Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Элементы планиметрии
1
Планиметрия – это
от латинского planum — «плоскость»,
от древне-греческого μετρεω — «измеряю»
раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры (т.е. фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости).
В5
В8
2 слайд
Элементы планиметрии
2
Площади
3 слайд
Площадь плоской фигуры – это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости.
Аддитивность (от латинского additivus – прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме объемов составляющих его частей.
Аддитивность площади означает, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, если этих частей конечное число.
3
Площади плоских фигур
4 слайд
В прямоугольном треугольнике есть прямой угол, равный 900. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой. Две прилежащие к прямому углу стороны называют катетами.
Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (с) равен сумме квадратов катетов (a и b).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
4
Прямоугольный треугольник
𝒄 𝟐 =𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
𝑺= 𝒂𝒃 𝟐
!
5 слайд
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите диагональ квадрата 1 см×1 см; 2 см×2 см; 3 см×3 см.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5
Примеры задач
6 слайд
Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.
Если у двух точек одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то соответствующие отрезки параллельны осям координат. В таких случаях длину отрезка можно найти, если вычесть различающиеся координаты точек.
6
Прямоугольный треугольник
А(4;10), В(4; 2), С(6;2)
Например: АВ || Оу, а значит АВ = 10 – 2 = 8
ВС || Ох, а значит ВС = 6 – 4 = 2
АС можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев ∆АВС
7 слайд
Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.
Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.
7
Примеры задач
8 слайд
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (a) на высоту (h), проведенную к этой стороне:
Как правило, в качестве высоты и основания удобно брать те стороны, которые проходят по линиям клеточной бумаги (или же проходит параллельно осям координат).
8
Площадь произвольного треугольника
𝑺= 𝒂𝒉 𝟐
9 слайд
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.
9
Примеры задач
10 слайд
Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Противоположные стороны прямоугольника попарно равны.
10
Площадь прямоугольника (квадрата)
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
A
B
C
D
a
b
𝑺=𝒂𝒃
Прямоугольник, все стороны которого равны, называется квадратом.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
!
𝑺= 𝒂 𝟐
!
11 слайд
Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь фигуры, изображённой на координатной плоскости.
11
Примеры задач
12 слайд
12
Для нахождения площади произвольного многоугольника необходимо разбить фигуру на треугольники и прямоугольники ИЛИ достроить до треугольника или прямоугольника.
Примеры произвольных многоугольников:
Площадь произвольного многоугольника
13 слайд
Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения.
13
Площадь ромба
a
a
d1
d2
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Квадрат является ромбом.
Ромб является параллелограммом и обладает его свойствами.
𝑺= 𝒅 𝟏 𝒅 𝟐 𝟐
!
!
14 слайд
Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь закрашенной фигуры, изображённой на координатной плоскости.
14
Примеры задач
15 слайд
Свойства параллелограмма:
Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
Противоположные углы попарно равны.
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне:
Прямоугольник, квадрат, ромб – это четырехугольники, которые являются параллелограммом. Они обладают свойствами параллелограмма.
15
Площадь параллелограмма
a
h
𝑺=𝒂𝒉
Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
!
16 слайд
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь фигуры, изображённой на координатной плоскости.
16
Примеры задач
17 слайд
17
Площадь трапеции
a
h
Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
b
Площадь трапеции равна половине
произведения суммы оснований (a + b)
на высоту (h):
𝑺= 𝒂+𝒃 𝒉 𝟐
18 слайд
Найдите площади трапеций, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь трапеций, изображённых на координатной плоскости.
18
Примеры задач
19 слайд
Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — О) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса:
19
А
О
О
А
Площадь круга
𝑺= 𝝅 𝑹 𝟐
𝑺= 𝝅 𝑫 𝟐 𝟒
20 слайд
Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
20
Примеры задач
21 слайд
21
Круговой сектор – часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
𝝋 – соответствующий центральный угол,
𝒍 – длина дуги сектора
Площадь кругового сектора:
Площадь кругового сектора
𝑺 сек = 𝝅 𝑹 𝟐 𝝋 𝟑𝟔𝟎
𝑺 сек = 𝟏 𝟐 𝒍∙𝑹
22 слайд
Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
22
Примеры задач
23 слайд
Элементы планиметрии
23
Координаты и векторы
В5
В8
24 слайд
24
Координаты точек
Расстояние между точками A(xA, yA) и B(xB,yB):
Середина C отрезка AB, где A(xA, yA) и B(xB,yB):
𝑨𝑩 = 𝒙𝑩− 𝒙 𝑨 𝟐 + 𝒚𝑩−𝒚𝑨 𝟐
𝑪 𝒙𝑨+𝒙𝑩 𝟐 ; 𝒚𝑨+𝒚𝑩 𝟐
О
xA
xB
X
C(х;у)
Y
yB
yA
A(хA;уA)
B(хB;уB)
25 слайд
25
Координаты точек
Если точки А и В симметричны относительно оси Ох (очи абсцисс), то их ординаты
О
X
C
Y
A
B
D
26 слайд
Треуго́льник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев.
Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника.
26
Треугольник
Основные элементы треугольника ABC:
Вершины – точки A, B, и C;
Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;
Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.
?
27 слайд
b
a
𝛼
𝛽
Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы и средние линии, которые связаны с видами треугольников.
По сторонам выделяют разносторонний (произвольный), равнобедренный и равносторонний (правильный) треугольники.
По углам выделяют прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники.
27
Виды треугольников
b
a
c
c
b
a
𝛼
𝛽
𝛾
𝛼
𝛽
𝛾
c
𝛼
𝛼
?
28 слайд
Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
Свойства высоты треугольника:
Высота треугольника
A
B
C
ha
hb
O
hb
A
C
B
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.
Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.
28
?
29 слайд
Медиана треугольника (от лат. mediana – «средняя») – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Свойства медианы треугольника:
29
Медиана треугольника
A
B
C
O
mc
mb
ma
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
?
30 слайд
Биссектриса треугольника (от лат. bis – «дважды» и seko – «рассекаю») называют заключенный внутри треугольника отрезок прямой, который делит пополам его угол.
Свойства биссектрисы треугольника:
30
Биссектриса треугольника
A
B
C
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
O
lc
la
lb
?
31 слайд
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющие середины двух сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине.
Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника.
31
Средняя линия треугольника
B
A
C
B
A
C
L
M
N
L
N
𝑺∆𝑨𝑩𝑪 𝑺∆𝑳𝑴𝑵 =𝟒
?
32 слайд
Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны между собой. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным.
Свойства равнобедренного треугольника:
32
Равнобедренный треугольник
a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника,
b – длина третей стороны,
α и β – соответствующие углы,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности.
Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов, равны.
Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой.
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые .
?
33 слайд
Правильный треугольник или равносторонний треугольник – правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или 𝜋 3 )
a – сторона правильного треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности;
h – высота.
Свойства равностороннего треугольника:
Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Имеют место следующие соотношения:
33
Равносторонний треугольник
𝒉= 𝒂 𝟑 𝟐
R= 𝒂 𝟑
r= 𝒂 𝟐 𝟑
S= 𝒂 𝟐 𝟑 𝟒
h
a
?
34 слайд
Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Свойства прямоугольного треугольника:
34
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой.
По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная презентация предназначена для студентов 1 курса по дисциплине «Математика и информатика» с целью повторения основного материала по планиметрии в школе и подготовке к сдаче ЕГЭ по математике. В презентации подобран теоретический и практический материал, который поможет учащимся вспомнить основные умения и навыки работы с фигурами на плоскости: действия с геометрическими фигурами, координатами и векторам; решение планиметрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей); моделирование реальных ситуаций на языке геометрии; исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решение практических задач, связанных с нахождением геометрических величин.
6 664 059 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Вербич Анастасия Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.