (1 + tg² x/2) + (1 – tg² x/2 )/( 1 + tg² x/2) = 1. Умножим обе части уравнения на (1 + tg² x/2): 2tg x/2 + 1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2; 2tg2 x/2 - 2tg x/2 = 0; tg x/2 = 0; tg x/2 =1 x/2 = πn, n Є Z., x = 2πn, n Є Z. x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z.

№ слайда 28  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30
Описание слайда:

№ слайда 31
Описание слайда:

№ слайда 32
Описание слайда:

Презентация по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений"
  • Математика
Описание:

Данное пособие рекомендуется применять в качестве уроков объяснения нового материала и в качестве уроков закрепления или обобщения. Можно использовать полную демонстрацию всех слайдов, или рассмотреть только часть презентации. В презентации использованы эффекты гиперссылки на ее содержание, что позволит учителю рассмотреть именно то, что ему требуется на уроке.

 

          Вся презентация построена на примерах решения задач и описании их способов. Существует много электронных пособий по данной теме, но «изюминкой» данной презентации является многообразие методов  и их закрепление на примере одного уравнения, которое, конечно, имеет не 5 способов, а больше. В пособии рассмотрены не все, а лишь наиболее интересные. Буду рада, если моя презентация поможет учителям провести  урок интересно.

Автор Шутова Ольга Николаевна
Дата добавления 24.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 960
Номер материала 11880
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓