Презентация на тему "Системы счисления"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Системы счисления.
  

• 

  2 слайд

  «Всё есть число» ,- говорили мудрецы, подчёркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей.
  Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов(словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.
  Система счисления – это совокупность приёмов и правил для обозначения и именования чисел.
  Люди научились считать очень давно, ещё в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше. Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов…и…в настоящий момент существует более 30 различных систем счисления. Некоторые из них уже утратили своё первоначальное значение и возможность использования в современном мире. Но, несмотря на это, они составляют значимую часть истории возникновения систем счисления.
  

• 

  3 слайд

  Алфавит системы счисления.
  Алфавит составляет базу системы счисления. Символы алфавита называют цифрами. Системы счисления различаются алфавитом и правилами образования из базовых цифр остальных чисел. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: возможность представления любого числа в pассматpиваемом диапазоне величин,     единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина), простоту опеpиpования числами.
  

• 

  4 слайд

  Основные виды систем счисления.
  Необходимые определения.
  Позиционная система счисления — система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр.
  Непозиционная система счисления — система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения.
  Универсальная система счисления — система счисления, которая позволяет записать любое вещественное число (конечной или бесконечной последовательностью цифр).
  Неуниверсальная система счисления — система счисления, которая позволяет записать лишь относительно небольшие числа, иногда только целые (либо наоборот, только меньшие единицы).
  Основная система счисления — позиционная система счисления, в которой вес каждой цифры изменяется в одно и то же число раз при ее переносе из любого разряда в соседний с ним.
  Неосновная система счисления — позиционная система счисления, в которой соотношение весов соседних разрядов может меняться.
  Двойная система счисления — неосновная позиционная система счисления, в которой число фактически представлено в системе счисления с большим основанием, но вместо соответствующего набора цифр используется их представление наборами знаков в системе счисления с меньшим основанием.
  
  

• 

  5 слайд

  Основные виды систем счисления.
  Необходимые определения.(продолжение…)
  Традиционная система счисления — система счисления, в которой запись числа состоит из двух частей — целой и дробной. Количество цифр перед разделяющей эти части запятой (точкой) заранее не известно и может быть сколь угодно большим. Фактически запись числа образует две последовательности цифр, разбегающиеся влево и вправо от запятой.
  Информационная система счисления — система счисления, в которой запись числа (в отличие от традиционной) состоит из единственной последовательности цифр. При этом каждая очередная цифра (бит) уточняет значение числа (его положение на оси). Пусть несколько первых цифр указывают на то, что интересующее нас число t содержится в некотором подмножестве U числовой оси, которое, в свою очередь, разбито на несколько непересекающихся подмножеств V1 , … , Vk . Тогда выбор одного из k возможных значений очередной цифры указывает на одно из этих подмножеств.
  Интервальная система счисления — информационная система счисления, в которой все подмножества числовой оси, определенные несколькими первыми цифрами записи любого числа, являются интервалами.
  Неинтервальная система счисления — информационная система счисления, в которой среди подмножеств числовой оси, определенных несколькими первыми цифрами записи какого-либо числа, не все являются интервалами.
  Итерационная система счисления — интервальная система счисления, в которой в качестве точек разбиения (границ интервалов) выбираются корни последовательных итераций некоторой монотонной функции.
  Башенная система счисления — итерационная система счисления, в которой каждый очередной бит в записи числа имеет смысл знака логарифма от абсолютной величины мантиссы, полученной на предыдущем шаге.
  
  

• 

  6 слайд

  Непозиционные (неуниверсальные) системы счисления.
  Непозиционная система счисления — система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения.
  
  Единичная система счисления;
  
  Древнеегипетская десятичная система счисления;
  
  Римская система счисления;
  
  Славянские системы счисления(глаголическая и кириллическая).
  
  

• 

  7 слайд

  Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Использовалась нецивилизованными племенами, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, считать ее позиционной можно лишь с очень сильной натяжкой, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа).
  
  1 I
  2 II
  3 III
  4 IIII
  5 IIIII
  и т.д.
  
  Единичная система счисления.
  

• 

  8 слайд

  Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.
  Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.
  1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
  Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше.
  
  10. Такими путами египтяне связывали коров
  
  Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
  
  100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
  
  1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.
  
  10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.
  
  100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
  
  1 000 000. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
  
  10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца
  Древнеегипетская десятичная система счисления.
  

• 

  9 слайд

  Римская система счисления.
  С помощью семи цифр – I=1 , V=5 , X=10 , L=50 , C=100 , D=500 , M=1000 – можно весьма успешно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч. Продолжает ограниченно использоваться для указания порядковых числительных (часов, столетий, номеров съездов или конференций и т.п.).
  Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.
  
  

• 

  10 слайд

  Славянская глаголическая система счисления.
  Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в.
  Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
  
  
  
  Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.
  

• 

  11 слайд

  Славянская кириллическая система счисления.
  Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.
  Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:
  
  Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков. Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение. Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
  Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.
  Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:
  

• 

  12 слайд

  Системы счисления в современных высоких технологиях.
  Позиционные системы счисления.
  Позиционная система счисления — система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр.
  
  Неуниверсальные системы счисления
  (Форматы представления чисел в микрокалькуляторах и компьютерах)
  
  Запись в формате с фиксированной запятой;
  
  Нормализованная (инженерная, научная)
  форма записи чисел;
  
  Байтовая система счисления.
  
  
  «Машинные» системы счисления.
  
  Двоичная система счисления;
  
  Восьмеричная система счисления;
  
  Шестнадцатеричная система счисления.
  
  

• 

  13 слайд

  Запись в формате с фиксированной запятой.
  Запись в формате с фиксированной запятой использовалась в первых электронно-вычислительных машинах (в частности, в советских «Урал-1»). Она позволяет представить числа, абсолютная величина которых не превосходит единицы, и притом лишь те из них, которые имеют данное фиксированное число двоичных или двоично-десятичных разрядов.
  

• 

  14 слайд

  Нормализованная (инженерная, научная)
  форма записи чисел.
  Нормализованная (инженерная, научная) форма записи чисел используется сейчас большинством микрокалькуляторов, компьютеров и иных вычислительных устройств. Запись числа состоит из двух частей – мантиссы и порядка, каждая из которых имеет свой собственный знак и строго определенное число десятичных (двоичных или иных) разрядов. Диапазон для мантиссы определен одним из двух правил. Чаще всего, она меньше единицы, но больше единицы следующего младшего разряда соответствующей системы счисления (как правило, десятичной или двоичной). Противоположное правило: мантисса больше единицы, но меньше единицы следующего старшего разряда (одновременно может действовать только одно из этих двух правил, но никак не оба сразу).
  

• 

  15 слайд

  Байтовая система счисления.
  Содержимое файла в известном смысле не зависит от его типа и предназначения. С точки зрения внутренней структуры файл представляет собой конечную последовательность байтов. Каждый байт – это 8 битов, которые в двоичной системе счисления можно прочитать как целое число от 0 до 255. Каждое такое число (код) можно рассматривать как цифру в системе счисления с основанием 256. Так как файл представляет собой единую последовательность байтов (и в отличие от традиционной записи числа не разделен на целую и дробную части), то возможны два варианта прочтения файла, как числа. Во-первых, можно считать файл целым числом. Во-вторых, можно, напротив, считать целую часть нулевой (как и в записи в формате с фиксированной запятой).
  Наряду с байтом для измерения количества информации используются более крупные производные единицы:
  1 Кбайт = 2 байт = 1024 байт (килобайт)
  1 Мбайт = 2 байт = 1024 Кбайт (мегабайт)
  1 Гбайт = 2 байт = 1024 Мбайт (гигабайт)
  1 Тбайт = 2 байт = 1024 Гбайт (терабайт)
  10
  20
  30
  40
  

• 

  16 слайд

  «Машинные» системы счисления.
  Двоичная система счисления.
  В конце XX века, века компьютеризации, Человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда, как на счетах при помощи костяшек. Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины чрезвычайно сложна. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено — не намагничено, высокое напряжение — низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.
  
  Преимущества двоичной системы счисления:
  Простота совершаемых операций
  Возможность осуществлять автоматическую
  обработку информации, реализуя только два
  состояния элементов компьютера.
  
  Недостаток двоичной системы счисления:
  Быстрый рост числа разрядов в записи,
  представляющей двоичное число
  

• 

  17 слайд

  Восьмеричная система счисления.
  Восьмеричная система счисления. Использует восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг.
  К настоящему времени практически
  полностью вытеснена шестнадцатеричной
  системой счисления, однако функции
  перевода числа из десятичной
  системы в восьмеричную и обратно
  сохраняются в микрокалькуляторах
  и многих языках программирования.
  Также используется для записи кодов
  чисел и машинных команд.
  

• 

  18 слайд

  Шестнадцатеричная система
  счисления.
  
  Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам. Также шестнадцатеричную систему используют для записи адреса команд.
  

• 

  19 слайд

  Более сложные позиционные системы счисления.
  Дата – время;
  
  Вавилонская клинописная (десятиричная/ шестидесятеричная) система счисления;
  
  Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет;
  
  Древнекитайская десятеричная система счисления;
  
  

• 

  20 слайд

  Дата – время.
  Традиционный способ представления моментов и больших промежутков времени сочетает использование нескольких разных единиц измерения. При переходе от тысячелетий к векам, от них к десятилетиям, а затем к годам, вес разряда в записи даты изменяется в 10 раз. Год состоит из 12 месяцев, месяц – из 4 недель, неделя – из 7 суток. Сутки состоят из 24 часов, час – из 60 минут, а минута – из 60 секунд. Более мелкие интервалы времени, чаще всего, измеряют десятыми, сотыми, тысячными и т.д. долями секунды (хотя известно и об употреблении шестидесятеричного деления секунды и ее последующих долей). Таким образом, мы имеем здесь дело с системой счисления, сочетающей в себе сразу шесть различных оснований: 4, 7, 10, 12, 24 и 60.
  

• 

  21 слайд

  Вавилонская клинописная
  (десятеричная/шестидесятеричная) система счисления.
  В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например
  -3 -20 -32
  Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:
  - так записывается число 302, то есть 5*60+2.
  
  - а это 1*60*60+2*60+5 = 3725.
  
  Но представление не которых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Так как нет значка для обозначения нуля.
  Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак   - наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.
  - это запись числа 7203 (2*60*60+3).
  Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3*60*60), и т. д.
   
  Считается, что десятичная система была у шумеров, а после того как их завоевали семиты, их система была приспособлена под  шестидесятеричную систему семитов.
  Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.
  

• 

  22 слайд

  Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или «долгий счет».
  Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).
  
  
  
  
  
  
  
  Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху и называлось уиналу.
  Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет .
  
  Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел:
  

• 

  23 слайд

  Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или «долгий счет». (продолжение…)
  В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке.
  Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение.
  Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:
      К'ин = 1 день.
          Виналь = 20 к'ин = 20 дней.
          Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года.
          К'атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет.
          Бак'тун = 20 к'атун = 144000 дней = около 400 лет.
          Пиктун = 20 бак'тун = 2880000 дней = около 8000 лет.
          Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет.
          К'инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет.
          Алавтун = 20 к'инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.
  
  Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.
  

• 

  24 слайд

  Древнекитайская десятеричная система счисления.
  Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.
  O
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
  Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.
  
  
  
  10 100 1 000 10 000
  
  - 1*1 000 = 1000;
  
  - 5*100 + 4*10 +8 = 548
  
  Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.