Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Интеграл
2 слайд
Вычислите площадь заштрихованной фигуры самостоятельно
Ответы: S = 4, 5 S = 1⅓
Повторение
В - 1
В - 2
3 слайд
Другой подход к вычислению
площади криволинейной трапеции
Отрезок [а;в] разбит на n отрезков одинаковой длины точками х1;х2;… ;хn-1 ;хn.
∆х =(в – а)/n
На каждом отрезке как на основании построим прямоугольник высотой f (xk-1).
S = f (x k-1) ∆х = (в – а)/n f (x k-1).
S n - сумма площадей всех прямоугольников
В силу непрерывности f объединение построенных прямоугольников при большом n «почти совпадает» с криволинейной трапецией.
Sn -> S при n -> ∞.
4 слайд
Определение интеграла
Для любой непрерывной на отрезке [ а; в ] функции f ( не обязательно неотрицательной ) Sn при n -> ∞ стремится к некоторому числу. Это число называется интегралом функции от а до в.
5 слайд
Обозначение
f ( x ) dx
Т.е. Sn -> f ( x ) dx при n -> ∞
а и в – пределы интегрирования: в – верхний предел; а – нижний предел. Знак - знак
интеграла. Функция f – подынтегральная функция. Переменная х – переменная интегрирования.
6 слайд
Из истории
Г.В.Лейбниц Якоб Бернулли Иоганн Бернулли
Символ интеграла введён Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S ( первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г.Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
7 слайд
Формула Ньютона - Лейбница
Сравнивая формулы для площади криволинейной трапеции
S = F ( b ) – F ( a ) и S = f ( x ) dx
Получаем
Если F – первообразная для f на [а; в], то
f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a )
Формула верна для любой функции f, непрерывной на [а; в]
8 слайд
Замечания
1. 1 / х2 dx – по определению не существует, т.к. на [ -1; 2 ] функция f ( х ) = 1 / х2 не является непрерывной, а значит функция F ( x ) = -1 / x не является первообразной для f ( х ) на [ -1; 2 ]. ( 0 Є [ -1; 2 ] не входит в D ( f )).
2. При а ≥ в
При таком соглашении формула Ньютона – Лейбница оказывается верной при произвольных а и в. В частности,
9 слайд
Свойства интеграла
Сформулируйте и докажите
1)
10 слайд
Вычисление площадей с помощью интеграла
1.
2.
2.
1.
11 слайд
Задания
1. Вычислить интеграл от 0 до 2 функции f ( х ) = х 3
( от – 1 до 1 )
2. Вычислить интеграл от - π/4 до π функции f ( х ) = 3 cos 2х.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями f1 ( х ) = х2 ; f2 ( х ) = 2х
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х = 0; у = х2 – 4х + 5 и касательной к этому графику в точке х0 = 2.
12 слайд
Задания уровня С
Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у = х2 – 6х + 5 и у = 5 – 2х – х2 двумя способами:
1) с помощью площадей криволинейных трапеций;
2) с помощью интеграла и его свойств.
13 слайд
Работа в группах
Группа 1: № 361 ( а; г ); 364 ( б; в ).
Группа 2: № 361 ( б; в ); 364 ( а; г ).
Группа 3:
Вычислите площадь
заштрихованной фигуры
Ответ: 2
2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2; у = 4; х = - 2; х = 2.
Ответ: 5⅓
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 + 1; у = 5.
Ответ: ⅔
14 слайд
Программированный контроль
Верный ответ: Вариант 1: 2; 4; 3.
Вариант 2: 3; 2; 1.
15 слайд
Домашнее задание
п. 30 ( выучить к зачёту по § 7 – 8 теоретический материал); № 362; 360 (а; г); повторить уравнение касательной п. 19.
По желанию.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х = 0; у = sin х; у = cos х; х = π / 2.
Ответ: 2 √ 2 – 2.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Цель урока: 1) дать учащимся понятие интеграла, как основополагающего понятия алгебры и начал анализа и применение его при решении разнообразных задач. 2) Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного; развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, повышенной сложности. 3) Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной самостоятельной деятельности и работе в группах. План урока: 1. Проверочная работа на умение вычислять площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной (с самопроверкой). 2. Введение нового понятия интеграла (другой подход к вычислению площади криволинейной трапеции; определение интеграла; обозначение и основные понятия; из истории интеграла; формула Ньютона – Лейбница для вычисления определённого интеграла; замечания по вычислению интегралов; свойства интеграла; вычисление площадей с помощью интеграла). 3. Разбор заданий разного уровня с использованием нового понятия. 4. Работа в группах (разного уровня подготовленности учащихся) по отработке нового понятия. 5. Программированный контроль новых знаний. 6. Подведение итогов; домашнее задание.
6 626 054 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Шигаева Алла Исааковна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.