Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Комбинаторика
2 слайд
Комбинаторика
раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями.
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
3 слайд
Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев общества большое место занимали азартные игры.
В карты и кости выигрывались и проигрывались золото, бриллианты, дворцы и имения. Широко были распространены всевозможные лотереи.
Поэтому первые комбинаторные задачи касались азартных игр
Б. Паскаль
П.Ферма
Вероятности различных случайных событий в ряде азартных игр вычислили французские математики
17 века Пьер Ферма и Блез Паскаль. Они использовали метод, который был назван комбинаторным анализом или комбинаторикой.
Комбинаторика – это искусство подсчета числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок тех или иных элементов некоторых множеств
4 слайд
5 слайд
Правило умножения
Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого произведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытаний А и число всех ходов испытаний В.
Исходом проведения двух испытаний – А и В – по определению является пара (а;в), у которой на первом месте стоит какой-то исход испытания А, а на втором месте – какой-то исход испытания В. Независимость испытаний А и В означает, что в такой паре (а;в) возможны абсолютно все комбинации исходов этих испытаний
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
0
2
4
1
90
22
20
14
12
10
9
5
4
2
54
52
50
44
42
40
24
94
92
Ответ: 15 чисел (5х3=15)
Правило умножения для двух независимых испытаний п=2
Удобно применять, используя прямоугольные таблицы
6 слайд
Теорема 1 (Правило умножения для конечного числа испытаний)
Число всех возможных исходов независимого произведения n испытаний
равно произведению количества исходов этих испытаний.
Первая лампочка
Вторая лампочка
Вторая лампочка
Третья лампочка
Третья лампочка
Третья лампочка
Третья лампочка
В коридоре три лампочки. Сколько имеется различных способов
освещения коридора (включая случай, когда все лампочки не горят)?
Дерево вариантов
По правилу умножения число всех способов освещения равно 2х2х2=8
7 слайд
У множества, состоящего из n элементов, имеется ровно 2n
различных подмножеств
Теорема 2
Элементы данного множества можно пронумеровать различными способами
Определение №1
Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»:
Теорема 3
n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n
ровно n! способами
n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n – 2) ∙ (n- 1) ∙ n
8 слайд
Если каждому элементу множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие элемент того же множества, то говорят, что задано отображение множества Х в себя.
Определение №2
Определение №3
Перестановкой конечного множества называют его отображение в себя, при котором различные элементы переходят в различные.
Число всех перестановок n – элементного множества равна n!
Рn = n!,
где Рn - число перестановок множества из n- элементов
Теорема 4
Перестановки
9 слайд
Сколькими способами четыре богатыря могут по одному разойтись в разные стороны в поисках Змея Горыныча?
Четыре стороны фиксированы – юг, север,
запад, восток или 1, 2, 3, 4. Порядок расхождения по ним задает нумерацию четырех богатырей числами 1, 2, 3, 4.
Таких нумераций имеется 4! = 24
P4 =
Задача
10 слайд
Проказница Мартышка
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…
Перестановки
Квартет
Вероятно, музыканты из басни Крылова так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?
В задаче идет перестановка из четырех
P4 = 4! = 24 варианта перестановок
11 слайд
Выбор двух и нескольких элементов
Теорема 1 (о выборе двух элементов)
Если множество состоит из n элементов (n >= 2), то у него имеется
ровно подмножеств, состоящих из двух элементов
Определение 1
Число всех выборов двух элементов из n данных без учета их порядка
Обозначают и называют числом сочетаний из n элементов по 2
=
Сочетания
12 слайд
Определение 2
Число всех выборов двух элементов из n данных c учетом их порядка
обозначают
и называют числом размещений из n элементов по 2.
Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента , учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n – 1) способами
Определение 3
Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка обозначают И называют числом размещений из n элементов по k . Число всех выборов k
элементов из n данных без учета порядка обозначают и называют числом сочетаний из n элементов по k
Теорема 2
Для любых натуральных чисел n и k таких, что k < n, справедливы соотношения
13 слайд
Сколько сочетаний
по 2 вида ягод можно
составить из трех видов ягод
n=3, k=2
Решение:
Ответ: из двух видов ягод по 2 можно составить 3 сочетания
Задача
14 слайд
Что такое «ноль факториал»? Чтобы сохранить удобную формулу для чисел при любых целочисленных значениях k (0 < k < n), решили, по определению, считать, что 0! = 1. Тогда:
Свойство теоремы 2
Как видно, числители в обоих случаях одинаковы, а в знаменателе множители поменялись местами, что не отражается на числовом значении выражения.
«ноль факториал»
15 слайд
16 слайд
17 слайд
В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Необходимо вычислить .
Применив равенство , упростим вычисления:
Решение:
Задачи
18 слайд
Задача
Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?
Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:
Ответ: 360 способами
Задачи
19 слайд
БИНОМ НЬЮТОНА
Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.
(a+b)0=1
(a+b)1=1a+1b
(a+b)2=1a2+2ab+1b2
(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3
(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
20 слайд
1
1
1
2
1
1
1
3
3
1
4
6
4
1
и так далее
– биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:
Треугольника Паскаля
21 слайд
Раскрыть скобки
22 слайд
Упростить выражение
Вычислить
23 слайд
Свойство 1°
Свойство 2°
Свойства биномиальных коэффициентов
, если 0≤к≤n;
если 0≤ к ≤n+1;
,
Свойство 3 °
24 слайд
Общие сведения о биноминальных коэффициентах
25 слайд
Случайные события и их вероятность
26 слайд
Всякий результат, полученный в процессе наблюдения или эксперимента, будем называть событием
Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется –
теорией вероятностей
27 слайд
Чтобы найти вероятность события А при проведении некоторого испытания, необходимо:
Найти количеств N (А) тех исходов испытания, при которых
произойдёт событие А;
Найти частное ; оно и будет равно вероятности события А
Найти число N всех возможных исходов данного испытания;
Вероятность события А принято обозначать P(А)
P(А) =
Классическая вероятностная схема
28 слайд
Решение: Пусть А – событие, состоящее в том, что два определенных человека будут сидеть рядом. Тогда число всевозможных исходов
Ответ:
Буквы т м
Число благоприятных исходов
Задача. Семь пчел вылетели из улья. Какова вероятность того, что две определенных пчелы будут лететь рядом?
29 слайд
Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу ( равновозможных между собой) исходов этого испытания.
классическое определение вероятности
Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет:
а) одно очко; б) более 3 очков?
а) Р=
б) больше трех очков,
т.е. 4, 5, 6. значит
Р=
30 слайд
Теорема 1 (правило суммы)
Если множество А состоит из n элементов,
множество В состоит из k элементов, а пересечение А ∩ В
Состоит из m элементов, то объединение А U В состоит
Из (n+k-m) элементов
Определение
Суммой событий A и B называется событие, которое наступает в том и только в том случае, когда происходит или событие А, или событие В. Обозначение : A + B.
Произведением двух событий A и B называется событие, которое наступает в том и только в том случае, когда одновременно происходят и событие А, и событие В. Обозначение : АВ.
Событием, противоположным событию A, называется событие, обозначаемое A и состоящее в том, что в результате опыта событие A не наступит.
31 слайд
Теорема2 ( о вероятности суммы событий)
Вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность произведения этих событий.
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Следствие 1
P(A + B) = P(A) + P(B).
Следствие 2
Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
32 слайд
Решение:
Всего в ящике лежит N=4+10+8+9=31 мяч.
Вероятность вытащить красный мяч
Вероятность вытащить зеленый мяч
Вероятность вытащить коричневый мяч
Т.к. эти три события несовместны, то пользуясь теоремой сложения вероятностей определим вероятность того, что мяч окажется цветным (не белым):
Задача. В ящике лежат мячи: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один мяч. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что мяч окажется цветным (не белым) ?
33 слайд
Введем обозначения: событие А – попадание в мишень первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков.
Тогда, очевидно: С = А + В. Поскольку события А и В совместны, то по теореме сложения вероятностей имеем:
P(C) = P(A)+ P(B)− P(AB)
а, учитывая независимость событий А и В, получаем
P(C) = P(A)+ P(B)− P(A)P(B) .
Подставляя из условия задачи, что
P(А) = 0,8, P(B) = 0,6, получаем:
P(C) = 0,8 + 0,6 – 0,8 0,6 = 0,92.
Задача Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для
второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделают по одному выстрелу
Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?
Решение.
34 слайд
Сумма вероятности события и вероятности противоположного ему события равна единице
Следствие 3
Р(А) + Р(А) = 1
Следствие 4
Следствие 5
Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события
Если из единицы вычесть вероятность противоположного события, то получится вероятность самого события
Р(А) = 1 – Р(А)
Р(А) = 1 – Р(А)
35 слайд
Теорема 3
Пусть p – вероятность события А в некотором
испытании и пусть это испытание независимым образом
повторяют n раз. Тогда:
Вероятность того, что событие А наступит в каждом
из n повторений, равна p n степень;
2) Вероятность того , что событие А наступит хотя бы в
одном из n повторений, равна 1 – (1 – p)n степ
36 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Очень красочная презентация содержит комбинаторику, бином Ньютона и теорию вероятности.Содержит объяснение материала с примерами, с формулами комбинаторики , основными формулами и теоремами по классической вероятности., дерево вариантов, определения перестановок, размещений , сочетаний с примерами.Презентация поможет учителю в объяснении нового материала, а самому ученику поможет разобраться как решать задания Единого государственного экзамена по теории вероятности и в профильном и в базовом уровне.Содержит мультфильм, потому может не пойти на комьютере со слабым програмным обеспечением.Презентация подарена мне моим учеником Тарасенковым С. и служит примером того , что мои ученики талантливы и идут дальше учителя.
6 662 251 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Волкова Нина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.